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备考2024年高考数学提升专题特训：概率与统计
一、解答题
1．（2023高二上·成都月考）某市为了了解校园安全教育系列活动的成效，对全市高中生进行一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格” “不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化，现随机抽取部分高中生的答卷，统计结果如下，对应的频率分布直方图如图所示.
等级 不合格 合格
得分
频数 12 48 24
（1）求的值；
（2）估计该市高中生测试成绩评定等级为“合格”的概率；
（3）在抽取的答卷中，用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的答卷中抽取5份，再从这5份答卷中任取2份，求恰有1份评定等级为“不合格”的概率
【答案】（1）解：由表格可知样本容量为
所以，即由，即
（2）解：（或由此估计该市高中生测试成绩等级为“合格”的概率是
（3）解：合格的有72人 不合格的有48人抽样比
故从评定等级为“合格”的答卷中抽取的份数为，记为
从评定等级为“不合格”的答卷中抽取的份数为，记为
则从5份答卷中抽取2份，基本事件
共10个基本事件记事件A：恰有1份评定等级为“不合格”
共6个基本事件
则从这5份答卷中抽取2份，恰有1份评定等级为“不合格”的概率为
【知识点】频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）根据求得样本容量，进而求得x、z.
（2）利用古典概型概率公式即可估计该市高中生测试成绩等级为“合格”的概率.
(3)先求出合格的有72人 不合格的有48人抽样比，得出从评定等级为“合格”、“不合格”的答卷中抽取的份数，根据古典概型概率公式即可求出从这5份答卷中抽取2份，恰有1份评定等级为“不合格”的概率.
2．（2023高二上·成都月考） 有2(甲、乙)人在一座7层大楼的底层进入电梯，假设每一个人自第二层开始在每层楼离开电梯是等可能的.
（1）求这两个人在不同层离开电梯的概率；
（2）甲先于乙离开电梯的概率.
【答案】（1）解：每个人离开电梯都有6种可能的结果，两人离开电梯共有（种）可能的结果；
两人在不同层离开电梯共有（种）可能的结果，
故所求概率为，
即两个人在不同层离开电梯的概率为.
（2）解：根据题意可知，若甲在第二层离开，则乙有5种离开的可能，可以在第三、第四、第五、第六、第七层离开；
若甲在第三层离开，则乙有4种离开的可能，可以在第四、第五、第六、第七层离开；
若甲在第四层离开，则乙有3种离开的可能，可以在第五、第六、第七层离开；
若甲在第五层离开，则乙有2种离开的可能，可以在第六、第七层离开；
若甲在第六层离开，则乙有1种离开的可能，可以在第七层离开；
所以甲先于乙离开电梯共有种可能，
因此甲先于乙离开电梯的概率为.
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】 (1) 根据分步乘法计数原理结合古典概型运算求解；
(2)根据题意可知，若甲在第二层离开，则乙有5种离开的可能，可以在第三、第四、第五、第六、第七层离开；结合古典概型运算求解.
3．（2024咸阳高考模拟）随着疫情时代的结束，越来越多的人意识到健康的重要性，更多的人走出家门，走进户外.近期文旅消费加速回暖，景区人流不息 酒店预订爆满 市集红红火火，旅游从业者倍感振奋.某乡村旅游区开发了一系列的娱乐健身项目，其中某种游戏对抗赛，每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，两人约定其中一人比另一人多赢两局就停止比赛，每局比赛相互独立.设比赛结束时比赛进行的局数为.
求：
（1）当时，甲赢得比赛的概率；
（2）的数学期望.
附：当时，.
【答案】（1）解：；
其中甲赢得比赛的概率为，
所以所求概率.
（2）解：根据题意可设，
当时，，此时
当时，，此时；
当时，，此时；
当时，，此时；
…，
.
所以的期望
所以，①
，②
根据①-②得，
所以，即的数学期望是.
【知识点】数列的求和；离散型随机变量的期望与方差；条件概率
【解析】【分析】 (1)直接利用条件概率公式计算即可求解；
(2)先根据题意得出，再利用错位相减法计算数学期望即可.
