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备考2024年高考数学提升专题特训：集合与常用逻辑用语
一、解答题
1．（2023高一上·齐齐哈尔期中）已知集合.
（1）若，求，的值；
（2）若，且，求，的值.
2．（2023高一上·天河月考）已知集合．
（1）若集合，且，求a的值；
（2）若集合，且A与C有包含关系，求a的取值范围．
3．（2023高一上·天河月考）已知集合具有性质P：对任意，与至少一个属于A．
（1）分别判断集合，与是否具有性质P，并说明理由；
（2）证明：；
（3）具有性质P，当时，求集合A．
4．（2024·宁德模拟）已知全集，集合，，.
（1）求；
（2）若，求实数的取值范围.
5．（2024高一上·涟源期末）已知，，.
（1）求，及；
（2）若，求的取值范围.
6．（2023高一上·成都月考） 设为实数，，集合，．
（1）若，求，；
（2）若，求实数的取值范围．
7．（2024高一上·南山期末）已知集合.
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围.
8．（2024高一上·闵行期末）设集合.
（1）若，试用区间表示集合，并求；
（2）若，求不等式的解集.
9．（2017高一上·孝感期中）已知A={x|3≤x≤7}，B={x|2a＜x＜a+4}．
（1）当a=1时，求A∩B和A∪B；
（2）若A∩B= ，求实数a的取值范围．
10．（2019高一上·分宜月考）已知集合A＝{x|ax2﹣3x+1＝0，a∈R}．
（1）若A是空集，求a的取值范围；
（2）若A中至多只有一个元素，求a的取值范围．
11．（2024高一上·辽源期末）已知集合，．
（1）求集合；
（2）设集合，且，求实数的取值范围．
12．命题甲：集合为空集；命题乙：关于的不等式的解集为.
（1）“”是命题乙的什么条件？并证明；
（2）若命题甲、乙中有且只有一个是真命题，求实数的取值范围.
13．（2018高一上·建平期中）已知命题p：关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根；命题q：关于x的一元二次方程 对于任意实数a都没有实数根．
（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；
（2）若命题p和命题q中有且只有一个为真命题，求实数m的取值范围．
14．（2018高二下·定远期末）设命题 幂函数 在 上单调递减。命题 在 上有解；
若 为假， 为真，求 的取值范围.
15．（2023高一上·鹤山月考）已知命题：“，都有不等式成立”是真命题.
（1）求实数的取值集合；
（2）设不等式解集为，若是的充分条件，求实数的取值范围.
16．（2023高一上·重庆市月考）设不等式的解集为，关于x的不等式的解集为．
（1）求集合；
（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
17．（2023高一上·东莞月考）已知幂函数在上单调递增，函数.
（1）求的值；
（2）记，在区间上的值域分别为集合A，B，若是的必要条件，求实数k的取值范围.
18．（2022高一上·金坛期中）设命题，命题.
（1）若命题p为真命题，求实数的取值范围；
（2）若命题p，q为一真一假，求实数的取值范围.
19．（2022高二上·西安期中）已知命题p：表示焦点在x轴的双曲线，命题q：是增函数，若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围．
20．（2024高一上·浠水期末）集合，.
（1）求
（2）若“则”是假命题，求实数a的取值范围；
答案解析部分
1．【答案】（1）解：若，
则有，解得；
（2）解：，
因为，
所以，解得.
【知识点】元素与集合的关系；集合相等；集合关系中的参数取值问题；一元二次方程的解集
【解析】【分析】 (1) 可知 仅有一个实根1，结合二次方程分析求解；
（2）由题意可知的实根为和，结合二次方程分析求解.
2．【答案】（1）解：因为，且，所以或，
解得或，故．
（2）解：因为A与C有包含关系，，至多只有两个元素，
所以．
当时，，满足题意；
当时，当时，，解得，满足题意；
当时，且，此时无解；
当时，且，此时无解；
当时，且，此时无解；
综上，a的取值范围为．
【知识点】集合的确定性、互异性、无序性；集合相等；集合关系中的参数取值问题
【解析】【分析】 (1) 根据集合相等结合集合的互异性分析求解；
(2) 由已知可得 ，分 和 两种情况，结合包含关系分析求解.
