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备考2024年高考数学提升专题特训：空间向量与立体几何
一、解答题
1．已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别在AB，PC上，且PN=2NC，AM=2MB，PA=AD=1，如图建立空间直角坐际系，求的坐标．
【答案】解：∵PN=2NC，AM=2MB，PA=AD=1，
∴A（0，0，0），B=（0，1，0），C（﹣1，1，0），P（0，0，1），M（0，，0），N=（﹣，，）
∴=（0，，0），=（﹣，，），
∴=﹣=（﹣，0，）．
【知识点】空间向量的概念
【解析】【分析】根据空间坐标系，表示出各点的坐标，并根据等比分点的坐标公式求出N的坐标，根据向量的坐标运算，即可求出．
2．（2023高二上·鹤山月考）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长度都为2，且两两夹角为．
（1）求的长；
（2）求与所成角的余弦值．
【答案】（1）解：由题意可得：，
因为 ，
所以.
（2）解：因为，，
可得，
，
，
所以 与所成角的余弦值为．
【知识点】空间向量的加减法；空间向量的数量积运算
【解析】【分析】 (1) 由空间向量的线性运算可得，结合数量积和模长运算求解；
(2) 先求，结合向量夹角公式运算求解.
3．（2023高二上·上海市期中）如图，三棱柱中，M，N分别是上点，且．设，，．
（1）试用，，表示向量；
（2）若，求MN的长．
【答案】（1）解：，且，
则；
（2）由（1）知：，则，
又因为，
所以
故MN的长度为：
【知识点】空间向量的加减法；空间向量的数乘运算；空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【分析（1）根据空间向量的加法和减法运算即可求解；（2）运用空间向量的数量积运算即可求解.
4．（2023高二上·福州期中）如图在四面体中，，，，为线段中点，
（1）用基底表示向量，并求线段的长度；
（2）求异面直线与所成角的余弦值.
【答案】（1）解： 是的中点
，
所以.
（2）解：
，
.
故异面直线与所成角的余弦值.
【知识点】异面直线及其所成的角；空间向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）通过向量的加法运算用基底表示向量得，两边取平方，然后利用数量积以及向量的模的运算求解线段长度；
（2）利用异面直线向量夹角公式结合数量积的运算律求解即可.
5．（2023高二上·南山期中）如图，已知平行六面体中，底面是边长为的正方形，
（1）求；
（2）求．
【答案】（1）解：记，则：
，
，，
，
，即有；
（2）解：．
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；空间向量的加减法；空间向量的数量积运算
【解析】【分析】(1)利用为基底，表示所求向量，然后将向量的模转化为数量积计算可得.
(2)利用基底表示，然后求它们的数量积计算.
6．（2023高二上·吉林月考）如图，在直四棱柱中，，，，E，F，G分别为棱，，的中点．
（1）求的值；
（2）证明：C，E，F，G四点共面．
【答案】（1）解：解：在直四棱柱中，，
易得，，，两两垂直.
故以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
，
，，，．
．
（2）证明：由（1）得：．
令，即，解得，
．
故C，E，F，G四点共面．
【知识点】共面向量定理；空间向量的线性运算的坐标表示；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【分析】(1)以A为原点，AD、AA1、AB所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，得到各点坐标，进一步得到，，，最后代入数量积公式.
（2）根据空间向量四点共面定理得到即可.
7．（2023高二上·深圳期中）《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑中，平面，平面，为的中点，．
（1）设，，，用，，表示；
（2）若求．
【答案】（1）解：连接，．．
因为为的中点，，所以，，
所以；
（2）解：因为，
所以
因为平面，平面，平面，平面，
所以，，．
又，
所以，
即．
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）连接，，根据向量的线性运算表示；
（2）由（1）知，再表示，最后根据数量积运算求解即可.
8．（2023·）如图，在三棱锥中，平面，，，，，分别是，，，的中点，，与交于点，与交于点，连接.
（1）求证：；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
（3）求点到平面的距离.
【答案】（1）证明：D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，
所以EF∥AB，DC∥AB，所以DC∥EF .又因为E平面PCD，DC平面PCD，
所以EF∥平面PCD.
又因为EF平面EFQ，平面EFQ∩平面PCD=GH ，
所以EF∥GH，又因为EF∥AB，所以AB∥GH .
（2）解：因为AB⊥BO，PB上平面ABQ，所以BA，BQ，BP两两垂直.
以点B为坐标原点，分别以BA，BO，BP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系。
由BA=BP=BQ=2，则A（2，0，0），D（1，1，0），C（O，10），P（0，0，2），
所以 .
设平面 P A B 的一个法向量为 ， 则可取
设平面 P D C 的一个法向量为 ， 由
得 ， 取 ， 得
所以
所以平面 P A B 与平面 P D C 夹角的余弦值为
（3）解：由点到平面的距高公式可得， 点 到平面 P C D 的距离为
【知识点】空间直角坐标系；直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；空间向量的夹角与距离求解公式；平面的法向量；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】(1)利用中位线证明 DC∥AB∥EF ，所以得到EF∥平面PCD，再结合线面平行性质证明EF∥GH，进而得到 ；
(2) 以B为坐标原点，BA，BO，BP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系利用空间向量求平面与平面夹角的余弦值；
(3)利用空间向量点到平面距离公式求点到平面的距离.
9．（2024高三上·马尾期中）在长方体中，，点是棱上一点，且.