4．（2022·厦门模拟）某工厂采购了一批新的生产设备．经统计，设备正常状态下，生产的产品正品率为0.98．为监控设备生产过程，检验员每天从该设备生产的产品中随机抽取10件产品，并检测质量．规定：抽检的10件产品中，若至少出现2件次品，则认为设备生产过程出现了异常情况，需对设备进行检测及修理．
（1）假设设备正常状态，记X表示一天内抽取的10件产品中的次品件数，求，并说明上述监控生产过程规定的合理性；
（2）该设备由甲、乙两个部件构成，若两个部件同时出现故障，则设备停止运转；若只有一个部件出现故障，则设备出现异常．已知设备出现异常是由甲部件故障造成的概率为p，由乙部件故障造成的概率为．若设备出现异常，需先检测其中一个部件，如果确认该部件出现故障，则进行修理，否则，继续对另一部件进行检测及修理．已知甲部件的检测费用1000元，修理费用5000元，乙部件的检测费用2000元，修理费用4000元．当设备出现异常时，仅考虑检测和修理总费用，应先检测甲部件还是乙部件，请说明理由．
参考数据：．
【答案】（1）解：由题可知，单件产品为次品的概率为0.02，所以，
所以，，
所以，
由可知，如果生产状态正常，一天内抽取的10个零件中，至少出现2个次品的概率约为0.014，该事件是小概率事件，因此一旦发生这种状况，就有理由认为设备在这一天的生产过程出现了异常情况，需对设备进行检测和修理，可见上述监控生产过程的规定是合理的.
（2）解：若先检测甲部件，设检测费和修理费之和为元，则的所有可能值为6000，7000，
则，，
所以，
若先检测乙部件，设检测费和修理费之和为元，则的所有可能值为6000，8000，
则，，
所以，
所以，
则当时，，应先检测乙部件；当时，，先检测甲部件或乙部件均可；当时，，应先检测甲部件.
【知识点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)根据题意由已知条件由n次独立事件的概率公式，代入数值计算出结果，再与标准值进行比较由此即可得出答案。
(2)由随机变量的概率分布以及数据，计算出结果再把结果代入到期望公式由此计算出结果，进行比较即可得出结论。
5．（2024高三上·海南高考模拟）红松树分布在我国东北的小兴安岭到长白山一带，耐荫性强.在一森林公园内种有一大批红松树，为了研究生长了4年的红松树的生长状况，从中随机选取了12棵生长了4年的红松树，并测量了它们的树干直径（单位：厘米），如下表：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
28.7 27.2 31.5 35.8 24.3 33.5 36.3 26.7 28.9 27.4 25.2 34.5
计算得：.
（1）求这12棵红松树的树干直径的样本均值与样本方差.
（2）假设生长了4年的红松树的树干直径近似服从正态分布.记事件：在森林公园内再从中随机选取12棵生长了4年的红松树，其树干直径都位于区间.
①用（1）中所求的样本均值与样本方差分别作为正态分布的均值与方差，求；
②护林员在做数据统计时，得出了如下结论：生长了4年的红松树的树干直径近似服从正态分布.在这个条件下，求，并判断护林员的结论是否正确，说明理由.
参考公式：若，则.
参考数据：.
【答案】（1）解：样本均值，
样本方差
.
（2）解：①由题意可得，树干直径（单位：近似服从正态分布.
在森林公园内再随机选一棵生长了4年的红松树，其树干直径位于区间的概率是0.9545，
所以.
②若树干直径近似服从正态分布，
则
此时发生的概率远小于（1）中根据测量结果得出的概率估计值.是一个小概率事件，但是第一次随机选取的12棵生长了4年的红松树，事件发生了，所以认为护林员给出的结论是错误的.
【知识点】正态密度曲线的特点；正态分布的期望与方差
【解析】【分析】（1）利用样本平均数、样本方差公式计算即可.
（2）①根据树干直径（单位：近似服从正态分布.结合参考数据即可得A的概率.
②同理，树干直径近似服从正态分布，结合参考数据即可求解.从而说明理由.
