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备考2024年高考数学提升专题特训：复数
一、解答题
1．（2023高一下·台州期中）已如为虚数单位，复数．
（1）当实数取何值时，是纯虚数；
（2）若，求的值．
2．已知复数，，在复平面内对应的点分别为，，．若，求的值．
3．设，复数，，若是虚数，求实数的取值范围．
4．设满足，，求．
5．用复数乘法公式验证：若，则．
6．已知复数满足，的虚部为．
（1）求复数；
（2）当复数的虚部大于零，设复数，，在复平面上对应的点分别为，，，求的值．
7．（2023高一下·安徽月考）已知复数满足.
（1）求；
（2）求.
8．（2023高一下·深圳期中）已知复数是纯虚数．
（1）求实数的值；
（2）若复数满足，，求复数．
9．（2023高一下·光明期中）已知i是虚数单位，，．
（1）求；
（2）若满足，求实数a，b的值
10．（2023高一下·河北期中）已知复数z满足，.
（1）求；
（2）设，，在复平面内对应的点分别为A，B，C，求.
11．（2023高一下·承德期中）已知虚数z满足.
（1）求证：在复平面内对应的点在直线上；
（2）若是方程的一个根，求与.
12．（2023高一下·浙江月考）已知复数z=m＋2i是方程的根（i是虚数单位，m∈R）
（1）求|z|：
（2）设复数，（是z的共复数），且复数所对应的点在第三象限，求实数a的取值范围．
13．已知复数的共轭复数是z，是虚数单位，且满足
（1）求复数；
（2）若复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围.
14．已知复数满足为虚数单位，复数的虚部为，是实数，求
15．已知复数及复数
（1）求，并在复平面内用向量表示出其运算的几何意义．
（2）求
16．设，
（1）若，求，的值；
（2）若，求的取值范围．
17．已知复数：
（1）若复数在复平面上对应的点位于第二象限，求的取值范围；
（2）若复数，求复数的模
18．（2022高二上·浙江开学考）设是实数，复数，（是虚数单位）．
（1）在复平面内对应的点在第一象限，求的取值范围；
（2）求的最小值．
答案解析部分
1．【答案】（1）解：因为为纯虚数，
所以且，
则；
（2）解：当时，，
所以．
【知识点】复数的基本概念；复数的模
【解析】【分析】 (1)利用纯虚数的定义列出关于m的方程，求解即可得m的值；
(2)求出z，然后利用复数模的运算性质求解即可得 的值.
2．【答案】解：由于复数，，在复平面内对应的点分别为，，，
所以向量，，对应的复数分别为，，．
因为，
所以
所以
解得
故
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量坐标表示的应用；复数在复平面中的表示
【解析】【分析】根据复数的几何意义，从复数的代数形式得到其在 复平面内对应的点 ，从而可得出 向量，， 的表达式，再利用复数相等的概念求解即可.
3．【答案】解：因为，，
所以
因为是虚数，
所以且，
所以且且，
所以实数的取值范围是．
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的加减运算
【解析】【分析】利用复数的加法运算求出，再根据复数的虚数的概念，列出满足条件的式子从而得出结论.
4．【答案】解：由已知得，
即，
所以，
所以．
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模；复数的三角形式
【解析】【分析】由已知条件，，可将复数转化为三角形式，再用恒等思想以及复数的除法运算即可求解.
5．【答案】解：
.
【知识点】虚数单位i及其性质；复数代数形式的乘除运算
【解析】【分析】 根据复数的乘除运算进行计算即可证明．
6．【答案】（1）解：设z=x+yi，
∴
∵，的 虚部为 ，
∴
解得
或，
∴z=1+i或z=1-i.
（2）解：当复数z的虚部大于零，
则z=1+i，z2=2i，z-z2=1-i，
所以A（1，1），B（0，2），C（1，-1），
所以.
故答案为：-2.
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【分析】（1）首先设z=x+yi，根据和的虚部为2．得到关于x和y的方程组，解方程组求出x和y的值即可求出z．
（2）根据复数z的虚部大于零，可写出三个复数的表示式，再写出复数对应的点的坐标，根据向量的数量积即可求出的值．
7．【答案】（1）解：因为，所以，
所以，所以.
（2）解：
.