（1）证明：；
（2）若二面角的的大小为，求的值.
【答案】（1）解：以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系.
不妨设，
则，，，，，，，.
因为，所以，于是，.
所以.
故.
（2）解：因为平面，所以平面的法向量为.
又，.
设平面的法向量为，
则，
所以向量的一个解为.
因为二面角的大小为，
则，所以，
解得.
又因是棱上的一点，所以，故所求的值为.
【知识点】空间中的点的坐标；二面角的平面角及求法；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【分析】（1）以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系.求得各点坐标，设 ，得，利用两向量垂直的条件，证明即可.
(2)先求出两平面的法向量、，利用二面角的大小为，列出等式即可求解.
10．（2023高二上·永川月考）如图，在直三棱柱中，，．
（1）求证：；
（2）求点到平面的距离．
【答案】（1）证明：建立直角坐标系，其中为坐标原点.
依题意得，
因为，所以.
（2）解：设是平面的法向量，
由得
所以，令，则，
因为，所以到平面的距离为
【知识点】空间向量的正交分解及坐标表示；空间点、线、面的位置；异面直线；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，然后分别求出，，由即可证明.
(2)在（1）中建立的空间直角坐标系中求出平面的法向量，然后利用空间中点到平面的向量法得，即可求解.
11．（2023高二上·云浮月考）已知空间三点，，，设，．
（1）求；
（2）与互相垂直，求实数的值．
【答案】（1）解：由题设，，
所以；
（2）解：由，，而，
所以，
可得或．
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示；空间向量垂直的坐标表示；点、线、面间的距离计算；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【分析】 (1) 根据可得 ，，结合空间向量的坐标运算求解；
(2) 先求，，结合空间向量垂直的坐标表示运算求解.
12．（2023高二下·浙江期中）如图，三棱柱的体积为，侧面是矩形，，，且已知二面角是钝角.
（1）求的长度；
（2）求二面角的大小.
【答案】（1）解：侧面是矩形，则，
又∵且，平面，
∴AC⊥平面，
∵，∴平面，平面，
∴，∴.
∵可知二面角的平面角是钝角，
∴在平面中作垂直BC的延长线于H
而平面，
，，且，平面，
∴平面ABC，
，，则，，
，
∴，∴，
∴中，，∴，∴.
∵中，，，
∴由余弦定理可求得，
∴.
（2）解：以C为坐标原点，以CA、CB分别为x、y轴，过C作平面BAC的垂线作为z轴，建立空间直角坐标系.
∵，，，，
∴，
设平面的法向量为，则，则，令，则，
∴可得平面的法向量为.
又可知平面的法向量为.
设所求角为θ，
∵可知所求二面角为锐角，
∴，，
∴二面角为.
【知识点】空间中两点间的距离公式；用空间向量研究二面角；二面角的平面角及求法；余弦定理
【解析】【分析】 （1）利用已知条件结合线线垂直证出线面垂直，再结合线面垂直的定义证出线线垂直，从而由勾股定理二面角的求解方法得出二面角的平面角是钝角，在平面中作垂直BC的延长线于H，再由线线垂直证出线面垂直结合三棱锥的体积公式和已知条件得出的长，在直角三角形中结合正弦函数的定义和两角互补的关系得出的值，再根据余弦定理和勾股定理得出的长。
（2） 以C为坐标原点，以CA、CB分别为x、y轴，过C作平面BAC的垂线作为z轴，建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用平面的法向量求解方法得出平面的法向量，又可知平面的法向量，再根据所求二面角为锐角和数量积求向量夹角公式得出二面角的值。
13．（2023高一下·保定期中）已知平面向量，，，且．
（1）求的坐标；
（2）求向量在向量上的投影向量的模．
【答案】（1）解：设，因为 ，所以，又，
解得，，所以；
（2）解：，所以，
则向量在向量上的投影向量的模为；
综上，，向量在向量上的投影向量的模为5.
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算；空间向量的投影向量
【解析】【分析】（1） 设，因为 ，所以 ，又根据，即可求出，， 所以；
（2） ， 所以， 然后根据投影向量、模的计算公式计算求解即可.
14．（2024高三下·济南模拟）已知椭圆过两点，O为坐标原点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与圆相切，且与椭圆交于A，B两点，证明：．
【答案】（1）解：根据题意，将点代入椭圆方程，
得：，解方程组，得：
故椭圆的标准方程为
（2）解：∵直线与圆相切
∴圆心到直线的距离等于半径
解得：
∴直线方程为
联立方程
将①代入②，整理得：
设点，则
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题；向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解析】【分析】（1）根据题意，将点代入椭圆标准方程，计算即可得椭圆的标准方程；
（2） 直线与圆相切 ，圆心到直线得距离等于半径即可求得k得值，从而得直线方程，再联立直线与椭圆方程，设点，化简整理结合韦达定理得，代入计算可得，即可证明.
15．（2024·昌乐模拟）如图所示的多面体中，底面ABCD为矩形，平面ABCD，平面ABCD，平面ABCD，，且AB=4，BC=2，，BE=1．
（1）求BF的长；
（2）求直线与平面成的角的正弦值．
【答案】（1）解：建立如图所示的空间直角坐标系，
则D(0，0，0)，B(2，4，0)，A(2，0，0)，C(0，4，0)，E(2，4，1)，C1(0，4，3)，
设F(0，0，z).∴AF∥EC1，由得(-2，0，z)=(-2，0，2)，解得z=2，
∴F(0，0，2).