6．（2023高三上·江门月考）为深入学习党的二十大精神，某学校团委组织了“青春向党百年路，奋进学习二十大”知识竞赛活动，并从中抽取了200份试卷进行调查，这200份试卷的成绩（卷面共100分）频率分布直方图如右图所示．
（1）用样本估计总体，求此次知识竞赛的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．
（2）可以认为这次竞赛成绩X近似地服从正态分布N(μ，σ2)（用样本平均数和标准差s分别作为μ、σ的近似值），已知样本标准差s≈7.36，如有84%的学生的竞赛成绩高于学校期望的平均分，则学校期望的平均分约为多少？（结果取整数）
（3）从得分区间[80，90)和[90，100]的试卷中用分层抽样的方法抽取10份试卷，再从这10份样本中随机抽测3份试卷，若已知抽测的3份试卷来自于不同区间，求抽测3份试卷有2份来自区间[80，90)的概率．
参考数据：若X~N(μ，σ2)，则P(μ-σ【答案】（1）由频率分布直方图可知，
平均分；
（2）由（1）可知
设学校期望的平均分约为m，则，
因为，，
所以，即，
所以学校期望的平均分约为73分；
（3）由频率分布直方图可知，分数在和的频率分别为0.35和0.15，
那么按照分层抽样，抽取10人，其中分数在，应抽取人，
分数在应抽取人，
记事件：抽测的3份试卷来自于不同区间；事件B：取出的试卷有2份来自区间[80，90)，
则，，
则．
所以抽测3份试卷有2份来自区间[80，90)的概率为.
【知识点】频率分布直方图；用样本的数字特征估计总体的数字特征；总体分布的估计；条件概率
【解析】【分析】（1）利用每组小矩形的面积乘以各区间的中点值相加可得平均数的估计值；
（2）由原则得到，进一步可得从而求得 学校期望的平均分 ；
（3）记事件：抽测的3份试卷来自于不同区间；事件B：取出的试卷有2份来自区间[80，90)，先利用分层抽样公式算得分数在，中抽取的人数，再利用条件概率公式计算可得答案.
7．（2024高三上·九龙期中） 2023年9月23日第19届亚运会在中国杭州举行，其中电子竞技第一次列为正式比赛项目．某中学对该校男女学生是否喜欢电子竞技进行了调查，随机调查了男女生人数各200人，得到如下数据：
（1）根据表中数据，采用小概率值的独立性检验，能否认为该校学生对电子竞技的喜欢情况与性别有关？
（2）为弄清学生不喜欢电子竞技原因，采用分层抽样的方法从调查的不喜欢电子竞技的学生中随机抽取9人，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，求“至少抽到一名男生”的概率；
（3）将频率视为概率，用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取10人，记其中对电子竞技喜欢的人数为，求的数学期望．
参考公式及数据：，其中．
【答案】（1）解：列联表如下表所示：
男生 女生 合计
喜欢
不喜欢
合计
零假设该校学生对电子竞技的喜欢情况与性别无关，
，
，
采用小概率值的独立性检验，可推断不成立，即能认为该校学生对电子竞技的喜欢情况与性别有关，
（2）解：采用分层抽样的方法从抽取的不喜欢电子竞技的学生中随机抽取9人，这9人中男生的人数为4，女生的人数为5，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，“至少抽到一名男生”的概率为．
（3）解：由题意可知喜欢电子竞技的概率为，所以，
故．
【知识点】分层抽样方法；独立性检验的应用；离散型随机变量的期望与方差；概率的应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合独立性检验的方法，从而得出能认为该校学生对电子竞技的喜欢情况与性别有关。
（2）利用已知条件结合分层抽样的方法和组合数公式求计数问题的方法，再结合对立事件求概率公式，进而得出“至少抽到一名男生”的概率。
（3）利用已知条件结合古典概型求概率公式可知喜欢电子竞技的概率，再利用二项分布定义，从而判断出随机变量X服从二项分布，再结合二项分布求数学期望公式，进而得出随机变量X的数学期望。
8．（2023高二上·梅河口开学考）为了解学生的周末学习时间（单位：小时），高一年级某班班主任对本班名学生某周末的学习时间进行了调查，将所得数据整理绘制出如图所示的频率分布直方图，根据直方图所提供的信息：
（1）求该班学生周末的学习时间不少于小时的人数；
（2）估计这名同学周末学习时间的分位数；
（3）如果用该班学生周末的学习时间作为样本去推断该校高一年级全体学生周末的学习时间，这样推断是否合理？说明理由．
【答案】（1）解：由图可知，该班学生周末的学习时间不少于20小时的频率为
则名学生中周末的学习时间不少于20小时的人数为．
（2）解：学习时间在小时以下的频率为，
学习时间在小时以下的频率为，
所以分位数在，
，
则这名同学周末学习时间的分位数为．
（3）解：不合理，样本的选取只选在高一某班，不具有代表性．
【知识点】收集数据的方法；频率分布直方图；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】(1)先根据频率分布直方图求 不少于20小时的频率 ，进而求人数；
(2)根据题意分析可得 分位数在， 结合百分位数的定义运算求解；
(3)根据随机抽样的性质分析判断.
