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备考2024年高考数学提升专题特训：平面向量
一、解答题
1．（2023高二上·广州月考）已知平面向量，满足，，．
（1）求与的夹角；
（2）求．
【答案】（1）解：设 与 的夹角为 ，
因为 ， ， ，
所以 ，
又 ，
所以 ，
即 与 的夹角为 ；
（2）解：由题意得，
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】本题考查向量的夹角与模的运算。
(1)将已知代入向量夹角的余弦公式，即可求解；
(2)向量所以，结合已知与（1）即可 求解。‘
2．（2023高二上·长沙开学考）已知平面内的三个向量，，．
（1）若，求的值；
（2）若向量与向量共线，求实数的值．
【答案】（1）解：根据题意，向量，，．
若，则，
则有，解可得，故；
（2）解：根据题意，，，
若向量与向量共线，则有，
解可得：．
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的坐标运算；平面向量共线（平行）的坐标表示；相等向量
【解析】【分析】(1)根据已知向量，，的坐标，结合向量的坐标运算法则即可求解.
(2)先求出向量与向量的坐标，再结合共线向量的性质即可.
3．（2023高二上·朝阳开学考）向量与的夹角为，，，，．
（1）请用，t的关系式表示；
（2）在时取得最小值．当时，求夹角的取值范围．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴．
（2）解：由（1）可知，
，
且，故．
【知识点】二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系；向量的模；平面向量减法运算；余弦函数的性质
【解析】【分析】(1)根据向量的减法求 ，再根据模长公式求；
(2)取二次函数的对称轴时，取最小值解不等式求出的范围，再求夹角的取值范围.
4．（2023高二上·双鸭山开学考）
（1）已知，且，，求.
（2）已知向量，，求与的夹角值.
【答案】（1）因为 ， 则或，则，
所以 .
（2）因为
则，且，所以.
【知识点】共线（平行）向量；平面向量数量积定义与物理意义；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积坐标表示的应用
【解析】【分析】(1)根据向量共线可得或，结合数量积的定义运算求解；
(2)根据数量积和模长公式结合向量夹角的计算公式分析求解.
5．（2023高二上·杭州月考）如图，在三棱锥中，是正三角形，，，D是AB的中点．
（1）证明：；
（2）若二面角为，求直线BC与平面PAB所成角的正弦值．
【答案】（1）证明：取AC的中点O，连接OP，OD，
因为是正三角形，所以，
因为D是AB的中点，所以，
因为，所以，
又，PO，面POD，所以面POD，
又因为面POD，所以．
（2）解：以OA，OD为x轴，y轴，过O作z轴底面ABC，建立如图空间直角坐标系，
则，，，，
易得，又，则，
由得直线BC的一个方向向量为，
设平面PAB的法向量为，，，
则，令，则平面PAB的一个法向量为，
记直线BC与平面PAB所成角为，那么．
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；空间中直线与直线之间的位置关系；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1） 取AC的中点O，连接OP，OD，利用三角形是正三角形结合正三角形三线合一，所以，再利用D是AB的中点，所以，再结合，所以，再利用线线垂直证出线面垂直，所以面POD，再结合线面垂直的定义证出线线垂直，从而证出。
（2） 以OA，OD为x轴，y轴，过O作z轴底面ABC，建立空间直角坐标系，再利用已知条件结合二面角的求解方法得出点的坐标，由得直线BC的一个方向向量，再结合平面的法向量求解方法得出平面PAB的法向量，再利用数量积求向量夹角公式和诱导公式得出直线BC与平面PAB所成角的正弦值。
6．（2022高二下·福州期中）如图，在四棱锥中，四边形BCDE为梯形，，，平面平面BCDE，．
（1）求证：平面BCDE；
（2）若，求平面CAB与平面DAB夹角的余弦值．
【答案】（1）证明：因为平面平面BCDE，平面平面，
，平面BCDE，所以平面AED，
因为平面AED，所以，
因为，，平面BCDE，所以平面BCDE．
（2）解：因为平面BCDE，，所以BE，DE，AE两两互相垂直，以E点为原点，EB，ED，EA所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．
得各点坐标分别为：、、、，
得，，．
设平面CAB的一个法向量为，由，，
得，令得，，从而．
设平面ABD的一个法向量为，由，，
得，令得，，从而．
，
所以平面CAB与平面DAB夹角的余弦值为．
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)根据题意由面面垂直的性质定理即可得出线线垂直，再由已知条件结合线面垂直的判定定理即可得证出结论。
(2)由已知条件得出线线垂直由此意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面CAD法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面CAD的法向量的坐标，同理即可求出平面ABD的法向量；结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，由此得到平面CAB与平面DAB夹角的余弦值 。
7．（2023高三下·浙江月考）在中，角的对边分别为且，
（1）求；
（2）求边上中线长的取值范围．
【答案】（1）解：因为，
由正弦定理可得，
整理得，
且，则，可得，即，
且，则，
由正弦定理，其中为的外接圆半径，
可得，
又因为，
所以.
