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备考2024年高考数学优生冲刺专题特训：平面向量
一、解答题
1．（2024高三上·广州月考）设抛物线的焦点为，过点的动直线交抛物线于不同两点，线段中点为，射线与抛物线交于点.
（1）求点的轨迹方程；
（2）求面积的最小值.
【答案】（1）解：设直线方程为，代入，得，
设，则，，，
∴，，即，设，由，消去得中点的轨迹方程为
（2）解：设，，∵，，
∴，∴，
由点在抛物线上，得，
又∵，∴，点到直线的距离，
又，
所以，的面积为，
设，有，
由可得，由可得，
故在上是减函数，在上是增函数，
因此，当时取到最小值，，此时，
所以，面积的最小值是.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；共线（平行）向量；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)设直线方程为与抛物线联立求出 中点M坐标，消去参数t得到点的轨迹方程；
(2)设，，求出点A的坐标代入抛物线化简得，再利用点到直线距离公式和弦长公式求出的面积，再利用导数求其面积的最小值.
2．（2023高一下·闵行期末）通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量.类似的，我们可以把有序复数对看作一个向量，记，则称为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于，，、、、、，我们有如下运算法则：
①；②；
③；④.
（1）设，，求和.
（2）由平面向量的数量积满足的运算律，我们类比得到复向量的相关结论：
①
②
③.
试判断这三个结论是否正确，并对正确的结论予以证明.
（3）若，集合，.对于任意的，求出满足条件的，并将此时的记为，证明对任意的，不等式恒成立.
根据对上述问题的解答过程，试写出一个一般性的命题（不需要证明）.
【答案】（1）解：因为，，
所以，
（2）解：设，，，、、、、、、，
则，，故①不成立，
，，
，
因为，，
所以
，故②正确；
，，
，，
设，，，
则，，
，
所以，故，即③错误；
（3）解：设满足条件的，，、，
则，，
因为为任意的复数，不妨设且，
由定义可得，即，则，
所以，则，
以下证明对任意的，不等式恒成立，只需计算的最小值，
不妨令，则，
则
，
当，时取得最小值，此时与之前得到的相同，结论得证；
推广结论：对于任意复向量，，若对于任意的，当且仅当时，取到最小值.
【知识点】向量的模；平面向量加法运算；平面向量的数量积运算；复数代数形式的混合运算
【解析】【分析】(1)根据题目条件计算求解；
(2)根据题目条件和复数代数式运算法分别证明；
(3)设满足条件的，，、，求出 ，再证明 ， 不妨令 ， 则，进而求证明不等式.
3．已知复数，，复数，在复平面内所对应的点分别为，，求证：是等腰直角三角形（其中为原点）．
【答案】证明：因为，，
所以
所以，
所以，的夹角为．
所以．
又，，
所以，
所以为等腰直角三角形．
【知识点】向量的几何表示；数量积表示两个向量的夹角；复数在复平面中的表示；复数代数形式与三角形式的互化
【解析】【分析】将复数化成三角形式并运算，即可求得zw，z w3的值，进而求得点对应的复数对应的向量夹角为，从而可得，再求出即可证明.
4．（2024高三上·天津市月考）已知椭圆的一个顶点为分别是椭圆的左 右焦点，且离心率，过椭圆右焦点且斜率为k的直线l与椭圆C交于M，N两点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若，（为原点），求直线的方程；
（3）过原点作直线的垂线，垂足为P，若，求的值.
【答案】（1）解：因为椭圆焦点在轴上且经过点，所以，
又因为，所以，又，
解得，
所以椭圆方程为；
（2）解：如图所示，
由（1）知，所以直线，设，
联立，可得，
易得，所以，
所以，
而，
解得，
所以直线方程为或者；
（3）解：如图所示，
过作交于点，所以为点到直线的距离，
即，所以，
又
，
所以，
所以.
【知识点】平面向量的数量积运算；平面内点到直线的距离公式；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)由得焦点在x轴上，，利用离心率公式以及a，b，c之间的关系，列出等式即可求解.
(2)设出直线l的方程和M，N两点的坐标，联立直线l的方程与椭圆方程，转化为一元二次方程，利用韦达定理表示，即可求解.
(3)过作交于点，利用点到直线的距离公式得到|OP|，利用韦达定理，代入弦长公式求解即可.
