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备考2024年高考数学冲刺专题特训：不等式
一、多项选择题
1．（2023高一上·淮安期中）已知，，则下列选项一定正确的是（　　）
A． B．的最大值为
C．的最大值为2 D．
【答案】B,D
【知识点】二次函数与一元二次不等式的对应关系；基本不等式；二维形式的柯西不等式
【解析】【解答】解：A. ， ，当且仅当时取等，A错误；
B. ，当且仅当时取等，的最大值为 ，B正确；
C. ，，，， ，C错误；
D.，当且仅当即时取等，D正确.
故答案为：BD.
【分析】A.利用柯西不等式 求解判断；B.直接利用基本不等式求解判断；C.代入，根据二次函数结合 的取值范围分析求解；D.“1”的代换，结合基本不等式求解判断.
2．（2023·连云模拟）利用“”可得到许多与n（且）有关的结论，则正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；反证法与放缩法
【解析】【解答】令，则，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
故在处取得极小值，也时最小值，，
故，当且仅当时，等号成立，
A选项，令，所以，
故，
其中
，
所以，A符合题意；
B选项，将中的替换为，可得，，
当且仅当时等号成立，
令，可得，
所以，
故，
其中
所以，B符合题意；
C选项，将中的替换为，显然，
则，
故，
故，C不符合题意；
D选项，将中的替换为，其中，，则，
则，故，当且仅当时，等号成立，
则，D符合题意.
故答案为：ABD
【分析】利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最值，再结合替换法和放缩法得出结论正确的选项。
3．（2022高二上·长沙期中）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列，正方形数构成数列，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．1225既是三角形数，又是正方形数
C．
D．，总存在，使得成立
【答案】B,C,D
【知识点】函数恒成立问题；数列的求和；归纳推理；反证法与放缩法
【解析】【解答】三角形数构成数列：1，3，6，10，…，则有
，利用累加法，
得，得到；n=1成立
正方形数构成数列：1，4，9，16，…，则有
，利用累加法，
得，得到，n=1成立
对于A，，利用裂项求和法：，A不符合题意；
对于B，令，解得；令，解得；B符合题意；
对于C，，则
，
整理得，，C符合题意；
对于D，取，且，则令，则有，故，总存在，使得成立，D符合题意；
故答案为：BCD
【分析】利用已知条件结合归纳推理的方法、累加法、数列求和的方法、放缩法、恒成立问题求解方法，进而找出说法正确的选项。
二、填空题
4．（2023高二上·东莞开学考）在平面直角坐标系中，点为单位圆上的任一点，、．若，则的最大值为　 　．
【答案】
【知识点】平面向量的坐标运算；圆的标准方程；二维形式的柯西不等式
【解析】【解答】解：设 ，由题意得，，
，，即， ，当且仅当时取等，故的最大值为.
故答案为：.
【分析】由题意得点P坐标满足，再利用，求出关于的关系，利用柯西不等式求其最大值.
5．（2023高三上·湛江开学考）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为　 　．
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；反证法与放缩法
【解析】【解答】解：由题意得 在上恒成立，，，令，
当时，，令，
又，在单调递增，，符合题意，
当时，，存在，使得，当时，，不符合题意， .
故答案为： .
【分析】对 求导，令在上恒成立，进而求解实数的取值范围.
6．（2023·长宁模拟）若对任意，均有，则实数a的取值范围为　 　．
【答案】
【知识点】函数恒成立问题；绝对值三角不等式
【解析】【解答】因为在绝对值三角不等式中，当同号时有，
又因为，
所以在恒成立，
所以或在恒成立，
即有或在恒成立，
由，解得，
由，解得，
综上所述，实数a的取值范围为.
故答案为：
【分析】利用已知条件结合绝对值三角不等式和不等式恒成立问题求解方法，进而得出实数a的取值范围。
三、解答题
7．（2024咸阳高考模拟）已知函数.
（1）当时，求过点且和曲线相切的直线方程；
（2）若对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）：当时，，
设切点为，直线斜率为，
则切线方程为.
又因为该直线过点，所以，即，显然
记，当时，；当时，，
所以在上单调递增，
又，所以，
故切线方程为.
（2）解：当时，由，可得，
即，
构造函数，其中，则，
所以函数在上为增函数.
由，可得，
所以，
即，其中.
令，其中，则.
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以，即.
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用；不等式的证明
【解析】【分析】（1）当a=1时，对f(x)求导，设切点坐标为，可切线方程为，根据直线过点，可得，分析即可求解；
（2） 对任意实数，不等式恒成立， 可得整理得，构造函数求导即可证明.
8．（2023高三上·成都月考）已知函数，.
（1）求函数的单调性；
（2）当时，求证：.
请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.
【答案】（1）解：因为，
若，则，在R上单调递增；
若，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增.
综上，当时，在R上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）解：当时，要成立.
即证成立，
①当时，设函数，
，
在上单调递增.
.
成立.
②当时，要证成立，
即证.
设函数，
，
由在上单调递增，且.
当，，单调递减；
当，，单调递增.
.
设函数，
.
在上单调递减.
.
，上式得证.
综上所述，成立.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；不等式的证明；基本初等函数导函数公式
【解析】【分析】（1）求导，然后分和分别讨论判断函数的单调性即可；
（2）当时，设函数，求导利用导数判断其单调性，从而证明不等式；
当时，转化为证明，设函数，设函数，分别求导判断单调性，求出函数最值即可得结论.
9．（2024高三上·台州模拟）设
（1）求证：；
（2）若恒成立，求整数的最大值．（参考数据，）
【答案】（1）证明：要证：，（且），
只要证：，因为与同号，只要证：，即证：．
令，（，），，
由，得，所以在上递减，在上递增，
所以，故原不等式得证．
（2）解：因为，当时，有，
则，所以整数．
当时，由（1）可得，
下证：，，只要证：．
令，，
因为，
所以在上单调递减，故，所以得证．
综上所述，整数的最大值为2．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；不等式的证明
【解析】【分析】（1）将问题转化成求证，，构造函数，通过求导利用导数与函数单调性间的关系，得出的单调区间，从而求出函数的最小值，即可证明；
（2）通过取值，得出，再利用（1）结果，当时，由（Ⅰ）可得，再通过构造函数，求导判断其单调性，从而得函数最值即可得出结果.
