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备考2024年高考数学提升专题特训：平面解析几何
一、解答题
1．（2024高二上·密山期末）如图，平面，四边形是正方形，且，试求：
（1）点到的距离；
（2）求异面直线与所成的角.
【答案】（1）解：由于平面，平面，所以，
，四边形是正方形，
所以，
又，
连接相交于，
所以为边长为的等边三角形，所以，
故到的距离为，
（2）解：取的中点为，连接，
由于是的中点，所以，
故即为直线与所成的角或其补角，
由于，，，
所以为等边三角形，所以，
故直线与所成的角为，
【知识点】平面内点到直线的距离公式；异面直线及其所成的角
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合线面垂直的定义证出线线垂直，再结合正方形的定义，进而证出四边形是正方形，再结合勾股定理得出MD，MB，BD与x的关系式，再结合等边三角形三线合一，进而证出线线垂直，从而得出点M到直线BD的距离.
（2）利用已知条件结合中点作中位线的方法和中位线的性质，进而证出线线平行，从而得出直线与所成的角或其补角，再结合中点的性质和等边三角形的定义，进而证出三角形为等边三角形，再结合等边三角形的结构特征，进而得出异面直线与所成的角.
2．（2024高三上·海南高考模拟）已知椭圆的上 下顶点分别为，短轴长为在上（不与重合），且.
（1）求的标准方程；
（2）直线分别交直线于两点，连接交于另一点，证明：直线过定点.
【答案】（1）解：依题意可得，，所以.
设，
则，
所以，
所以，
所以的标准方程为.
（2）解：由题可知直线的斜率存在且不为0，
不妨设直线的斜率为，则直线的斜率为，
直线，令，解得，
所以，
直线，令，解得，所以.
直线，
由消去，
可得，
则，且，
解得，
所以，
所以直线的方程为
，
整理得，
即，
即，
所以直线过定点.
【知识点】斜率的计算公式；直线的点斜式方程；恒过定点的直线；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）设，代入即可求得a，即可得椭圆方程.
(2)通过PA、PB的方程得DB方程，联立直线DB和椭圆，转化为关于x一元二次方程，利用根与系数关系表示出M点坐标，从而得ME方程，与k 无关，即可求得定点.
3．（2024高三上·拉萨高考模拟）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以左边原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求直线的直角坐标方程以及曲线的普通方程；
（2）过直线上一点作曲线的切线，切点为，求的最小值．
【答案】（1）解：依题意，由消去，得直线的直角坐标方程为；
因为，故，
即曲线的普通方程为．
（2）解：由（1）知，曲线表示以为圆心，1为半径的圆，
所以，
要使得最小，只需最小，
又，
所以的最小值为．
【知识点】平面内点到直线的距离公式；简单曲线的极坐标方程；直线的参数方程；圆的参数方程
【解析】【分析】本题主要考查参数方程、极坐标方程和直角坐标方程的转化、点到直线的距离公式，
（1）根据转化关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换即可求解；
（2）由（1）知，曲线表示以为圆心，1为半径的圆，所以，
要使得最小，只需最小，然后运用点到直线的距离公式求出答案即可.
4．（2023高三上·湛江月考）已知点和直线，动点到点的距离与到直线的距离之比为.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过点的直线交于两点，若点的坐标为，直线与轴的交点分别是，证明：线段的中点为定点.
【答案】（1）解：设，则，，
整理得，即，
故动点的轨迹的方程为.
（2）解：当直线斜率不存在时不成立，故设直线的方程为.
联立得.
由，得，整理得.
设，则.
直线的方程为，令，得，同理.
，
所以，所以线段的中点坐标为，
故线段的中点为定点.
【知识点】与直线有关的动点轨迹方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)首先设出动点坐标，再根据题意，两点间距离与点到直线距离之比，构造等式，化简后得到动点轨迹方程.
(2)首先根据题意分析，得到直线斜率一定存在，并设出直线方程，再联立方程组，结合根的判别式，求出范围，然后再利用韦达定理，得到两根之和与两根之积，之后再根据直线方程，求得点M坐标，同理得到点N坐标，再利用中点坐标公式求出中点的纵坐标，最后求得中点坐标.
5．（2024高三上·香坊期末） 已知双曲线的实轴长为4，且与双曲线有公共的焦点.