3．【答案】（1）解：集合具有性质P，集合不具有性质P理由如下：
对集合，由于，，，，，
所以集合M具有性质P；
对集合，由于，，故集合N不具有性质P．
（2）证明：由于，∴，则，故，∴，故得证．
（3）解：由于，∴，故，∴，
又，∴，故，
又，故，∴．
因此集合．
【知识点】元素与集合的关系
【解析】【分析】 (1) 根据 性质P的定义分析判断；
(2) 取元素，结合性质P分析证明；
(3) 根据题意结合性质P分析求解.
4．【答案】（1）解：由题意，，解得，
即集合，则或，
又，所以；
（2）解：，，
若，则，解得；
若，则，解得.
故的取值范围是或.
【知识点】集合关系中的参数取值问题；交、并、补集的混合运算；子集与交集、并集运算的转换
【解析】【分析】（1）先求出集合B，然后根据交集、补集定义即可求解.
（2）先根据并集定义求出A、B并集，然后讨论、，结合数轴，列出不等式（组），解出即可.
5．【答案】（1）解：已知，，
则有，，
（2），，
，则，即的取值范围为.
【知识点】集合关系中的参数取值问题；并集及其运算；交集及其运算；补集及其运算
【解析】【分析】 (1) 根据集合的交并补运算求解；
(2) 根据包含关系分析求解.
6．【答案】（1）解：由可得：，则，
所以，
当时，，
所以，
或.
（2）解：易知恒成立，即
或
解得或
所以.
【知识点】集合关系中的参数取值问题；交、并、补集的混合运算；指、对数不等式的解法
【解析】【分析】（1）解对数不等式求集合A，将代入求得集合B，再利用集合的交集、并集补集的运算求解即可；
（2）根据得出关于m的不等式，由此求出实数m的取值范围.
7．【答案】（1）解：若，则，
由，解得，
（2）解：由可知，，
①若，则，解得，
②若，即，则
解得，
综上所述，实数的取值范围为.
【知识点】补集及其运算；子集与交集、并集运算的转换
【解析】【分析】（1）利用a的值得出集合A，再利用指数函数的单调性得出集合B，再结合补集的运算法则得出集合；
（2）由可知，，再利用分类讨论的方法和集合间的包含关系以及空集的定义，进而借助数轴求出实数a的取值范围.
8．【答案】（1）解：由题意可得：，解得：得，
因为，所以，即解得
故，
所以.
（2）解：由题意得有两个根为1和5，由韦达定理定理可得：所以，
则的解集为.
【知识点】并集及其运算；一元二次不等式；一元二次不等式及其解法；其他不等式的解法
【解析】【分析】本题主要考查含绝对值不等式，一元二次不等式的解法、并集的运算、一元二次方程与一元二次不等式的联系，（1）根据含绝对值不等式的解法得到：，从而结合A集合在将b=4，代入B集合的一元二次不等式解得B集合，在根据并集的运算即可求解；
（2）根据题意可得有两个根为1和5，由韦达定理定理可得：所以，解出原不等式即可求解.
9．【答案】（1）解：a=1时，A={x|3≤x≤7}，B={x|2＜x＜5}，
故A∩B={x|3≤x＜5}，A∪B={x|2＜x≤7}
（2）解：∵A={x|3≤x≤7}，B={x|2a＜x＜a+4}．A∩B= ，
∴当B= 时，2a≥a+4，则a≥4；
当B≠ 时，2a＜a+4，则a＜4，由A∩B= ，
得 或 解得a≤﹣1或 ，
综上可知，a的取值范围是
【知识点】交集及其运算
【解析】【分析】（1）借助数轴；（2）根据B=和B≠两种情况借助数轴列出不等式.
10．【答案】（1）解：由题意，集合 ，则方程 无实数根，
则 ，解得 ，
所以当A是空集， 的取值范围为 ．
（2）解：由题意，集合A中至多只有一个元素，则 或A中只有一个元素，
①当 时，由（1）得 ；
②当A中只有一个元素时，则 或 ，
解得 或 ．
综上，若A中至多只有一个元素，a的取值范围为{a| 或 ．
【知识点】集合的分类；集合中元素的个数问题
【解析】【分析】（1）当 时，得到方程 无实数根，结合一元二次方程的性质，即可求解；（2）由集合A中至多只有一个元素，则 或A中只有一个元素，结合一元二次方程的性质，即可求解.