（2）解：在中，由余弦定理，即，
则，当且仅当时，等号成立，
可得，即
设边上的中点为D，
因为，则
，
即，所以边上中线长的取值范围为.
【知识点】平面向量数量积的性质；平面向量的数量积运算；三角函数的化简求值；解三角形；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】 (1) 利用正弦定理结合三角恒等变换可得 ， 进而结合正弦定理解三角形即可；
(2)利用余弦定理结合基本不等式可得 ，根据中线的性质结合平面向量的数量积运算求解.
8．（2023高二上·重庆市月考）已知点，依次为双曲线：的左右焦点，，，.
（1）若，以为方向向量的直线经过，求到的距离.
（2）在（1）的条件下，双曲线上是否存在点，使得，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：由题意可知：，，，
则，可知双曲线的方程为，
因为为直线的方向向量，则直线的斜率，
且点在直线上，则直线方程为，即，
所以到的距离
（2）解：由题意可知：，设，
则，
因为，整理得：，
由点在双曲线上，则，
可得：，即，
所以，无解，所以不存在.
【知识点】平面向量的数量积运算；平面内点到直线的距离公式；双曲线的定义；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；双曲线的应用
【解析】【分析】（1）根据双曲线的几何性质以及直线的点斜式方程可求出双曲线方程以及直线的方程，从而求得点到直线的距离；
（2）设，根据数量积的坐标运算结合双曲线方程运算求解.
9．（2023高二上·绍兴期中）已知空间向量，.
（1）若与共线，求实数的值；
（2）若与所成角是锐角，求实数的范围．
【答案】（1）解：由已知可得，．
因为与共线，所以，解得．
（2）解：由（1）知，．
所以，∴．
又当时，与共线，
所以实数的范围为．
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合向量的坐标运算和向量共线的坐标表示，进而得出实数k的值。
（2）利用已知条件转化为数量积大于0 ，注意剔除共线的情况，进而得出实数k的取值范围。
10．（2023高一下·浙江期中）已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，，且．
（1）求角C的值；
（2）若，求周长的取值范围．
【答案】（1）解：，
（法一），，，
∴，则，又为锐角三角形，故.
（法二）则，，
∴，且为锐角三角形，故.
（2）解：，，
由于为锐角三角形，则，且，解得，
（法一）周长
，而，即，
∴，故的周长l的取值范围为．
（法二）由上，由余弦定理得，
周长，
记，则在单调递增，
∴的周长l的取值范围为．
【知识点】函数的值域；平面向量数量积的坐标表示；两角和与差的正弦公式；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合数量积的坐标表示结合余弦定理和三角形中角的取值范围或两角和的正弦公式以及三角形内角和定理和诱导公式、三角形中角的取值范围，进而得出角C的值。
（2）利用已知条件结合正弦定理和两角差的正弦公式得出 ，，由于为锐角三角形和三角形内角和定理，进而由不等式的基本性质，从而得出角A的取值范围。
（法一）利用三角形的周长公式和二倍角的正弦公式和余弦公式、同角三角函数基本关系式，进而得出三角形周长，再利用角A的取值范围和正切型函数的图象求值域的方法得出三角形的周长l的取值范围；
（法二）由结合余弦定理和三角形的周长公式得出三角形周长，记，再利用函数的单调性求值域的方法得出三角形的周长l的取值范围。
11．（2023高三上·东莞月考）已知平面直角坐标系中，，，，．
（1）求的最小正周期和对称中心；
（2）求在区间上的单调递增区间．
【答案】（1）解：由题设知，，
，则
故最小正周期为
对称中心横坐标满足，即
对称中心是
（2）解：当时单增，
即
又，故的递增区间为和
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】 (1)首先求出向量的坐标，从而求出，从而可得其周期为，再令，即可求出f(x)的对称中心；
(2)由正弦函数的单调增区间可知，k∈Z，解此不等式可求出f(x)的单调增区间，然后给k赋值，
即可f(x)在上的增区间.