∴，于是，即BF的长为
（2）解：设为平面AEC1F的法向量，设式=(x，y，z)，
由，得，
即，取z=1，得.
又，设与的夹角为α，则
.
所以，直线与平面AEC1F的夹角的正弦值为.
【知识点】点、线、面间的距离计算；用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】 (1) 建系，设F(0，0，z)，根据平行关系解得z=2，进而可得结果；
(2) 求平面AEC1F的法向量，利用空间向量求线面夹角.
16．（2023高二上·青羊期中）已知点.
（1）若，且，求的坐标；
（2）求以为邻边的平行四边形的面积.
【答案】（1）解：
或
或
（2）解：
【知识点】空间向量平行的坐标表示；用空间向量求直线间的夹角、距离；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【分析】 (1) 可得，结合模长公式运算求解；
(2) 根据向量求，进而求面积即可.
17．（2023高二上·东莞期中）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，E为的中点，且．
（1）求证：平面；
（2）记的中点为N，若M在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长．
【答案】（1）证明：连接BE，
因为 ， ， 则且，
可知四边形BCDE为平行四边形；则，
又因为且E为AD的中点，则，
可得，
则，即，
且，平面ABCD，
所以平面ABCD
（2）解：以E为原点，EA为x轴，EB为y轴，EP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
可得，
设平面PAB的法向量为，则，
令，则，可得，
设，则，
由题意可得 解得：或，
所以线段BM的长度为 2或 ．
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线的方向向量；平面的法向量；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】 (1) 连接BE，可证，，结合线面垂直的判定定理分析证明；
(2)以E为原点，EA为x轴，EB为y轴，EP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，利用空间向量结合线面夹角分析求解.
18．（2024·荆州市模拟） 如图，在四棱台中，已知，.
（1）证明：平面；
（2）若四棱台的体积为，求二面角的余弦值.
【答案】（1）解：在四边形中，，
，
又平面
又平面；
（2）解：，
，
如图建系，
，
，设平面的一个法向量
平面的一个法向量，设二面角的平面角为，
显然为锐角，.
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面的法向量；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）根据已知条件推出，，根据线面垂直的判定定理即可证明；
（2）建立空间直角坐标系，根据四棱台的体积写出各点坐标，利用空间向量计算二面角的余弦值即可.
19．（2023·）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，为中点，点在上，且．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
（3）线段上是否存在点，使得平面，说明理由？
【答案】（1）证明：在中，．
所以，即；
又因为，
在平面中，面，面，，
所以平面
（2）解：因为平面平面，
平面平面，
平面，
所以平面，所以，
由（1）已证，且已知，
故以为原点，建立如图空间直角坐标系，
则，，，
所以，，
，
因为为中点，
所以，
由知，
，
设平面的法向量为，
则即，令，则，
于是，
又因为由（1）已证平面，
所以平面的法向量为，
所以，
平面与平面夹角的余弦值
（3）解：设是线段上一点，则存在使得，
因为，
所以，
因为平面，
所以平面当且仅当，
即，
即，解得，
因为，所以线段上不存在使得平面．
【知识点】直线与平面垂直的判定；空间向量垂直的坐标表示；用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）根据已知条件利用勾股定理证明，结合，利用直线与平面垂直的判定证明平面；
（2）由已知条件，结合（1）证明两两互相垂直，以A为坐标原点建立空间直角坐标系，分别求平面、的法向量，利用空间向量求二面角的余弦值；
（3）设是线段上一点，则存在使得，因为平面，得，解得，可知线段上不存在点，使得平面.
20．（2023高三上·张家口月考）如图，四棱锥的底面是正方形，平面．
（1）求证：平面平面；
（2）求平面与平面夹角的正弦值．
【答案】（1）证明：建立如图所示的直角坐标系，
则，，即，，
又因为平面平面．
又平面，所以平面平面；
（2）解：由（1）得．设平面的法向量为，即，
故平面的法向量可取为．
平面为平面的法向量．
设平面与平面夹角大小为，所以，
所以平面与平面夹角的正弦值为．
【知识点】用空间向量研究平面与平面的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合正方形的结构特征和线面垂直的定义，进而得出线线垂直，从而建立空间直角坐标系，进而得出点的坐标和向量的坐标，再结合数量积为0两向量垂直的等价关系，进而证出线线垂直，再结合线线垂直证出线面垂直，最后由线面垂直证出面面垂直，从而证出平面平面.
（2）利用（1）得出向量的坐标，再利用数量积为0两向量垂直的等价关系，从而得出平面的法向量和平面的法向量，再结合数量积求向量夹角公式和条件三角函数基本关系式，进而得出平面与平面夹角的正弦值.
21．（2024·宁德模拟）在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，BCAD，∠ADC=90°，，E为线段AD的中点.底面ABCD，点F是棱长PC的中点，平面BEF与棱PD相交于点G.
（1）求证：BEFG；
（2）若PC与AB所成的角为，求直线PB与平面BEF所成角的正弦值.
【答案】（1）证明：因为E为AD中点，
所以.
又因为BC=1，所以DE=BC.在梯形ABCD中，DEBC，
所以四边形BCDE为平行四边形.所以BECD.
又因为平面PCD，且CD 平面PCD，
所以BE平面PCD.