5．（2023高二上·浙江月考）如图，在三棱锥中，，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，．
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】（1）解：设，则
，
，
则，
解得
则F为AC的中点，由分别为的中点，
于是，又平面平面，
所以平面．
（2）解：过点O作交于点，设，
由，得，且，
由(1)可知，则，
所以，
因此，
所以
所以为二面角的平面角
因为分别为的中点
所以为的重心
即有，又，
所以，
解得，同理得，
因为，
所以，则，
从而，，
在中，，
于是
所以平面与平面夹角的余弦值为
【知识点】平面向量的线性运算；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）要证明 平面，只需证明点F是AC的中点，设，由于，所以用AC，BC为基底表示BF，AO，从而算出即F 为AC中点，结论得证；
（2）先过点O作交于点，设，根据已知推出为二面角的平面角，因为分别为的中点，所以为的重心，计算得出DH，OH，再利用余弦定理求得平面与平面夹角的余弦值。
6．（2023高二上·梅河口开学考）在中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，且三角形的外接圆半径为．
（1）求C的大小；
（2）若的面积为，求的值；
（3）设的外接圆圆心为O，且满足，求m的值．
【答案】（1）解：在中，，
即，
由余弦定理得，，
即，
即，
即，
在中，，则，
又∵，∴；
（2）解：，
由正弦定理得，∴，
则
，
由余弦定理得，
∴＝；
（3）解：∵，
∴，
sinAsinB≠0，上式两边同时除以2sinAsinB得，
两边同时乘以：，
∴①，
如图，
∵O是△ABC的外心，∴，
∴，
同理，，
代入①式得，
由正弦定理，得，，
代入化简得，
∴．
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；二倍角的余弦公式；解三角形；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】(1)根据题意利用余弦定理边化角可得 ， 进而结合三角恒等变换运算求解；
(2)根据题意利用正弦定理角化边可得 ，结合余弦定理运算求解；
(3)根据题意利用数量积的定义可得 ，结合外接圆的性质可得 ， 再结合正弦定理运算求解.
7．（2024咸阳高考模拟）已知椭圆的离心率是双曲线的离心率的倒数，椭圆的左 右焦点分别为，上顶点为，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）当过点的动直线与椭圆相交于两个不同点时，设，求的取值范围.
【答案】（1）解：由已知，设点的坐标分别为，
又点的坐标为，且，
所以解得，
所以椭圆的方程为.
（2）解：设，则依据得，
整理得，
又故
得，即，
，又，得，
又，故，且，
故实数的取值范围为.
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积坐标表示的应用；椭圆的标准方程；圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【分析】 (1)利用向量数量积可得到b，c关系式，结合离心率和求解出a，b，即可求解；
(2)设出A，B坐标，根据向量共线表示出对应坐标关系， 再利用点差法结合已知坐标关系进行化简，从而得到关于的表示，利用椭圆的有界性可求的范围.
8．（2023高三上·上海市期中）已知椭圆过点且Γ的左焦点为直线l与Γ交于M，N两点.
（1）求椭圆Γ的方程；
（2）若且点P的坐标为(0，1)，求直线l的斜率；
（3）若其中O为坐标原点，求△MON面积的最大值.
【答案】（1）解：由题意得解得：∴椭圆C的标准方程为
（2）解：设直线l的方程为代入椭圆的方程消去y得：
，，
=-2代入①和②得：得：=-2，解得：；
（3）解：设直线l的方程为代入椭圆的方程消去y得：
由解得
=③
把①和②代入③得：=4，④又
+=16，，，
④中当且仅当即时，等号成立，的面积的最大值为
【知识点】平面向量的坐标运算；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用椭圆 过点 以及 左焦点为 结合a，b，c关系即可求解；
（2）设直线l的方程为 与椭圆方程联立，结合韦达定理与向量坐标运算即可求解；
（3） 设直线l的方程为 与椭圆方程联立消去y，结合韦达定理与面积公式进行化简，再根据得出k，m之间关系，利用基本不等式求面积最大值.
9．（2023高二上·青羊期中）已知圆和点.
（1）过点向圆引切线，求切线的方程.
（2）点是圆上任意一点，在线段的延长线上，且点是线段的中点，求点运动的轨迹的方程.
（3）设圆与轴交于两点，线段上的点上满足，若直线，且直线与（2）中曲线交于两点，满足.试探究是否存在这样的直线，若存在，请说明理由并写出直线的斜率，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：当斜率不存在时，显然与圆相切；
当斜率存在时，设切线为，由圆心到切线的距离为2，
，解得，则，整理得.
综上，切线方程为和.
（2）解：设点，点，点且点是线段的中点
，由题意，点是圆上任意一点
，即，符合题意
点运动的轨迹的方程为
（3）解：由题设，.若存在，由题意可不妨设的方程为，由题意分析可得为正数.