12．（2023·吉林模拟）已知向量，．
（1）若且，求；
（2）若函数，求的单调递增区间．
【答案】（1）解：，
即
或
或
（2）解：
令
的单调递增区间是
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；正切函数的图象与性质
【解析】【分析】
（1）根据向量共线的坐标表示，列出方程，即可求解；
（2）化简的解析式为，然后利用整体代入法，求得的单调递增区间.
13．（2023高三上·肇东月考）已知空间有不重合的四点．
（1）若，求点的坐标；
（2）若是平面的一个法向量，求和的值．
【答案】（1）解：，
因为，故存在实数，使得，
即，
故解得
点的坐标为；
（2）解：因为是平面的一个法向量，故，
又，，
故，
解得．
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面的法向量；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】
(1) 求出 的坐标，根据向量平行得到存在实数使得 ，列方程组求出，得到点的坐标；
(2)由法向量得到，所以， 代入向量坐标求出a、b即可.
14．（2023高三上·衡水模拟） 已知点到的距离是点到的距离的2倍.
（1）求点的轨迹方程；
（2）若点与点关于点对称，过的直线与点的轨迹交于两点，则是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
【答案】（1）解：设点，由题意可得，
即，
化简可得.
（2）解：设点，由（1）知点满足方程（，
则
代入上式整理可得，即点的轨迹方程为，如图所示，
当直线的斜率存在时，设其斜率为，
则直线的方程为，
由消去，得，显然，
设，则，，
又，
则..
当直线的斜率不存在时，，.
故是定值，.
【知识点】平面向量数量积坐标表示的应用；平面内两点间距离公式的应用；圆的标准方程；直线和圆的方程的应用
【解析】【分析】 (1)设点P(x，y)，利用两点坐标求距离公式计算化简即可；
(2)设，根据中点坐标公式代入圆P方程中可得Q的轨迹方程，直线l的方程、，，联立圆Q方程，利用韦达定理表示出，，结合向量数量积的坐标表示化简计算即可求解；
15．（2023高二上·成都月考）在锐角中，分别为角A B C所对的边，且.
（1）求角.
（2），求的面积.
【答案】（1）解：由得，
因为，所以，则，
因为为锐角三角形，所以.
（2）解：由余弦定理得，整理得，
又，则，
所以.
【知识点】正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）根据正弦定理将，转化为，由角A、C的范围即可确定.
（2）根据余弦定理结合已知条件，求出ab=6，利用三角形面积公式计算即可.
16．（2023高二上·闽清月考）已知圆经过三点.
（1）求圆的方程；
（2）已知斜率为的直线经过第三象限，且与圆交于点，求的面积的取值范围.
【答案】（1）设圆的方程为，将三点坐标代入，
则，解得
则圆的方程为；
（2）由（1）知圆的方程为，
即圆心，半径为，
可设直线方程：，
圆心到直线的距离为，
由于，且直线与圆交于两点，因此，即，
线段，因此的面积，
由于，则，因此，
所以的取值范围为.
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的一般方程；直线与圆的位置关系；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合圆的一般方程和代入法，进而解方程组得出D，E，F的值，从而得出圆M的一般方程.