因为BE 平面BEF，平面BEF∩平面，
所以BEFG.
（2）解：因为PE⊥平面ABCD，且AE，BE 平面ABCD，
所以PE⊥AE，且PE⊥BE.
因为四边形BCDE为平行四边形，，
所以AE⊥BE.
以E为坐标原点，如图建立空间直角坐标系E﹣xyz.
则.
设，
所以，.
因为PC与AB所成角为，
所以.
所以.
则，.
所以，，.
设平面BEF的法向量为，
则即
令x=6，则，
所以.
所以.
所以直线PB与平面BEF的所成角的正弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）由已知四边形BCDE为平行四边形得BECD.再利用线面平行判定得BE平面PCD.最后根据线面平行性质即可证明.
（2）以E为坐标原点，如图建立空间直角坐标系E﹣xyz.求出各点坐标，根据PC与AB所成角为，求出P点坐标、坐标，再求出平面BEF的法向量，与平面BEF的法向量夹角的余弦即为直线PB与平面BEF的所成角的正弦值.
22．（2024·扬州模拟）如图，在四棱锥中，则面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中，，，为中点.
（1）求证：平面；
（2）求异面直线与所成角的大小.
【答案】（1）证明：由已知可得，，为中点，
所以，.
因为面底面，面底面，平面，
所以，平面.
（2）解：连接，
因为，为中点，
所以，.
又因为，
所以四边形为平行四边形，
所以，，且.
由已知，所以.
如图，建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，
所以，，
所以，异面直线与所成角的余弦值为，大小为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【分析】（1）由题意，推得，再根据面面垂直的性质定理，得出线面垂直即可；
（2）根据已知证明，建立空间直角坐标系，得出的坐标，利用空间向量求异面直线夹角得余弦值即可.
23．（2023高二上·长春期中）如图，四棱锥的底面是等腰梯形，，底面为棱上的一点．
（1）证明：；
（2）若二面角的余弦值为，求的值．
【答案】（1）证明：过点作，垂足为，
在等腰梯形中，因为，所以．
在中，，则，则．
因为底面，底面，所以．
因为，所以平面．
又平面，以．
（2）解：以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，令，
，则，
则．
设平面的法向量为，则令，
得．
由图可知，是平面的一个法向量．
因为二面角的余弦值为，所以，解得．
故当二面角的余弦值为时，．
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)过点作，垂足为，结合已知与余弦定理可求得，又因为，所以平面，；
（2）建立空间直角坐标系，令，求出平面的法向量，再根据二面角的余弦值为，求出的值，即可得解。
24．（2023高二上·福州期中）如图，直四棱柱的底面是边长为2的菱形，且，E为棱AD的中点，．
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面所成的角．
【答案】（1）解：连结EB，过点E作底面ABCD的垂线交A1D1于F，以E为坐标原点，分别以EA、EB、EF为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系
则，
则
因为，所以，
又，故平面；
（2）解：已知平面，所以
则，则
设平面的法向量为，则，即，
取，则，
设平面与平面所成的角为，则，
故，
平面与平面所成的角为
【知识点】向量方法证明线、面的位置关系定理；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）利用已知条件建立空间直角坐标系，进而得出点的坐标，从而得出向量的坐标，再由数量积为0两向量垂直的等价关系，进而得出线线垂直，再结合线面垂直的判定定理，从而由线线垂直证出线面垂直。
（2）由（1）结合线面垂直和平面的法向量的定义以及数量积为0两向量垂直的等价关系，进而得出平面的法向量，再结合数量积求向量夹角公式和图形判断夹角的取值范围，从而得出平面与平面所成的角。
25．（2024高三上·青海宁夏模拟）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求的普通方程和的直角坐标方程；
（2）若与相交于两点，点，求的值．
【答案】（1）解：消去参数，得到的普通方程为．
因为，所以．
由得到的直角坐标方程为．
（2）解：由（1）可知，在上，将（为参数），
代人的直角坐标方程得，
则，
故．
【知识点】空间直线的向量参数方程；简单曲线的极坐标方程；直线的参数方程
【解析】【分析】本题主要考查参数方程、极坐标方程、普通方程互化
（1）消去参数方程得参数即可得到直线l的普通方程：，再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可求出的直角坐标方程为；
（2）把直线l的参数方程代入C的直角坐标方程得到：，再利用参数的几何意义求解即可.
26．（2024咸阳高考模拟）如图，在三棱柱中，平面平面，侧面为菱形，，是的中点.
（1）证明：；
（2）若二面角的余弦值为，求三棱柱的体积.
【答案】（1）证明：菱形中，，所以为等边三角形，
是的中点，所以，
因为平面平面，平面平面平面，
所以平面，
因为平面，所以.
（2）解：由（1）知平面，因为为中点，所以，
以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立
如图所示的空间直角坐标系，，设，则，
，所以，
.
设平面的法向量是，
由令，
得.
设平面的法向量是，
由令，得，
所以.由，解得，
，
三棱柱的体积 .
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质；与二面角有关的立体几何综合题
【解析】【分析】 (1)由平面ABC⊥平面ACC1A1，通过面面垂直的性质证明线面垂直，再证得线线垂直；
(2)建立空间直角坐标系，利用向量法解决二面角的余弦值，解得OB，可得三棱柱ABC-A1B1C1的体积.