（1）求双曲线的方程；
（2）已知，是双曲线上的任意一点，求的最小值．
【答案】（1）解：易得双曲线的焦点坐标为，，设双曲线方程为，由，解得，又因为，所以，解得，
所以双曲线的方程为；
（2）
设，因为是双曲线上的任意一点，由，可得或，
所以，则或，
，
因为或，所以当时，有最小值.
【知识点】平面内两点间的距离公式；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【分析】（1）根据题意设双曲线的方程，由双曲线的性质求解即可；
（2）设，根据双曲线的性质得出的范围，利用两点间距离公式求解即可.
6．（2022高二上·蓟州期中）已知的顶点.
（1）求边上的中线所在直线的方程；
（2）求经过点，且在轴上的截距和轴上的截距相等的直线的方程.
【答案】（1）解：线段 的中点为 ，
则中线 所在直线方程为： ，即 .
（2）解：设两坐标轴上的截距为 ，
若 ，则直线经过原点，斜率 ，
直线方程为 ，即 ；
若 ，则设直线方程为 ，即 ，
把点 代入得 ，即 ，直线方程为 ；
综上，所求直线方程为 或 .
【知识点】直线的两点式方程；直线的截距式方程
【解析】【分析】 (1)求得中点坐标及中线斜率，点斜式求出 边上的中线所在直线的方程；
(2)分截距为0和不为0两种情况讨论，求得直线方程.
7．（2023高二上·成都月考） 在平面直角坐标系中，已知，点M满足，记的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）设圆，若直线l过圆的圆心且与曲线交于两点，且，求直线l的方程.
【答案】（1）解：设，由，
可得，因为，
所以，整理可得；
即曲线的方程为.
（2）解：易知可化为，
可得圆的圆心为，半径；
又直线l过圆的圆心，可设直线的方程为，显然，
由曲线的方程可知曲线是以为圆心，半径的圆，
又，所以可知到直线的距离，
即，解得；
所以直线方程的方程为
【知识点】轨迹方程；直线与圆相交的性质；相交弦所在直线的方程
【解析】【分析】 (1)设，根据题意结合两点间距离公式运算求解即可；
(2) 由（1）可知可得圆的圆心为，半径，结合垂径定理可得知到直线的距离，结合点到直线的距离公式运算求解.
8．（2023高二上·成都月考） 某圆拱桥的水面跨度16m，拱高4m，现有一船，宽10m，水面以上高3m，问这条船能否通过
【答案】解：以水面作为轴建立直角坐标系如下，
且，
令圆拱的半径为，则，可得，故圆心为，
所以圆拱所在圆为，则时，如下图，
要使宽10m，水面以上高3m的船能通过， 只需即可，
则，即，显然不成立，故这条船不能通过.
【知识点】圆的标准方程
【解析】【分析】以水面作为轴建立直角坐标系如下，结合题意求圆的方程，进而结合高度分析求解.
9．（2023高二上·武汉月考） 已知圆C：．
（1）设点，过点M作直线l与圆C交于A，B两点，若，求直线l的方程；
（2）设P是直线上的点，过P点作圆C的切线PA，PB，切点为A，B，求证：经过A，P，C三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．
【答案】（1）解：根据题意，圆C的方程为，其圆心C为（2，0），半径，
若直线l的斜率不存在，即，代入圆方程得，，即，成立；
若直线l的斜率存在，设直线l的方程为，即，
若，则圆心C到直线l的距离，则，
解得，
即直线l的方程为，化简得
综上所述，直线l的方程为或．
（2）解：由于P是直线上的点，设，由切线的性质得AC⊥PA，BC⊥PB，
经过A，P，C，的三点的圆，即为以PC为直径的圆，
PC的中点坐标为，
且，
所以圆的方程为，
整理得，
令，解得或．
则经过A，P，C三点的圆必过定点，所有定点的坐标为．
【知识点】圆的标准方程；轨迹方程；圆的切线方程；直线与圆相交的性质
【解析】【分析】 (1) 分类讨论直线的斜率是否存在，结合垂径定理分析求解；
(2) 设，分析可知经过A，P，C，的三点的圆，即为以PC为直径的圆，进而求圆的方程分析判断.
10．（2024·天津市模拟）已知圆经过点和，且圆心在直线上.
（1）求圆的方程；
（2）设直线经过点，且与圆相切，求直线的方程.
（3）为圆上任意一点，在(1)的条件下，求的最小值.