（2）由（1）知圆M的标准方程，从而得出圆心坐标和半径长，设出直线方程，再结合点到直线的距离公式得出圆心到直线l的距离d与k的关系式，再利用直线的斜率的取值范围得出d的取值范围，再结合弦长公式和三角形的面积公式得出三角形的面积与d的二次函数的关系式，再由d的取值范围和二次函数的图象求最值的方法，进而得出三角形的面积的取值范围.
17．（2024·安徽模拟）在中，，，分别是的内角，，所对的边，且
（1）求角的大小
（2）记的面积为，若，求的最小值．
【答案】（1）解：由正弦定理将，
变形得，
整理得：，
由余弦定理得，
为三角形的内角，所以；
（2）解：由题意得：，
所以 ，
则；
当且仅当时取最小值．
所以最小值为．
【知识点】正弦定理；余弦定理；正弦定理的应用
【解析】【分析】（1）利用正弦定理将边角化统一，再由余弦定理求解即可；
（2）根据题意，可得，求出，由三角形的面积公式求出，再结合基本不等式求解即可.
18．（2023高二下·黔西期末）在中，角所对的边分别为，．
（1）求角；
（2）若的面积为，且，求的周长．
【答案】（1）解：，
由正弦定理得，即，
即，，
，
（2）解：，
又，
所以，即（负值舍去），
又，所以的周长为.
【知识点】解三角形；正弦定理；正弦定理的应用
【解析】【分析】（1）首先根据正弦定理，将等式左右两边的边转换为三角，再结合三角形内角和为，将∠C转换为∠B与∠A，最后得到∠A的正切值，再求出∠A值.
（2）利用三角函数表达出三角形面积，再结合余弦定理，化简求的值，得到三角形周长.
19．（2022高一下·邗江期中）已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数.
（1）若函数，求函数的伴随向量；
（2）若函数的伴随向量为，且函数在上有且只有一个零点，求的最大值；
（3）若函数的伴随向量为，，若实数，，使得对任意实数恒成立，求的值．
【答案】（1）解：=，
函数的伴随向量为
（2）解：，即，，
函数在上有且只有一个零点，
当时，，
当时，，函数在上有且只有一个零点，
则的最大值为
（3）解：由题意可知：
因此：，
所以，
由已知条件，上式对任意恒成立，必有，
若，由（1）知：，不满足（3）式，故，
由（2）知：，故或，
当时，则（1）、（3）矛盾，
故，则，
由（1）、（3）知：，
综上，原式
【知识点】平面向量的综合题；函数的零点
【解析】【分析】(1)利用两角和的余弦公式结合伴随向量的定义即可求解；
(2)根据题意可得， 即 ，利用正切函数的性质即可得解；
(3)根据题意可得， 对任意恒成立 则有，从而可得出答案.
20．（2022高一下·湖北期中）已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数.
（1）记向量的相伴函数为，若当且时，求的值；
（2）已知，，为的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点P，使得.若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由.
（3）记向量的相伴函数为，若当时不等式恒成立，求实数k的取值范围.
【答案】（1）解：向量的相伴函数为，
所以
∵，
∴.
∵，∴，∴.
所以
（2）解：由为的相伴特征向量知：
所以.
设，∵，，∴，，
又∵，∴∴.
，∴
∵，∴，
∴.又∵，
∴当且仅当时，和同时等于，这时（*）式成立.
∴在图像上存在点，使得
（3）解：向量的相伴函数为
当时，，
即，恒成立.
所以①当，即时，，所以，
即，由于，所以的最小值为，所以；
②当，，不等式化为成立.
③当，时，，所以，
即，由于，所以的最大值为，所以.
综上所述，k的取值范围是
【知识点】平面向量的综合题；两角和与差的正弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【分析】（1）根据相伴函数的定义以及两角和的正弦公式得，再由得，结合以及同角三角函数基本关系得，即可求得的值；
（2）由题意可得，即，设，根据，化简即可求得；
（3）由题意得，原不等式转化为恒成立，分，，三种情况讨论，求实数k的取值范围.