1 / 1备考2024年高考数学提升专题特训：空间向量与立体几何
一、解答题
1．已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别在AB，PC上，且PN=2NC，AM=2MB，PA=AD=1，如图建立空间直角坐际系，求的坐标．
2．（2023高二上·鹤山月考）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长度都为2，且两两夹角为．
（1）求的长；
（2）求与所成角的余弦值．
3．（2023高二上·上海市期中）如图，三棱柱中，M，N分别是上点，且．设，，．
（1）试用，，表示向量；
（2）若，求MN的长．
4．（2023高二上·福州期中）如图在四面体中，，，，为线段中点，
（1）用基底表示向量，并求线段的长度；
（2）求异面直线与所成角的余弦值.
5．（2023高二上·南山期中）如图，已知平行六面体中，底面是边长为的正方形，
（1）求；
（2）求．
6．（2023高二上·吉林月考）如图，在直四棱柱中，，，，E，F，G分别为棱，，的中点．
（1）求的值；
（2）证明：C，E，F，G四点共面．
7．（2023高二上·深圳期中）《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑中，平面，平面，为的中点，．
（1）设，，，用，，表示；
（2）若求．
8．（2023·）如图，在三棱锥中，平面，，，，，分别是，，，的中点，，与交于点，与交于点，连接.
（1）求证：；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
（3）求点到平面的距离.
9．（2024高三上·马尾期中）在长方体中，，点是棱上一点，且.
（1）证明：；
（2）若二面角的的大小为，求的值.
10．（2023高二上·永川月考）如图，在直三棱柱中，，．
（1）求证：；
（2）求点到平面的距离．
11．（2023高二上·云浮月考）已知空间三点，，，设，．
（1）求；
（2）与互相垂直，求实数的值．
12．（2023高二下·浙江期中）如图，三棱柱的体积为，侧面是矩形，，，且已知二面角是钝角.
（1）求的长度；
（2）求二面角的大小.
13．（2023高一下·保定期中）已知平面向量，，，且．
（1）求的坐标；
（2）求向量在向量上的投影向量的模．
14．（2024高三下·济南模拟）已知椭圆过两点，O为坐标原点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与圆相切，且与椭圆交于A，B两点，证明：．
15．（2024·昌乐模拟）如图所示的多面体中，底面ABCD为矩形，平面ABCD，平面ABCD，平面ABCD，，且AB=4，BC=2，，BE=1．
（1）求BF的长；
（2）求直线与平面成的角的正弦值．
16．（2023高二上·青羊期中）已知点.
（1）若，且，求的坐标；
（2）求以为邻边的平行四边形的面积.
17．（2023高二上·东莞期中）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，E为的中点，且．
（1）求证：平面；
（2）记的中点为N，若M在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长．
18．（2024·荆州市模拟） 如图，在四棱台中，已知，.
（1）证明：平面；
（2）若四棱台的体积为，求二面角的余弦值.
19．（2023·）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，为中点，点在上，且．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
（3）线段上是否存在点，使得平面，说明理由？
20．（2023高三上·张家口月考）如图，四棱锥的底面是正方形，平面．
（1）求证：平面平面；
（2）求平面与平面夹角的正弦值．
21．（2024·宁德模拟）在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，BCAD，∠ADC=90°，，E为线段AD的中点.底面ABCD，点F是棱长PC的中点，平面BEF与棱PD相交于点G.
（1）求证：BEFG；
（2）若PC与AB所成的角为，求直线PB与平面BEF所成角的正弦值.
22．（2024·扬州模拟）如图，在四棱锥中，则面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中，，，为中点.
（1）求证：平面；
（2）求异面直线与所成角的大小.
23．（2023高二上·长春期中）如图，四棱锥的底面是等腰梯形，，底面为棱上的一点．
（1）证明：；
（2）若二面角的余弦值为，求的值．
24．（2023高二上·福州期中）如图，直四棱柱的底面是边长为2的菱形，且，E为棱AD的中点，．
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面所成的角．
25．（2024高三上·青海宁夏模拟）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求的普通方程和的直角坐标方程；
（2）若与相交于两点，点，求的值．
26．（2024咸阳高考模拟）如图，在三棱柱中，平面平面，侧面为菱形，，是的中点.
（1）证明：；
（2）若二面角的余弦值为，求三棱柱的体积.
答案解析部分
1．【答案】解：∵PN=2NC，AM=2MB，PA=AD=1，
∴A（0，0，0），B=（0，1，0），C（﹣1，1，0），P（0，0，1），M（0，，0），N=（﹣，，）
∴=（0，，0），=（﹣，，），
∴=﹣=（﹣，0，）．
【知识点】空间向量的概念
【解析】【分析】根据空间坐标系，表示出各点的坐标，并根据等比分点的坐标公式求出N的坐标，根据向量的坐标运算，即可求出．
2．【答案】（1）解：由题意可得：，
因为 ，
所以.
（2）解：因为，，
可得，
，
，
所以 与所成角的余弦值为．
【知识点】空间向量的加减法；空间向量的数量积运算
【解析】【分析】 (1) 由空间向量的线性运算可得，结合数量积和模长运算求解；
(2) 先求，结合向量夹角公式运算求解.
3．【答案】（1）解：，且，
则；
（2）由（1）知：，则，
又因为，
所以
故MN的长度为：
【知识点】空间向量的加减法；空间向量的数乘运算；空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【分析（1）根据空间向量的加法和减法运算即可求解；（2）运用空间向量的数量积运算即可求解.