【答案】（1）因为圆心在直线上，
所以设圆的圆心，半径为，
所以圆的方程为，
因为圆经过点和，
所以，即，
解得.
所以圆的方程为；
（2）由题意设直线的方程为或，
当的方程为时，验证可知与圆相切；
当的方程为，即时，
圆心到直线的距离为，
解得，
所以的方程为，即.
所以直线的方程为或.
（3）由(1)知圆心为，半径为5，
则圆心与点的距离为，
因为可以看作圆上任意一点与点的距离的平方，所以的最小值为.
【知识点】圆的标准方程；点与圆的位置关系；圆的切线方程
【解析】【分析】本题考查圆的定义，圆的切线方程，点与圆的位置关系.
（1）因为圆心在直线上，先设圆心坐标，半径，写出圆的方程，把点A，B的坐标代入圆的方程可得方程组：，解方程组可求出圆的方程；
(2)分斜率存在和不存在写出切线方程，当斜率不存在时，验证知符合题意，当斜率存在时，设出的方程为，利用圆切线的性质：圆心到直线的距离等于半径可可列出方程，解方程组可求出k的值，进而求出圆的切线方程.
（3）根据圆的几何性质可将问题转化为圆上的点到点的距离最小值，先求出圆心到点的距离，再减去半径再可平方后可求出最小值.
11．（2023高二上·东莞月考）已知抛物线：（）经过点.
（1）求抛物线的方程及其焦点坐标、准线方程；
（2）过抛物线上一动点作圆：的一条切线，切点为，求切线长的最小值.
【答案】（1）解：因为抛物线过点（1，），所以，解得，
所以抛物线的方程为：，焦点坐标为，准线方程；
（2）解：设，圆的圆心，半径是1
因为为圆的切线，所以，，
所以，
所以当时，四边形有最小值且最小值为.
【知识点】圆的切线方程；抛物线的标准方程；抛物线的应用
【解析】【分析】（1）将 点 代入，求得p，即可求出方程、焦点、准线.
(2)设，根据，利用勾股定理得，结合二次函数配方法即可求得的最小值.
12．（2023高二上·成都月考）已知椭圆左焦点、右顶点，过且斜率为的直线l与椭圆交于两点，求的面积.
【答案】解：如下图所示：
易知，直线的方程为，
设，
联立直线与椭圆方程，消去可得，
由勾股定理可得，
可得，
点到直线的距离为，
所以的面积为.
即的面积为.
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】由题意可得：直线的方程为，设，联立方程结合韦达定理求弦长和面积.
13．（2024·荆州市模拟） 设双曲线的离心率为，且顶点到渐近线的距离为.已知直线过点，直线与双曲线的左，右两支的交点分别为，直线与双曲线的渐近线的交点为，其中点在轴的右侧.设的面积分别是.
（1）求双曲线的方程；
（2）求的取值范围.
【答案】（1）解：由题意可得双曲线的一条渐近线方程为，
离心率为，则，
顶点到渐近线的距离为，不妨取顶点，则，
即得，故，结合，
解得
故双曲线的方程为；
（2）解：由题意得，
直线l的斜率存在，设直线的方程为，设，
由，得，
则，即得，
则，
且
，
由，得，
则，
得，
故，
而，.
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）先求出双曲线的方程求得渐进线，根据双曲线的离心率以及顶点根据已知条件列式计算，求出的值，即可求得双曲线的方程；
（2）由题意得，设直线的方程为，设，联立直线和双曲线的方程，结合韦达定理表示弦长，再联立直线和渐近线方程求得，即可得的表达式，结合参数范围，即可求解.
14．（2024高三上·拉萨高考模拟）设椭圆的上顶点为，左焦点为．且在直线上．
（1）求的标准方程；
（2）若直线与交于两点，且点为中点，求直线的方程．
【答案】（1）解：直线与轴交于点，与轴交于点，
所以，
因此的标准方程为
（2）解：当直线的斜率不存在时，，联立解得或，
故，不满足，即不是的中点，不符合题意．
当直线的斜率存在时，设直线．
联立可得，
即．
所以．
由于为的中点，所以，即，解得．
综上，直线的方程为，即．
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】本题主要考查椭圆的标准方程及性质、直线与椭圆的综合运用，
（1）因为直线与轴交于点，与轴交于点，即可求得b、c的值，再根据椭圆基本量之间的关系即可求得椭圆的标准方程；
（2）分直线l的斜率存在和不存在两种情况进行讨论，当直线的斜率不存在时，，联立椭圆方程即可求得，所以不满足，即不是的中点，不符合题意，当直线的斜率存在时，设直线．联立椭圆方程消去y得到关于x的一元二次方程，然后由韦达定理即可，运用中点坐标公式从而求得，即可求出直线l的方程.