联立
……（i）
设.
由求根公式
，
.
由此可进一步推知：……（ii）
（ii）在（i）的限制下有解，故存在这样的直线
并且可以解得直线的斜率或
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；轨迹方程；圆的切线方程；直线和圆的方程的应用
【解析】【分析】 (1) 分类讨论直线斜率是否存在，结合切线关系分析求解；
(2)设点，利用相关点法分析求解；
(3) 不妨设的方程为，联立方程利用可得，，结合运算求解.
10．（2023高一下·静安期末）如图，平面向量与是单位向量，夹角为，那么，向量、构成平面的一个基.若，则将有序实数对称为向量的在这个基下的斜坐标，表示为.
（1）记向量，，求向量在这个基下的斜坐标；
（2）设，，求；
（3）请以（2）中的问题为特例，提出一个一般性的问题，并解决问题.
【答案】（1）解：，
所以，向量；
（2）解：由已知，有，，
；
（3）解：设，，求的斜坐标表示公式，
，，
，
或，设，，的充要条件为.
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量的坐标运算；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积坐标表示的应用
【解析】【分析】(1)根据向量的线性运算、新定义运算可得答案.
(2)根据向量的数量积运算可得答案；
(3)设，，求的斜坐标表示公式，根据向量的数量积运算可得答案或设，，的充要条件为.
11．（2023高一下·清远期末）函数的部分图象如图所示.已，，，.
（1）求和的解析式；
（2）将的图象向右平移个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求在上的值域.
【答案】（1）解：设的最小正周期为，
因为，，
所以，
所以，，
所以，，
因为，所以，
因为，所以，
所以，
将点的坐标代入，得，
所以，解得，
因为，所以，
所以；
（2）解：将的图象向右平移个单位长度后，
可得的图象，
再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到的图象.
由，可得，
所以，
所以，
所以在上的值域为.
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】(1)由题意结合图象可得 ，求出和 ，再由求出，将点 代入求出，写出的解析式；
(2)根据三角函数图象变换规律求出得 ，再由得 ，然后根据正弦函数的性质求的值域.
12．（2023高二上·浙江月考）已知椭圆的左、右焦点分别为，，M是椭圆上的一点，当时，的面积为.
（1）求椭圆E的方程；
（2）过右焦点的直线与椭圆E交于A，B两点，线段的垂直平分线交直线于点P，交直线于点Q，求的最小值.
【答案】（1）解：依题意，.
当时，的面积为，
则，
得.
由余弦定理得，
即，，，.
故椭圆E的方程为
（2）解：由题意知直线的斜率不为0，设其方程为，
设点，，
联立方程可得，
得到，
.
又，，
.
.
令，，上式，
当且仅当，即时，取得最小值.
【知识点】基本不等式；直线与圆锥曲线的综合问题；余弦定理
【解析】【分析】（1）根据三角形的面积公式可得：再利用余弦定理和椭圆的定义即可解得：，从而求出椭圆方程；
（2）由题意知直线的斜率不为0，可巧设其方程为然后联立直线及椭圆的方程消去x得到：利用韦达定理即弦长公式可得：根据题意得到：，则，然后利用换元的思想及基本不等式求出最小值即可求解.
13．（2023高二上·惠州月考）已知中，内角所对的边分别为，且.
（1）若的平分线与边交于点，求的值；
（2）若，点分别在边上，的周长为5，求的最小值.
【答案】（1）解：可得，
解得，
设，则，
由余弦定理得，
所以.
因为为的平分线，
所以，
又，则.
（2）解：因为，由（1）得，
设，
由余弦定理得，
所以，
因为，
所以，当时取等号，
所以，
所以，当时取等号，
所以的最小值为.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；余弦定理
【解析】【分析】（1）联立所给等式可得，整理后利用余弦定理可得， 因为CD为的平分线，结合三角形面积公式可得，所以 . 即可求解.
（2） 由余弦定理可得，所以，结合基本不等式即可求解.
14．（2023高二上·阳江期中）已知圆，直线，当时，直线l与圆O恰好相切．
（1）求圆O的方程；
（2）若直线l上存在距离为2的两点M，N，在圆O上存在一点P，使得，求实数k的取值范围．
【答案】（1）解：当时．圆心O到直线l的距离为，则r＝2，
所以圆O的方程为．
（2）解：圆心O到直线l的距离
①当直线l与圆O有公共点，即，解得，
若点P与点M（或N）重合，则满足，符合题意．
②当直线l与圆O无公共点，即，解得或，
由，可知点P在以MN为直径的圆上，设线段MN的中点为，
则圆Q的方程为，
又圆Q与圆O有公共点，设圆Q的半径，圆O的半径，
则，
只需点O到直线l的距离，
所以或．
综上，实数k的取值范围为．
【知识点】向量在几何中的应用；平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）当时，由直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，列式求解即可；
（2）圆心到直线的距离为，分直线与圆有公共点和直线与圆无公共点两种情况讨论，再结合，可知点在以为直径的圆上，根据两圆有公共点列式求解即可.