【知识点】复数代数形式的混合运算；共轭复数
【解析】【分析】利用复数的四则运算、分母实数化进行化简即可.
8．【答案】（1）解：由复数为纯虚数，有，得
（2）解：由（1）知，令，有．
又由，得，有．
由上知或
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【分析】(1)根据已知条件，得到关于m的方程组，求解可得m的值；
(2)由（1）知，令，然后根据复数模的公式求出，再由 列出方程，求出a的值，进而求出b的值，即可得到复数．
9．【答案】（1）解：由题意；
（2）解：由已知，
，
又，
∴，解得．
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据复数的四则运算可求出 ；
（2）将z的值代入，化简等式的左边，利用复数相等的条件列出方程组，求出a，b的值.
10．【答案】（1）解：，，所以，，故.
（2）解：，则，
，则，
，则，
所以，，.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【分析】（1）计算得到，，得到，计算模长得到答案；
（2）利用复数的计算得到，，，再根据向量的夹角公式计算得到答案.
11．【答案】（1）证明：设，由，则，
所以，
所以在复平面内对应的点为，在直线上.
（2）解：同（1）设复数，因为z是方程的一个根，
所以，即，
所以且，得，
因为，所以，
把代入得：，
所以，.
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【分析】（1）由题设可得，应用代数运算化简并确定点坐标，即可证结论；
（2）将复数代入方程求参数即可.
12．【答案】（1） 解：由题知(m+2i)2+6(m+2i)+13=0 ，
∴ (4m+12)i+m2+m+9=0，
即 ，
∴z=-3+2i， ，
（2）解： ，
∴ .
【知识点】复数相等的充要条件；复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【分析】（1）将复数根代入方程中，根据复数相等即可求解，
（2）根据i的周期性以及复数的除法运算法则化简得 ，结合复数的结合意义即可列不等式求解.
13．【答案】（1）解：设复数 ，则 ，
于是 ，即 ，
，解得 ，故
（2）解：由 得， ，
由于复数 在复平面内对应的点在第一象限，
，解得
实数 的取值范围是
【知识点】复数相等的充要条件；复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【分析】(1) 设复数 ，则 ，代入足 ，整理后利用复数相等的条件列式求得x， y值，可求出复数；
(2)由(1)得， ，再由实部与虚部都大于0列不等式组，求解可得实数的取值范围.
14．【答案】解：因为（Z1-2）（1+i）=1-i
所以Z1-2= =-i，Z1=2-i
设Z2=a+i所以Z1 Z2=（2a+1）+（2-a）i
所以a=2，所以Z2=2+i
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的混合运算
【解析】【分析】利用复数的除法求出复数Z1 ，然后求解化简复数 ，通过复数是实数求解，可得 .
15．【答案】（1）解：∵ =3+i， =4+3i，
∴ - =（3+i）-（4+3i）=-1-2i；
运算的几何意义如图：
（2）解： = =
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的混合运算
【解析】【分析】 (1)直接利用复数代数形式的减法运算求 ，画图表示其几何意义；
(2)利用复数代数形式的除法运算，求出 .
16．【答案】（1）解：由 ，得 ，
所以 ，
所以 ，解得 ， ；
（2）解：已知 ， ，
因为 ，
所以 ，
即 ， ，
即复数 在复平面内对应的点的轨迹是以 为圆心，以 为半径的圆.
的最小值为
的最大值为
所以
【知识点】复数相等的充要条件；复数在复平面中的表示；复数代数形式的混合运算
【解析】【分析】（1）利用复数四则运算结合复数相等的概念求出 ，的值；
（2） 根据已知条件，结合复数的几何意义可得复数 在复平面内对应的点的轨迹是以 为圆心，以 为半径的圆，进而求出 的最小值和最大值，可得的取值范围．
17．【答案】（1）解：依题意得： ，得
（2）
或
当 时， ，
当 时， ，
．
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合复数的几何意义得出复数对应的点的坐标，再结合点的坐标确定点所在的象限，从而得出实数k的取值范围。
（2）利用已知条件结合复数的乘法运算法则和复数为实数的判断方法得出复数z，再结合复数求模公式得出复数z的模。
18．【答案】（1）解：，则，解得
（2）解：，则，，，当时，的最小值为．
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【分析】（1）化简复数，由已知列不等式组，解出的取值范围；
（2）求出，利用二次函数的性质可得最小值．
1 / 1备考2024年高考数学提升专题特训：复数
一、解答题
1．（2023高一下·台州期中）已如为虚数单位，复数．
（1）当实数取何值时，是纯虚数；
（2）若，求的值．
【答案】（1）解：因为为纯虚数，
所以且，
则；
（2）解：当时，，
所以．
【知识点】复数的基本概念；复数的模
【解析】【分析】 (1)利用纯虚数的定义列出关于m的方程，求解即可得m的值；
(2)求出z，然后利用复数模的运算性质求解即可得 的值.