15．（2024高二上·亳州期末）已知抛物线上的点到焦点F的距离为4．
（1）求C的方程；
（2）若过点F的直线与C交于不同的两点A，B，且，求直线AB的方程．
【答案】（1）解：由题意得：，
解得，
所以抛物线的方程为
（2）解：当直线的斜率不存在时，此时直线方程为，
当时，，此时，不合题意，舍去；
则直线l的斜率存在，设直线方程为，，
与抛物线方程联立，消去得，
因为焦点在抛物线内部，且直线斜率存在，并且不为0，则该直线与抛物线必有两交点，
由韦达定理得，
所以弦长：，
解得，即，
所以直线l的方程为：
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合抛物线定义得出两点距离，从而得出p的值，进而得出抛物线的标准方程.（2）利用已知条件结合分类讨论的方法，从而设出直线的方程，再联立直线与抛物线方程结合韦达定理和弦长公式得出两点距离，进而得出直线的方程.
16．（2024高三上·保定期末）已知椭圆的左，右焦点分别为，，离心率为，M为椭圆C上的一个动点，且点M到右焦点距离的最大值为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知过点的直线l交椭圆C于A，B两点，当的面积最大时，求此时直线l的方程．
【答案】（1）解：椭圆C的离心率为，
又点M到右焦点距离的最大值为，即，
解得，．
又由，可得．
∴椭圆C的方程为：．
（2）解：由题意，设直线l的方程为，
联立得，
设，，
则，，
，
当且仅当即时取等号．
∴所求直线l的方程为或．
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合椭圆的离心率公式和几何法求两点最大距离的方法，进而建立a，c的方程组，从而解方程组得出a，c的值，再利用椭圆中a，b，c三者的关系式，进而得出b的值，从而得出椭圆C的标准方程。
（2）由题意设出直线的方程为，联立直线与椭圆的方程结合韦达定理得出两交点纵坐标与m的关系式，再利用三角形的面积公式和均值不等式求最值的方法，进而得出三角形的面积的最大值，从而得出此时的m的值，进而得出此时直线l的方程。
17．（2024高三上·香坊期末） “工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）
步骤1：设圆心是，在圆内异于圆心处取一点，标记为；
步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点；
步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；
步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕.
现对这些折痕所围成的图形进行建模研究.若取半径为6的圆形纸片，如图，设定点到圆心的距离为4，按上述方法折纸.以点所在的直线为轴，线段中点为原点建立平面直角坐标系.
（1）若已研究出折痕所围成的图形即是折痕与线段交点的轨迹，求折痕围成的椭圆的标准方程；
（2）记（1）问所得图形为曲线，若过点且不与轴垂直的直线与椭圆交于两点，在轴的正半轴上是否存在定点，使得直线斜率之积为定值？若存在，求出该定点和定值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）以的中点为原点，所在的直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系，
设为椭圆上一点，由题意可知，
因为点的轨迹点为焦点，长轴的椭圆，
因为，，所以，所以，故椭圆的标准方程为；
（2）设直线的方程为，，联立直线方程和椭圆方程 ，
消去化简整理得：，其中，由韦达定理可得：，则，
代入和可得，
要使为定值，则，
因为，所以，则，
所以存在点使得和之积为.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【分析】（1）建立直角坐标系，利用椭圆的定义求椭圆的标准方程即可；
（2）设直线的方程为，，联立直线与椭圆方程，由韦达定理可得，再根据斜率的定义化简求解即可.
18．（2024高二上·邢台期末） 已知椭圆：的长轴长是短轴长的倍.
（1）求的方程；
（2）若倾斜角为的直线与交于，两点，线段的中点坐标为，求.
【答案】（1）解：由题意可得，
解得，
所以M的方程为.
（2）解：由题意得.
设，，
由题意知，且，
由得，
则，解得m=-1，
经检验，点在椭圆M内，
所以m=-1即为所求.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】 (1)根据条件确定a的值，即得椭圆的标准方程；
(2)直接利用“点差法”即可求解.