10．（2023高三上·中山月考）已知数列是公比大于0的等比数列，，.数列满足：（）.
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：是等比数列；
（3）证明：.
【答案】（1）解：设等比数列的公比为，则，
则，所以，
又.
（2）解：所以，
所以，且，
所以数列是首项为8，公比为的等比数列；
（3）解：由题意知，，
所以，
所以，
设，
则，
两式相减得，
所以，
所以.
【知识点】等比数列概念与表示；数列的求和；反证法与放缩法；数列的通项公式
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等比数列的通项公式得出公比的值，再利用等比数列的通项公式得出数列的通项公式，再结合（）得出数列的通项公式。
（2）利用（1）得出的数列的通项公式和等比数列的定义，进而证出数列是等比数列。
（3）利用（1）得出的数列的通项公式结合错位相减的方法和放缩法，从而证出不等式 成立。
11．（2023高二上·顺义期中）对于空间向量，定义，其中表示x，y，z这三个数的最大值.
（1）已知，.
①直接写出和（用含的式子表示）；
②当，写出的最小值及此时的值；
（2）设，，求证：；
（3）在空间直角坐标系中，，，，点Q是内部的动点，直接写出的最小值（无需解答过程）.
【答案】（1）解：①，；
②，，此时
（2）解：
因为，，
所以，
所以.
（3）解：
【知识点】不等关系与不等式；共面向量定理；不等式的证明
【解析】【解答】 (3)由题意知Q，A，B，C四点共面，，又，，，，
由（2）知，
，
，当且仅当时等号成立.
【分析】 (1)①根据定义直接求解；②根据定义分和讨论写出，进而求其最小值，和此时x的值；
(2)根据定义结合三角不等式直接证明；
(3)由四点共面的充要条件结合定义及三角不等式求解，进而直接写出的最小值.
12．（2024高三上·普宁期中）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数有两个零点，且，求证：（其中是自然对数的底数）．
【答案】（1）解：函数定义域为，
，
当时，恒成立，所以当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减；
当时令，解得或，
当，即时恒成立，所以在上单调递增；
当即时，令，解得或，则在，上单调递增，
令，解得，则在上单调递减；
当即时，令，解得或，则在，上单调递增，
令，解得，则在上单调递减；
综上可得，当时在上单调递增，在上单调递减；
当时在上单调递增；
当时在上单调递增，在上单调递减；
当时在上单调递增，在上单调递减．
（2）解：因为，
由题意是方程的两个根，
①，②，
①②两式相加，得③，
①②两式相减，得④，
联立③④，得，
设，则由可得，
，
因为，
所以，则，
若，则一定有，
只需证明当时，不等式成立即可，
即不等式成立，
设函数，
在上单调递增，故时，，
即证得当时，，即证得，
，即证得，则．
【知识点】简单复合函数求导法则；利用导数研究函数的单调性；不等式的证明；函数的零点与方程根的关系；函数零点存在定理
【解析】【分析】 (1) 先确定函数的定义域，再对函数进行求导，然后分成这两种情况考虑函数的单调性，根据结果对进行分情况讨论求出单调性。
(2) 先将 带入函数化解得 又因为有两个零点，所以是方程的两个根，再分别把带入方程中，化解得令，则由可得，则不等式成立。
13．（2023高三上·成都开学考）已知函数f（x）＝xex+1．
（1）求f（x）过原点的切线方程；
（2）证明：当a≤﹣2时，对任意的正实数x，都有不等式f（x）
【答案】（1）解：∵f（x）＝xex+1，
∴f′（x）＝ex+1（x+1），
设f（x）过原点的切线切f（x）于点P（t，tet+1），
则P处的切线的斜率为：，
则切线方程为y﹣tet+1＝et+1（t+1）（x﹣t），又该切线过原点（0，0）
∴﹣tet+1＝et+1（t+1）（﹣t），
∴t＝t（t+1），∴t＝0，则f（x）过原点的切线方程y＝ex；
（2）证明：∵当a≤﹣2时，对任意的正实数x，有f（x）+1＝xex+1+1＞2，
∴ 对任意的正实数x有，f（x）﹣ax+1＞2x，①，
设g（x）＝x﹣sinx，x＞2，
则g′（x）＝1﹣cosx≥0，
∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴g（x）＞g（0）＝0，
即x﹣sinx＞0在（0，+∞）上恒成立，
∴2x＞2sinx，②，
由①②可得f（x）﹣ax+1＞2sinx，
故原命题得证．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；不等式的证明
【解析】【分析】(1)先利用导数的几何意义函数在点处切线的斜率，表示出切线方程，再把原点，代入即可求解.
（2）根据题意易得对任意的正实数x有： ，在构造函数，证明，从而可得，最后利用不等式的传递性，即可得证.
14．（2023高一下·宁波期末）已知数列中，，当时，其前项和满足：，且，数列满足：对任意有.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求数列的通项公式；
（3）设是数列的前项和，求证：.
【答案】（1）证明：，，
，即①
由题意，
将①式两边同除以，得，
数列是首项为，公差为1的等差数列.
（2）解：由（1）可知
当时， ，即，
当时，②，
则③，
②③，，即，
因为满足，
所以.
（3）证明：由（2）可知，
当时，，
当时，，
所以
.
所以.
【知识点】等差数列概念与表示；数列的递推公式；反证法与放缩法
【解析】【分析】 (1) 由和化简得，根据等差数列定义得数列是等差数列 ；
(2)由（1）得，当时，得 ，，当时，利用得；
(3)由（2）得，当时，，满足 ，当时，结合放缩法，利用累加法证得.
15．（2023高二下·韩城期末）已知，且．
（1）求的最小值；
（2）若成立，求的取值范围．
【答案】（1）解：由柯西不等式，
得：
即：，
，当且仅当时等号成立，
故：的最小值为
（2）解：由柯西不等式，
得：．
即： ，
当且仅当时取等号，只需，
解得：．
故：的取值范围为：
【知识点】一般形式的柯西不等式；柯西不等式的几何意义
【解析】【分析】 (1) 根据题意结合柯西不等式运算求解；
(2) 利用柯西不等式可得 ， 进而可得 ， 运算求解即可.