4．【答案】（1）解： 是的中点
，
所以.
（2）解：
，
.
故异面直线与所成角的余弦值.
【知识点】异面直线及其所成的角；空间向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）通过向量的加法运算用基底表示向量得，两边取平方，然后利用数量积以及向量的模的运算求解线段长度；
（2）利用异面直线向量夹角公式结合数量积的运算律求解即可.
5．【答案】（1）解：记，则：
，
，，
，
，即有；
（2）解：．
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；空间向量的加减法；空间向量的数量积运算
【解析】【分析】(1)利用为基底，表示所求向量，然后将向量的模转化为数量积计算可得.
(2)利用基底表示，然后求它们的数量积计算.
6．【答案】（1）解：解：在直四棱柱中，，
易得，，，两两垂直.
故以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
，
，，，．
．
（2）证明：由（1）得：．
令，即，解得，
．
故C，E，F，G四点共面．
【知识点】共面向量定理；空间向量的线性运算的坐标表示；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【分析】(1)以A为原点，AD、AA1、AB所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，得到各点坐标，进一步得到，，，最后代入数量积公式.
（2）根据空间向量四点共面定理得到即可.
7．【答案】（1）解：连接，．．
因为为的中点，，所以，，
所以；
（2）解：因为，
所以
因为平面，平面，平面，平面，
所以，，．
又，
所以，
即．
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）连接，，根据向量的线性运算表示；
（2）由（1）知，再表示，最后根据数量积运算求解即可.
8．【答案】（1）证明：D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，
所以EF∥AB，DC∥AB，所以DC∥EF .又因为E平面PCD，DC平面PCD，
所以EF∥平面PCD.
又因为EF平面EFQ，平面EFQ∩平面PCD=GH ，
所以EF∥GH，又因为EF∥AB，所以AB∥GH .
（2）解：因为AB⊥BO，PB上平面ABQ，所以BA，BQ，BP两两垂直.
以点B为坐标原点，分别以BA，BO，BP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系。
由BA=BP=BQ=2，则A（2，0，0），D（1，1，0），C（O，10），P（0，0，2），
所以 .
设平面 P A B 的一个法向量为 ， 则可取
设平面 P D C 的一个法向量为 ， 由
得 ， 取 ， 得
所以
所以平面 P A B 与平面 P D C 夹角的余弦值为
（3）解：由点到平面的距高公式可得， 点 到平面 P C D 的距离为
【知识点】空间直角坐标系；直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；空间向量的夹角与距离求解公式；平面的法向量；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】(1)利用中位线证明 DC∥AB∥EF ，所以得到EF∥平面PCD，再结合线面平行性质证明EF∥GH，进而得到 ；
(2) 以B为坐标原点，BA，BO，BP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系利用空间向量求平面与平面夹角的余弦值；
(3)利用空间向量点到平面距离公式求点到平面的距离.
9．【答案】（1）解：以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系.
不妨设，
则，，，，，，，.
因为，所以，于是，.
所以.
故.
（2）解：因为平面，所以平面的法向量为.
又，.
设平面的法向量为，
则，
所以向量的一个解为.
因为二面角的大小为，
则，所以，
解得.
又因是棱上的一点，所以，故所求的值为.
【知识点】空间中的点的坐标；二面角的平面角及求法；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【分析】（1）以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系.求得各点坐标，设 ，得，利用两向量垂直的条件，证明即可.
(2)先求出两平面的法向量、，利用二面角的大小为，列出等式即可求解.
10．【答案】（1）证明：建立直角坐标系，其中为坐标原点.
依题意得，
因为，所以.
（2）解：设是平面的法向量，
由得
所以，令，则，
因为，所以到平面的距离为
【知识点】空间向量的正交分解及坐标表示；空间点、线、面的位置；异面直线；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，然后分别求出，，由即可证明.
(2)在（1）中建立的空间直角坐标系中求出平面的法向量，然后利用空间中点到平面的向量法得，即可求解.
11．【答案】（1）解：由题设，，
所以；
（2）解：由，，而，
所以，
可得或．
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示；空间向量垂直的坐标表示；点、线、面间的距离计算；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【分析】 (1) 根据可得 ，，结合空间向量的坐标运算求解；
(2) 先求，，结合空间向量垂直的坐标表示运算求解.
12．【答案】（1）解：侧面是矩形，则，
又∵且，平面，
∴AC⊥平面，
∵，∴平面，平面，
∴，∴.
∵可知二面角的平面角是钝角，
∴在平面中作垂直BC的延长线于H
而平面，
，，且，平面，
∴平面ABC，
，，则，，
，
∴，∴，
∴中，，∴，∴.
∵中，，，
∴由余弦定理可求得，
∴.
（2）解：以C为坐标原点，以CA、CB分别为x、y轴，过C作平面BAC的垂线作为z轴，建立空间直角坐标系.
∵，，，，
∴，
设平面的法向量为，则，则，令，则，
∴可得平面的法向量为.
又可知平面的法向量为.
设所求角为θ，
∵可知所求二面角为锐角，
∴，，
∴二面角为.