1 / 1备考2024年高考数学提升专题特训：平面解析几何
一、解答题
1．（2024高二上·密山期末）如图，平面，四边形是正方形，且，试求：
（1）点到的距离；
（2）求异面直线与所成的角.
2．（2024高三上·海南高考模拟）已知椭圆的上 下顶点分别为，短轴长为在上（不与重合），且.
（1）求的标准方程；
（2）直线分别交直线于两点，连接交于另一点，证明：直线过定点.
3．（2024高三上·拉萨高考模拟）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以左边原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求直线的直角坐标方程以及曲线的普通方程；
（2）过直线上一点作曲线的切线，切点为，求的最小值．
4．（2023高三上·湛江月考）已知点和直线，动点到点的距离与到直线的距离之比为.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过点的直线交于两点，若点的坐标为，直线与轴的交点分别是，证明：线段的中点为定点.
5．（2024高三上·香坊期末） 已知双曲线的实轴长为4，且与双曲线有公共的焦点.
（1）求双曲线的方程；
（2）已知，是双曲线上的任意一点，求的最小值．
6．（2022高二上·蓟州期中）已知的顶点.
（1）求边上的中线所在直线的方程；
（2）求经过点，且在轴上的截距和轴上的截距相等的直线的方程.
7．（2023高二上·成都月考） 在平面直角坐标系中，已知，点M满足，记的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）设圆，若直线l过圆的圆心且与曲线交于两点，且，求直线l的方程.
8．（2023高二上·成都月考） 某圆拱桥的水面跨度16m，拱高4m，现有一船，宽10m，水面以上高3m，问这条船能否通过
9．（2023高二上·武汉月考） 已知圆C：．
（1）设点，过点M作直线l与圆C交于A，B两点，若，求直线l的方程；
（2）设P是直线上的点，过P点作圆C的切线PA，PB，切点为A，B，求证：经过A，P，C三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．
10．（2024·天津市模拟）已知圆经过点和，且圆心在直线上.
（1）求圆的方程；
（2）设直线经过点，且与圆相切，求直线的方程.
（3）为圆上任意一点，在(1)的条件下，求的最小值.
11．（2023高二上·东莞月考）已知抛物线：（）经过点.
（1）求抛物线的方程及其焦点坐标、准线方程；
（2）过抛物线上一动点作圆：的一条切线，切点为，求切线长的最小值.
12．（2023高二上·成都月考）已知椭圆左焦点、右顶点，过且斜率为的直线l与椭圆交于两点，求的面积.
13．（2024·荆州市模拟） 设双曲线的离心率为，且顶点到渐近线的距离为.已知直线过点，直线与双曲线的左，右两支的交点分别为，直线与双曲线的渐近线的交点为，其中点在轴的右侧.设的面积分别是.
（1）求双曲线的方程；
（2）求的取值范围.
14．（2024高三上·拉萨高考模拟）设椭圆的上顶点为，左焦点为．且在直线上．
（1）求的标准方程；
（2）若直线与交于两点，且点为中点，求直线的方程．
15．（2024高二上·亳州期末）已知抛物线上的点到焦点F的距离为4．
（1）求C的方程；
（2）若过点F的直线与C交于不同的两点A，B，且，求直线AB的方程．
16．（2024高三上·保定期末）已知椭圆的左，右焦点分别为，，离心率为，M为椭圆C上的一个动点，且点M到右焦点距离的最大值为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知过点的直线l交椭圆C于A，B两点，当的面积最大时，求此时直线l的方程．
17．（2024高三上·香坊期末） “工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）
步骤1：设圆心是，在圆内异于圆心处取一点，标记为；
步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点；
步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；
步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕.
现对这些折痕所围成的图形进行建模研究.若取半径为6的圆形纸片，如图，设定点到圆心的距离为4，按上述方法折纸.以点所在的直线为轴，线段中点为原点建立平面直角坐标系.
（1）若已研究出折痕所围成的图形即是折痕与线段交点的轨迹，求折痕围成的椭圆的标准方程；
（2）记（1）问所得图形为曲线，若过点且不与轴垂直的直线与椭圆交于两点，在轴的正半轴上是否存在定点，使得直线斜率之积为定值？若存在，求出该定点和定值；若不存在，请说明理由.
18．（2024高二上·邢台期末） 已知椭圆：的长轴长是短轴长的倍.
（1）求的方程；
（2）若倾斜角为的直线与交于，两点，线段的中点坐标为，求.