16．（2022·雅安模拟）已知函数．
（1）讨论在上的单调性；
（2）若时，方程有两个不等实根，，求证：．
【答案】（1）解：由题意得．
因为，所以．
当时，，，所以在上单调递减．
当时，令，则．
①若，则，当时，，所以在上单调递增；
②若，则，当时，，所以在上单调递减；当时，，所以在上单调递增．
综上，
当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）证明：方程，即，
因为，则，
令，，所以函数在上单调递增，
因为方程有两个实根，，令，，则关于t的方程也有两个实根，，且，
要证，即证，即证，即证，
由已知，
所以，
整理可得，
不妨设，
即证，
即证，
令，即证，其中，
构造函数，，
所以函数在上单调递增，当时，，故原不等式成立．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；不等式的证明
【解析】【分析】(1)对 求导，利用导数讨论函数在区间内的单调性；
(2)令，原不等式转化为证明，通过构造函数法，利用导数通过单调性证明.
17．（2023高二下·杭州期中）数列满足：，等比数列的前项和为，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列的前项和为，试证明.
【答案】（1）解：由数列满足，当时，，
所以
，
当时，满足上式，所以数列的通项公式为，
又由，可得，
可得，
当时，，所以，解得，
此时适合，所以数列的通项公式为.
（2）解：由，，可得，
则，
可得，
两式相减，可得
所以，
因为，所以.
【知识点】数列的概念及简单表示法；等比数列的通项公式；数列的求和；反证法与放缩法
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合递推公式和累加法以及检验法，从而得出数列的通项公式；再由数列的前n项和与数列的通项的关系式和检验法，进而得出数列 的通项公式。
（2） 利用数列的通项公式得出数列的通项公式，再结合错位相减的方法得出的前项和，再由放缩法证出不等式成立。
18．（2023高二下·安徽期中）已知数列的前项和为，满足且.
（1）求证：是等比数列；
（2）设，数列的前项和为，求证：.
【答案】（1）证明：由得：，
两式相减得，则，
所以，
又，则，解得，满足，
综上，，又，
所以是以3为首项，3为公比的等比数列.
（2）证明：由（1）知：，则，
，
由，故.
【知识点】等比数列概念与表示；数列的求和；反证法与放缩法
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合 的关系式和分类讨论的方法，再结合等比数列的定义，进而证出数列 是等比数列。
（2）利用已知条件结合等比数列的通项公式和 ，进而得出数列的通项公式，再结合裂项相消的方法得出数列的前项和，再利用放缩法证出不等式成立。
19．（2023·赣州模拟）已知函数.
（1），解不等式；
（2）证明：.
【答案】（1）解：由题设，
所以，不等式等价于或或，
解得或或，
所以原不等式的解集为.
（2）证明：法一：
（当且仅当时取等号）
（当且仅当时取等号）
（当且仅当时取等号），
所以（当且仅当时等号成立）.
法二：，
当时，；
当时，，
综上，结合各分段上一次函数的性质知：在单调递减，在上单调递增，
所以，（当且仅当时等号成立），
所以.
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；基本不等式在最值问题中的应用；绝对值三角不等式；含绝对值不等式的解法
【解析】【分析】（1）利用a的值得出函数的解析式，再结合零点分段法得出绝对值不等式的解集。
（2） 法一：利用已知条件结合绝对值三角不等式证出不等式成立。
法二：利用结合绝对值的定义和分类讨论的方法，从而得出分段函数的解析式，再结合分段函数的图象判断分段函数的单调性，进而得出分段函数的最小值，从而证出不等式
成立。
20．（2023·汕头模拟）已知为正项数列的前n项的乘积，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前n项和为，求（表示不超过x的最大整数）．
【答案】（1）解：由题意知为正项数列的前n项的乘积，，故，
所以，即，
所以，即，
所以，
当时，，解得，
所以，结合，可知数列 是常数列，
所以，所以，
所以．
（2）解：由（1）可得，
则，
由于，
故，且，
故，.
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；等比数列的前n项和；数列的求和；数列的递推公式；反证法与放缩法
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合递推公式和常数列的定义， 可知数列 是常数列， 再利用等差数列的通项公式得出数列的通项公式。
（2） 由（1）中数列的通项公式和 ，从而得出数列的通项公式，再结合分组求和的方法得出数列的前n项和，再结合放缩法和等比数列前n项和公式可得，且，故，从而得出的值。
21．（2023高三下·浙江月考）已知
（1）当时，求单调区间；
（2）当时，恒成立，求的取值范围；
（3）设，，证明：．
【答案】（1）解：当时，，，
，，（当且仅当时取等号），
恒成立，的单调递增区间为，无单调递减区间.
（2）解：当时，恒成立，即，恒成立；
方法一：，，使得在上单调递增，
当时，，，解得：；
当时，，
，，
设，则，
在上单调递增，，
，即满足题意；
综上所述：的取值范围为.
方法二：，
，，，
则由，恒成立得：；
，，
令，则，令，则，
①当，即时，方程的解为，
设，的对称轴为，当时，，
，其中，
则当，即时，；当时，即时，；
在上单调递减，在上单调递增，
，当时，，与，恒成立相矛盾，故舍去；
②当，即时，，即，
在上单调递增，，
即，恒成立；
综上所述：实数的取值范围为.
（3）证明：由（2）得：，；
令，，即，，
当时，，
化简得，，
，，，
累加得：，
，
即成立.
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；基本不等式在最值问题中的应用；数列的求和；反证法与放缩法
【解析】【分析】（1）利用a的值得出函数的解析式，再结合求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的单调区间。
（2） 当时，恒成立，即，恒成立。
方法一：利用，所以，使得在上单调递增，所以当时，，所以，从而得出实数a的取值范围，当时，，再利用，所以，
设，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的值域，从而结合不等式恒成立问题求解方法得出实数a的取值范围。
方法二：利用结合x的取值范围得出，，则由，恒成立得出a的取值范围，再利用，所以，令，则，令，再利用判别式法和二次函数的图象的对称性和求导的方法判断函数的单调性以及不等式恒成立问题求解方法，进而得出实数a的取值范围。
（3） 由（2）得：，；令，，即，，所以当时，，，再利用结合对数的运算法则得出，所以，再结合累加法证出不等式成立。
22．（2023·周至模拟）已知函数
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若，求的取值范围
【答案】（1）解：当时，由，即
当时，，解得；
当时，，无解；
当时，，解得，
综上所述：不等式的解集为
（2）解：∵，当且仅当时等号成立，则的最小值为
因为，所以
所以或
解得或
综上，即的取值范围为.