【知识点】空间中两点间的距离公式；用空间向量研究二面角；二面角的平面角及求法；余弦定理
【解析】【分析】 （1）利用已知条件结合线线垂直证出线面垂直，再结合线面垂直的定义证出线线垂直，从而由勾股定理二面角的求解方法得出二面角的平面角是钝角，在平面中作垂直BC的延长线于H，再由线线垂直证出线面垂直结合三棱锥的体积公式和已知条件得出的长，在直角三角形中结合正弦函数的定义和两角互补的关系得出的值，再根据余弦定理和勾股定理得出的长。
（2） 以C为坐标原点，以CA、CB分别为x、y轴，过C作平面BAC的垂线作为z轴，建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用平面的法向量求解方法得出平面的法向量，又可知平面的法向量，再根据所求二面角为锐角和数量积求向量夹角公式得出二面角的值。
13．【答案】（1）解：设，因为 ，所以，又，
解得，，所以；
（2）解：，所以，
则向量在向量上的投影向量的模为；
综上，，向量在向量上的投影向量的模为5.
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算；空间向量的投影向量
【解析】【分析】（1） 设，因为 ，所以 ，又根据，即可求出，， 所以；
（2） ， 所以， 然后根据投影向量、模的计算公式计算求解即可.
14．【答案】（1）解：根据题意，将点代入椭圆方程，
得：，解方程组，得：
故椭圆的标准方程为
（2）解：∵直线与圆相切
∴圆心到直线的距离等于半径
解得：
∴直线方程为
联立方程
将①代入②，整理得：
设点，则
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题；向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解析】【分析】（1）根据题意，将点代入椭圆标准方程，计算即可得椭圆的标准方程；
（2） 直线与圆相切 ，圆心到直线得距离等于半径即可求得k得值，从而得直线方程，再联立直线与椭圆方程，设点，化简整理结合韦达定理得，代入计算可得，即可证明.
15．【答案】（1）解：建立如图所示的空间直角坐标系，
则D(0，0，0)，B(2，4，0)，A(2，0，0)，C(0，4，0)，E(2，4，1)，C1(0，4，3)，
设F(0，0，z).∴AF∥EC1，由得(-2，0，z)=(-2，0，2)，解得z=2，
∴F(0，0，2).
∴，于是，即BF的长为
（2）解：设为平面AEC1F的法向量，设式=(x，y，z)，
由，得，
即，取z=1，得.
又，设与的夹角为α，则
.
所以，直线与平面AEC1F的夹角的正弦值为.
【知识点】点、线、面间的距离计算；用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】 (1) 建系，设F(0，0，z)，根据平行关系解得z=2，进而可得结果；
(2) 求平面AEC1F的法向量，利用空间向量求线面夹角.
16．【答案】（1）解：
或
或
（2）解：
【知识点】空间向量平行的坐标表示；用空间向量求直线间的夹角、距离；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【分析】 (1) 可得，结合模长公式运算求解；
(2) 根据向量求，进而求面积即可.
17．【答案】（1）证明：连接BE，
因为 ， ， 则且，
可知四边形BCDE为平行四边形；则，
又因为且E为AD的中点，则，
可得，
则，即，
且，平面ABCD，
所以平面ABCD
（2）解：以E为原点，EA为x轴，EB为y轴，EP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
可得，
设平面PAB的法向量为，则，
令，则，可得，
设，则，
由题意可得 解得：或，
所以线段BM的长度为 2或 ．
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线的方向向量；平面的法向量；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】 (1) 连接BE，可证，，结合线面垂直的判定定理分析证明；
(2)以E为原点，EA为x轴，EB为y轴，EP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，利用空间向量结合线面夹角分析求解.
18．【答案】（1）解：在四边形中，，
，
又平面
又平面；
（2）解：，
，
如图建系，
，
，设平面的一个法向量
平面的一个法向量，设二面角的平面角为，
显然为锐角，.
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面的法向量；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）根据已知条件推出，，根据线面垂直的判定定理即可证明；
（2）建立空间直角坐标系，根据四棱台的体积写出各点坐标，利用空间向量计算二面角的余弦值即可.
19．【答案】（1）证明：在中，．
所以，即；
又因为，
在平面中，面，面，，
所以平面
（2）解：因为平面平面，
平面平面，
平面，
所以平面，所以，
由（1）已证，且已知，
故以为原点，建立如图空间直角坐标系，
则，，，
所以，，
，
因为为中点，
所以，
由知，
，
设平面的法向量为，
则即，令，则，
于是，
又因为由（1）已证平面，
所以平面的法向量为，
所以，
平面与平面夹角的余弦值
（3）解：设是线段上一点，则存在使得，
因为，
所以，
因为平面，
所以平面当且仅当，
即，
即，解得，
因为，所以线段上不存在使得平面．
【知识点】直线与平面垂直的判定；空间向量垂直的坐标表示；用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）根据已知条件利用勾股定理证明，结合，利用直线与平面垂直的判定证明平面；
（2）由已知条件，结合（1）证明两两互相垂直，以A为坐标原点建立空间直角坐标系，分别求平面、的法向量，利用空间向量求二面角的余弦值；
（3）设是线段上一点，则存在使得，因为平面，得，解得，可知线段上不存在点，使得平面.
20．【答案】（1）证明：建立如图所示的直角坐标系，
则，，即，，
又因为平面平面．
又平面，所以平面平面；
（2）解：由（1）得．设平面的法向量为，即，
故平面的法向量可取为．
平面为平面的法向量．
设平面与平面夹角大小为，所以，
所以平面与平面夹角的正弦值为．
【知识点】用空间向量研究平面与平面的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合正方形的结构特征和线面垂直的定义，进而得出线线垂直，从而建立空间直角坐标系，进而得出点的坐标和向量的坐标，再结合数量积为0两向量垂直的等价关系，进而证出线线垂直，再结合线线垂直证出线面垂直，最后由线面垂直证出面面垂直，从而证出平面平面.