15．（2023高三上·长沙月考）的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，点O为的内心，记，，的面积分别为，，，已知，.
（1）在①；②；③中选一个作为条件，判断是否存在，若存在，求出的周长，若不存在，说明理由.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）
（2）若为锐角三角形，求面积的取值范围.
【答案】（1）解：设的内切圆半径为r，因为，
所以，化简得：，
所以，因为，所以，
选择①，因为，所以，
因为，，所以，
整理得，
方程无实数解，所以不存在．
选择②，因为，所以，
因为，所以，所以，
因为，，所以，
整理得，方程无实数解，所以不存在．
选择③，由得：，
所以，即，所以，
因为以，，
所以，所以，解得，
所以存在且唯一，的周长为．
（2）解：由（1）知，，面积，
因为，所以，
因为为锐角三角形，
所以，，解得：，
所以，所以，，，
所以的取值范围为，
而面积.
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）设内切圆半径为r，将 、 、代入 即可化简得出，再根据余弦定理即可求出；
若选①，可通过余弦定理将 转化为， 再通过 与 消元可得 ， 根据方程的解即可判断；
若选②，根据二倍角公式可将 转化 ，利用边角互化可得 ， 结合 ，，可得，根据方程的解即可判断；
若选③，利用二倍角公式可将 转化为 ，再利用边角互化可得 ， 结合 可得，求解即可判断；
（2）利用面积公式、正弦定理和 可得 ， 根据的范围，即可求出面积的取值范围.
16．（2023高三上·梅江月考）在中，角，，所对的边分别为，，，且满足．
（1）求角的大小；
（2）求的取值范围．
【答案】（1）解：，化简可得，
，，
，
，，
即，又，
则，，则；
（2）由正弦定理可得
因为，所以，则，
所以，故，
所以的取值范围为，．
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的余弦公式；含三角函数的复合函数的值域与最值；正弦定理；辅助角公式
【解析】【分析】 (1) 利用正弦两角和展开式和正弦定理化简得，结合辅助角公式求解角的大小；
(2)利用正弦定理再结合余弦的二倍角公式，和差化积公式化简得 ，再结合角B的取值范围求解的取值范围．
17．（2019高一下·重庆期中）如图，已知菱形 的边长为2， ，动点 满足 ， .
（1）当 时，求 的值；
（2）若 ，求 的值.
【答案】（1）解：当 时， 分别为 的中点，
此时易得 且 的夹角为 ，则
；
（2）解：
，故 .
【知识点】平面向量的数量积运算；平面向量的综合题
【解析】【分析】(1) 时， 分别为 的中点，可得 ，根据模长的计算公式得到结果；（2）根据平面向量基本定理得到 按照向量点积公式展开得到结果.
18．（2018高二下·黑龙江月考）已知 是椭圆的左、右焦点， 为坐标原点，点 在椭圆上，线段 与 轴的交点 满足 .
（1）求椭圆的标准方程；
（2）圆 是以 为直径的圆，一直线 与之相切，并与椭圆交于不同的两点 、 ，当 且满足 时，求 的面积 的取值范围.
【答案】（1）解：因为 ，所以 是线段 的中点，所以 是 的中位线，又 所以 ，所以 又因为 ， ，
解得 ，所以椭圆的标准方程为 .
（2）解：因为直线 与 圆 相切，所以 ，即
联立 得 .
设
因为直线 与椭圆交于不同的两点 、 ，
所以 ，
，
，又因为 ，所以
解得 .
，
设 ，则 单调递增，
所以 ，即
【知识点】平面向量的综合题；圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（1）先由已知向量的条件，得到OM 是中位线，求出c=1，再由已知点P在椭圆上列式，求出a2=2 ， b2=1，即可写出椭圆的标准方程.
（2）先由直线与圆相切列式，得到m2=k2+1，再把椭圆方程和直线方程联立，利用直线与椭圆交于不同的两点，讨论得到k2的范围，最后写出△OAB 的面积 S的表达式，利用函数的单调性，即可求出面积 S的取值范围.