【知识点】函数的最大（小）值；绝对值三角不等式；含绝对值不等式的解法
【解析】【分析】（1）利用a的值得出函数的解析式，再结合已知条件和零点分段法得出绝对值不等式的解集。
（2）利用已知条件结合绝对三角不等式得出的最小值为，再结合，所以，再利用绝对值不等式求解方法得出实数的取值范围。
23．（2023·郑州模拟）已知．
（1）求不等式的解集；
（2）若的最小值为，正实数，，满足，求证： ．
【答案】（1）解：
即：
①当时，，解得；
②当时，，解得；
③当时，，无解，
综上：不等式的解集为．
（2）证明：方法1：，
当且仅当时等号成立．所以，所以，即.
方法2：由（1）知，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增，
所以，所以，即.
∴
，
当且仅当，即时，等号成立．
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；基本不等式在最值问题中的应用；绝对值三角不等式；含绝对值不等式的解法
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合零点分段法得出绝对值不等式的解集。
（2）方法一：利用已知条件结合绝对值三角不等式求最值的方法得出函数的最小值，进而得出m的值，从而得出a+b+c的值，再结合均值不等式变形求最值的方法证出不等式成立。
方法二： 由（1）知，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增， 再利用函数的单调性，进而得出函数的最小值，从而得出m的值，从而得出a+b+c的值，再利用均值不等式变形求最值的方法证出不等式成立。
24．（2023·上饶模拟）已知函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若对任意，恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）解：由题知，当时，，
所以，
因为，所以或或，
解得或或，
所以不等式的解集为.
（2）解：因为，
所以，
所以，所以，即，
所以，解得，
所以a的取值范围为.
【知识点】函数的最大（小）值；函数恒成立问题；绝对值三角不等式；含绝对值不等式的解法
【解析】【分析】（1）利用a的值得出函数的解析式，再结合零点分段法得出绝对值不等式的解集。
（2）利用已知条件结合绝对值三角不等式得出函数的最值，再结合不等式恒成立问题求解方法得出实数a的取值范围。
25．（2023高二上·定州期末）已知数列的前项和为，，．
（1）求数列的通项公式和前项和；
（2）设，数列的前项和记为，证明：
【答案】（1）解：由 ，得，
两式相减可得，即 ，
因为，则，
数列为，
即 ，；
当n为偶数时，，
当n为奇数时， ，
故 .
（2）证明：由 ，
得 ，
所以 .
【知识点】数列的概念及简单表示法；数列的求和；反证法与放缩法
【解析】【分析】(1) 由 ，得，两式相减可得 ，liy ，则，所以数列为，再利用数列的通项公式得出 ，，再利用分类讨论的方法和数列求和的方法得出数列的前项和。
（2）利用已知条件结合 ，进而得出数列 的通项公式，再结合裂项相消的方法得出数列 的前项和，再利用放缩法证出不等式 成立。
26．（2023·浙江模拟）已知为正实数，函数.
（1）若恒成立，求的取值范围；
（2）求证：（）.
【答案】（1）解：，
①若，即，，函数在区间单调递增，故，满足条件；
②若，即，当时，，函数单调递减，则，矛盾，不符合题意.
综上所述：.
（2）证明：先证右侧不等式，如下：
由（1）可得：当时，有，则，
即，即，
则有，
即，右侧不等式得证.
下证左侧不等式，如下：
构建，则在上恒成立，
故在上单调递减，则，
即，可得，即，
则有，
即，
∵，则，
故，左侧得证.
综上所述：不等式成立.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；反证法与放缩法
【解析】【分析】(1)利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的值域，再结合反证法和不等式恒成立问题求解方法，进而得出实数 的取值范围。
（2）利用已知条件结合构造法和不等式恒成立问题求解方法，再结合求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的值域，再利用放缩法证出不等式 成立。
27．（2023高二上·长春期末）已知等差数列满足：，，数列的前项和是．
（1）求及；
（2）令，求数列的前项和的取值范围．
【答案】（1）解：由数列为等差数列，则设其公差为，由，，则，解得，
故，.
（2）解：由（1）可知，，
则
.
显然，
因为，，则.
【知识点】等差数列的前n项和；数列的求和；等差数列的性质；反证法与放缩法
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等差数列的性质，进而二次公差的值，再结合等差数列的性质得出等差数列的通项公式，再结合等差数列前n项和公式得出等差数列的前n项和。
（2） 利用等差数列的通项公式结合，进而求出数列的通项公式，再结合放缩法得出数列的前项和的取值范围。
28．（2023高一上·深圳期末）已知函数，以下证明可能用到下列结论：时，①；②．
（1），求证：；
（2）证明：．
【答案】（1）解：由已知时，，
用代换得，再以代换得，
即，即，得证
（2）证明：由（1）可知时，
则，
令得，
令得，
令得，
相加得
，（）
【知识点】综合法的思考过程、特点及应用；反证法与放缩法
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合x的取值范围和换元法以及对数的运算法则，从而证出不等式 成立。
（2） 由（1）可知时，，则， 再结合赋值法和累加法证出不等式 成立。
29．（2022高二上·福建期中）已知数列中，前n项的和为，且
（1）求数列的通项公式；
（2）如果恒成立，求最小值.
【答案】（1）解：①，②，
①-②得，即
所以数列是以为公比的等比数列，
又，即，
所以
（2）解：，
则
所以，
两式相减，得
得
所以，
解不等式得
【知识点】函数恒成立问题；数列的概念及简单表示法；等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的求和；反证法与放缩法
【解析】【分析】（1）利用 的关系式和分类讨论的方法，再结合等比数列的定义，进而判断出数列是以为公比的等比数列，再利用检验法和等比数列的通项公式得出数列的通项公式。
（2）利用已知条件结合错位相减的方法和不等式恒成立问题求解方法，进而得出实数n的取值范围，从而得出n的最小值。
1 / 1备考2024年高考数学冲刺专题特训：不等式
一、多项选择题
1．（2023高一上·淮安期中）已知，，则下列选项一定正确的是（　　）
A． B．的最大值为
C．的最大值为2 D．
2．（2023·连云模拟）利用“”可得到许多与n（且）有关的结论，则正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2022高二上·长沙期中）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列，正方形数构成数列，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．1225既是三角形数，又是正方形数
C．
D．，总存在，使得成立
二、填空题
4．（2023高二上·东莞开学考）在平面直角坐标系中，点为单位圆上的任一点，、．若，则的最大值为　 　．
5．（2023高三上·湛江开学考）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为　 　．
6．（2023·长宁模拟）若对任意，均有，则实数a的取值范围为　 　．
三、解答题
7．（2024咸阳高考模拟）已知函数.
