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备考2024年高考数学优生冲刺专题特训：概率与统计
一、解答题
1．（2024·安徽模拟）第届世界杯于年月日到月日在卡塔尔举办．在决赛中，阿根廷队通过点球战胜法国队获得冠军．
（1）扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑到点球的个数的分布列和期望；
（2）好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲、乙、丙三名前锋队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外人中的人，接球者接到球后再等可能地随传向另外人中的人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第次传球之前球在甲脚下的概率为，易知．
试证明：为等比数列；
设第次传球之前球在乙脚下的概率为，比较与的大小．
2．（2024·潍坊期末）某中学的风筝兴趣小组决定举行一次盲盒风筝比赛，比赛采取得分制度评选优胜者，可选择的风筝为硬翅风筝 软翅风筝 串式风筝 板式风筝 立体风筝，共有5种风筝，将风筝装入盲盒中摸取风筝，每位参赛选手摸取硬翅风筝或软翅风筝均得1分并放飞风筝，摸取串式风筝 板式风筝 立体风筝均得2分并放飞风筝，每次摸取风筝的结果相互独立，且每次只能摸取1只风筝，每位选手每次摸取硬翅风筝或软翅风筝的概率为，摸取其余3种风筝的概率为.
（1）若选手甲连续摸了2次盲盒，其总得分为分，求的分布列与期望；
（2）假设选手乙可持续摸取盲盒，即摸取盲盒的次数可以为中的任意一个数，记乙累计得分的概率为，当时，求.
3．（2023高三上·广州月考）杭州亚运会的三个吉祥物是琮琮、宸宸和莲莲，他们分别代表了世界遗产良渚古城遗址、京杭大运河和西湖，分别展现了不屈不挠、坚强刚毅的拼搏精神，海纳百川的时代精神和精致和谐的人文精神. 甲同学可采用如下两种方式购买吉祥物，方式一：以盲盒方式购买，每个盲盒19元，盲盒外观完全相同，内部随机放有琮琮、宸宸和莲莲三款中的一个，只有打开才会知道买到吉祥物的款式，买到每款吉祥物是等可能的；方式二：直接购买吉祥物，每个30元.
（1）甲若以方式一购买吉祥物，每次购买一个盲盒并打开. 当甲买到的吉祥物首次出现相同款式时，用X表示甲购买的次数，求X的分布列；
（2）为了集齐三款吉祥物，甲计划先一次性购买盲盒，且数量不超过3个，若未集齐再直接购买吉祥物，以所需费用的期望值为决策依据，甲应一次性购买多少个盲盒
4．（2023高三上·东莞月考）冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征（MERS）和严重急性呼吸综合征（SARS）等较严重疾病.而今年出现的新型冠状病毒（nCoV）是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株.人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等，在较严重病例中，感染可导致肺炎、严重急性呼吸综合征、肾衰竭，甚至死亡.医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有份血液样本，有以下两种检验方式：
方式一：逐份检验，则需要检验次.
方式二：混合检验，将其中（且）份血液样本分别取样混合在一起检验.
若检验结果为阴性，这份的血液全为阴性，因而这份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这份血液究竟哪几份为阳性，就要对这份再逐份检验，此时这份血液的检验次数总共为.假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为.
（1）现有份血液样本，其中只有份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率.
（2）现取其中（且）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验方式，样本需要检验的总次为.
（i）若，试求关于的函数关系式；
（ii）若，且采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求的最大值.
参考数据：，，.
5．（2023高三上·韶关模拟）有一个质地均匀的正方体骰子与一个有61个格子的矩形方格图，矩形方格图上从0，1，2，…，60依次标号．一个质点位于第0个方格中，现有如下游戏规则：先投掷骰子，若出现1点或2点，则质点前进1格，否则质点前进2格，每次投掷的结果互不影响．
（1）求经过两次投掷后，质点位于第4个格子的概率；
（2）若质点移动到第59个格子或第60个格子时，游戏结束，设质点移动到第个格子的概率为，求和的值．
6．（2023·江西模拟）近年来，随着智能手机的普及，网络购物、直播带货、网上买菜等新业态迅速进入了我们的生活，改变了我们的生活方式.现将一周网上买菜次数超过3次的市民认定为“喜欢网上买菜”，不超过3次甚至从不在网上买菜的市民认定为“不喜欢网上买菜”，某市M社区为了解该社区市民网上买菜情况，随机
抽取了该社区100名市民，得到的统计数据如下表所示：
喜欢网上买菜 不喜欢网上买菜 合计
年龄不超过45岁的市民 40 10 50
年龄超过45岁的市民 20 30 50
合计 60 40 100
（1）是否存99.9\%的把握认为M社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄有关
（2）M社区的市民张无忌周一、二均在网上买菜，且周一从A，B两个买菜平台随机选择其中一个下单买菜，如果周一选择A平台买菜，那么周二选择A平台买菜的概率为；如果周一选择B平台买菜，那么周二选择A平台买菜的概率为，求张无忌周二选择B平台买菜的概率：
（3）用频率估计概率，现从M社区市民中随机抽取20名市民，记其中喜欢网上买菜的市民人数为X，事件“”的概率为P(X=k)，使得P(X=k)取得最大值k的值
参考公式.其中.
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
7．（2023高三上·重庆市月考）在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列.现连续发射信号次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号1的次数为.
（1）当时，求
（2）已知切比雪夫不等式：对于任一随机变最，若其数学期望和方差均存在，则对任意正实数，有.根据该不等式可以对事件“”的概率作出下限估计.为了至少有的把握使发射信号“1”的频率在0.4与0.6之间，试估计信号发射次数的最小值.
8．（2023·重庆市模拟）为了解学生中午的用餐方式（在食堂就餐或点外卖）与最近食堂间的距离的关系，某大学于某日中午随机调查了2000名学生，获得了如下频率分布表（不完整）：
学生与最近食堂间的距离 合计
在食堂就餐 0.15 　 0.10 　 0.00 0.50
点外卖 　 0.20 　 　 0.00 0.50
合计 0.20 　 　 0.15 0.00 1.00
并且由该频率分布表，可估计学生与最近食堂间的平均距离为（同一组数据以该组数据所在区间的中点值作为代表）.
（1）补全频率分布表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为学生中午的用餐方式与学生距最近食堂的远近有关（当学生与最近食堂间的距离不超过时，认为较近，否则认为较远）：
（2）已知该校李明同学的附近有两家学生食堂甲和乙，且他每天中午都选择食堂甲或乙就餐.
（i）一般情况下，学生更愿意去饭菜更美味的食堂就餐.某日中午，李明准备去食堂就餐.此时，记他选择去甲食堂就餐为事件，他认为甲食堂的饭菜比乙食堂的美味为事件，且、均为随机事件，证明：：
（ii）为迎接为期7天的校庆，甲食堂推出了如下两种优惠活动方案，顾客可任选其一.
①传统型优惠方案：校庆期间，顾客任意一天中午去甲食堂就餐均可获得元优惠；
②“饥饿型”优惠方案：校庆期间，对于顾客去甲食堂就餐的若干天（不必连续）中午，第一天中午不优惠（即“饥饿”一天），第二天中午获得元优惠，以后每天中午均获得元优惠（其中，为已知数且）.
校庆期间，已知李明每天中午去甲食堂就餐的概率均为（），且是否去甲食堂就餐相互独立.又知李明是一名“激进型”消费者，如果两种方案获得的优惠期望不一样，他倾向于选择能获得优惠期望更大的方案，如果两种方案获得的优惠期望一样，他倾向于选择获得的优惠更分散的方案.请你据此帮他作出选择，并说明理由.
附：，其中.
0.10 0.010 0.001
2.706 6.635 10.828
9．（2023高三上·石家庄期中）为了解某市区高中学生的阅读时间，从该市区随机抽取了800名学生进行调查，得到了这800名学生一周的平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成九组，绘制成如图所示的频率分布直方图。
（1）求a的值；
（2）为进一步了解这800名学生阅读时间的分配情况，从周平均阅读时间在，
，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记周平均阅读时间在内的学生人数为X，求X的分布列和数学期望；
（3）以样本的频率估计概率，从该市区学生周平均阅读时间在内中随机抽取20名学生．这20名学生中，周平均阅读时间在内的学生最可能有多少名？
10．（2024高三上·北碚月考）某校20名学生的数学成绩和知识竞赛成绩如下表：
计算可得数学成绩的平均值是，知识竞赛成绩的平均值是，并且，，.
（1）求这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的样本相关系数（精确到0.01）；
（2）设，变量和变量的一组样本数据为，其中两两不相同，两两不相同.记在中的排名是第位，在中的排名是第位，.定义变量和变量的“斯皮尔曼相关系数”（记为）为变量的排名和变量的排名的样本相关系数.
（i）记，.证明：；
（ii）用（i）的公式求得这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的“斯皮尔曼相关系数”约为0.91，简述“斯皮尔曼相关系数”在分析线性相关性时的优势.
注：参考公式与参考数据.
；；.