答案解析部分
1．【答案】（1）解：由于平面，平面，所以，
，四边形是正方形，
所以，
又，
连接相交于，
所以为边长为的等边三角形，所以，
故到的距离为，
（2）解：取的中点为，连接，
由于是的中点，所以，
故即为直线与所成的角或其补角，
由于，，，
所以为等边三角形，所以，
故直线与所成的角为，
【知识点】平面内点到直线的距离公式；异面直线及其所成的角
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合线面垂直的定义证出线线垂直，再结合正方形的定义，进而证出四边形是正方形，再结合勾股定理得出MD，MB，BD与x的关系式，再结合等边三角形三线合一，进而证出线线垂直，从而得出点M到直线BD的距离.
（2）利用已知条件结合中点作中位线的方法和中位线的性质，进而证出线线平行，从而得出直线与所成的角或其补角，再结合中点的性质和等边三角形的定义，进而证出三角形为等边三角形，再结合等边三角形的结构特征，进而得出异面直线与所成的角.
2．【答案】（1）解：依题意可得，，所以.
设，
则，
所以，
所以，
所以的标准方程为.
（2）解：由题可知直线的斜率存在且不为0，
不妨设直线的斜率为，则直线的斜率为，
直线，令，解得，
所以，
直线，令，解得，所以.
直线，
由消去，
可得，
则，且，
解得，
所以，
所以直线的方程为
，
整理得，
即，
即，
所以直线过定点.
【知识点】斜率的计算公式；直线的点斜式方程；恒过定点的直线；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）设，代入即可求得a，即可得椭圆方程.
(2)通过PA、PB的方程得DB方程，联立直线DB和椭圆，转化为关于x一元二次方程，利用根与系数关系表示出M点坐标，从而得ME方程，与k 无关，即可求得定点.
3．【答案】（1）解：依题意，由消去，得直线的直角坐标方程为；
因为，故，
即曲线的普通方程为．
（2）解：由（1）知，曲线表示以为圆心，1为半径的圆，
所以，
要使得最小，只需最小，
又，
所以的最小值为．
【知识点】平面内点到直线的距离公式；简单曲线的极坐标方程；直线的参数方程；圆的参数方程
【解析】【分析】本题主要考查参数方程、极坐标方程和直角坐标方程的转化、点到直线的距离公式，
（1）根据转化关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换即可求解；
（2）由（1）知，曲线表示以为圆心，1为半径的圆，所以，
要使得最小，只需最小，然后运用点到直线的距离公式求出答案即可.
4．【答案】（1）解：设，则，，
整理得，即，
故动点的轨迹的方程为.
（2）解：当直线斜率不存在时不成立，故设直线的方程为.
联立得.
由，得，整理得.
设，则.
直线的方程为，令，得，同理.
，
所以，所以线段的中点坐标为，
故线段的中点为定点.
【知识点】与直线有关的动点轨迹方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)首先设出动点坐标，再根据题意，两点间距离与点到直线距离之比，构造等式，化简后得到动点轨迹方程.
(2)首先根据题意分析，得到直线斜率一定存在，并设出直线方程，再联立方程组，结合根的判别式，求出范围，然后再利用韦达定理，得到两根之和与两根之积，之后再根据直线方程，求得点M坐标，同理得到点N坐标，再利用中点坐标公式求出中点的纵坐标，最后求得中点坐标.
5．【答案】（1）解：易得双曲线的焦点坐标为，，设双曲线方程为，由，解得，又因为，所以，解得，
所以双曲线的方程为；
（2）
设，因为是双曲线上的任意一点，由，可得或，
所以，则或，
，
因为或，所以当时，有最小值.
【知识点】平面内两点间的距离公式；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【分析】（1）根据题意设双曲线的方程，由双曲线的性质求解即可；
（2）设，根据双曲线的性质得出的范围，利用两点间距离公式求解即可.
6．【答案】（1）解：线段 的中点为 ，
则中线 所在直线方程为： ，即 .
（2）解：设两坐标轴上的截距为 ，
若 ，则直线经过原点，斜率 ，
直线方程为 ，即 ；
若 ，则设直线方程为 ，即 ，
把点 代入得 ，即 ，直线方程为 ；
综上，所求直线方程为 或 .
【知识点】直线的两点式方程；直线的截距式方程
【解析】【分析】 (1)求得中点坐标及中线斜率，点斜式求出 边上的中线所在直线的方程；
(2)分截距为0和不为0两种情况讨论，求得直线方程.