11．【答案】（1）∵，∴．
（2）∵，∴，
∴，解得.
【知识点】并集及其运算；交集及其运算；全集及其运算；交、并、补集的混合运算
【解析】【分析】本题主要考查补集的运算、补集的运算，（1）根据补集的运算即可求解；
（2）根据并集的运算可得：，再根据子集的定义可得：，解出a的取值范围即可求解.
12．【答案】（1）解：命题甲为真命题，则集合为空集，
当时，，解得，
当时，方程为，无解，满足题意，
综上，；
命题乙为真命题，则关于的不等式的解集为，
，解得，
因为命题乙为真命题时，又，即，
所以，但，
所以是命题乙的充分不必要条件；
（2）解：因为命题甲、乙中有且只有一个是真命题，所以分两种情况讨论：
①当甲命题为真，乙命题为假时，
有或，解得；
②当甲命题为假，乙命题为真时，
有或，解得或，
综上，实数的取值范围为：.
【知识点】空集；四种命题；必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】(1)集合为空集，分和两种情况运算求解，结合恒成立问题可得，运算求解，进而结合充分、必要条件分析判断；
(2)分"甲命题为真，乙命题为假"或"甲命题为假，乙命题为真"，列式求解即可.
13．【答案】（1）解：命题p：关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
可得 ，解得
（2）解：命题q：关于x的一元二次方程 对于任意实数a都没有实数根，
可得 ，
由 ，
可得 无实数解，
可得 ，即 ，
命题p和命题q中有且只有一个为真命题，
可得 或 ，
即有 或
【知识点】四种命题的真假关系；复合命题的真假
【解析】【分析】（1）由真命题的定义结合一元二次方程的根的情况得出判别式大于零，再借助绝对值不等式的解法求解出m的取值范围即可。
（2）首先分别求解出命题p、q为真命题时的各自情况下的m的取值范围，命题q为真时由几何不等式的性质结合一元二次不等式的解法即可求出m的取值范围，再根据已知条件 命题p和命题q中有且只有一个为真命题， 得出两种情况：p为真q为假的，p为假的q为真，进而得出关于m的两个不等式组求解出两种情况下的m的取值范围即可。
14．【答案】解：若 正确，则 ，
若 正确，
为假， 为真，∴ 一真一假
即 的取值范围为
【知识点】四种命题的真假关系
【解析】【分析】结合复合命题真假性，判断p，q为一真一假，结合每种情况下，计算出m的值，取并集，即可得出答案。
15．【答案】（1）解：因为开口向上，对称轴为，
且 ， 可知当时，，
若命题：“，都有不等式成立”是真命题.
则，解得，
所以 实数的取值集合.
（2）解： 若是的充分条件， 则，
不等式 ，可得，
若，可得，
则，即；
若，可得，符合题意，
综上所述： 实数的取值范围 .
【知识点】集合关系中的参数取值问题；充分条件；全称量词命题；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】 (1)根据恒成立问题结合二次函数的最值分析求解；
(2) 由题意可知：，分和两种情况，结合一元二次不等式分析求解.
16．【答案】（1）解：解： 原不等式等价于，且，所以，所以．
（2）解：因为“”是“”的必要不充分条件，所以集合是的真子集，
由不等式，可得，
当时，不等式的解集为，即，因为，则；
当时，不等式为，解得，即；成立；
当时，不等式的解集为，即，因为，则，
综上所述，即的取值范围是．
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）根据一元二次不等式的解法进行求解即可；
（2）根据必要不充分条件与集合的关系可得：”是“”的必要不充分条件，则是A的真子集，再结合一元二次不等式的解法，分，，三种情况进行分类讨论，求出集合B，再根据真子集的计算进而求出a的取值范围即可求解.
17．【答案】（1）解：由已知得，
解得或3，
当，不符合题意
当时，
所以；
（2）解：由（1）得在上单调递增，
当时，的值域为，即.