（2）利用（1）得出向量的坐标，再利用数量积为0两向量垂直的等价关系，从而得出平面的法向量和平面的法向量，再结合数量积求向量夹角公式和条件三角函数基本关系式，进而得出平面与平面夹角的正弦值.
21．【答案】（1）证明：因为E为AD中点，
所以.
又因为BC=1，所以DE=BC.在梯形ABCD中，DEBC，
所以四边形BCDE为平行四边形.所以BECD.
又因为平面PCD，且CD 平面PCD，
所以BE平面PCD.
因为BE 平面BEF，平面BEF∩平面，
所以BEFG.
（2）解：因为PE⊥平面ABCD，且AE，BE 平面ABCD，
所以PE⊥AE，且PE⊥BE.
因为四边形BCDE为平行四边形，，
所以AE⊥BE.
以E为坐标原点，如图建立空间直角坐标系E﹣xyz.
则.
设，
所以，.
因为PC与AB所成角为，
所以.
所以.
则，.
所以，，.
设平面BEF的法向量为，
则即
令x=6，则，
所以.
所以.
所以直线PB与平面BEF的所成角的正弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）由已知四边形BCDE为平行四边形得BECD.再利用线面平行判定得BE平面PCD.最后根据线面平行性质即可证明.
（2）以E为坐标原点，如图建立空间直角坐标系E﹣xyz.求出各点坐标，根据PC与AB所成角为，求出P点坐标、坐标，再求出平面BEF的法向量，与平面BEF的法向量夹角的余弦即为直线PB与平面BEF的所成角的正弦值.
22．【答案】（1）证明：由已知可得，，为中点，
所以，.
因为面底面，面底面，平面，
所以，平面.
（2）解：连接，
因为，为中点，
所以，.
又因为，
所以四边形为平行四边形，
所以，，且.
由已知，所以.
如图，建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，
所以，，
所以，异面直线与所成角的余弦值为，大小为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【分析】（1）由题意，推得，再根据面面垂直的性质定理，得出线面垂直即可；
（2）根据已知证明，建立空间直角坐标系，得出的坐标，利用空间向量求异面直线夹角得余弦值即可.
23．【答案】（1）证明：过点作，垂足为，
在等腰梯形中，因为，所以．
在中，，则，则．
因为底面，底面，所以．
因为，所以平面．
又平面，以．
（2）解：以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，令，
，则，
则．
设平面的法向量为，则令，
得．
由图可知，是平面的一个法向量．
因为二面角的余弦值为，所以，解得．
故当二面角的余弦值为时，．
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)过点作，垂足为，结合已知与余弦定理可求得，又因为，所以平面，；
（2）建立空间直角坐标系，令，求出平面的法向量，再根据二面角的余弦值为，求出的值，即可得解。
24．【答案】（1）解：连结EB，过点E作底面ABCD的垂线交A1D1于F，以E为坐标原点，分别以EA、EB、EF为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系
则，
则
因为，所以，
又，故平面；
（2）解：已知平面，所以
则，则
设平面的法向量为，则，即，
取，则，
设平面与平面所成的角为，则，
故，
平面与平面所成的角为
【知识点】向量方法证明线、面的位置关系定理；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）利用已知条件建立空间直角坐标系，进而得出点的坐标，从而得出向量的坐标，再由数量积为0两向量垂直的等价关系，进而得出线线垂直，再结合线面垂直的判定定理，从而由线线垂直证出线面垂直。
（2）由（1）结合线面垂直和平面的法向量的定义以及数量积为0两向量垂直的等价关系，进而得出平面的法向量，再结合数量积求向量夹角公式和图形判断夹角的取值范围，从而得出平面与平面所成的角。
25．【答案】（1）解：消去参数，得到的普通方程为．
因为，所以．
由得到的直角坐标方程为．
（2）解：由（1）可知，在上，将（为参数），
代人的直角坐标方程得，
则，
故．
【知识点】空间直线的向量参数方程；简单曲线的极坐标方程；直线的参数方程
【解析】【分析】本题主要考查参数方程、极坐标方程、普通方程互化
（1）消去参数方程得参数即可得到直线l的普通方程：，再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可求出的直角坐标方程为；
（2）把直线l的参数方程代入C的直角坐标方程得到：，再利用参数的几何意义求解即可.
26．【答案】（1）证明：菱形中，，所以为等边三角形，
是的中点，所以，
因为平面平面，平面平面平面，
所以平面，
因为平面，所以.
（2）解：由（1）知平面，因为为中点，所以，
以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立
如图所示的空间直角坐标系，，设，则，
，所以，
.
设平面的法向量是，
由令，
得.
设平面的法向量是，
由令，得，
所以.由，解得，
，
三棱柱的体积 .
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质；与二面角有关的立体几何综合题
【解析】【分析】 (1)由平面ABC⊥平面ACC1A1，通过面面垂直的性质证明线面垂直，再证得线线垂直；
(2)建立空间直角坐标系，利用向量法解决二面角的余弦值，解得OB，可得三棱柱ABC-A1B1C1的体积.
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