1 / 1备考2024年高考数学提升专题特训：平面向量
一、解答题
1．（2023高二上·广州月考）已知平面向量，满足，，．
（1）求与的夹角；
（2）求．
2．（2023高二上·长沙开学考）已知平面内的三个向量，，．
（1）若，求的值；
（2）若向量与向量共线，求实数的值．
3．（2023高二上·朝阳开学考）向量与的夹角为，，，，．
（1）请用，t的关系式表示；
（2）在时取得最小值．当时，求夹角的取值范围．
4．（2023高二上·双鸭山开学考）
（1）已知，且，，求.
（2）已知向量，，求与的夹角值.
5．（2023高二上·杭州月考）如图，在三棱锥中，是正三角形，，，D是AB的中点．
（1）证明：；
（2）若二面角为，求直线BC与平面PAB所成角的正弦值．
6．（2022高二下·福州期中）如图，在四棱锥中，四边形BCDE为梯形，，，平面平面BCDE，．
（1）求证：平面BCDE；
（2）若，求平面CAB与平面DAB夹角的余弦值．
7．（2023高三下·浙江月考）在中，角的对边分别为且，
（1）求；
（2）求边上中线长的取值范围．
8．（2023高二上·重庆市月考）已知点，依次为双曲线：的左右焦点，，，.
（1）若，以为方向向量的直线经过，求到的距离.
（2）在（1）的条件下，双曲线上是否存在点，使得，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由.
9．（2023高二上·绍兴期中）已知空间向量，.
（1）若与共线，求实数的值；
（2）若与所成角是锐角，求实数的范围．
10．（2023高一下·浙江期中）已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，，且．
（1）求角C的值；
（2）若，求周长的取值范围．
11．（2023高三上·东莞月考）已知平面直角坐标系中，，，，．
（1）求的最小正周期和对称中心；
（2）求在区间上的单调递增区间．
12．（2023·吉林模拟）已知向量，．
（1）若且，求；
（2）若函数，求的单调递增区间．
13．（2023高三上·肇东月考）已知空间有不重合的四点．
（1）若，求点的坐标；
（2）若是平面的一个法向量，求和的值．
14．（2023高三上·衡水模拟） 已知点到的距离是点到的距离的2倍.
（1）求点的轨迹方程；
（2）若点与点关于点对称，过的直线与点的轨迹交于两点，则是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
15．（2023高二上·成都月考）在锐角中，分别为角A B C所对的边，且.
（1）求角.
（2），求的面积.
16．（2023高二上·闽清月考）已知圆经过三点.
（1）求圆的方程；
（2）已知斜率为的直线经过第三象限，且与圆交于点，求的面积的取值范围.
17．（2024·安徽模拟）在中，，，分别是的内角，，所对的边，且
（1）求角的大小
（2）记的面积为，若，求的最小值．
18．（2023高二下·黔西期末）在中，角所对的边分别为，．
（1）求角；
（2）若的面积为，且，求的周长．
19．（2022高一下·邗江期中）已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数.
（1）若函数，求函数的伴随向量；
（2）若函数的伴随向量为，且函数在上有且只有一个零点，求的最大值；
（3）若函数的伴随向量为，，若实数，，使得对任意实数恒成立，求的值．
20．（2022高一下·湖北期中）已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数.
（1）记向量的相伴函数为，若当且时，求的值；
（2）已知，，为的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点P，使得.若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由.
（3）记向量的相伴函数为，若当时不等式恒成立，求实数k的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】（1）解：设 与 的夹角为 ，
因为 ， ， ，
所以 ，
又 ，
所以 ，
即 与 的夹角为 ；
（2）解：由题意得，
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】本题考查向量的夹角与模的运算。
(1)将已知代入向量夹角的余弦公式，即可求解；
(2)向量所以，结合已知与（1）即可 求解。‘
2．【答案】（1）解：根据题意，向量，，．
若，则，
则有，解可得，故；
（2）解：根据题意，，，
若向量与向量共线，则有，
解可得：．
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的坐标运算；平面向量共线（平行）的坐标表示；相等向量
【解析】【分析】(1)根据已知向量，，的坐标，结合向量的坐标运算法则即可求解.