在为单调递减，所以的值域.
∵是的必要条件，∴，
∴，∴，∴的取值范围是.
【知识点】子集与真子集；必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数的值域；函数单调性的性质；幂函数的概念与表示
【解析】【分析】(1)根据幂函数的定义得，求出m，结合函数单调性检验即可.
(2)根据单调性求得两函数值域，结合集合的关系，列出不等式进行求解即可.
18．【答案】（1）解：因为命题为真命题，
所以，即，解得或，
所以，实数的取值范围为
（2）解：由（1）知，当命题为真时，或，
所以当命题p为假时，，
又因为命题，
当且仅当时等号成立，
所以当命题q为真时，，
所以，当命题q为假时，
又因为命题p，q为一真一假，
所以p为真时q为假时，实数的取值范围是
当p为假时q为真，实数的取值范围是，
综上，实数的取值范围为
【知识点】复合命题的真假
【解析】【分析】（1）根据题意得，再解不等式即可；
（2）由题知当命题q为真时，，再结合（1）分p为真q为假和p为假q为真两种情况讨论求解即可.
19．【答案】解：若p是真，则 解得 ，
若q是真，只需5－2m>1即m<2 ，
由于p或q为真命题，p且q为假命题，
故p、q中一个真，另一个为假命题，
因此，当p真q假时， 得 无解；
当q真p假时， 或 ；
综上所述： 或
【知识点】复合命题的真假；双曲线的简单性质
【解析】【分析】利用双曲线方程的性质化简命题p可得，利用指数函数的性质化简命题q可得m<2，由p或q为真命题，p且q为假命题，可得p、q一真一假，分两种情况讨论即可求得实数m的取值范围．
20．【答案】（1）解：对于，在上单调递减，
所以，所以.
所以.
（2）解：由（1）得，而，
由于“则”是假命题，即集合不是集合的子集，
则集合不是空集，所以，则，
此时集合不是集合的子集，
所以的取值范围是
【知识点】交、并、补集的混合运算；命题的真假判断与应用
【解析】【分析】(1)先求出集合B，然后根据集合的交集、并集运算性质求解即可.
(2)由全称命题，若“则”是假命题，得集合不是集合的子集，列不等式，即可能求出 实数a的取值范围 .
1 / 1备考2024年高考数学提升专题特训：集合与常用逻辑用语
一、解答题
1．（2023高一上·齐齐哈尔期中）已知集合.
（1）若，求，的值；
（2）若，且，求，的值.
【答案】（1）解：若，
则有，解得；
（2）解：，
因为，
所以，解得.
【知识点】元素与集合的关系；集合相等；集合关系中的参数取值问题；一元二次方程的解集
【解析】【分析】 (1) 可知 仅有一个实根1，结合二次方程分析求解；
（2）由题意可知的实根为和，结合二次方程分析求解.
2．（2023高一上·天河月考）已知集合．
（1）若集合，且，求a的值；
（2）若集合，且A与C有包含关系，求a的取值范围．
【答案】（1）解：因为，且，所以或，
解得或，故．
（2）解：因为A与C有包含关系，，至多只有两个元素，
所以．
当时，，满足题意；
当时，当时，，解得，满足题意；
当时，且，此时无解；
当时，且，此时无解；
当时，且，此时无解；
综上，a的取值范围为．
【知识点】集合的确定性、互异性、无序性；集合相等；集合关系中的参数取值问题
【解析】【分析】 (1) 根据集合相等结合集合的互异性分析求解；
(2) 由已知可得 ，分 和 两种情况，结合包含关系分析求解.
3．（2023高一上·天河月考）已知集合具有性质P：对任意，与至少一个属于A．
（1）分别判断集合，与是否具有性质P，并说明理由；
（2）证明：；
（3）具有性质P，当时，求集合A．
【答案】（1）解：集合具有性质P，集合不具有性质P理由如下：
对集合，由于，，，，，
所以集合M具有性质P；
对集合，由于，，故集合N不具有性质P．
（2）证明：由于，∴，则，故，∴，故得证．
（3）解：由于，∴，故，∴，
又，∴，故，
又，故，∴．
因此集合．
【知识点】元素与集合的关系
【解析】【分析】 (1) 根据 性质P的定义分析判断；
(2) 取元素，结合性质P分析证明；
(3) 根据题意结合性质P分析求解.