7．【答案】（1）解：设，由，
可得，因为，
所以，整理可得；
即曲线的方程为.
（2）解：易知可化为，
可得圆的圆心为，半径；
又直线l过圆的圆心，可设直线的方程为，显然，
由曲线的方程可知曲线是以为圆心，半径的圆，
又，所以可知到直线的距离，
即，解得；
所以直线方程的方程为
【知识点】轨迹方程；直线与圆相交的性质；相交弦所在直线的方程
【解析】【分析】 (1)设，根据题意结合两点间距离公式运算求解即可；
(2) 由（1）可知可得圆的圆心为，半径，结合垂径定理可得知到直线的距离，结合点到直线的距离公式运算求解.
8．【答案】解：以水面作为轴建立直角坐标系如下，
且，
令圆拱的半径为，则，可得，故圆心为，
所以圆拱所在圆为，则时，如下图，
要使宽10m，水面以上高3m的船能通过， 只需即可，
则，即，显然不成立，故这条船不能通过.
【知识点】圆的标准方程
【解析】【分析】以水面作为轴建立直角坐标系如下，结合题意求圆的方程，进而结合高度分析求解.
9．【答案】（1）解：根据题意，圆C的方程为，其圆心C为（2，0），半径，
若直线l的斜率不存在，即，代入圆方程得，，即，成立；
若直线l的斜率存在，设直线l的方程为，即，
若，则圆心C到直线l的距离，则，
解得，
即直线l的方程为，化简得
综上所述，直线l的方程为或．
（2）解：由于P是直线上的点，设，由切线的性质得AC⊥PA，BC⊥PB，
经过A，P，C，的三点的圆，即为以PC为直径的圆，
PC的中点坐标为，
且，
所以圆的方程为，
整理得，
令，解得或．
则经过A，P，C三点的圆必过定点，所有定点的坐标为．
【知识点】圆的标准方程；轨迹方程；圆的切线方程；直线与圆相交的性质
【解析】【分析】 (1) 分类讨论直线的斜率是否存在，结合垂径定理分析求解；
(2) 设，分析可知经过A，P，C，的三点的圆，即为以PC为直径的圆，进而求圆的方程分析判断.
10．【答案】（1）因为圆心在直线上，
所以设圆的圆心，半径为，
所以圆的方程为，
因为圆经过点和，
所以，即，
解得.
所以圆的方程为；
（2）由题意设直线的方程为或，
当的方程为时，验证可知与圆相切；
当的方程为，即时，
圆心到直线的距离为，
解得，
所以的方程为，即.
所以直线的方程为或.
（3）由(1)知圆心为，半径为5，
则圆心与点的距离为，
因为可以看作圆上任意一点与点的距离的平方，所以的最小值为.
【知识点】圆的标准方程；点与圆的位置关系；圆的切线方程
【解析】【分析】本题考查圆的定义，圆的切线方程，点与圆的位置关系.
（1）因为圆心在直线上，先设圆心坐标，半径，写出圆的方程，把点A，B的坐标代入圆的方程可得方程组：，解方程组可求出圆的方程；
(2)分斜率存在和不存在写出切线方程，当斜率不存在时，验证知符合题意，当斜率存在时，设出的方程为，利用圆切线的性质：圆心到直线的距离等于半径可可列出方程，解方程组可求出k的值，进而求出圆的切线方程.
（3）根据圆的几何性质可将问题转化为圆上的点到点的距离最小值，先求出圆心到点的距离，再减去半径再可平方后可求出最小值.
11．【答案】（1）解：因为抛物线过点（1，），所以，解得，
所以抛物线的方程为：，焦点坐标为，准线方程；
（2）解：设，圆的圆心，半径是1
因为为圆的切线，所以，，
所以，
所以当时，四边形有最小值且最小值为.
【知识点】圆的切线方程；抛物线的标准方程；抛物线的应用
【解析】【分析】（1）将 点 代入，求得p，即可求出方程、焦点、准线.
(2)设，根据，利用勾股定理得，结合二次函数配方法即可求得的最小值.
12．【答案】解：如下图所示：
易知，直线的方程为，
设，
联立直线与椭圆方程，消去可得，
由勾股定理可得，
可得，
点到直线的距离为，
所以的面积为.
即的面积为.
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】由题意可得：直线的方程为，设，联立方程结合韦达定理求弦长和面积.