11．（2023高二上·柳州开学考）某种零件按质量标准分为1，2，3，4，5五个等级．现从一批该零件中随机抽取40个，对其等级进行统计分析，得到频率分布表如表：
等级 1 2 3 4 5
频率 0.05 m 0.15 0.35 n
（1）若抽取等级为5的零件的概率为0.1，求m，n；
（2）在（1）的条件下，从等级为1和5的所有零件中任意抽取2个，求抽取的2个零件等级恰好相同的概率．
12．（2023高三上·宾县开学考）strong>．某校设置了篮球挑战项目，现在从本校学生中随机抽取了60名男生和40名女生共100人进行调查，统计出愿意接受挑战和不愿意接受挑战的男女生比例情况，具体数据如图表：
（1）根据条件完成下列列联表：
愿意 不愿意 总计
男生 　 　 　
女生 　 　 　
总计 　 　 　
（2）根据列联表，依据小概率值的独立性检验，分析该校学生是否愿意接受挑战与性别有关；
（3）挑战项目共有两关，规定：挑战过程依次进行，每一关都有两次机会挑战，通过第一关后才有资格参与第二关的挑战，若甲参加第一关的每一次挑战通过的概率均为，参加第二关的每一次挑战通过的概率均为，且每轮每次挑战是否通过相互独立。记甲通过的关数为，求的分布列和数学期望.
参考公式与数据：
0.1 0.05 0.025 0.01
2.706 3.841 5.024 6.635
13．（2024高二上·亳州期末）中华文化源远流长，为了让青少年更好地了解中国的传统文化，某培训中心计划利用暑期开设“围棋”、“武术”、“书法”、“剪纸”、“京剧”、“刺绣”六门体验课程．
（1）若体验课连续开设六周，每周一门，求“京剧”和“剪纸”课程排在不相邻的两周的所有排法种数；
（2）现有甲、乙、丙三名学生报名参加暑期的体验课程，每人都选两门课程，甲和乙有一门共同的课程，丙和甲、乙的课程都不同，求所有选课的种数；
（3）计划安排A、B、C、D、E五名教师教这六门课程，每门课程只由一名教师任教，每名教师至少任教一门课程，教师A不任教“围棋”课程，教师B只能任教一门课程，求所有课程安排的种数．
14．（2023高三上·杨村开学考）已知数列的前项和为，数列是首项为0，公差为的等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，对任意的正整数，将集合中的三个元素排成一个递增的等差数列，其公差为，求证：数列为等比数列；
（3）对（2）中的，求集合的元素个数.
15．（2023高二下·鄠邑期末）在下列两个条件中任选一个条件，补充在问题中的横线上，并解答.条件①：展开式中前三项的二项式系数之和为22；条件②：展开式中所有项的二项式系数之和减去所有项的系数之和等于64；问题：已知二项式，若____，求：
（1）求n；
（2）展开式中的常数项.
16．（2023·新高考Ⅰ卷）甲乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8，由抽签决定第一次投篮的人选，第一次投篮的人是甲，乙的概率各为0.5.
（1）求第2次投篮的人是乙的概率；
（2）求第i次投篮的人是甲的概率；
（3）已知：若随机变量服从两点分布， 且 ，则 ， 记前 次 (即从第1次到第次投篮)中甲投篮的次数为，求 .
17．（2023高二下·浙江期中）盒子中有个不同的白球和个不同的黑球.
（注：要写出算式，结果用数字表示）
（1）若将这些小球取出后排成一排，使得黑球互不相邻，白球也不相邻，共有多少种不同的排法？
（2）随机一次性摸出个球，使得摸出的三个球中至少有个黑球，共有多少种不同的摸球结果？
（3）将这些小球分别放入另外三个不同的盒子，使得每个盒子至少一个球，共有多少种不同的放法？
18．（2023·汕头模拟）已知各项均为正数的数列满足：，且
（1）设，求数列的通项公式
（2）设，求，并确定最小正整数，使得为整数．
19．（2023高三上·佳木斯开学考）影响身高的因素主要有以下凡点：第一、遗传，遗传基因直接影响人种、身高，第二、睡眠，身高的增长非常依赖于睡眠的质量，睡眠的时间有保障，晚上分泌的生长激素可以很好地作用于人体的骨骼，使人体增高．第三、营养，营养物质特别是蛋白质、钙、铁等要补充充分，为孩子增长身体提供原料、第四、运动，运动影响儿童身高非常明显，运动可以直接促进生长激素的分泌，使生长激素在夜晚增大分泌，促进食欲，还能保证健康的睡眠等等，对于长高有很大帮助．高中学生由于学业压力，缺少睡眠与运动等原因，导致身高偏矮；但同时也会由于营养增加与遗传等原因，导致身高偏高，某市教育局为督促各学校保证学生充足的睡眠、合理的营养搭配和体育锻炼时间，减轻学生学习压力，准备对各校男生身高指数进行抽查，并制定了身高指数档次及所对应得分如下表：
档次 偏矮 正常 偏高 超高
男生身高指数（单位：）
学生得分 50 70 80 90
某校为迎接检查，学期初通过调查统计得到该校高三男生身高指数服从正态分布，并调整睡眠时间、合理的营养搭配和体育锻炼.6月中旬，教育局聘请第三方机构抽查的该校高三30名男生的身高指数频数分布表如下：
档次 偏矮 正常 偏高 超高
男生身高指数（单位：）
人数 3 9 12 6
（1）试求学校调整前高三男生身高指数的偏矮率、正常率、偏高率、超高率；
（2）请你从偏高率、超高率、男生身高指数平均得分三个角度评价学校采取措施的效果．
附：参考数据与公式：若，则①；②；③．
20．（2022高二下·泰州期末）我国是全球制造业大国，制造业增加值自2010年起连续12年位居世界第一，主要产品产量稳居世界前列，为深入推进传统制造业改造提升，全面提高传统制造业核心竞争力，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破．设备生产的零件的直径为X（单位nm）．
（1）现有旧设备生产的零件共7个，其中直径大于10nm的有4个．现从这7个零件中随机抽取3个．记表示取出的零件中直径大于10nm的零件的个数，求的分布列及数学期望；
（2）技术攻坚突破后设备生产的零件的合格率为，每个零件是否合格相互独立．现任取6个零件进行检测，若合格的零件数超过半数，则可认为技术攻坚成功．求技术攻坚成功的概率及的方差；
（3）若技术攻坚后新设备生产的零件直径X~N（9，0.04），从生产的零件中随机取出10个，求至少有一个零件直径大于9.4nm的概率．
参考数据：若，则，，，．
21．（2021高二下·武汉期中）某生物研究所存有一批规格相同的瓶装溶液，部分瓶装溶液中含有细菌，现取出瓶该规格溶液做实验，其中瓶含有细菌，实验需要把含有细菌的溶液检验出来，有如下两种方案：
方案一：逐瓶检验，则需检验次；
方案二：混合检验，将瓶溶液分别取样，混合在一起检验，若检验结果不含有细菌，则瓶溶液全部不含有细菌；若检验结果含有细菌，就要对这瓶溶液再逐瓶检验，此时检验次数总共为.
参考数据：，，，.
（1）假设，，采用方案一，求恰好检验3次就能确定哪两瓶溶液含有细菌的概率；
（2）现对瓶溶液进行检验，已知每瓶溶液含有细菌的概率均为.若采用方案一，需检验的总次数为，若采用方案二，需检验的总次数为.
①若与的期望相等，试用表示；
②若，且采用方案二总次数的期望小于采用方案一总次数的期望，求的最大值.
22．（2020高三上·潮州期末）心理学研究表明，人极易受情绪的影响，某选手参加7局4胜制的兵乒球比赛.
（1）在不受情绪的影响下，该选手每局获胜的概率为 ；但实际上，如果前一句获胜的话，此选手该局获胜的概率可提升到 ；而如果前一局失利的话，此选手该局获胜的概率则降为 ，求该选手在前3局获胜局数 的分布列及数学期望；
（2）假设选手的三局比赛结果互不影响，且三局比赛获胜的概率为 ，记 为锐角 的内角，求证：
答案解析部分
1．【答案】（1）解：依题意可得，门将每次可以扑到点球的概率为，
门将在前三次扑到点球的个数可能的取值为，，，，易知，
所以，，
故的分布列为：
所以的期望．
（2）解：第次传球之前球在甲脚下的概率为，
则当时，第次传球之前球在甲脚下的概率为，
第次传球之前球不在甲脚下的概率为，
则，
即，又，
所以是以为首项，公比为的等比数列．
由可知，所以，
所以，故．
【知识点】等比数列的通项公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）计算门将每次可以扑出点球的概率，再列出其分布列，再求出数学期望；
（2）①记第n次传球之前球在甲脚下的概率为，则当时，第次传球之前球在甲脚下的概率为，由条件确定的关系，结合等比数列定义完成证明；
②由①求出，比较其大小即可.
2．【答案】（1）解：的可能取值为，
则 3分
所以的分布列为
2 3 4
故
（2）解：当时，得分累计分，即在得到分后再得1分，或在得到分后再得2分，
所以，
则
因为，所以，
所以为等比数列，且首项为，公比为，
则
，
则，故当时，
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；概率的应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件得出随机变量X的可能的取值，再结合独立事件求概率公式和对立事件求概率公式，进而得出随机变量X的分布列，再结合随机变量的分布列求数学期望公式，进而得出随机变量X的数学期望.
（2）当时，得分累计分，即在得到分后再得1分，或在得到分后再得2分，进而得出，再利用递推公式和等比数列的定义，进而证出数列为等比数列，且首项为，公比为，再利用等比数列的通项公式和累加法得出
当时的与n的关系式.
3．【答案】（1）解：由题意可知所有可能取值为2，3，4，
（其他解法：，
则的分布列如下：
2 3 4
（2）设甲一次性购买个吉祥物盲盒，集齐三款吉祥物需要的总费用为.