4．（2024·宁德模拟）已知全集，集合，，.
（1）求；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：由题意，，解得，
即集合，则或，
又，所以；
（2）解：，，
若，则，解得；
若，则，解得.
故的取值范围是或.
【知识点】集合关系中的参数取值问题；交、并、补集的混合运算；子集与交集、并集运算的转换
【解析】【分析】（1）先求出集合B，然后根据交集、补集定义即可求解.
（2）先根据并集定义求出A、B并集，然后讨论、，结合数轴，列出不等式（组），解出即可.
5．（2024高一上·涟源期末）已知，，.
（1）求，及；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）解：已知，，
则有，，
（2），，
，则，即的取值范围为.
【知识点】集合关系中的参数取值问题；并集及其运算；交集及其运算；补集及其运算
【解析】【分析】 (1) 根据集合的交并补运算求解；
(2) 根据包含关系分析求解.
6．（2023高一上·成都月考） 设为实数，，集合，．
（1）若，求，；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：由可得：，则，
所以，
当时，，
所以，
或.
（2）解：易知恒成立，即
或
解得或
所以.
【知识点】集合关系中的参数取值问题；交、并、补集的混合运算；指、对数不等式的解法
【解析】【分析】（1）解对数不等式求集合A，将代入求得集合B，再利用集合的交集、并集补集的运算求解即可；
（2）根据得出关于m的不等式，由此求出实数m的取值范围.
7．（2024高一上·南山期末）已知集合.
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：若，则，
由，解得，
（2）解：由可知，，
①若，则，解得，
②若，即，则
解得，
综上所述，实数的取值范围为.
【知识点】补集及其运算；子集与交集、并集运算的转换
【解析】【分析】（1）利用a的值得出集合A，再利用指数函数的单调性得出集合B，再结合补集的运算法则得出集合；
（2）由可知，，再利用分类讨论的方法和集合间的包含关系以及空集的定义，进而借助数轴求出实数a的取值范围.
8．（2024高一上·闵行期末）设集合.
（1）若，试用区间表示集合，并求；
（2）若，求不等式的解集.
【答案】（1）解：由题意可得：，解得：得，
因为，所以，即解得
故，
所以.
（2）解：由题意得有两个根为1和5，由韦达定理定理可得：所以，
则的解集为.
【知识点】并集及其运算；一元二次不等式；一元二次不等式及其解法；其他不等式的解法
【解析】【分析】本题主要考查含绝对值不等式，一元二次不等式的解法、并集的运算、一元二次方程与一元二次不等式的联系，（1）根据含绝对值不等式的解法得到：，从而结合A集合在将b=4，代入B集合的一元二次不等式解得B集合，在根据并集的运算即可求解；
（2）根据题意可得有两个根为1和5，由韦达定理定理可得：所以，解出原不等式即可求解.
9．（2017高一上·孝感期中）已知A={x|3≤x≤7}，B={x|2a＜x＜a+4}．
（1）当a=1时，求A∩B和A∪B；
（2）若A∩B= ，求实数a的取值范围．
【答案】（1）解：a=1时，A={x|3≤x≤7}，B={x|2＜x＜5}，
故A∩B={x|3≤x＜5}，A∪B={x|2＜x≤7}
（2）解：∵A={x|3≤x≤7}，B={x|2a＜x＜a+4}．A∩B= ，
∴当B= 时，2a≥a+4，则a≥4；
当B≠ 时，2a＜a+4，则a＜4，由A∩B= ，
得 或 解得a≤﹣1或 ，
综上可知，a的取值范围是
【知识点】交集及其运算
【解析】【分析】（1）借助数轴；（2）根据B=和B≠两种情况借助数轴列出不等式.