2．已知复数，，在复平面内对应的点分别为，，．若，求的值．
【答案】解：由于复数，，在复平面内对应的点分别为，，，
所以向量，，对应的复数分别为，，．
因为，
所以
所以
解得
故
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量坐标表示的应用；复数在复平面中的表示
【解析】【分析】根据复数的几何意义，从复数的代数形式得到其在 复平面内对应的点 ，从而可得出 向量，， 的表达式，再利用复数相等的概念求解即可.
3．设，复数，，若是虚数，求实数的取值范围．
【答案】解：因为，，
所以
因为是虚数，
所以且，
所以且且，
所以实数的取值范围是．
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的加减运算
【解析】【分析】利用复数的加法运算求出，再根据复数的虚数的概念，列出满足条件的式子从而得出结论.
4．设满足，，求．
【答案】解：由已知得，
即，
所以，
所以．
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模；复数的三角形式
【解析】【分析】由已知条件，，可将复数转化为三角形式，再用恒等思想以及复数的除法运算即可求解.
5．用复数乘法公式验证：若，则．
【答案】解：
.
【知识点】虚数单位i及其性质；复数代数形式的乘除运算
【解析】【分析】 根据复数的乘除运算进行计算即可证明．
6．已知复数满足，的虚部为．
（1）求复数；
（2）当复数的虚部大于零，设复数，，在复平面上对应的点分别为，，，求的值．
【答案】（1）解：设z=x+yi，
∴
∵，的 虚部为 ，
∴
解得
或，
∴z=1+i或z=1-i.
（2）解：当复数z的虚部大于零，
则z=1+i，z2=2i，z-z2=1-i，
所以A（1，1），B（0，2），C（1，-1），
所以.
故答案为：-2.
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【分析】（1）首先设z=x+yi，根据和的虚部为2．得到关于x和y的方程组，解方程组求出x和y的值即可求出z．
（2）根据复数z的虚部大于零，可写出三个复数的表示式，再写出复数对应的点的坐标，根据向量的数量积即可求出的值．
7．（2023高一下·安徽月考）已知复数满足.
（1）求；
（2）求.
【答案】（1）解：因为，所以，
所以，所以.
（2）解：
.
【知识点】复数代数形式的混合运算；共轭复数
【解析】【分析】利用复数的四则运算、分母实数化进行化简即可.
8．（2023高一下·深圳期中）已知复数是纯虚数．
（1）求实数的值；
（2）若复数满足，，求复数．
【答案】（1）解：由复数为纯虚数，有，得
（2）解：由（1）知，令，有．
又由，得，有．
由上知或
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【分析】(1)根据已知条件，得到关于m的方程组，求解可得m的值；
(2)由（1）知，令，然后根据复数模的公式求出，再由 列出方程，求出a的值，进而求出b的值，即可得到复数．
9．（2023高一下·光明期中）已知i是虚数单位，，．
（1）求；
（2）若满足，求实数a，b的值
【答案】（1）解：由题意；
（2）解：由已知，
，
又，
∴，解得．
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据复数的四则运算可求出 ；
（2）将z的值代入，化简等式的左边，利用复数相等的条件列出方程组，求出a，b的值.
10．（2023高一下·河北期中）已知复数z满足，.
（1）求；
（2）设，，在复平面内对应的点分别为A，B，C，求.
【答案】（1）解：，，所以，，故.
（2）解：，则，
，则，
，则，
所以，，.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【分析】（1）计算得到，，得到，计算模长得到答案；
（2）利用复数的计算得到，，，再根据向量的夹角公式计算得到答案.
11．（2023高一下·承德期中）已知虚数z满足.