依题意，可取0，1，2，3.
方案1：不购买盲盒时，则需要直接购买三款吉祥物，总费用元.
方案2：购买1个盲盒时，则需要直接购买另外两款吉祥物，
总费用元.
方案3：购买2个盲盒时，
当2个盲盒打开后款式不同，则只需要直接购买剩下一款吉祥物，总费用；
(或)
当2个盲盒打开后款式相同，则需要直接购买另外两款吉祥物，总费用.
所以元)
方案4：购买3个盲盒时，
当3个盲盒打开后款式各不相同，则总费用，
当3个盲盒打开后恰有2款相同，则需要直接购买剩下一款吉祥物，总费用；
当3个吉祥物盲盒打开后款式全部相同，则需要直接购买另外两款吉祥物，总费用.
所以(元)
（别解：(元)）
显然.
综上，应该一次性购买2个吉祥物盲盒.
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；概率的应用
【解析】【分析】（1）由题意可知随机变量所有可能取值，再利用排列数公式和组合数公式以及和古典概型求概率公式，进而得出随机变量X的分布列。
（2）利用已知条件结合分类讨论的方法，再结合随机变量X的分布列和随机变量的分布列求数学期望公式，进而对4种方案的数学期望进行比较，从而找出合适的方案。
4．【答案】（1）解：设恰好经过次检验能把阳性样本全部检验出来为事件，则，
所以，恰好经过次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率为；
（2）解：（i）由已知得，的所有可能取值为、，
，，
，
由，得，化简得；
（ii）由题意知，则，，即，，
构造函数，则，
当时，，此时函数单调递增；
当时，，此时函数单调递减.
，，
所以的最大值为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】 (1)利用排列组合与随机事件的概率公式求解；
(2)（i）确定的所有可能取值，求出对应的概率，从而求出数学期望，列出不等式，然后构造新函数，（ii）利用导数研究新函数的单调性与临界值，进而作出判断.
5．【答案】（1）解：设事件为质点前进1格，事件为质点前进2格，
则．
设事件为质点经过两次投掷后位于第4个格子，
．
（2）解：质点移动到第个格子的情况可分为两种：由第个格子移动至第个格子；由第个格子移动至第个格子，故：
，
．
所以．
所以是以为首项，为公比的等比数列，
故．
所以，
故．
故．
【知识点】等比数列的通项公式；相互独立事件的概率乘法公式；条件概率乘法公式
【解析】【分析】（1）设事件为质点前进1格，事件为质点前进2格，分别求得，结合，即可求解；
（2）根据题意，可分为两种：由第个格子移动至第个格子；由第个格子移动至第个格子，
推得，得到为等比数列，求得，结合等比数列的求和公式，即可求解．
6．【答案】（1）解：，
所以有的把握认为M社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄有关.
（2）解：记事件A：张无忌周一选择A平台买菜，事件B：张无忌周二选择B平台买菜，
则，，，
由全概率公式可得.
因此，张无忌周二选择B平台买菜的概率为.
（3）解：利用样本分布的频率估算总体分布的概率，可得M社区的市民喜欢网上买菜的概率为，
则，
所以.
设.
若，则，；
若，则，.
所以时，最大，
故使取得最大值的k值为12.
【知识点】函数的最大（小）值；独立性检验的应用；二项分布；全概率公式；条件概率
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合统计表中的数据，再结合独立性检验的方法判断出有的把握认为M社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄有关.
（2）利用已知条件结合对立事件求概率公式、条件概型求概率公式和全概率公式，进而得出张无忌周二选择B平台买菜的概率.
（3）利用样本分布的频率估算总体分布的概率结合频数除以样本容量等于频率公式，进而得出M社区的市民喜欢网上买菜的概率，再利用二项分布得出随机变量的分布列，设进而得出t与k的解析式，再结合函数的单调性得出函数的最值，进而得出的最大值和此时的k值.
7．【答案】（1）解：由已知，
所以
；
（2）解：由已知，所以，
若，则，即，
即.
由切比雪夫不等式，
要使得至少有的把握使发射信号“1”的频率在与之间，则，
解得，所以估计信号发射次数的最小值为1250；
综上，，估计信号发射次数的最小值为1250.
【知识点】独立性检验的应用；离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【分析】（1）利用n的值结合已知条件得出随机变量X服从二项分布，再结合二项分布求概率公式和互斥事件求概率公式，进而得出的值.
（2）利用已知条件结合随机变量服从二项分布，从而得出随机变量X的数学期望和方差，再利用已知条件结合切比雪夫不等式以及独立性检验的方法，进而估计出信号发射次数的最小值.
8．【答案】（1）解：设组的频率为t，则组的频率为，
估计学生与最近食堂间的平均距离，解得，
故可补全频率分布表如下：
学生与最近食堂间的距离 合计
在食堂就餐 0.15 0.20 0.10 0.05 0.00 0.50
点外卖 0.05 0.20 0.15 0.10 0.00 0.50
合计 0.20 0.40 0.25 0.15 0.00 1.00
据此结合样本容量为2000可列出列联表如下：
学生距最近食堂较近 学生距最近食较堂远 合计
在食堂就餐 700 300 1000
点外卖 500 500 1000
合计 1200 800 2000
零假设：学生中午的用餐情况与学生距最近食堂的远近无关.
注意到.
据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即可以认为学生中午的用餐方式与学生距最近食堂的远近有关.
（2）解：（i）：由题意得，，
结合，.
结合条件概率公式知，即.
，
即成立.
（ⅱ）设李明在校庆期间去食堂甲就餐的次数为，
若选择传统型优惠方案获得的优惠为X元，若选择“饥饿型”优惠方案获得的优惠为Y元，
则，，对，有，
故，
，
令，结合得，记为.
若，则，，
此时李明应选择“饥饿型”优惠方案；
若，则，，
此时李明应选择传统型优惠方案.
若，则，.
注意到，
.
因此
，
即.
此时李明选择获得的优惠更分散的方案，即获得的优惠方差更大的方案，即“饥饿型”优惠方案.
综上所述，当时，李明应选择传统型优惠方案；
当时，李明应选择“饥饿型”优惠方案.
【知识点】频率分布表；独立性检验；离散型随机变量的期望与方差；二项分布；条件概率
【解析】【分析】（1）设组的频率为t，根据题意补全频率分布表，列出列联表，进行零假设，再计算，与临界值表对比即可；
（2）（i）根据题意得到，，然后结合条件概率公式得到，最后利用作差法和条件概率公式证明即可；
（ii）根据题意得到两种方案的优惠期望，然后分、和三种情况考虑即可.
9．【答案】（1）解：，
（2）解：由频率分布直方图可得：周平均阅读时间在，，三组的频率之比为
，10人中，周平均阅读时间在的人数为人；在的人数为人；在的人数为人；
则X所有可能的取值为0，1，2，3，
；
；
的分布列为：
X 0 1 2 3
P
数学期望
（3）解：用频率估计概率，从该地区学生周平均阅读时间在内中随机抽取20名学生，周平均阅读时间在内的概率，则
令，解得
所以当或，最大．
所以，周平均阅读时间在内的学生最可能有6名或7名.
【知识点】分层抽样方法；概率的基本性质；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；概率的应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合频率分布直方图中各小组的矩形的面积等于各小组的频率，再结合频率之和等于1，列出关系式，求解从而得出实数a的值。
（2）利用已知条件结合分层抽样的方法得出随机变量X的可能的取值，再利用超几何分布分别求出随机变量X分别取0，1，2，3时的概率，进而得出随机变量X的分布列，再由随机变量分布列求数学期望公式，进而得出随机变量X的数学期望。
（3）先求出周平均阅读时间在内的概率，进而求出，再由解出实数k的取值范围，进而得出周平均阅读时间在内的学生最可能的人数。
10．【答案】（1）解：由题意，这组学生数学成绩和知识竞赛成绩的样本相关系数为
；
（2）证明：（i）因为和都是1，2，，的一个排列，所以
，
，
从而和的平均数都是.
因此，，
同理可得，
由于
，
所以.
（ii）这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的斯皮尔曼相关系数是0.91，
答案①：斯皮尔曼相关系数对于异常值不太敏感，如果数据中有明显的异常值，那么用斯皮尔曼相关系数比用样本相关系数更能刻画某种线性关系；
答案②：斯皮尔曼相关系数刻画的是样本数据排名的样本相关系数，与具体的数值无关，只与排名有关.如果一组数据有异常值，但排名依然符合一定的线性关系，则可以采用斯皮尔曼相关系数刻画线性关系.
【知识点】变量相关关系；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【分析】（1）由相关系数的公式计算即可；
（2）（i）直接利用相关系数的公式计算即可证明；（ii）斯皮尔曼相关系数比用样本相关系数更能刻画某种线性关系.
11．【答案】（1）解：若抽取等级为5的零件的概率为0.1，则n＝0.1，m＝1﹣0.05﹣0.15﹣0.35﹣0.1＝0.35，
综上所述，m＝035，n＝0.1；
（2）解：在（1）的条件下，等级为1的零件共有40×0.05＝2（个），等级为5的零件共有40×01＝4（个），这两个等级的零件共6个，
任意抽取2个，不同的选法共有＝15（种），
如果抽取的2个零件等级恰好相同，不同的选法一共有+＝7（种），所以抽取的2个零件等级恰好相同的概率是，
综上所述，抽取的2个零件等级恰好相同的概率是．
【知识点】频率分布表；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】(1)根据频率分布表得0.05+m+0.15+0.35+n＝1，进而求解；
(2) 先求出等级为1和5的零件个数，再利用古典概型概率公式计算求解.