（1）当时，求过点且和曲线相切的直线方程；
（2）若对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.
8．（2023高三上·成都月考）已知函数，.
（1）求函数的单调性；
（2）当时，求证：.
请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.
9．（2024高三上·台州模拟）设
（1）求证：；
（2）若恒成立，求整数的最大值．（参考数据，）
10．（2023高三上·中山月考）已知数列是公比大于0的等比数列，，.数列满足：（）.
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：是等比数列；
（3）证明：.
11．（2023高二上·顺义期中）对于空间向量，定义，其中表示x，y，z这三个数的最大值.
（1）已知，.
①直接写出和（用含的式子表示）；
②当，写出的最小值及此时的值；
（2）设，，求证：；
（3）在空间直角坐标系中，，，，点Q是内部的动点，直接写出的最小值（无需解答过程）.
12．（2024高三上·普宁期中）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数有两个零点，且，求证：（其中是自然对数的底数）．
13．（2023高三上·成都开学考）已知函数f（x）＝xex+1．
（1）求f（x）过原点的切线方程；
（2）证明：当a≤﹣2时，对任意的正实数x，都有不等式f（x）
14．（2023高一下·宁波期末）已知数列中，，当时，其前项和满足：，且，数列满足：对任意有.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求数列的通项公式；
（3）设是数列的前项和，求证：.
15．（2023高二下·韩城期末）已知，且．
（1）求的最小值；
（2）若成立，求的取值范围．
16．（2022·雅安模拟）已知函数．
（1）讨论在上的单调性；
（2）若时，方程有两个不等实根，，求证：．
17．（2023高二下·杭州期中）数列满足：，等比数列的前项和为，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列的前项和为，试证明.
18．（2023高二下·安徽期中）已知数列的前项和为，满足且.
（1）求证：是等比数列；
（2）设，数列的前项和为，求证：.
19．（2023·赣州模拟）已知函数.
（1），解不等式；
（2）证明：.
20．（2023·汕头模拟）已知为正项数列的前n项的乘积，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前n项和为，求（表示不超过x的最大整数）．
21．（2023高三下·浙江月考）已知
（1）当时，求单调区间；
（2）当时，恒成立，求的取值范围；
（3）设，，证明：．
22．（2023·周至模拟）已知函数
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若，求的取值范围
23．（2023·郑州模拟）已知．
（1）求不等式的解集；
（2）若的最小值为，正实数，，满足，求证： ．
24．（2023·上饶模拟）已知函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若对任意，恒成立，求的取值范围．
25．（2023高二上·定州期末）已知数列的前项和为，，．
（1）求数列的通项公式和前项和；
（2）设，数列的前项和记为，证明：
26．（2023·浙江模拟）已知为正实数，函数.
（1）若恒成立，求的取值范围；
（2）求证：（）.
27．（2023高二上·长春期末）已知等差数列满足：，，数列的前项和是．
（1）求及；
（2）令，求数列的前项和的取值范围．
28．（2023高一上·深圳期末）已知函数，以下证明可能用到下列结论：时，①；②．
（1），求证：；
（2）证明：．
29．（2022高二上·福建期中）已知数列中，前n项的和为，且
（1）求数列的通项公式；
（2）如果恒成立，求最小值.
答案解析部分
1．【答案】B,D
【知识点】二次函数与一元二次不等式的对应关系；基本不等式；二维形式的柯西不等式
【解析】【解答】解：A. ， ，当且仅当时取等，A错误；
B. ，当且仅当时取等，的最大值为 ，B正确；
C. ，，，， ，C错误；
D.，当且仅当即时取等，D正确.
故答案为：BD.
【分析】A.利用柯西不等式 求解判断；B.直接利用基本不等式求解判断；C.代入，根据二次函数结合 的取值范围分析求解；D.“1”的代换，结合基本不等式求解判断.
2．【答案】A,B,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；反证法与放缩法
【解析】【解答】令，则，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
故在处取得极小值，也时最小值，，
故，当且仅当时，等号成立，
A选项，令，所以，
故，
其中
，
所以，A符合题意；
B选项，将中的替换为，可得，，
当且仅当时等号成立，
令，可得，
所以，
故，
其中
所以，B符合题意；
C选项，将中的替换为，显然，
则，
故，
故，C不符合题意；
D选项，将中的替换为，其中，，则，
则，故，当且仅当时，等号成立，
则，D符合题意.
故答案为：ABD
【分析】利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最值，再结合替换法和放缩法得出结论正确的选项。
3．【答案】B,C,D
【知识点】函数恒成立问题；数列的求和；归纳推理；反证法与放缩法
【解析】【解答】三角形数构成数列：1，3，6，10，…，则有
，利用累加法，
得，得到；n=1成立
正方形数构成数列：1，4，9，16，…，则有
，利用累加法，
得，得到，n=1成立
对于A，，利用裂项求和法：，A不符合题意；
对于B，令，解得；令，解得；B符合题意；
对于C，，则
，
整理得，，C符合题意；
对于D，取，且，则令，则有，故，总存在，使得成立，D符合题意；
故答案为：BCD
【分析】利用已知条件结合归纳推理的方法、累加法、数列求和的方法、放缩法、恒成立问题求解方法，进而找出说法正确的选项。
4．【答案】
【知识点】平面向量的坐标运算；圆的标准方程；二维形式的柯西不等式
【解析】【解答】解：设 ，由题意得，，
，，即， ，当且仅当时取等，故的最大值为.
故答案为：.
【分析】由题意得点P坐标满足，再利用，求出关于的关系，利用柯西不等式求其最大值.