（1）求证：在复平面内对应的点在直线上；
（2）若是方程的一个根，求与.
【答案】（1）证明：设，由，则，
所以，
所以在复平面内对应的点为，在直线上.
（2）解：同（1）设复数，因为z是方程的一个根，
所以，即，
所以且，得，
因为，所以，
把代入得：，
所以，.
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【分析】（1）由题设可得，应用代数运算化简并确定点坐标，即可证结论；
（2）将复数代入方程求参数即可.
12．（2023高一下·浙江月考）已知复数z=m＋2i是方程的根（i是虚数单位，m∈R）
（1）求|z|：
（2）设复数，（是z的共复数），且复数所对应的点在第三象限，求实数a的取值范围．
【答案】（1） 解：由题知(m+2i)2+6(m+2i)+13=0 ，
∴ (4m+12)i+m2+m+9=0，
即 ，
∴z=-3+2i， ，
（2）解： ，
∴ .
【知识点】复数相等的充要条件；复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【分析】（1）将复数根代入方程中，根据复数相等即可求解，
（2）根据i的周期性以及复数的除法运算法则化简得 ，结合复数的结合意义即可列不等式求解.
13．已知复数的共轭复数是z，是虚数单位，且满足
（1）求复数；
（2）若复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：设复数 ，则 ，
于是 ，即 ，
，解得 ，故
（2）解：由 得， ，
由于复数 在复平面内对应的点在第一象限，
，解得
实数 的取值范围是
【知识点】复数相等的充要条件；复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【分析】(1) 设复数 ，则 ，代入足 ，整理后利用复数相等的条件列式求得x， y值，可求出复数；
(2)由(1)得， ，再由实部与虚部都大于0列不等式组，求解可得实数的取值范围.
14．已知复数满足为虚数单位，复数的虚部为，是实数，求
【答案】解：因为（Z1-2）（1+i）=1-i
所以Z1-2= =-i，Z1=2-i
设Z2=a+i所以Z1 Z2=（2a+1）+（2-a）i
所以a=2，所以Z2=2+i
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的混合运算
【解析】【分析】利用复数的除法求出复数Z1 ，然后求解化简复数 ，通过复数是实数求解，可得 .
15．已知复数及复数
（1）求，并在复平面内用向量表示出其运算的几何意义．
（2）求
【答案】（1）解：∵ =3+i， =4+3i，
∴ - =（3+i）-（4+3i）=-1-2i；
运算的几何意义如图：
（2）解： = =
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的混合运算
【解析】【分析】 (1)直接利用复数代数形式的减法运算求 ，画图表示其几何意义；
(2)利用复数代数形式的除法运算，求出 .
16．设，
（1）若，求，的值；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1）解：由 ，得 ，
所以 ，
所以 ，解得 ， ；
（2）解：已知 ， ，
因为 ，
所以 ，
即 ， ，
即复数 在复平面内对应的点的轨迹是以 为圆心，以 为半径的圆.
的最小值为
的最大值为
所以
【知识点】复数相等的充要条件；复数在复平面中的表示；复数代数形式的混合运算
【解析】【分析】（1）利用复数四则运算结合复数相等的概念求出 ，的值；
（2） 根据已知条件，结合复数的几何意义可得复数 在复平面内对应的点的轨迹是以 为圆心，以 为半径的圆，进而求出 的最小值和最大值，可得的取值范围．
17．已知复数：
（1）若复数在复平面上对应的点位于第二象限，求的取值范围；
（2）若复数，求复数的模
【答案】（1）解：依题意得： ，得
（2）
或
当 时， ，
当 时， ，
．
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合复数的几何意义得出复数对应的点的坐标，再结合点的坐标确定点所在的象限，从而得出实数k的取值范围。
（2）利用已知条件结合复数的乘法运算法则和复数为实数的判断方法得出复数z，再结合复数求模公式得出复数z的模。
18．（2022高二上·浙江开学考）设是实数，复数，（是虚数单位）．
（1）在复平面内对应的点在第一象限，求的取值范围；
（2）求的最小值．
【答案】（1）解：，则，解得
（2）解：，则，，，当时，的最小值为．
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【分析】（1）化简复数，由已知列不等式组，解出的取值范围；
（2）求出，利用二次函数的性质可得最小值．
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