(2)先求出向量与向量的坐标，再结合共线向量的性质即可.
3．【答案】（1）解：∵，
∴，
∴．
（2）解：由（1）可知，
，
且，故．
【知识点】二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系；向量的模；平面向量减法运算；余弦函数的性质
【解析】【分析】(1)根据向量的减法求 ，再根据模长公式求；
(2)取二次函数的对称轴时，取最小值解不等式求出的范围，再求夹角的取值范围.
4．【答案】（1）因为 ， 则或，则，
所以 .
（2）因为
则，且，所以.
【知识点】共线（平行）向量；平面向量数量积定义与物理意义；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积坐标表示的应用
【解析】【分析】(1)根据向量共线可得或，结合数量积的定义运算求解；
(2)根据数量积和模长公式结合向量夹角的计算公式分析求解.
5．【答案】（1）证明：取AC的中点O，连接OP，OD，
因为是正三角形，所以，
因为D是AB的中点，所以，
因为，所以，
又，PO，面POD，所以面POD，
又因为面POD，所以．
（2）解：以OA，OD为x轴，y轴，过O作z轴底面ABC，建立如图空间直角坐标系，
则，，，，
易得，又，则，
由得直线BC的一个方向向量为，
设平面PAB的法向量为，，，
则，令，则平面PAB的一个法向量为，
记直线BC与平面PAB所成角为，那么．
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；空间中直线与直线之间的位置关系；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1） 取AC的中点O，连接OP，OD，利用三角形是正三角形结合正三角形三线合一，所以，再利用D是AB的中点，所以，再结合，所以，再利用线线垂直证出线面垂直，所以面POD，再结合线面垂直的定义证出线线垂直，从而证出。
（2） 以OA，OD为x轴，y轴，过O作z轴底面ABC，建立空间直角坐标系，再利用已知条件结合二面角的求解方法得出点的坐标，由得直线BC的一个方向向量，再结合平面的法向量求解方法得出平面PAB的法向量，再利用数量积求向量夹角公式和诱导公式得出直线BC与平面PAB所成角的正弦值。
6．【答案】（1）证明：因为平面平面BCDE，平面平面，
，平面BCDE，所以平面AED，
因为平面AED，所以，
因为，，平面BCDE，所以平面BCDE．
（2）解：因为平面BCDE，，所以BE，DE，AE两两互相垂直，以E点为原点，EB，ED，EA所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．
得各点坐标分别为：、、、，
得，，．
设平面CAB的一个法向量为，由，，
得，令得，，从而．
设平面ABD的一个法向量为，由，，
得，令得，，从而．
，
所以平面CAB与平面DAB夹角的余弦值为．
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)根据题意由面面垂直的性质定理即可得出线线垂直，再由已知条件结合线面垂直的判定定理即可得证出结论。
(2)由已知条件得出线线垂直由此意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面CAD法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面CAD的法向量的坐标，同理即可求出平面ABD的法向量；结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，由此得到平面CAB与平面DAB夹角的余弦值 。
7．【答案】（1）解：因为，
由正弦定理可得，
整理得，
且，则，可得，即，
且，则，
由正弦定理，其中为的外接圆半径，
可得，
又因为，
所以.
（2）解：在中，由余弦定理，即，
则，当且仅当时，等号成立，
可得，即
设边上的中点为D，
因为，则
，
即，所以边上中线长的取值范围为.
【知识点】平面向量数量积的性质；平面向量的数量积运算；三角函数的化简求值；解三角形；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】 (1) 利用正弦定理结合三角恒等变换可得 ， 进而结合正弦定理解三角形即可；
(2)利用余弦定理结合基本不等式可得 ，根据中线的性质结合平面向量的数量积运算求解.
8．【答案】（1）解：由题意可知：，，，
则，可知双曲线的方程为，
因为为直线的方向向量，则直线的斜率，
且点在直线上，则直线方程为，即，
所以到的距离
（2）解：由题意可知：，设，
则，
因为，整理得：，
由点在双曲线上，则，
可得：，即，
所以，无解，所以不存在.