5．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；反证法与放缩法
【解析】【解答】解：由题意得 在上恒成立，，，令，
当时，，令，
又，在单调递增，，符合题意，
当时，，存在，使得，当时，，不符合题意， .
故答案为： .
【分析】对 求导，令在上恒成立，进而求解实数的取值范围.
6．【答案】
【知识点】函数恒成立问题；绝对值三角不等式
【解析】【解答】因为在绝对值三角不等式中，当同号时有，
又因为，
所以在恒成立，
所以或在恒成立，
即有或在恒成立，
由，解得，
由，解得，
综上所述，实数a的取值范围为.
故答案为：
【分析】利用已知条件结合绝对值三角不等式和不等式恒成立问题求解方法，进而得出实数a的取值范围。
7．【答案】（1）：当时，，
设切点为，直线斜率为，
则切线方程为.
又因为该直线过点，所以，即，显然
记，当时，；当时，，
所以在上单调递增，
又，所以，
故切线方程为.
（2）解：当时，由，可得，
即，
构造函数，其中，则，
所以函数在上为增函数.
由，可得，
所以，
即，其中.
令，其中，则.
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以，即.
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用；不等式的证明
【解析】【分析】（1）当a=1时，对f(x)求导，设切点坐标为，可切线方程为，根据直线过点，可得，分析即可求解；
（2） 对任意实数，不等式恒成立， 可得整理得，构造函数求导即可证明.
8．【答案】（1）解：因为，
若，则，在R上单调递增；
若，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增.
综上，当时，在R上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）解：当时，要成立.
即证成立，
①当时，设函数，
，
在上单调递增.
.
成立.
②当时，要证成立，
即证.
设函数，
，
由在上单调递增，且.
当，，单调递减；
当，，单调递增.
.
设函数，
.
在上单调递减.
.
，上式得证.
综上所述，成立.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；不等式的证明；基本初等函数导函数公式
【解析】【分析】（1）求导，然后分和分别讨论判断函数的单调性即可；
（2）当时，设函数，求导利用导数判断其单调性，从而证明不等式；
当时，转化为证明，设函数，设函数，分别求导判断单调性，求出函数最值即可得结论.
9．【答案】（1）证明：要证：，（且），
只要证：，因为与同号，只要证：，即证：．
令，（，），，
由，得，所以在上递减，在上递增，
所以，故原不等式得证．
（2）解：因为，当时，有，
则，所以整数．
当时，由（1）可得，
下证：，，只要证：．
令，，
因为，
所以在上单调递减，故，所以得证．
综上所述，整数的最大值为2．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；不等式的证明
【解析】【分析】（1）将问题转化成求证，，构造函数，通过求导利用导数与函数单调性间的关系，得出的单调区间，从而求出函数的最小值，即可证明；
（2）通过取值，得出，再利用（1）结果，当时，由（Ⅰ）可得，再通过构造函数，求导判断其单调性，从而得函数最值即可得出结果.
10．【答案】（1）解：设等比数列的公比为，则，
则，所以，
又.
（2）解：所以，
所以，且，
所以数列是首项为8，公比为的等比数列；
（3）解：由题意知，，
所以，
所以，
设，
则，
两式相减得，
所以，
所以.
【知识点】等比数列概念与表示；数列的求和；反证法与放缩法；数列的通项公式
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等比数列的通项公式得出公比的值，再利用等比数列的通项公式得出数列的通项公式，再结合（）得出数列的通项公式。
（2）利用（1）得出的数列的通项公式和等比数列的定义，进而证出数列是等比数列。
（3）利用（1）得出的数列的通项公式结合错位相减的方法和放缩法，从而证出不等式 成立。
11．【答案】（1）解：①，；
②，，此时
（2）解：
因为，，
所以，
所以.
（3）解：
【知识点】不等关系与不等式；共面向量定理；不等式的证明
【解析】【解答】 (3)由题意知Q，A，B，C四点共面，，又，，，，
由（2）知，
，
，当且仅当时等号成立.
【分析】 (1)①根据定义直接求解；②根据定义分和讨论写出，进而求其最小值，和此时x的值；
(2)根据定义结合三角不等式直接证明；
(3)由四点共面的充要条件结合定义及三角不等式求解，进而直接写出的最小值.
12．【答案】（1）解：函数定义域为，
，
当时，恒成立，所以当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减；
当时令，解得或，
当，即时恒成立，所以在上单调递增；
当即时，令，解得或，则在，上单调递增，
令，解得，则在上单调递减；
当即时，令，解得或，则在，上单调递增，
令，解得，则在上单调递减；
综上可得，当时在上单调递增，在上单调递减；
当时在上单调递增；
当时在上单调递增，在上单调递减；
当时在上单调递增，在上单调递减．
（2）解：因为，
由题意是方程的两个根，
①，②，
①②两式相加，得③，
①②两式相减，得④，
联立③④，得，
设，则由可得，
，
因为，
所以，则，
若，则一定有，
只需证明当时，不等式成立即可，
即不等式成立，
设函数，
在上单调递增，故时，，
即证得当时，，即证得，
，即证得，则．
【知识点】简单复合函数求导法则；利用导数研究函数的单调性；不等式的证明；函数的零点与方程根的关系；函数零点存在定理
【解析】【分析】 (1) 先确定函数的定义域，再对函数进行求导，然后分成这两种情况考虑函数的单调性，根据结果对进行分情况讨论求出单调性。
(2) 先将 带入函数化解得 又因为有两个零点，所以是方程的两个根，再分别把带入方程中，化解得令，则由可得，则不等式成立。
13．【答案】（1）解：∵f（x）＝xex+1，
∴f′（x）＝ex+1（x+1），
设f（x）过原点的切线切f（x）于点P（t，tet+1），
则P处的切线的斜率为：，
则切线方程为y﹣tet+1＝et+1（t+1）（x﹣t），又该切线过原点（0，0）
∴﹣tet+1＝et+1（t+1）（﹣t），
∴t＝t（t+1），∴t＝0，则f（x）过原点的切线方程y＝ex；
（2）证明：∵当a≤﹣2时，对任意的正实数x，有f（x）+1＝xex+1+1＞2，
∴ 对任意的正实数x有，f（x）﹣ax+1＞2x，①，
设g（x）＝x﹣sinx，x＞2，
则g′（x）＝1﹣cosx≥0，
∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴g（x）＞g（0）＝0，
即x﹣sinx＞0在（0，+∞）上恒成立，
∴2x＞2sinx，②，
由①②可得f（x）﹣ax+1＞2sinx，
故原命题得证．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；不等式的证明
【解析】【分析】(1)先利用导数的几何意义函数在点处切线的斜率，表示出切线方程，再把原点，代入即可求解.