10．（2019高一上·分宜月考）已知集合A＝{x|ax2﹣3x+1＝0，a∈R}．
（1）若A是空集，求a的取值范围；
（2）若A中至多只有一个元素，求a的取值范围．
【答案】（1）解：由题意，集合 ，则方程 无实数根，
则 ，解得 ，
所以当A是空集， 的取值范围为 ．
（2）解：由题意，集合A中至多只有一个元素，则 或A中只有一个元素，
①当 时，由（1）得 ；
②当A中只有一个元素时，则 或 ，
解得 或 ．
综上，若A中至多只有一个元素，a的取值范围为{a| 或 ．
【知识点】集合的分类；集合中元素的个数问题
【解析】【分析】（1）当 时，得到方程 无实数根，结合一元二次方程的性质，即可求解；（2）由集合A中至多只有一个元素，则 或A中只有一个元素，结合一元二次方程的性质，即可求解.
11．（2024高一上·辽源期末）已知集合，．
（1）求集合；
（2）设集合，且，求实数的取值范围．
【答案】（1）∵，∴．
（2）∵，∴，
∴，解得.
【知识点】并集及其运算；交集及其运算；全集及其运算；交、并、补集的混合运算
【解析】【分析】本题主要考查补集的运算、补集的运算，（1）根据补集的运算即可求解；
（2）根据并集的运算可得：，再根据子集的定义可得：，解出a的取值范围即可求解.
12．命题甲：集合为空集；命题乙：关于的不等式的解集为.
（1）“”是命题乙的什么条件？并证明；
（2）若命题甲、乙中有且只有一个是真命题，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：命题甲为真命题，则集合为空集，
当时，，解得，
当时，方程为，无解，满足题意，
综上，；
命题乙为真命题，则关于的不等式的解集为，
，解得，
因为命题乙为真命题时，又，即，
所以，但，
所以是命题乙的充分不必要条件；
（2）解：因为命题甲、乙中有且只有一个是真命题，所以分两种情况讨论：
①当甲命题为真，乙命题为假时，
有或，解得；
②当甲命题为假，乙命题为真时，
有或，解得或，
综上，实数的取值范围为：.
【知识点】空集；四种命题；必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】(1)集合为空集，分和两种情况运算求解，结合恒成立问题可得，运算求解，进而结合充分、必要条件分析判断；
(2)分"甲命题为真，乙命题为假"或"甲命题为假，乙命题为真"，列式求解即可.
13．（2018高一上·建平期中）已知命题p：关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根；命题q：关于x的一元二次方程 对于任意实数a都没有实数根．
（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；
（2）若命题p和命题q中有且只有一个为真命题，求实数m的取值范围．
【答案】（1）解：命题p：关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
可得 ，解得
（2）解：命题q：关于x的一元二次方程 对于任意实数a都没有实数根，
可得 ，
由 ，
可得 无实数解，
可得 ，即 ，
命题p和命题q中有且只有一个为真命题，
可得 或 ，
即有 或
【知识点】四种命题的真假关系；复合命题的真假
【解析】【分析】（1）由真命题的定义结合一元二次方程的根的情况得出判别式大于零，再借助绝对值不等式的解法求解出m的取值范围即可。
（2）首先分别求解出命题p、q为真命题时的各自情况下的m的取值范围，命题q为真时由几何不等式的性质结合一元二次不等式的解法即可求出m的取值范围，再根据已知条件 命题p和命题q中有且只有一个为真命题， 得出两种情况：p为真q为假的，p为假的q为真，进而得出关于m的两个不等式组求解出两种情况下的m的取值范围即可。
14．（2018高二下·定远期末）设命题 幂函数 在 上单调递减。命题 在 上有解；
若 为假， 为真，求 的取值范围.
【答案】解：若 正确，则 ，
若 正确，
为假， 为真，∴ 一真一假
即 的取值范围为
【知识点】四种命题的真假关系
【解析】【分析】结合复合命题真假性，判断p，q为一真一假，结合每种情况下，计算出m的值，取并集，即可得出答案。
15．（2023高一上·鹤山月考）已知命题：“，都有不等式成立”是真命题.
（1）求实数的取值集合；
（2）设不等式解集为，若是的充分条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：因为开口向上，对称轴为，
且 ， 可知当时，，
若命题：“，都有不等式成立”是真命题.
则，解得，
所以 实数的取值集合.