1 / 1备考2024年高考数学优生冲刺专题特训：平面向量
一、解答题
1．（2024高三上·广州月考）设抛物线的焦点为，过点的动直线交抛物线于不同两点，线段中点为，射线与抛物线交于点.
（1）求点的轨迹方程；
（2）求面积的最小值.
2．（2023高一下·闵行期末）通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量.类似的，我们可以把有序复数对看作一个向量，记，则称为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于，，、、、、，我们有如下运算法则：
①；②；
③；④.
（1）设，，求和.
（2）由平面向量的数量积满足的运算律，我们类比得到复向量的相关结论：
①
②
③.
试判断这三个结论是否正确，并对正确的结论予以证明.
（3）若，集合，.对于任意的，求出满足条件的，并将此时的记为，证明对任意的，不等式恒成立.
根据对上述问题的解答过程，试写出一个一般性的命题（不需要证明）.
3．已知复数，，复数，在复平面内所对应的点分别为，，求证：是等腰直角三角形（其中为原点）．
4．（2024高三上·天津市月考）已知椭圆的一个顶点为分别是椭圆的左 右焦点，且离心率，过椭圆右焦点且斜率为k的直线l与椭圆C交于M，N两点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若，（为原点），求直线的方程；
（3）过原点作直线的垂线，垂足为P，若，求的值.
5．（2023高二上·浙江月考）如图，在三棱锥中，，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，．
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
6．（2023高二上·梅河口开学考）在中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，且三角形的外接圆半径为．
（1）求C的大小；
（2）若的面积为，求的值；
（3）设的外接圆圆心为O，且满足，求m的值．
7．（2024咸阳高考模拟）已知椭圆的离心率是双曲线的离心率的倒数，椭圆的左 右焦点分别为，上顶点为，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）当过点的动直线与椭圆相交于两个不同点时，设，求的取值范围.
8．（2023高三上·上海市期中）已知椭圆过点且Γ的左焦点为直线l与Γ交于M，N两点.
（1）求椭圆Γ的方程；
（2）若且点P的坐标为(0，1)，求直线l的斜率；
（3）若其中O为坐标原点，求△MON面积的最大值.
9．（2023高二上·青羊期中）已知圆和点.
（1）过点向圆引切线，求切线的方程.
（2）点是圆上任意一点，在线段的延长线上，且点是线段的中点，求点运动的轨迹的方程.
（3）设圆与轴交于两点，线段上的点上满足，若直线，且直线与（2）中曲线交于两点，满足.试探究是否存在这样的直线，若存在，请说明理由并写出直线的斜率，若不存在，请说明理由.
10．（2023高一下·静安期末）如图，平面向量与是单位向量，夹角为，那么，向量、构成平面的一个基.若，则将有序实数对称为向量的在这个基下的斜坐标，表示为.
（1）记向量，，求向量在这个基下的斜坐标；
（2）设，，求；
（3）请以（2）中的问题为特例，提出一个一般性的问题，并解决问题.
11．（2023高一下·清远期末）函数的部分图象如图所示.已，，，.
（1）求和的解析式；
（2）将的图象向右平移个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求在上的值域.
12．（2023高二上·浙江月考）已知椭圆的左、右焦点分别为，，M是椭圆上的一点，当时，的面积为.
（1）求椭圆E的方程；
（2）过右焦点的直线与椭圆E交于A，B两点，线段的垂直平分线交直线于点P，交直线于点Q，求的最小值.
13．（2023高二上·惠州月考）已知中，内角所对的边分别为，且.
（1）若的平分线与边交于点，求的值；
（2）若，点分别在边上，的周长为5，求的最小值.
14．（2023高二上·阳江期中）已知圆，直线，当时，直线l与圆O恰好相切．
（1）求圆O的方程；
（2）若直线l上存在距离为2的两点M，N，在圆O上存在一点P，使得，求实数k的取值范围．
15．（2023高三上·长沙月考）的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，点O为的内心，记，，的面积分别为，，，已知，.
（1）在①；②；③中选一个作为条件，判断是否存在，若存在，求出的周长，若不存在，说明理由.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）
（2）若为锐角三角形，求面积的取值范围.
16．（2023高三上·梅江月考）在中，角，，所对的边分别为，，，且满足．
（1）求角的大小；
（2）求的取值范围．
17．（2019高一下·重庆期中）如图，已知菱形 的边长为2， ，动点 满足 ， .
（1）当 时，求 的值；
（2）若 ，求 的值.
18．（2018高二下·黑龙江月考）已知 是椭圆的左、右焦点， 为坐标原点，点 在椭圆上，线段 与 轴的交点 满足 .