（2）根据题意易得对任意的正实数x有： ，在构造函数，证明，从而可得，最后利用不等式的传递性，即可得证.
14．【答案】（1）证明：，，
，即①
由题意，
将①式两边同除以，得，
数列是首项为，公差为1的等差数列.
（2）解：由（1）可知
当时， ，即，
当时，②，
则③，
②③，，即，
因为满足，
所以.
（3）证明：由（2）可知，
当时，，
当时，，
所以
.
所以.
【知识点】等差数列概念与表示；数列的递推公式；反证法与放缩法
【解析】【分析】 (1) 由和化简得，根据等差数列定义得数列是等差数列 ；
(2)由（1）得，当时，得 ，，当时，利用得；
(3)由（2）得，当时，，满足 ，当时，结合放缩法，利用累加法证得.
15．【答案】（1）解：由柯西不等式，
得：
即：，
，当且仅当时等号成立，
故：的最小值为
（2）解：由柯西不等式，
得：．
即： ，
当且仅当时取等号，只需，
解得：．
故：的取值范围为：
【知识点】一般形式的柯西不等式；柯西不等式的几何意义
【解析】【分析】 (1) 根据题意结合柯西不等式运算求解；
(2) 利用柯西不等式可得 ， 进而可得 ， 运算求解即可.
16．【答案】（1）解：由题意得．
因为，所以．
当时，，，所以在上单调递减．
当时，令，则．
①若，则，当时，，所以在上单调递增；
②若，则，当时，，所以在上单调递减；当时，，所以在上单调递增．
综上，
当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）证明：方程，即，
因为，则，
令，，所以函数在上单调递增，
因为方程有两个实根，，令，，则关于t的方程也有两个实根，，且，
要证，即证，即证，即证，
由已知，
所以，
整理可得，
不妨设，
即证，
即证，
令，即证，其中，
构造函数，，
所以函数在上单调递增，当时，，故原不等式成立．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；不等式的证明
【解析】【分析】(1)对 求导，利用导数讨论函数在区间内的单调性；
(2)令，原不等式转化为证明，通过构造函数法，利用导数通过单调性证明.
17．【答案】（1）解：由数列满足，当时，，
所以
，
当时，满足上式，所以数列的通项公式为，
又由，可得，
可得，
当时，，所以，解得，
此时适合，所以数列的通项公式为.
（2）解：由，，可得，
则，
可得，
两式相减，可得
所以，
因为，所以.
【知识点】数列的概念及简单表示法；等比数列的通项公式；数列的求和；反证法与放缩法
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合递推公式和累加法以及检验法，从而得出数列的通项公式；再由数列的前n项和与数列的通项的关系式和检验法，进而得出数列 的通项公式。
（2） 利用数列的通项公式得出数列的通项公式，再结合错位相减的方法得出的前项和，再由放缩法证出不等式成立。
18．【答案】（1）证明：由得：，
两式相减得，则，
所以，
又，则，解得，满足，
综上，，又，
所以是以3为首项，3为公比的等比数列.
（2）证明：由（1）知：，则，
，
由，故.
【知识点】等比数列概念与表示；数列的求和；反证法与放缩法
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合 的关系式和分类讨论的方法，再结合等比数列的定义，进而证出数列 是等比数列。
（2）利用已知条件结合等比数列的通项公式和 ，进而得出数列的通项公式，再结合裂项相消的方法得出数列的前项和，再利用放缩法证出不等式成立。
19．【答案】（1）解：由题设，
所以，不等式等价于或或，
解得或或，
所以原不等式的解集为.
（2）证明：法一：
（当且仅当时取等号）
（当且仅当时取等号）
（当且仅当时取等号），
所以（当且仅当时等号成立）.
法二：，
当时，；
当时，，
综上，结合各分段上一次函数的性质知：在单调递减，在上单调递增，
所以，（当且仅当时等号成立），
所以.
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；基本不等式在最值问题中的应用；绝对值三角不等式；含绝对值不等式的解法
【解析】【分析】（1）利用a的值得出函数的解析式，再结合零点分段法得出绝对值不等式的解集。
（2） 法一：利用已知条件结合绝对值三角不等式证出不等式成立。
法二：利用结合绝对值的定义和分类讨论的方法，从而得出分段函数的解析式，再结合分段函数的图象判断分段函数的单调性，进而得出分段函数的最小值，从而证出不等式
成立。
20．【答案】（1）解：由题意知为正项数列的前n项的乘积，，故，
所以，即，
所以，即，
所以，
当时，，解得，
所以，结合，可知数列 是常数列，
所以，所以，
所以．
（2）解：由（1）可得，
则，
由于，
故，且，
故，.
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；等比数列的前n项和；数列的求和；数列的递推公式；反证法与放缩法
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合递推公式和常数列的定义， 可知数列 是常数列， 再利用等差数列的通项公式得出数列的通项公式。
（2） 由（1）中数列的通项公式和 ，从而得出数列的通项公式，再结合分组求和的方法得出数列的前n项和，再结合放缩法和等比数列前n项和公式可得，且，故，从而得出的值。
21．【答案】（1）解：当时，，，
，，（当且仅当时取等号），
恒成立，的单调递增区间为，无单调递减区间.
（2）解：当时，恒成立，即，恒成立；
方法一：，，使得在上单调递增，
当时，，，解得：；
当时，，
，，
设，则，
在上单调递增，，
，即满足题意；
综上所述：的取值范围为.
方法二：，
，，，
则由，恒成立得：；
，，
令，则，令，则，
①当，即时，方程的解为，
设，的对称轴为，当时，，
，其中，
则当，即时，；当时，即时，；
在上单调递减，在上单调递增，
，当时，，与，恒成立相矛盾，故舍去；
②当，即时，，即，
在上单调递增，，
即，恒成立；
综上所述：实数的取值范围为.