（2）解： 若是的充分条件， 则，
不等式 ，可得，
若，可得，
则，即；
若，可得，符合题意，
综上所述： 实数的取值范围 .
【知识点】集合关系中的参数取值问题；充分条件；全称量词命题；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】 (1)根据恒成立问题结合二次函数的最值分析求解；
(2) 由题意可知：，分和两种情况，结合一元二次不等式分析求解.
16．（2023高一上·重庆市月考）设不等式的解集为，关于x的不等式的解集为．
（1）求集合；
（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
【答案】（1）解：解： 原不等式等价于，且，所以，所以．
（2）解：因为“”是“”的必要不充分条件，所以集合是的真子集，
由不等式，可得，
当时，不等式的解集为，即，因为，则；
当时，不等式为，解得，即；成立；
当时，不等式的解集为，即，因为，则，
综上所述，即的取值范围是．
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）根据一元二次不等式的解法进行求解即可；
（2）根据必要不充分条件与集合的关系可得：”是“”的必要不充分条件，则是A的真子集，再结合一元二次不等式的解法，分，，三种情况进行分类讨论，求出集合B，再根据真子集的计算进而求出a的取值范围即可求解.
17．（2023高一上·东莞月考）已知幂函数在上单调递增，函数.
（1）求的值；
（2）记，在区间上的值域分别为集合A，B，若是的必要条件，求实数k的取值范围.
【答案】（1）解：由已知得，
解得或3，
当，不符合题意
当时，
所以；
（2）解：由（1）得在上单调递增，
当时，的值域为，即.
在为单调递减，所以的值域.
∵是的必要条件，∴，
∴，∴，∴的取值范围是.
【知识点】子集与真子集；必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数的值域；函数单调性的性质；幂函数的概念与表示
【解析】【分析】(1)根据幂函数的定义得，求出m，结合函数单调性检验即可.
(2)根据单调性求得两函数值域，结合集合的关系，列出不等式进行求解即可.
18．（2022高一上·金坛期中）设命题，命题.
（1）若命题p为真命题，求实数的取值范围；
（2）若命题p，q为一真一假，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：因为命题为真命题，
所以，即，解得或，
所以，实数的取值范围为
（2）解：由（1）知，当命题为真时，或，
所以当命题p为假时，，
又因为命题，
当且仅当时等号成立，
所以当命题q为真时，，
所以，当命题q为假时，
又因为命题p，q为一真一假，
所以p为真时q为假时，实数的取值范围是
当p为假时q为真，实数的取值范围是，
综上，实数的取值范围为
【知识点】复合命题的真假
【解析】【分析】（1）根据题意得，再解不等式即可；
（2）由题知当命题q为真时，，再结合（1）分p为真q为假和p为假q为真两种情况讨论求解即可.
19．（2022高二上·西安期中）已知命题p：表示焦点在x轴的双曲线，命题q：是增函数，若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围．
【答案】解：若p是真，则 解得 ，
若q是真，只需5－2m>1即m<2 ，
由于p或q为真命题，p且q为假命题，
故p、q中一个真，另一个为假命题，
因此，当p真q假时， 得 无解；
当q真p假时， 或 ；
综上所述： 或
【知识点】复合命题的真假；双曲线的简单性质
【解析】【分析】利用双曲线方程的性质化简命题p可得，利用指数函数的性质化简命题q可得m<2，由p或q为真命题，p且q为假命题，可得p、q一真一假，分两种情况讨论即可求得实数m的取值范围．
20．（2024高一上·浠水期末）集合，.
（1）求
（2）若“则”是假命题，求实数a的取值范围；
【答案】（1）解：对于，在上单调递减，
所以，所以.
所以.
（2）解：由（1）得，而，
由于“则”是假命题，即集合不是集合的子集，
则集合不是空集，所以，则，
此时集合不是集合的子集，
所以的取值范围是
【知识点】交、并、补集的混合运算；命题的真假判断与应用
【解析】【分析】(1)先求出集合B，然后根据集合的交集、并集运算性质求解即可.
(2)由全称命题，若“则”是假命题，得集合不是集合的子集，列不等式，即可能求出 实数a的取值范围 .
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