13．【答案】（1）解：由题意可得双曲线的一条渐近线方程为，
离心率为，则，
顶点到渐近线的距离为，不妨取顶点，则，
即得，故，结合，
解得
故双曲线的方程为；
（2）解：由题意得，
直线l的斜率存在，设直线的方程为，设，
由，得，
则，即得，
则，
且
，
由，得，
则，
得，
故，
而，.
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）先求出双曲线的方程求得渐进线，根据双曲线的离心率以及顶点根据已知条件列式计算，求出的值，即可求得双曲线的方程；
（2）由题意得，设直线的方程为，设，联立直线和双曲线的方程，结合韦达定理表示弦长，再联立直线和渐近线方程求得，即可得的表达式，结合参数范围，即可求解.
14．【答案】（1）解：直线与轴交于点，与轴交于点，
所以，
因此的标准方程为
（2）解：当直线的斜率不存在时，，联立解得或，
故，不满足，即不是的中点，不符合题意．
当直线的斜率存在时，设直线．
联立可得，
即．
所以．
由于为的中点，所以，即，解得．
综上，直线的方程为，即．
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】本题主要考查椭圆的标准方程及性质、直线与椭圆的综合运用，
（1）因为直线与轴交于点，与轴交于点，即可求得b、c的值，再根据椭圆基本量之间的关系即可求得椭圆的标准方程；
（2）分直线l的斜率存在和不存在两种情况进行讨论，当直线的斜率不存在时，，联立椭圆方程即可求得，所以不满足，即不是的中点，不符合题意，当直线的斜率存在时，设直线．联立椭圆方程消去y得到关于x的一元二次方程，然后由韦达定理即可，运用中点坐标公式从而求得，即可求出直线l的方程.
15．【答案】（1）解：由题意得：，
解得，
所以抛物线的方程为
（2）解：当直线的斜率不存在时，此时直线方程为，
当时，，此时，不合题意，舍去；
则直线l的斜率存在，设直线方程为，，
与抛物线方程联立，消去得，
因为焦点在抛物线内部，且直线斜率存在，并且不为0，则该直线与抛物线必有两交点，
由韦达定理得，
所以弦长：，
解得，即，
所以直线l的方程为：
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合抛物线定义得出两点距离，从而得出p的值，进而得出抛物线的标准方程.（2）利用已知条件结合分类讨论的方法，从而设出直线的方程，再联立直线与抛物线方程结合韦达定理和弦长公式得出两点距离，进而得出直线的方程.
16．【答案】（1）解：椭圆C的离心率为，
又点M到右焦点距离的最大值为，即，
解得，．
又由，可得．
∴椭圆C的方程为：．
（2）解：由题意，设直线l的方程为，
联立得，
设，，
则，，
，
当且仅当即时取等号．
∴所求直线l的方程为或．
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合椭圆的离心率公式和几何法求两点最大距离的方法，进而建立a，c的方程组，从而解方程组得出a，c的值，再利用椭圆中a，b，c三者的关系式，进而得出b的值，从而得出椭圆C的标准方程。
（2）由题意设出直线的方程为，联立直线与椭圆的方程结合韦达定理得出两交点纵坐标与m的关系式，再利用三角形的面积公式和均值不等式求最值的方法，进而得出三角形的面积的最大值，从而得出此时的m的值，进而得出此时直线l的方程。
17．【答案】（1）以的中点为原点，所在的直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系，
设为椭圆上一点，由题意可知，
因为点的轨迹点为焦点，长轴的椭圆，
因为，，所以，所以，故椭圆的标准方程为；
（2）设直线的方程为，，联立直线方程和椭圆方程 ，
消去化简整理得：，其中，由韦达定理可得：，则，
代入和可得，
要使为定值，则，
因为，所以，则，
所以存在点使得和之积为.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【分析】（1）建立直角坐标系，利用椭圆的定义求椭圆的标准方程即可；
（2）设直线的方程为，，联立直线与椭圆方程，由韦达定理可得，再根据斜率的定义化简求解即可.
18．【答案】（1）解：由题意可得，
解得，
所以M的方程为.
（2）解：由题意得.
设，，
由题意知，且，
由得，
则，解得m=-1，
经检验，点在椭圆M内，
所以m=-1即为所求.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】 (1)根据条件确定a的值，即得椭圆的标准方程；
(2)直接利用“点差法”即可求解.
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