（1）求椭圆的标准方程；
（2）圆 是以 为直径的圆，一直线 与之相切，并与椭圆交于不同的两点 、 ，当 且满足 时，求 的面积 的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】（1）解：设直线方程为，代入，得，
设，则，，，
∴，，即，设，由，消去得中点的轨迹方程为
（2）解：设，，∵，，
∴，∴，
由点在抛物线上，得，
又∵，∴，点到直线的距离，
又，
所以，的面积为，
设，有，
由可得，由可得，
故在上是减函数，在上是增函数，
因此，当时取到最小值，，此时，
所以，面积的最小值是.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；共线（平行）向量；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)设直线方程为与抛物线联立求出 中点M坐标，消去参数t得到点的轨迹方程；
(2)设，，求出点A的坐标代入抛物线化简得，再利用点到直线距离公式和弦长公式求出的面积，再利用导数求其面积的最小值.
2．【答案】（1）解：因为，，
所以，
（2）解：设，，，、、、、、、，
则，，故①不成立，
，，
，
因为，，
所以
，故②正确；
，，
，，
设，，，
则，，
，
所以，故，即③错误；
（3）解：设满足条件的，，、，
则，，
因为为任意的复数，不妨设且，
由定义可得，即，则，
所以，则，
以下证明对任意的，不等式恒成立，只需计算的最小值，
不妨令，则，
则
，
当，时取得最小值，此时与之前得到的相同，结论得证；
推广结论：对于任意复向量，，若对于任意的，当且仅当时，取到最小值.
【知识点】向量的模；平面向量加法运算；平面向量的数量积运算；复数代数形式的混合运算
【解析】【分析】(1)根据题目条件计算求解；
(2)根据题目条件和复数代数式运算法分别证明；
(3)设满足条件的，，、，求出 ，再证明 ， 不妨令 ， 则，进而求证明不等式.
3．【答案】证明：因为，，
所以
所以，
所以，的夹角为．
所以．
又，，
所以，
所以为等腰直角三角形．
【知识点】向量的几何表示；数量积表示两个向量的夹角；复数在复平面中的表示；复数代数形式与三角形式的互化
【解析】【分析】将复数化成三角形式并运算，即可求得zw，z w3的值，进而求得点对应的复数对应的向量夹角为，从而可得，再求出即可证明.
4．【答案】（1）解：因为椭圆焦点在轴上且经过点，所以，
又因为，所以，又，
解得，
所以椭圆方程为；
（2）解：如图所示，
由（1）知，所以直线，设，
联立，可得，
易得，所以，
所以，
而，
解得，
所以直线方程为或者；
（3）解：如图所示，
过作交于点，所以为点到直线的距离，
即，所以，
又
，
所以，
所以.
【知识点】平面向量的数量积运算；平面内点到直线的距离公式；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)由得焦点在x轴上，，利用离心率公式以及a，b，c之间的关系，列出等式即可求解.
(2)设出直线l的方程和M，N两点的坐标，联立直线l的方程与椭圆方程，转化为一元二次方程，利用韦达定理表示，即可求解.
(3)过作交于点，利用点到直线的距离公式得到|OP|，利用韦达定理，代入弦长公式求解即可.
5．【答案】（1）解：设，则
，
，
则，
解得
则F为AC的中点，由分别为的中点，
于是，又平面平面，
所以平面．
（2）解：过点O作交于点，设，
由，得，且，
由(1)可知，则，
所以，
因此，
所以
所以为二面角的平面角
因为分别为的中点
所以为的重心
即有，又，
所以，
解得，同理得，
因为，
所以，则，
从而，，
在中，，
于是
所以平面与平面夹角的余弦值为
【知识点】平面向量的线性运算；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）要证明 平面，只需证明点F是AC的中点，设，由于，所以用AC，BC为基底表示BF，AO，从而算出即F 为AC中点，结论得证；
（2）先过点O作交于点，设，根据已知推出为二面角的平面角，因为分别为的中点，所以为的重心，计算得出DH，OH，再利用余弦定理求得平面与平面夹角的余弦值。
6．【答案】（1）解：在中，，
即，
由余弦定理得，，
即，
即，
即，
在中，，则，
又∵，∴；
（2）解：，
由正弦定理得，∴，
则
，
由余弦定理得，
∴＝；
（3）解：∵，
∴，
sinAsinB≠0，上式两边同时除以2sinAsinB得，
两边同时乘以：，
∴①，
如图，
∵O是△ABC的外心，∴，
∴，
同理，，
代入①式得，
由正弦定理，得，，
代入化简得，
∴．
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；二倍角的余弦公式；解三角形；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】(1)根据题意利用余弦定理边化角可得 ， 进而结合三角恒等变换运算求解；
(2)根据题意利用正弦定理角化边可得 ，结合余弦定理运算求解；
(3)根据题意利用数量积的定义可得 ，结合外接圆的性质可得 ， 再结合正弦定理运算求解.