12．【答案】（1）解：根据条件列联表如下：
愿意 不愿意 总计
男生 15 45 60
女生 20 20 40
总计 35 65 100
（2）解：零假设：该校学生是否愿意接受挑战与性别无关，
根据列联表的数据，经计算得到，
依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可以认为成立，即认为该校学生是否愿意接受挑战与性别无关.
（3）解：记甲第次通过第一关为，第次通过第二关为，
的可能取值为，，
，
，
故的分布列为
0 1 2
数学期望.
【知识点】实际推断原理和假设检验；相互独立事件的概率乘法公式；概率分布列
【解析】【分析】（1）根据男女比例情况可得答案
（2）计算出K2与参考值比较可得结论
（3）记甲第i次通过第一关为Ai(i=1，2)，第i次通过第二关为Bi(i=1，2)，X的可能值为0，1，2，求出P（X=0）、P（X=1）、P（X=2），可得分布列和期望。
13．【答案】（1）解：第一步，先将另外四门课排好，有种情况；
第二步，将“京剧”和“剪纸”课程分别插入5个空隙中，有种情况；
所以“京剧”和“剪纸”课程排在不相邻的两周的排法有种；
（2）解：第一步，先将甲和乙的不同课程排好，有种情况；
第二步，将甲和乙的相同课程排好，有种情况；
第三步，因为丙和甲、乙的课程都不同，所以丙的排法种情况；
因此，所有选课种数为.
（3）解：①当A只任教1科时：先排A任教科目，有种；再从剩下5科中排B的任教科目，有种；接下来剩余4科中必有2科为同一名老师任教，分三组全排列，共有种；所以当A只任教1科时，共有种；
②当A任教2科时：先选A任教的2科有中，这样6科分为4组共有种，
所以，当A任教2科时，共有种，
综上，A不任教“围棋”的课程安排方案有1140种．
【分析】
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【分析】 (1)利用已知条件结合排列数公式和分步乘法计数原理，进而得出“京剧”和“剪纸”课程排在不相邻的两周的所有排法种数，
（2）利用已知条件结合排列数公式和组合数公式以及分步乘法计数原理，进而得出所有选课的种数，
（3）利用已知条件结合排列数公式和组合数公式以及分类乘法计数原理，进而得出A不任教“围棋”的课程安排方案种数.
14．【答案】（1）解：数列的前项和为，数列是首项为，公差为的等差数列
，
当时，
当时，
综上所述，，.
（2）解：由（1）
则
且成等差数列，
为常数，
为等比数列.
（3）解：①当为奇数时
同理可得，
则集合的元素个数为
②当为偶数时，同理可得的元素个数为
综上所述，集合的元素个数：.
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；组合及组合数公式；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】 (1)、 根据题意得出 ， 分情况当n= 1或者n>1时，求出 的通项公式；
(2)、由（1） ，分别表示出 ，根据 成等差数列， 求出即可.
(3)、①当为奇数时 整理化简求出 的元素个数.②当为偶数时，同理可得的元素个数.
15．【答案】（1）解：选①：由题意得，
即，
解得或（负值舍去）；
选②：令，可得展开式中所有项的系数之和为0.
由，即，
解得
（2）解：展开式的通项为（，1，2，3，4，5，6），
令，解得，
则常数项为.
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式；二项式系数
【解析】【分析】 (1)选①，由题意得展开求解n；选②，令得所有项系数的和为0，所以进而求解n；
(2)根据二项展开式的通项公式得 ，令代入求得常数项.
16．【答案】（1）设第2次投篮的人是乙的概率为P，
第1次甲投篮未中，第2次乙投篮的概率：，
两次投篮都是乙的概率：，
故第二次投篮是乙的概率为.
（2）设第投篮的人是甲的概率为，
则，
，所以是首项为，公比为，，
所以
（3）由（2）得，由题意得甲第投篮次数服从两点分布，且，
∴，
∴，
检验当时也满足上式，
综上所述：
【知识点】数列的应用；概率的基本性质；分类加法计数原理
【解析】【分析】(1)结合分类加法计数原理及分步乘法计数原理得出答案；
(2)为求第i次投篮的概率，根据题意，需由i-1次计算，从而找出前一次与后一次的关系，求pi的关系即需利用数列关系构造法求其通项公式；
(3)根据题意Xi服从二项分布，为求 进一步分析即求pi前n项和.
17．【答案】（1）解：将个不同的白球和个不同的黑球排成一排，使得黑球互不相邻，白球也不相邻，
只需先将个不同的黑球进行排序，然后将个不同的白球插入黑球在中间所形成的空位中，
由分步乘法计数原理可知，不同的排法种数为种.
（2）解：随机一次性摸出个球，使得摸出的三个球中至少有个黑球，
则黑球得个数可以是或或，
由分类加法计数原理可知，不同的摸球结果种数为种.
（3）解：先将这个小球分为组，则这三组小球的个数分别为、、或、、，
再将这三组小球分配给三个盒子，
由分步乘法计数原理可知，不同的放法种数为种.
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；简单计数与排列组合
【解析】【分析】 （1）利用已知条件结合排列数公式和分步乘法计数原理，从而得出不同的排法种数。
（2）利用已知条件结合组合数公式和分类乘法计数原理，从而得出不同的摸球结果种数。
（3）利用已知条件结合排列数和组合数公式和分步乘法计数原理，从而得出不同三点放法种数。
18．【答案】（1）解：
是公比为2的等比数列，
，
（2）解：
若为整数，因为 ，即
能被整除
所以可得时，能被整除
的最小值是
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的求和；二项式定理的应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合递推公式和 ，进而结合数列的递推公式，再结合等比数列的定义判断出 是公比为2的等比数列，再结合等比数列的通项公式得出数列 的通项公式。
（2）利用已知条件结合数列求和公式得出若为整数结合， 所以，再结合二项式定理和整除法得出能被整除，再利用组合数公式得出，再结合整除法得出当时，能被整除，进而得出n的最小值。
19．【答案】（1）解：调整前，
偏矮率为，
正常率为，
偏高率为，
超高率为．
（2）解：由（1）知，调整前，
身高指数平均得分为；
调整后，偏高率为，
超高率为，
身高指数平均得分为，
由上可知，调整后偏高率、超高率增加，身高指数平均得分增加，
说明学校采取的措施效果好．
【知识点】众数、中位数、平均数；古典概型及其概率计算公式；正态密度曲线的特点；正态分布定义
【解析】【分析】(1)根据正态分布性质求解；
(2)利用古典概型概率求出调整后的相对应的概率和平均得分，再与调整前比较，进而得出结论.
20．【答案】（1）解：由题意，可知可取.则有
；
；
；
.
所以的分布列为：
0 1 2 3
因此的数学期望
（2）解：由题意，可取的值为.则有
；
；
.
所以技术攻坚成功的概率.
因于，所以的方差.
（3）解：由，则可知，
由于，则，
所以，
所以，
则，
记“从生产的零件中随机取出10个，至少有一个零件直径大于9.4nm”为事件.
则.
【知识点】互斥事件与对立事件；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；二项分布；正态密度曲线的特点
【解析】【分析】（1） 由题意可知随机变量可取的值，再利用组合数公式和古典概型求概率公式，进而求出随机变量的分布列，再结合随机变量的分布列求数学期望公式，进而求出随机变量的数学期望。
（2） 由题意可知随机变量可取的值，再利用二项分布求出随机变量的分布列，再结合互斥事件求概率公式，进而得出技术攻坚成功的概率，再利用随机变量，再结合方差公式，进而得出随机变量的方差。
（3）利用已知条件结合随机变量服从正态分布，再结合正态分布对应的函数的图象的对称性和对立事件求概率公式，进而得出至少有一个零件直径大于9.4nm的概率。
21．【答案】（1）解：设“恰好经过3次检验就能确定哪两瓶溶液含有细菌”为事件，
“第三次含有细菌且前两次有一次含有细菌”为事件，
“前三次中都不含细菌”为事件，
则，且、互斥，∴，
所以恰好检验3次就能确定哪两瓶溶液含有细菌的概率为
（2）解：①由已知得，的所有可能取值为1，.
∴，，
∴，
若，则，
所以.
②∵，∴，由题意知，
∴，整理得到，
设函数，则，
∴当时，，即在上单调递增，
当时，，即在上单调递减，
又，，
所以满足题设条件的的最大值为8.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量的期望与方差；概率与函数的综合
【解析】【分析】（1）对可能的情况分类，①第三次含有细菌且前两次有一次含有细菌②前三次中都不含细菌；
（2）①根据
，找到P与n的函数关系；②根据
得到关于n的不等式，构造函数解决问题即可.
22．【答案】（1）解：依题意，可知 可取：
∴
∴随机变量 的分布列为：
0 1 2 3
∴
（2）解：∵ 是锐角三角形，∴ ，则三局比赛中，该选手至少胜一局的概率为：
由概率的定义可知： ，故有：
【知识点】概率的意义；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；概率与函数的综合
【解析】【分析】（1）依题意前3局获胜局数 可取 ，分别计算概率，列出分布列，即可求出期望.（2）根据相互独立事件的概率计算公式可得选手至少胜一局的概率为： 且概率要小于 ，即可得证.