【知识点】平面向量的数量积运算；平面内点到直线的距离公式；双曲线的定义；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；双曲线的应用
【解析】【分析】（1）根据双曲线的几何性质以及直线的点斜式方程可求出双曲线方程以及直线的方程，从而求得点到直线的距离；
（2）设，根据数量积的坐标运算结合双曲线方程运算求解.
9．【答案】（1）解：由已知可得，．
因为与共线，所以，解得．
（2）解：由（1）知，．
所以，∴．
又当时，与共线，
所以实数的范围为．
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合向量的坐标运算和向量共线的坐标表示，进而得出实数k的值。
（2）利用已知条件转化为数量积大于0 ，注意剔除共线的情况，进而得出实数k的取值范围。
10．【答案】（1）解：，
（法一），，，
∴，则，又为锐角三角形，故.
（法二）则，，
∴，且为锐角三角形，故.
（2）解：，，
由于为锐角三角形，则，且，解得，
（法一）周长
，而，即，
∴，故的周长l的取值范围为．
（法二）由上，由余弦定理得，
周长，
记，则在单调递增，
∴的周长l的取值范围为．
【知识点】函数的值域；平面向量数量积的坐标表示；两角和与差的正弦公式；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合数量积的坐标表示结合余弦定理和三角形中角的取值范围或两角和的正弦公式以及三角形内角和定理和诱导公式、三角形中角的取值范围，进而得出角C的值。
（2）利用已知条件结合正弦定理和两角差的正弦公式得出 ，，由于为锐角三角形和三角形内角和定理，进而由不等式的基本性质，从而得出角A的取值范围。
（法一）利用三角形的周长公式和二倍角的正弦公式和余弦公式、同角三角函数基本关系式，进而得出三角形周长，再利用角A的取值范围和正切型函数的图象求值域的方法得出三角形的周长l的取值范围；
（法二）由结合余弦定理和三角形的周长公式得出三角形周长，记，再利用函数的单调性求值域的方法得出三角形的周长l的取值范围。
11．【答案】（1）解：由题设知，，
，则
故最小正周期为
对称中心横坐标满足，即
对称中心是
（2）解：当时单增，
即
又，故的递增区间为和
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】 (1)首先求出向量的坐标，从而求出，从而可得其周期为，再令，即可求出f(x)的对称中心；
(2)由正弦函数的单调增区间可知，k∈Z，解此不等式可求出f(x)的单调增区间，然后给k赋值，
即可f(x)在上的增区间.
12．【答案】（1）解：，
即
或
或
（2）解：
令
的单调递增区间是
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；正切函数的图象与性质
【解析】【分析】
（1）根据向量共线的坐标表示，列出方程，即可求解；
（2）化简的解析式为，然后利用整体代入法，求得的单调递增区间.
13．【答案】（1）解：，
因为，故存在实数，使得，
即，
故解得
点的坐标为；
（2）解：因为是平面的一个法向量，故，
又，，
故，
解得．
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面的法向量；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】
(1) 求出 的坐标，根据向量平行得到存在实数使得 ，列方程组求出，得到点的坐标；
(2)由法向量得到，所以， 代入向量坐标求出a、b即可.
14．【答案】（1）解：设点，由题意可得，
即，
化简可得.
（2）解：设点，由（1）知点满足方程（，
则
代入上式整理可得，即点的轨迹方程为，如图所示，
当直线的斜率存在时，设其斜率为，
则直线的方程为，
由消去，得，显然，
设，则，，
又，
则..
当直线的斜率不存在时，，.
故是定值，.
【知识点】平面向量数量积坐标表示的应用；平面内两点间距离公式的应用；圆的标准方程；直线和圆的方程的应用
【解析】【分析】 (1)设点P(x，y)，利用两点坐标求距离公式计算化简即可；
(2)设，根据中点坐标公式代入圆P方程中可得Q的轨迹方程，直线l的方程、，，联立圆Q方程，利用韦达定理表示出，，结合向量数量积的坐标表示化简计算即可求解；
15．【答案】（1）解：由得，
因为，所以，则，
因为为锐角三角形，所以.