7．【答案】（1）解：由已知，设点的坐标分别为，
又点的坐标为，且，
所以解得，
所以椭圆的方程为.
（2）解：设，则依据得，
整理得，
又故
得，即，
，又，得，
又，故，且，
故实数的取值范围为.
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积坐标表示的应用；椭圆的标准方程；圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【分析】 (1)利用向量数量积可得到b，c关系式，结合离心率和求解出a，b，即可求解；
(2)设出A，B坐标，根据向量共线表示出对应坐标关系， 再利用点差法结合已知坐标关系进行化简，从而得到关于的表示，利用椭圆的有界性可求的范围.
8．【答案】（1）解：由题意得解得：∴椭圆C的标准方程为
（2）解：设直线l的方程为代入椭圆的方程消去y得：
，，
=-2代入①和②得：得：=-2，解得：；
（3）解：设直线l的方程为代入椭圆的方程消去y得：
由解得
=③
把①和②代入③得：=4，④又
+=16，，，
④中当且仅当即时，等号成立，的面积的最大值为
【知识点】平面向量的坐标运算；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用椭圆 过点 以及 左焦点为 结合a，b，c关系即可求解；
（2）设直线l的方程为 与椭圆方程联立，结合韦达定理与向量坐标运算即可求解；
（3） 设直线l的方程为 与椭圆方程联立消去y，结合韦达定理与面积公式进行化简，再根据得出k，m之间关系，利用基本不等式求面积最大值.
9．【答案】（1）解：当斜率不存在时，显然与圆相切；
当斜率存在时，设切线为，由圆心到切线的距离为2，
，解得，则，整理得.
综上，切线方程为和.
（2）解：设点，点，点且点是线段的中点
，由题意，点是圆上任意一点
，即，符合题意
点运动的轨迹的方程为
（3）解：由题设，.若存在，由题意可不妨设的方程为，由题意分析可得为正数.
联立
……（i）
设.
由求根公式
，
.
由此可进一步推知：……（ii）
（ii）在（i）的限制下有解，故存在这样的直线
并且可以解得直线的斜率或
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；轨迹方程；圆的切线方程；直线和圆的方程的应用
【解析】【分析】 (1) 分类讨论直线斜率是否存在，结合切线关系分析求解；
(2)设点，利用相关点法分析求解；
(3) 不妨设的方程为，联立方程利用可得，，结合运算求解.
10．【答案】（1）解：，
所以，向量；
（2）解：由已知，有，，
；
（3）解：设，，求的斜坐标表示公式，
，，
，
或，设，，的充要条件为.
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量的坐标运算；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积坐标表示的应用
【解析】【分析】(1)根据向量的线性运算、新定义运算可得答案.
(2)根据向量的数量积运算可得答案；
(3)设，，求的斜坐标表示公式，根据向量的数量积运算可得答案或设，，的充要条件为.
11．【答案】（1）解：设的最小正周期为，
因为，，
所以，
所以，，
所以，，
因为，所以，
因为，所以，
所以，
将点的坐标代入，得，
所以，解得，
因为，所以，
所以；
（2）解：将的图象向右平移个单位长度后，
可得的图象，
再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到的图象.
由，可得，
所以，
所以，
所以在上的值域为.
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】(1)由题意结合图象可得 ，求出和 ，再由求出，将点 代入求出，写出的解析式；
(2)根据三角函数图象变换规律求出得 ，再由得 ，然后根据正弦函数的性质求的值域.
12．【答案】（1）解：依题意，.
当时，的面积为，
则，
得.
由余弦定理得，
即，，，.
故椭圆E的方程为
（2）解：由题意知直线的斜率不为0，设其方程为，
设点，，
联立方程可得，
得到，
.
又，，
.
.
令，，上式，
当且仅当，即时，取得最小值.
【知识点】基本不等式；直线与圆锥曲线的综合问题；余弦定理
【解析】【分析】（1）根据三角形的面积公式可得：再利用余弦定理和椭圆的定义即可解得：，从而求出椭圆方程；
（2）由题意知直线的斜率不为0，可巧设其方程为然后联立直线及椭圆的方程消去x得到：利用韦达定理即弦长公式可得：根据题意得到：，则，然后利用换元的思想及基本不等式求出最小值即可求解.