1 / 1备考2024年高考数学优生冲刺专题特训：概率与统计
一、解答题
1．（2024·安徽模拟）第届世界杯于年月日到月日在卡塔尔举办．在决赛中，阿根廷队通过点球战胜法国队获得冠军．
（1）扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑到点球的个数的分布列和期望；
（2）好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲、乙、丙三名前锋队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外人中的人，接球者接到球后再等可能地随传向另外人中的人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第次传球之前球在甲脚下的概率为，易知．
试证明：为等比数列；
设第次传球之前球在乙脚下的概率为，比较与的大小．
【答案】（1）解：依题意可得，门将每次可以扑到点球的概率为，
门将在前三次扑到点球的个数可能的取值为，，，，易知，
所以，，
故的分布列为：
所以的期望．
（2）解：第次传球之前球在甲脚下的概率为，
则当时，第次传球之前球在甲脚下的概率为，
第次传球之前球不在甲脚下的概率为，
则，
即，又，
所以是以为首项，公比为的等比数列．
由可知，所以，
所以，故．
【知识点】等比数列的通项公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）计算门将每次可以扑出点球的概率，再列出其分布列，再求出数学期望；
（2）①记第n次传球之前球在甲脚下的概率为，则当时，第次传球之前球在甲脚下的概率为，由条件确定的关系，结合等比数列定义完成证明；
②由①求出，比较其大小即可.
2．（2024·潍坊期末）某中学的风筝兴趣小组决定举行一次盲盒风筝比赛，比赛采取得分制度评选优胜者，可选择的风筝为硬翅风筝 软翅风筝 串式风筝 板式风筝 立体风筝，共有5种风筝，将风筝装入盲盒中摸取风筝，每位参赛选手摸取硬翅风筝或软翅风筝均得1分并放飞风筝，摸取串式风筝 板式风筝 立体风筝均得2分并放飞风筝，每次摸取风筝的结果相互独立，且每次只能摸取1只风筝，每位选手每次摸取硬翅风筝或软翅风筝的概率为，摸取其余3种风筝的概率为.
（1）若选手甲连续摸了2次盲盒，其总得分为分，求的分布列与期望；
（2）假设选手乙可持续摸取盲盒，即摸取盲盒的次数可以为中的任意一个数，记乙累计得分的概率为，当时，求.
【答案】（1）解：的可能取值为，
则 3分
所以的分布列为
2 3 4
故
（2）解：当时，得分累计分，即在得到分后再得1分，或在得到分后再得2分，
所以，
则
因为，所以，
所以为等比数列，且首项为，公比为，
则
，
则，故当时，
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；概率的应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件得出随机变量X的可能的取值，再结合独立事件求概率公式和对立事件求概率公式，进而得出随机变量X的分布列，再结合随机变量的分布列求数学期望公式，进而得出随机变量X的数学期望.
（2）当时，得分累计分，即在得到分后再得1分，或在得到分后再得2分，进而得出，再利用递推公式和等比数列的定义，进而证出数列为等比数列，且首项为，公比为，再利用等比数列的通项公式和累加法得出
当时的与n的关系式.
3．（2023高三上·广州月考）杭州亚运会的三个吉祥物是琮琮、宸宸和莲莲，他们分别代表了世界遗产良渚古城遗址、京杭大运河和西湖，分别展现了不屈不挠、坚强刚毅的拼搏精神，海纳百川的时代精神和精致和谐的人文精神. 甲同学可采用如下两种方式购买吉祥物，方式一：以盲盒方式购买，每个盲盒19元，盲盒外观完全相同，内部随机放有琮琮、宸宸和莲莲三款中的一个，只有打开才会知道买到吉祥物的款式，买到每款吉祥物是等可能的；方式二：直接购买吉祥物，每个30元.
（1）甲若以方式一购买吉祥物，每次购买一个盲盒并打开. 当甲买到的吉祥物首次出现相同款式时，用X表示甲购买的次数，求X的分布列；
（2）为了集齐三款吉祥物，甲计划先一次性购买盲盒，且数量不超过3个，若未集齐再直接购买吉祥物，以所需费用的期望值为决策依据，甲应一次性购买多少个盲盒
【答案】（1）解：由题意可知所有可能取值为2，3，4，
（其他解法：，
则的分布列如下：
2 3 4
（2）设甲一次性购买个吉祥物盲盒，集齐三款吉祥物需要的总费用为.
依题意，可取0，1，2，3.
方案1：不购买盲盒时，则需要直接购买三款吉祥物，总费用元.
方案2：购买1个盲盒时，则需要直接购买另外两款吉祥物，
总费用元.
方案3：购买2个盲盒时，
当2个盲盒打开后款式不同，则只需要直接购买剩下一款吉祥物，总费用；
(或)
当2个盲盒打开后款式相同，则需要直接购买另外两款吉祥物，总费用.
所以元)
方案4：购买3个盲盒时，
当3个盲盒打开后款式各不相同，则总费用，
当3个盲盒打开后恰有2款相同，则需要直接购买剩下一款吉祥物，总费用；
当3个吉祥物盲盒打开后款式全部相同，则需要直接购买另外两款吉祥物，总费用.
所以(元)
（别解：(元)）
显然.
综上，应该一次性购买2个吉祥物盲盒.
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；概率的应用
【解析】【分析】（1）由题意可知随机变量所有可能取值，再利用排列数公式和组合数公式以及和古典概型求概率公式，进而得出随机变量X的分布列。
（2）利用已知条件结合分类讨论的方法，再结合随机变量X的分布列和随机变量的分布列求数学期望公式，进而对4种方案的数学期望进行比较，从而找出合适的方案。
4．（2023高三上·东莞月考）冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征（MERS）和严重急性呼吸综合征（SARS）等较严重疾病.而今年出现的新型冠状病毒（nCoV）是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株.人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等，在较严重病例中，感染可导致肺炎、严重急性呼吸综合征、肾衰竭，甚至死亡.医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有份血液样本，有以下两种检验方式：
方式一：逐份检验，则需要检验次.
方式二：混合检验，将其中（且）份血液样本分别取样混合在一起检验.
若检验结果为阴性，这份的血液全为阴性，因而这份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这份血液究竟哪几份为阳性，就要对这份再逐份检验，此时这份血液的检验次数总共为.假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为.
（1）现有份血液样本，其中只有份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率.
（2）现取其中（且）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验方式，样本需要检验的总次为.
（i）若，试求关于的函数关系式；
（ii）若，且采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求的最大值.
参考数据：，，.
【答案】（1）解：设恰好经过次检验能把阳性样本全部检验出来为事件，则，
所以，恰好经过次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率为；
（2）解：（i）由已知得，的所有可能取值为、，
，，
，
由，得，化简得；
（ii）由题意知，则，，即，，
构造函数，则，
当时，，此时函数单调递增；
当时，，此时函数单调递减.
，，
所以的最大值为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】 (1)利用排列组合与随机事件的概率公式求解；
(2)（i）确定的所有可能取值，求出对应的概率，从而求出数学期望，列出不等式，然后构造新函数，（ii）利用导数研究新函数的单调性与临界值，进而作出判断.
5．（2023高三上·韶关模拟）有一个质地均匀的正方体骰子与一个有61个格子的矩形方格图，矩形方格图上从0，1，2，…，60依次标号．一个质点位于第0个方格中，现有如下游戏规则：先投掷骰子，若出现1点或2点，则质点前进1格，否则质点前进2格，每次投掷的结果互不影响．
（1）求经过两次投掷后，质点位于第4个格子的概率；
（2）若质点移动到第59个格子或第60个格子时，游戏结束，设质点移动到第个格子的概率为，求和的值．
【答案】（1）解：设事件为质点前进1格，事件为质点前进2格，
则．
设事件为质点经过两次投掷后位于第4个格子，
．
（2）解：质点移动到第个格子的情况可分为两种：由第个格子移动至第个格子；由第个格子移动至第个格子，故：
，
．
所以．
所以是以为首项，为公比的等比数列，
故．
所以，
故．
故．
【知识点】等比数列的通项公式；相互独立事件的概率乘法公式；条件概率乘法公式
【解析】【分析】（1）设事件为质点前进1格，事件为质点前进2格，分别求得，结合，即可求解；
（2）根据题意，可分为两种：由第个格子移动至第个格子；由第个格子移动至第个格子，
推得，得到为等比数列，求得，结合等比数列的求和公式，即可求解．
6．（2023·江西模拟）近年来，随着智能手机的普及，网络购物、直播带货、网上买菜等新业态迅速进入了我们的生活，改变了我们的生活方式.现将一周网上买菜次数超过3次的市民认定为“喜欢网上买菜”，不超过3次甚至从不在网上买菜的市民认定为“不喜欢网上买菜”，某市M社区为了解该社区市民网上买菜情况，随机
抽取了该社区100名市民，得到的统计数据如下表所示：
喜欢网上买菜 不喜欢网上买菜 合计
年龄不超过45岁的市民 40 10 50
年龄超过45岁的市民 20 30 50
合计 60 40 100
（1）是否存99.9\%的把握认为M社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄有关
（2）M社区的市民张无忌周一、二均在网上买菜，且周一从A，B两个买菜平台随机选择其中一个下单买菜，如果周一选择A平台买菜，那么周二选择A平台买菜的概率为；如果周一选择B平台买菜，那么周二选择A平台买菜的概率为，求张无忌周二选择B平台买菜的概率：
（3）用频率估计概率，现从M社区市民中随机抽取20名市民，记其中喜欢网上买菜的市民人数为X，事件“”的概率为P(X=k)，使得P(X=k)取得最大值k的值
参考公式.其中.