（2）解：由余弦定理得，整理得，
又，则，
所以.
【知识点】正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）根据正弦定理将，转化为，由角A、C的范围即可确定.
（2）根据余弦定理结合已知条件，求出ab=6，利用三角形面积公式计算即可.
16．【答案】（1）设圆的方程为，将三点坐标代入，
则，解得
则圆的方程为；
（2）由（1）知圆的方程为，
即圆心，半径为，
可设直线方程：，
圆心到直线的距离为，
由于，且直线与圆交于两点，因此，即，
线段，因此的面积，
由于，则，因此，
所以的取值范围为.
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的一般方程；直线与圆的位置关系；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合圆的一般方程和代入法，进而解方程组得出D，E，F的值，从而得出圆M的一般方程.
（2）由（1）知圆M的标准方程，从而得出圆心坐标和半径长，设出直线方程，再结合点到直线的距离公式得出圆心到直线l的距离d与k的关系式，再利用直线的斜率的取值范围得出d的取值范围，再结合弦长公式和三角形的面积公式得出三角形的面积与d的二次函数的关系式，再由d的取值范围和二次函数的图象求最值的方法，进而得出三角形的面积的取值范围.
17．【答案】（1）解：由正弦定理将，
变形得，
整理得：，
由余弦定理得，
为三角形的内角，所以；
（2）解：由题意得：，
所以 ，
则；
当且仅当时取最小值．
所以最小值为．
【知识点】正弦定理；余弦定理；正弦定理的应用
【解析】【分析】（1）利用正弦定理将边角化统一，再由余弦定理求解即可；
（2）根据题意，可得，求出，由三角形的面积公式求出，再结合基本不等式求解即可.
18．【答案】（1）解：，
由正弦定理得，即，
即，，
，
（2）解：，
又，
所以，即（负值舍去），
又，所以的周长为.
【知识点】解三角形；正弦定理；正弦定理的应用
【解析】【分析】（1）首先根据正弦定理，将等式左右两边的边转换为三角，再结合三角形内角和为，将∠C转换为∠B与∠A，最后得到∠A的正切值，再求出∠A值.
（2）利用三角函数表达出三角形面积，再结合余弦定理，化简求的值，得到三角形周长.
19．【答案】（1）解：=，
函数的伴随向量为
（2）解：，即，，
函数在上有且只有一个零点，
当时，，
当时，，函数在上有且只有一个零点，
则的最大值为
（3）解：由题意可知：
因此：，
所以，
由已知条件，上式对任意恒成立，必有，
若，由（1）知：，不满足（3）式，故，
由（2）知：，故或，
当时，则（1）、（3）矛盾，
故，则，
由（1）、（3）知：，
综上，原式
【知识点】平面向量的综合题；函数的零点
【解析】【分析】(1)利用两角和的余弦公式结合伴随向量的定义即可求解；
(2)根据题意可得， 即 ，利用正切函数的性质即可得解；
(3)根据题意可得， 对任意恒成立 则有，从而可得出答案.
20．【答案】（1）解：向量的相伴函数为，
所以
∵，
∴.
∵，∴，∴.
所以
（2）解：由为的相伴特征向量知：
所以.
设，∵，，∴，，
又∵，∴∴.
，∴
∵，∴，
∴.又∵，
∴当且仅当时，和同时等于，这时（*）式成立.
∴在图像上存在点，使得
（3）解：向量的相伴函数为
当时，，
即，恒成立.
所以①当，即时，，所以，
即，由于，所以的最小值为，所以；
②当，，不等式化为成立.
③当，时，，所以，
即，由于，所以的最大值为，所以.
综上所述，k的取值范围是
【知识点】平面向量的综合题；两角和与差的正弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【分析】（1）根据相伴函数的定义以及两角和的正弦公式得，再由得，结合以及同角三角函数基本关系得，即可求得的值；
（2）由题意可得，即，设，根据，化简即可求得；
（3）由题意得，原不等式转化为恒成立，分，，三种情况讨论，求实数k的取值范围.
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