13．【答案】（1）解：可得，
解得，
设，则，
由余弦定理得，
所以.
因为为的平分线，
所以，
又，则.
（2）解：因为，由（1）得，
设，
由余弦定理得，
所以，
因为，
所以，当时取等号，
所以，
所以，当时取等号，
所以的最小值为.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；余弦定理
【解析】【分析】（1）联立所给等式可得，整理后利用余弦定理可得， 因为CD为的平分线，结合三角形面积公式可得，所以 . 即可求解.
（2） 由余弦定理可得，所以，结合基本不等式即可求解.
14．【答案】（1）解：当时．圆心O到直线l的距离为，则r＝2，
所以圆O的方程为．
（2）解：圆心O到直线l的距离
①当直线l与圆O有公共点，即，解得，
若点P与点M（或N）重合，则满足，符合题意．
②当直线l与圆O无公共点，即，解得或，
由，可知点P在以MN为直径的圆上，设线段MN的中点为，
则圆Q的方程为，
又圆Q与圆O有公共点，设圆Q的半径，圆O的半径，
则，
只需点O到直线l的距离，
所以或．
综上，实数k的取值范围为．
【知识点】向量在几何中的应用；平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）当时，由直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，列式求解即可；
（2）圆心到直线的距离为，分直线与圆有公共点和直线与圆无公共点两种情况讨论，再结合，可知点在以为直径的圆上，根据两圆有公共点列式求解即可.
15．【答案】（1）解：设的内切圆半径为r，因为，
所以，化简得：，
所以，因为，所以，
选择①，因为，所以，
因为，，所以，
整理得，
方程无实数解，所以不存在．
选择②，因为，所以，
因为，所以，所以，
因为，，所以，
整理得，方程无实数解，所以不存在．
选择③，由得：，
所以，即，所以，
因为以，，
所以，所以，解得，
所以存在且唯一，的周长为．
（2）解：由（1）知，，面积，
因为，所以，
因为为锐角三角形，
所以，，解得：，
所以，所以，，，
所以的取值范围为，
而面积.
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）设内切圆半径为r，将 、 、代入 即可化简得出，再根据余弦定理即可求出；
若选①，可通过余弦定理将 转化为， 再通过 与 消元可得 ， 根据方程的解即可判断；
若选②，根据二倍角公式可将 转化 ，利用边角互化可得 ， 结合 ，，可得，根据方程的解即可判断；
若选③，利用二倍角公式可将 转化为 ，再利用边角互化可得 ， 结合 可得，求解即可判断；
（2）利用面积公式、正弦定理和 可得 ， 根据的范围，即可求出面积的取值范围.
16．【答案】（1）解：，化简可得，
，，
，
，，
即，又，
则，，则；
（2）由正弦定理可得
因为，所以，则，
所以，故，
所以的取值范围为，．
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的余弦公式；含三角函数的复合函数的值域与最值；正弦定理；辅助角公式
【解析】【分析】 (1) 利用正弦两角和展开式和正弦定理化简得，结合辅助角公式求解角的大小；
(2)利用正弦定理再结合余弦的二倍角公式，和差化积公式化简得 ，再结合角B的取值范围求解的取值范围．
17．【答案】（1）解：当 时， 分别为 的中点，
此时易得 且 的夹角为 ，则
；
（2）解：
，故 .
【知识点】平面向量的数量积运算；平面向量的综合题
【解析】【分析】(1) 时， 分别为 的中点，可得 ，根据模长的计算公式得到结果；（2）根据平面向量基本定理得到 按照向量点积公式展开得到结果.
18．【答案】（1）解：因为 ，所以 是线段 的中点，所以 是 的中位线，又 所以 ，所以 又因为 ， ，
解得 ，所以椭圆的标准方程为 .
（2）解：因为直线 与 圆 相切，所以 ，即
联立 得 .
设
因为直线 与椭圆交于不同的两点 、 ，
所以 ，
，
，又因为 ，所以
解得 .
，
设 ，则 单调递增，
所以 ，即
【知识点】平面向量的综合题；圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（1）先由已知向量的条件，得到OM 是中位线，求出c=1，再由已知点P在椭圆上列式，求出a2=2 ， b2=1，即可写出椭圆的标准方程.
（2）先由直线与圆相切列式，得到m2=k2+1，再把椭圆方程和直线方程联立，利用直线与椭圆交于不同的两点，讨论得到k2的范围，最后写出△OAB 的面积 S的表达式，利用函数的单调性，即可求出面积 S的取值范围.
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