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】（1）解：，
所以有的把握认为M社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄有关.
（2）解：记事件A：张无忌周一选择A平台买菜，事件B：张无忌周二选择B平台买菜，
则，，，
由全概率公式可得.
因此，张无忌周二选择B平台买菜的概率为.
（3）解：利用样本分布的频率估算总体分布的概率，可得M社区的市民喜欢网上买菜的概率为，
则，
所以.
设.
若，则，；
若，则，.
所以时，最大，
故使取得最大值的k值为12.
【知识点】函数的最大（小）值；独立性检验的应用；二项分布；全概率公式；条件概率
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合统计表中的数据，再结合独立性检验的方法判断出有的把握认为M社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄有关.
（2）利用已知条件结合对立事件求概率公式、条件概型求概率公式和全概率公式，进而得出张无忌周二选择B平台买菜的概率.
（3）利用样本分布的频率估算总体分布的概率结合频数除以样本容量等于频率公式，进而得出M社区的市民喜欢网上买菜的概率，再利用二项分布得出随机变量的分布列，设进而得出t与k的解析式，再结合函数的单调性得出函数的最值，进而得出的最大值和此时的k值.
7．（2023高三上·重庆市月考）在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列.现连续发射信号次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号1的次数为.
（1）当时，求
（2）已知切比雪夫不等式：对于任一随机变最，若其数学期望和方差均存在，则对任意正实数，有.根据该不等式可以对事件“”的概率作出下限估计.为了至少有的把握使发射信号“1”的频率在0.4与0.6之间，试估计信号发射次数的最小值.
【答案】（1）解：由已知，
所以
；
（2）解：由已知，所以，
若，则，即，
即.
由切比雪夫不等式，
要使得至少有的把握使发射信号“1”的频率在与之间，则，
解得，所以估计信号发射次数的最小值为1250；
综上，，估计信号发射次数的最小值为1250.
【知识点】独立性检验的应用；离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【分析】（1）利用n的值结合已知条件得出随机变量X服从二项分布，再结合二项分布求概率公式和互斥事件求概率公式，进而得出的值.
（2）利用已知条件结合随机变量服从二项分布，从而得出随机变量X的数学期望和方差，再利用已知条件结合切比雪夫不等式以及独立性检验的方法，进而估计出信号发射次数的最小值.
8．（2023·重庆市模拟）为了解学生中午的用餐方式（在食堂就餐或点外卖）与最近食堂间的距离的关系，某大学于某日中午随机调查了2000名学生，获得了如下频率分布表（不完整）：
学生与最近食堂间的距离 合计
在食堂就餐 0.15 　 0.10 　 0.00 0.50
点外卖 　 0.20 　 　 0.00 0.50
合计 0.20 　 　 0.15 0.00 1.00
并且由该频率分布表，可估计学生与最近食堂间的平均距离为（同一组数据以该组数据所在区间的中点值作为代表）.
（1）补全频率分布表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为学生中午的用餐方式与学生距最近食堂的远近有关（当学生与最近食堂间的距离不超过时，认为较近，否则认为较远）：
（2）已知该校李明同学的附近有两家学生食堂甲和乙，且他每天中午都选择食堂甲或乙就餐.
（i）一般情况下，学生更愿意去饭菜更美味的食堂就餐.某日中午，李明准备去食堂就餐.此时，记他选择去甲食堂就餐为事件，他认为甲食堂的饭菜比乙食堂的美味为事件，且、均为随机事件，证明：：
（ii）为迎接为期7天的校庆，甲食堂推出了如下两种优惠活动方案，顾客可任选其一.
①传统型优惠方案：校庆期间，顾客任意一天中午去甲食堂就餐均可获得元优惠；
②“饥饿型”优惠方案：校庆期间，对于顾客去甲食堂就餐的若干天（不必连续）中午，第一天中午不优惠（即“饥饿”一天），第二天中午获得元优惠，以后每天中午均获得元优惠（其中，为已知数且）.
校庆期间，已知李明每天中午去甲食堂就餐的概率均为（），且是否去甲食堂就餐相互独立.又知李明是一名“激进型”消费者，如果两种方案获得的优惠期望不一样，他倾向于选择能获得优惠期望更大的方案，如果两种方案获得的优惠期望一样，他倾向于选择获得的优惠更分散的方案.请你据此帮他作出选择，并说明理由.
附：，其中.
0.10 0.010 0.001
2.706 6.635 10.828
【答案】（1）解：设组的频率为t，则组的频率为，
估计学生与最近食堂间的平均距离，解得，
故可补全频率分布表如下：
学生与最近食堂间的距离 合计
在食堂就餐 0.15 0.20 0.10 0.05 0.00 0.50
点外卖 0.05 0.20 0.15 0.10 0.00 0.50
合计 0.20 0.40 0.25 0.15 0.00 1.00
据此结合样本容量为2000可列出列联表如下：
学生距最近食堂较近 学生距最近食较堂远 合计
在食堂就餐 700 300 1000
点外卖 500 500 1000
合计 1200 800 2000
零假设：学生中午的用餐情况与学生距最近食堂的远近无关.
注意到.
据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即可以认为学生中午的用餐方式与学生距最近食堂的远近有关.
（2）解：（i）：由题意得，，
结合，.
结合条件概率公式知，即.
，
即成立.
（ⅱ）设李明在校庆期间去食堂甲就餐的次数为，
若选择传统型优惠方案获得的优惠为X元，若选择“饥饿型”优惠方案获得的优惠为Y元，
则，，对，有，
故，
，
令，结合得，记为.
若，则，，
此时李明应选择“饥饿型”优惠方案；
若，则，，
此时李明应选择传统型优惠方案.
若，则，.
注意到，
.
因此
，
即.
此时李明选择获得的优惠更分散的方案，即获得的优惠方差更大的方案，即“饥饿型”优惠方案.
综上所述，当时，李明应选择传统型优惠方案；
当时，李明应选择“饥饿型”优惠方案.
【知识点】频率分布表；独立性检验；离散型随机变量的期望与方差；二项分布；条件概率
【解析】【分析】（1）设组的频率为t，根据题意补全频率分布表，列出列联表，进行零假设，再计算，与临界值表对比即可；
（2）（i）根据题意得到，，然后结合条件概率公式得到，最后利用作差法和条件概率公式证明即可；
（ii）根据题意得到两种方案的优惠期望，然后分、和三种情况考虑即可.
9．（2023高三上·石家庄期中）为了解某市区高中学生的阅读时间，从该市区随机抽取了800名学生进行调查，得到了这800名学生一周的平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成九组，绘制成如图所示的频率分布直方图。
（1）求a的值；
（2）为进一步了解这800名学生阅读时间的分配情况，从周平均阅读时间在，
，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记周平均阅读时间在内的学生人数为X，求X的分布列和数学期望；
（3）以样本的频率估计概率，从该市区学生周平均阅读时间在内中随机抽取20名学生．这20名学生中，周平均阅读时间在内的学生最可能有多少名？
【答案】（1）解：，
（2）解：由频率分布直方图可得：周平均阅读时间在，，三组的频率之比为
，10人中，周平均阅读时间在的人数为人；在的人数为人；在的人数为人；
则X所有可能的取值为0，1，2，3，
；
；
的分布列为：
X 0 1 2 3
P
数学期望
（3）解：用频率估计概率，从该地区学生周平均阅读时间在内中随机抽取20名学生，周平均阅读时间在内的概率，则
令，解得
所以当或，最大．
所以，周平均阅读时间在内的学生最可能有6名或7名.
【知识点】分层抽样方法；概率的基本性质；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；概率的应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合频率分布直方图中各小组的矩形的面积等于各小组的频率，再结合频率之和等于1，列出关系式，求解从而得出实数a的值。
（2）利用已知条件结合分层抽样的方法得出随机变量X的可能的取值，再利用超几何分布分别求出随机变量X分别取0，1，2，3时的概率，进而得出随机变量X的分布列，再由随机变量分布列求数学期望公式，进而得出随机变量X的数学期望。
（3）先求出周平均阅读时间在内的概率，进而求出，再由解出实数k的取值范围，进而得出周平均阅读时间在内的学生最可能的人数。
10．（2024高三上·北碚月考）某校20名学生的数学成绩和知识竞赛成绩如下表：
计算可得数学成绩的平均值是，知识竞赛成绩的平均值是，并且，，.
（1）求这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的样本相关系数（精确到0.01）；
（2）设，变量和变量的一组样本数据为，其中两两不相同，两两不相同.记在中的排名是第位，在中的排名是第位，.定义变量和变量的“斯皮尔曼相关系数”（记为）为变量的排名和变量的排名的样本相关系数.
（i）记，.证明：；
（ii）用（i）的公式求得这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的“斯皮尔曼相关系数”约为0.91，简述“斯皮尔曼相关系数”在分析线性相关性时的优势.
注：参考公式与参考数据.
；；.
【答案】（1）解：由题意，这组学生数学成绩和知识竞赛成绩的样本相关系数为
；
（2）证明：（i）因为和都是1，2，，的一个排列，所以
，
，
从而和的平均数都是.
因此，，
同理可得，
由于
，
所以.