（3）证明：由（2）得：，；
令，，即，，
当时，，
化简得，，
，，，
累加得：，
，
即成立.
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；基本不等式在最值问题中的应用；数列的求和；反证法与放缩法
【解析】【分析】（1）利用a的值得出函数的解析式，再结合求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的单调区间。
（2） 当时，恒成立，即，恒成立。
方法一：利用，所以，使得在上单调递增，所以当时，，所以，从而得出实数a的取值范围，当时，，再利用，所以，
设，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的值域，从而结合不等式恒成立问题求解方法得出实数a的取值范围。
方法二：利用结合x的取值范围得出，，则由，恒成立得出a的取值范围，再利用，所以，令，则，令，再利用判别式法和二次函数的图象的对称性和求导的方法判断函数的单调性以及不等式恒成立问题求解方法，进而得出实数a的取值范围。
（3） 由（2）得：，；令，，即，，所以当时，，，再利用结合对数的运算法则得出，所以，再结合累加法证出不等式成立。
22．【答案】（1）解：当时，由，即
当时，，解得；
当时，，无解；
当时，，解得，
综上所述：不等式的解集为
（2）解：∵，当且仅当时等号成立，则的最小值为
因为，所以
所以或
解得或
综上，即的取值范围为.
【知识点】函数的最大（小）值；绝对值三角不等式；含绝对值不等式的解法
【解析】【分析】（1）利用a的值得出函数的解析式，再结合已知条件和零点分段法得出绝对值不等式的解集。
（2）利用已知条件结合绝对三角不等式得出的最小值为，再结合，所以，再利用绝对值不等式求解方法得出实数的取值范围。
23．【答案】（1）解：
即：
①当时，，解得；
②当时，，解得；
③当时，，无解，
综上：不等式的解集为．
（2）证明：方法1：，
当且仅当时等号成立．所以，所以，即.
方法2：由（1）知，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增，
所以，所以，即.
∴
，
当且仅当，即时，等号成立．
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；基本不等式在最值问题中的应用；绝对值三角不等式；含绝对值不等式的解法
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合零点分段法得出绝对值不等式的解集。
（2）方法一：利用已知条件结合绝对值三角不等式求最值的方法得出函数的最小值，进而得出m的值，从而得出a+b+c的值，再结合均值不等式变形求最值的方法证出不等式成立。
方法二： 由（1）知，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增， 再利用函数的单调性，进而得出函数的最小值，从而得出m的值，从而得出a+b+c的值，再利用均值不等式变形求最值的方法证出不等式成立。
24．【答案】（1）解：由题知，当时，，
所以，
因为，所以或或，
解得或或，
所以不等式的解集为.
（2）解：因为，
所以，
所以，所以，即，
所以，解得，
所以a的取值范围为.
【知识点】函数的最大（小）值；函数恒成立问题；绝对值三角不等式；含绝对值不等式的解法
【解析】【分析】（1）利用a的值得出函数的解析式，再结合零点分段法得出绝对值不等式的解集。
（2）利用已知条件结合绝对值三角不等式得出函数的最值，再结合不等式恒成立问题求解方法得出实数a的取值范围。
25．【答案】（1）解：由 ，得，
两式相减可得，即 ，
因为，则，
数列为，
即 ，；
当n为偶数时，，
当n为奇数时， ，
故 .
（2）证明：由 ，
得 ，
所以 .
【知识点】数列的概念及简单表示法；数列的求和；反证法与放缩法
【解析】【分析】(1) 由 ，得，两式相减可得 ，liy ，则，所以数列为，再利用数列的通项公式得出 ，，再利用分类讨论的方法和数列求和的方法得出数列的前项和。
（2）利用已知条件结合 ，进而得出数列 的通项公式，再结合裂项相消的方法得出数列 的前项和，再利用放缩法证出不等式 成立。
26．【答案】（1）解：，
①若，即，，函数在区间单调递增，故，满足条件；
②若，即，当时，，函数单调递减，则，矛盾，不符合题意.
综上所述：.
（2）证明：先证右侧不等式，如下：
由（1）可得：当时，有，则，
即，即，
则有，
即，右侧不等式得证.
下证左侧不等式，如下：
构建，则在上恒成立，
故在上单调递减，则，
即，可得，即，
则有，
即，
∵，则，
故，左侧得证.
综上所述：不等式成立.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；反证法与放缩法
【解析】【分析】(1)利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的值域，再结合反证法和不等式恒成立问题求解方法，进而得出实数 的取值范围。
（2）利用已知条件结合构造法和不等式恒成立问题求解方法，再结合求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的值域，再利用放缩法证出不等式 成立。
27．【答案】（1）解：由数列为等差数列，则设其公差为，由，，则，解得，
故，.
（2）解：由（1）可知，，
则
.
显然，
因为，，则.
【知识点】等差数列的前n项和；数列的求和；等差数列的性质；反证法与放缩法
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等差数列的性质，进而二次公差的值，再结合等差数列的性质得出等差数列的通项公式，再结合等差数列前n项和公式得出等差数列的前n项和。
（2） 利用等差数列的通项公式结合，进而求出数列的通项公式，再结合放缩法得出数列的前项和的取值范围。
28．【答案】（1）解：由已知时，，
用代换得，再以代换得，
即，即，得证
（2）证明：由（1）可知时，
则，
令得，
令得，
令得，
相加得
，（）
【知识点】综合法的思考过程、特点及应用；反证法与放缩法
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合x的取值范围和换元法以及对数的运算法则，从而证出不等式 成立。
（2） 由（1）可知时，，则， 再结合赋值法和累加法证出不等式 成立。
29．【答案】（1）解：①，②，
①-②得，即
所以数列是以为公比的等比数列，
又，即，
所以
（2）解：，
则
所以，
两式相减，得
得
所以，
解不等式得
【知识点】函数恒成立问题；数列的概念及简单表示法；等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的求和；反证法与放缩法
【解析】【分析】（1）利用 的关系式和分类讨论的方法，再结合等比数列的定义，进而判断出数列是以为公比的等比数列，再利用检验法和等比数列的通项公式得出数列的通项公式。
（2）利用已知条件结合错位相减的方法和不等式恒成立问题求解方法，进而得出实数n的取值范围，从而得出n的最小值。
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