（ii）这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的斯皮尔曼相关系数是0.91，
答案①：斯皮尔曼相关系数对于异常值不太敏感，如果数据中有明显的异常值，那么用斯皮尔曼相关系数比用样本相关系数更能刻画某种线性关系；
答案②：斯皮尔曼相关系数刻画的是样本数据排名的样本相关系数，与具体的数值无关，只与排名有关.如果一组数据有异常值，但排名依然符合一定的线性关系，则可以采用斯皮尔曼相关系数刻画线性关系.
【知识点】变量相关关系；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【分析】（1）由相关系数的公式计算即可；
（2）（i）直接利用相关系数的公式计算即可证明；（ii）斯皮尔曼相关系数比用样本相关系数更能刻画某种线性关系.
11．（2023高二上·柳州开学考）某种零件按质量标准分为1，2，3，4，5五个等级．现从一批该零件中随机抽取40个，对其等级进行统计分析，得到频率分布表如表：
等级 1 2 3 4 5
频率 0.05 m 0.15 0.35 n
（1）若抽取等级为5的零件的概率为0.1，求m，n；
（2）在（1）的条件下，从等级为1和5的所有零件中任意抽取2个，求抽取的2个零件等级恰好相同的概率．
【答案】（1）解：若抽取等级为5的零件的概率为0.1，则n＝0.1，m＝1﹣0.05﹣0.15﹣0.35﹣0.1＝0.35，
综上所述，m＝035，n＝0.1；
（2）解：在（1）的条件下，等级为1的零件共有40×0.05＝2（个），等级为5的零件共有40×01＝4（个），这两个等级的零件共6个，
任意抽取2个，不同的选法共有＝15（种），
如果抽取的2个零件等级恰好相同，不同的选法一共有+＝7（种），所以抽取的2个零件等级恰好相同的概率是，
综上所述，抽取的2个零件等级恰好相同的概率是．
【知识点】频率分布表；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】(1)根据频率分布表得0.05+m+0.15+0.35+n＝1，进而求解；
(2) 先求出等级为1和5的零件个数，再利用古典概型概率公式计算求解.
12．（2023高三上·宾县开学考）strong>．某校设置了篮球挑战项目，现在从本校学生中随机抽取了60名男生和40名女生共100人进行调查，统计出愿意接受挑战和不愿意接受挑战的男女生比例情况，具体数据如图表：
（1）根据条件完成下列列联表：
愿意 不愿意 总计
男生 　 　 　
女生 　 　 　
总计 　 　 　
（2）根据列联表，依据小概率值的独立性检验，分析该校学生是否愿意接受挑战与性别有关；
（3）挑战项目共有两关，规定：挑战过程依次进行，每一关都有两次机会挑战，通过第一关后才有资格参与第二关的挑战，若甲参加第一关的每一次挑战通过的概率均为，参加第二关的每一次挑战通过的概率均为，且每轮每次挑战是否通过相互独立。记甲通过的关数为，求的分布列和数学期望.
参考公式与数据：
0.1 0.05 0.025 0.01
2.706 3.841 5.024 6.635
【答案】（1）解：根据条件列联表如下：
愿意 不愿意 总计
男生 15 45 60
女生 20 20 40
总计 35 65 100
（2）解：零假设：该校学生是否愿意接受挑战与性别无关，
根据列联表的数据，经计算得到，
依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可以认为成立，即认为该校学生是否愿意接受挑战与性别无关.
（3）解：记甲第次通过第一关为，第次通过第二关为，
的可能取值为，，
，
，
故的分布列为
0 1 2
数学期望.
【知识点】实际推断原理和假设检验；相互独立事件的概率乘法公式；概率分布列
【解析】【分析】（1）根据男女比例情况可得答案
（2）计算出K2与参考值比较可得结论
（3）记甲第i次通过第一关为Ai(i=1，2)，第i次通过第二关为Bi(i=1，2)，X的可能值为0，1，2，求出P（X=0）、P（X=1）、P（X=2），可得分布列和期望。
13．（2024高二上·亳州期末）中华文化源远流长，为了让青少年更好地了解中国的传统文化，某培训中心计划利用暑期开设“围棋”、“武术”、“书法”、“剪纸”、“京剧”、“刺绣”六门体验课程．
（1）若体验课连续开设六周，每周一门，求“京剧”和“剪纸”课程排在不相邻的两周的所有排法种数；
（2）现有甲、乙、丙三名学生报名参加暑期的体验课程，每人都选两门课程，甲和乙有一门共同的课程，丙和甲、乙的课程都不同，求所有选课的种数；
（3）计划安排A、B、C、D、E五名教师教这六门课程，每门课程只由一名教师任教，每名教师至少任教一门课程，教师A不任教“围棋”课程，教师B只能任教一门课程，求所有课程安排的种数．
【答案】（1）解：第一步，先将另外四门课排好，有种情况；
第二步，将“京剧”和“剪纸”课程分别插入5个空隙中，有种情况；
所以“京剧”和“剪纸”课程排在不相邻的两周的排法有种；
（2）解：第一步，先将甲和乙的不同课程排好，有种情况；
第二步，将甲和乙的相同课程排好，有种情况；
第三步，因为丙和甲、乙的课程都不同，所以丙的排法种情况；
因此，所有选课种数为.
（3）解：①当A只任教1科时：先排A任教科目，有种；再从剩下5科中排B的任教科目，有种；接下来剩余4科中必有2科为同一名老师任教，分三组全排列，共有种；所以当A只任教1科时，共有种；
②当A任教2科时：先选A任教的2科有中，这样6科分为4组共有种，
所以，当A任教2科时，共有种，
综上，A不任教“围棋”的课程安排方案有1140种．
【分析】
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【分析】 (1)利用已知条件结合排列数公式和分步乘法计数原理，进而得出“京剧”和“剪纸”课程排在不相邻的两周的所有排法种数，
（2）利用已知条件结合排列数公式和组合数公式以及分步乘法计数原理，进而得出所有选课的种数，
（3）利用已知条件结合排列数公式和组合数公式以及分类乘法计数原理，进而得出A不任教“围棋”的课程安排方案种数.
14．（2023高三上·杨村开学考）已知数列的前项和为，数列是首项为0，公差为的等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，对任意的正整数，将集合中的三个元素排成一个递增的等差数列，其公差为，求证：数列为等比数列；
（3）对（2）中的，求集合的元素个数.
【答案】（1）解：数列的前项和为，数列是首项为，公差为的等差数列
，
当时，
当时，
综上所述，，.
（2）解：由（1）
则
且成等差数列，
为常数，
为等比数列.
（3）解：①当为奇数时
同理可得，
则集合的元素个数为
②当为偶数时，同理可得的元素个数为
综上所述，集合的元素个数：.
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；组合及组合数公式；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】 (1)、 根据题意得出 ， 分情况当n= 1或者n>1时，求出 的通项公式；
(2)、由（1） ，分别表示出 ，根据 成等差数列， 求出即可.
(3)、①当为奇数时 整理化简求出 的元素个数.②当为偶数时，同理可得的元素个数.
15．（2023高二下·鄠邑期末）在下列两个条件中任选一个条件，补充在问题中的横线上，并解答.条件①：展开式中前三项的二项式系数之和为22；条件②：展开式中所有项的二项式系数之和减去所有项的系数之和等于64；问题：已知二项式，若____，求：
（1）求n；
（2）展开式中的常数项.
【答案】（1）解：选①：由题意得，
即，
解得或（负值舍去）；
选②：令，可得展开式中所有项的系数之和为0.
由，即，
解得
（2）解：展开式的通项为（，1，2，3，4，5，6），
令，解得，
则常数项为.
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式；二项式系数
【解析】【分析】 (1)选①，由题意得展开求解n；选②，令得所有项系数的和为0，所以进而求解n；
(2)根据二项展开式的通项公式得 ，令代入求得常数项.
16．（2023·新高考Ⅰ卷）甲乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8，由抽签决定第一次投篮的人选，第一次投篮的人是甲，乙的概率各为0.5.
（1）求第2次投篮的人是乙的概率；
（2）求第i次投篮的人是甲的概率；
（3）已知：若随机变量服从两点分布， 且 ，则 ， 记前 次 (即从第1次到第次投篮)中甲投篮的次数为，求 .
【答案】（1）设第2次投篮的人是乙的概率为P，
第1次甲投篮未中，第2次乙投篮的概率：，
两次投篮都是乙的概率：，
故第二次投篮是乙的概率为.
（2）设第投篮的人是甲的概率为，
则，
，所以是首项为，公比为，，
所以
（3）由（2）得，由题意得甲第投篮次数服从两点分布，且，
∴，
∴，
检验当时也满足上式，
综上所述：
【知识点】数列的应用；概率的基本性质；分类加法计数原理
【解析】【分析】(1)结合分类加法计数原理及分步乘法计数原理得出答案；
(2)为求第i次投篮的概率，根据题意，需由i-1次计算，从而找出前一次与后一次的关系，求pi的关系即需利用数列关系构造法求其通项公式；
(3)根据题意Xi服从二项分布，为求 进一步分析即求pi前n项和.
17．（2023高二下·浙江期中）盒子中有个不同的白球和个不同的黑球.
（注：要写出算式，结果用数字表示）
（1）若将这些小球取出后排成一排，使得黑球互不相邻，白球也不相邻，共有多少种不同的排法？
（2）随机一次性摸出个球，使得摸出的三个球中至少有个黑球，共有多少种不同的摸球结果？
（3）将这些小球分别放入另外三个不同的盒子，使得每个盒子至少一个球，共有多少种不同的放法？
【答案】（1）解：将个不同的白球和个不同的黑球排成一排，使得黑球互不相邻，白球也不相邻，
只需先将个不同的黑球进行排序，然后将个不同的白球插入黑球在中间所形成的空位中，
由分步乘法计数原理可知，不同的排法种数为种.
（2）解：随机一次性摸出个球，使得摸出的三个球中至少有个黑球，
则黑球得个数可以是或或，
由分类加法计数原理可知，不同的摸球结果种数为种.
（3）解：先将这个小球分为组，则这三组小球的个数分别为、、或、、，
再将这三组小球分配给三个盒子，
由分步乘法计数原理可知，不同的放法种数为种.
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；简单计数与排列组合
【解析】【分析】 （1）利用已知条件结合排列数公式和分步乘法计数原理，从而得出不同的排法种数。
（2）利用已知条件结合组合数公式和分类乘法计数原理，从而得出不同的摸球结果种数。
（3）利用已知条件结合排列数和组合数公式和分步乘法计数原理，从而得出不同三点放法种数。
18．（2023·汕头模拟）已知各项均为正数的数列满足：，且
（1）设，求数列的通项公式
（2）设，求，并确定最小正整数，使得为整数．
【答案】（1）解：
是公比为2的等比数列，
，
（2）解：
若为整数，因为 ，即
能被整除
所以可得时，能被整除
的最小值是
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的求和；二项式定理的应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合递推公式和 ，进而结合数列的递推公式，再结合等比数列的定义判断出 是公比为2的等比数列，再结合等比数列的通项公式得出数列 的通项公式。
（2）利用已知条件结合数列求和公式得出若为整数结合， 所以，再结合二项式定理和整除法得出能被整除，再利用组合数公式得出，再结合整除法得出当时，能被整除，进而得出n的最小值。
19．（2023高三上·佳木斯开学考）影响身高的因素主要有以下凡点：第一、遗传，遗传基因直接影响人种、身高，第二、睡眠，身高的增长非常依赖于睡眠的质量，睡眠的时间有保障，晚上分泌的生长激素可以很好地作用于人体的骨骼，使人体增高．第三、营养，营养物质特别是蛋白质、钙、铁等要补充充分，为孩子增长身体提供原料、第四、运动，运动影响儿童身高非常明显，运动可以直接促进生长激素的分泌，使生长激素在夜晚增大分泌，促进食欲，还能保证健康的睡眠等等，对于长高有很大帮助．高中学生由于学业压力，缺少睡眠与运动等原因，导致身高偏矮；但同时也会由于营养增加与遗传等原因，导致身高偏高，某市教育局为督促各学校保证学生充足的睡眠、合理的营养搭配和体育锻炼时间，减轻学生学习压力，准备对各校男生身高指数进行抽查，并制定了身高指数档次及所对应得分如下表：
档次 偏矮 正常 偏高 超高
男生身高指数（单位：）
学生得分 50 70 80 90
某校为迎接检查，学期初通过调查统计得到该校高三男生身高指数服从正态分布，并调整睡眠时间、合理的营养搭配和体育锻炼.6月中旬，教育局聘请第三方机构抽查的该校高三30名男生的身高指数频数分布表如下：
档次 偏矮 正常 偏高 超高
男生身高指数（单位：）
人数 3 9 12 6
（1）试求学校调整前高三男生身高指数的偏矮率、正常率、偏高率、超高率；
（2）请你从偏高率、超高率、男生身高指数平均得分三个角度评价学校采取措施的效果．
附：参考数据与公式：若，则①；②；③．
【答案】（1）解：调整前，
偏矮率为，
正常率为，
偏高率为，
超高率为．
（2）解：由（1）知，调整前，
身高指数平均得分为；
调整后，偏高率为，
超高率为，
身高指数平均得分为，
由上可知，调整后偏高率、超高率增加，身高指数平均得分增加，
说明学校采取的措施效果好．
【知识点】众数、中位数、平均数；古典概型及其概率计算公式；正态密度曲线的特点；正态分布定义
【解析】【分析】(1)根据正态分布性质求解；
(2)利用古典概型概率求出调整后的相对应的概率和平均得分，再与调整前比较，进而得出结论.
20．（2022高二下·泰州期末）我国是全球制造业大国，制造业增加值自2010年起连续12年位居世界第一，主要产品产量稳居世界前列，为深入推进传统制造业改造提升，全面提高传统制造业核心竞争力，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破．设备生产的零件的直径为X（单位nm）．
（1）现有旧设备生产的零件共7个，其中直径大于10nm的有4个．现从这7个零件中随机抽取3个．记表示取出的零件中直径大于10nm的零件的个数，求的分布列及数学期望；
（2）技术攻坚突破后设备生产的零件的合格率为，每个零件是否合格相互独立．现任取6个零件进行检测，若合格的零件数超过半数，则可认为技术攻坚成功．求技术攻坚成功的概率及的方差；
（3）若技术攻坚后新设备生产的零件直径X~N（9，0.04），从生产的零件中随机取出10个，求至少有一个零件直径大于9.4nm的概率．
参考数据：若，则，，，．
【答案】（1）解：由题意，可知可取.则有
；
；
；
.
所以的分布列为：
0 1 2 3
因此的数学期望
（2）解：由题意，可取的值为.则有
；
；
.
所以技术攻坚成功的概率.
因于，所以的方差.
（3）解：由，则可知，
由于，则，
所以，
所以，
则，
记“从生产的零件中随机取出10个，至少有一个零件直径大于9.4nm”为事件.
则.
【知识点】互斥事件与对立事件；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；二项分布；正态密度曲线的特点
【解析】【分析】（1） 由题意可知随机变量可取的值，再利用组合数公式和古典概型求概率公式，进而求出随机变量的分布列，再结合随机变量的分布列求数学期望公式，进而求出随机变量的数学期望。
（2） 由题意可知随机变量可取的值，再利用二项分布求出随机变量的分布列，再结合互斥事件求概率公式，进而得出技术攻坚成功的概率，再利用随机变量，再结合方差公式，进而得出随机变量的方差。
（3）利用已知条件结合随机变量服从正态分布，再结合正态分布对应的函数的图象的对称性和对立事件求概率公式，进而得出至少有一个零件直径大于9.4nm的概率。
21．（2021高二下·武汉期中）某生物研究所存有一批规格相同的瓶装溶液，部分瓶装溶液中含有细菌，现取出瓶该规格溶液做实验，其中瓶含有细菌，实验需要把含有细菌的溶液检验出来，有如下两种方案：
方案一：逐瓶检验，则需检验次；
方案二：混合检验，将瓶溶液分别取样，混合在一起检验，若检验结果不含有细菌，则瓶溶液全部不含有细菌；若检验结果含有细菌，就要对这瓶溶液再逐瓶检验，此时检验次数总共为.
参考数据：，，，.
（1）假设，，采用方案一，求恰好检验3次就能确定哪两瓶溶液含有细菌的概率；
（2）现对瓶溶液进行检验，已知每瓶溶液含有细菌的概率均为.若采用方案一，需检验的总次数为，若采用方案二，需检验的总次数为.
①若与的期望相等，试用表示；
②若，且采用方案二总次数的期望小于采用方案一总次数的期望，求的最大值.
【答案】（1）解：设“恰好经过3次检验就能确定哪两瓶溶液含有细菌”为事件，
“第三次含有细菌且前两次有一次含有细菌”为事件，
“前三次中都不含细菌”为事件，
则，且、互斥，∴，
所以恰好检验3次就能确定哪两瓶溶液含有细菌的概率为
（2）解：①由已知得，的所有可能取值为1，.
∴，，
∴，
若，则，
所以.
②∵，∴，由题意知，
∴，整理得到，
设函数，则，
∴当时，，即在上单调递增，
当时，，即在上单调递减，
又，，
所以满足题设条件的的最大值为8.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量的期望与方差；概率与函数的综合
【解析】【分析】（1）对可能的情况分类，①第三次含有细菌且前两次有一次含有细菌②前三次中都不含细菌；
（2）①根据
，找到P与n的函数关系；②根据
得到关于n的不等式，构造函数解决问题即可.
22．（2020高三上·潮州期末）心理学研究表明，人极易受情绪的影响，某选手参加7局4胜制的兵乒球比赛.
（1）在不受情绪的影响下，该选手每局获胜的概率为 ；但实际上，如果前一句获胜的话，此选手该局获胜的概率可提升到 ；而如果前一局失利的话，此选手该局获胜的概率则降为 ，求该选手在前3局获胜局数 的分布列及数学期望；
（2）假设选手的三局比赛结果互不影响，且三局比赛获胜的概率为 ，记 为锐角 的内角，求证：
【答案】（1）解：依题意，可知 可取：
∴
∴随机变量 的分布列为：
0 1 2 3
∴
（2）解：∵ 是锐角三角形，∴ ，则三局比赛中，该选手至少胜一局的概率为：
由概率的定义可知： ，故有：
【知识点】概率的意义；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；概率与函数的综合
【解析】【分析】（1）依题意前3局获胜局数 可取 ，分别计算概率，列出分布列，即可求出期望.（2）根据相互独立事件的概率计算公式可得选手至少胜一局的概率为： 且概率要小于 ，即可得证.
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