9．（2022高一上·丰城期末）为了解某年级学生对《居民家庭用电配置》的了解情况，校有关部门在该年级进行了一次问卷调查(共10道题)，从该年级学生中随机抽取24人，统计了每人答对的题数，将统计结果分成[0，2)，[2，4)，[4，6)，[6，8)，[8，10]五组，得到如下频率分布直方图.
（1）估计这组数据的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
（2）用分层随机抽样的方法从[4，6)，[6，8)，[8，10]的组别中共抽取12人，分别求出抽取的三个组别的人数；
（3）若从答对题数在[2，6)内的人中随机抽取2人，求恰有1人答对题数在[2，4)内的概率.
【答案】（1）解：在[0，2)，[2，4)，[4，6)，[6，8)，[8，10]的概率分别为，，，，
则估计这组数据的平均数为.
（2）解：由题意可知在中的总人数为人；
又采用分层抽样的方法抽取人，所以内抽取人；
所以内抽取人；
所以内抽取人；
所以在分别抽取4人 6人 2人，
（3）解：由题图可知，答对题数在[4，6)中有6人，分别设为，，，，，，
答对题数在[2，4)中有3人，分别设为，，，
从答对题数在[2，6)内的人中随机抽取2人的情况有
，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
共有36种.
恰有1人答对题数在[2，4)内的情况有
，，，，，，，，，，，，，，，，，，
共有18种.
故所求概率.
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图的各组的中间值进行计算求出平均值的估计值；
（2）根据[4，6)，[6，8)，[8，10]的频率，求出此区间内的总人数，再根据需要取的样本总数，确定分层比例，即可求解；
（3）利用列举法求出所有结果，根据古典概型即可求解．
10．（2024·巴南模拟）书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日.某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示.
（1）根据频率分布直方图，估计这位年轻人每天阅读时间的平均数（单位：分钟）；（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）
（2）若年轻人每天阅读时间近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，求；
（3）为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组，，的年轻人中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到每天阅读时间位于的人数的分布列和数学期望.
附参考数据：若，则①；②；③.
【答案】（1）解：根据频率分布直方图得：
.
（2）解：由题意知，即，
所以.
（3）解：由题意可知，和的频率之比为：，
故抽取的10人中，和分别为：2人，4人，4人，
随机变量的取值可以为，
，，
，，
故的分布列为：
0 1 2 3
所以.
【知识点】用样本的频率分布估计总体分布；超几何分布的应用；正态分布定义
【解析】【分析】本题考查利用频率分布直方图求平均数，利用正态分布的对称性求概率，超几何分布的应用.
（1）根据频率分布直方图以及平均数的计算方法计算即可；
（2）依据，利用正态分布的对称性计算即可；
（3）先由题意得到随机变量的取值，并分别计算相应的概率，然后列出分布列，并按期望公式计算即可.
11．（2024高三上·锡林郭勒盟模拟）2023年，在第十四届全国人民代表大会常务委员会第六次会议上教育部关于考试招生制度改革情况的报告中提出：改革考试内容和形式，实现从“考知识”向“考能力素养”转变；探索拔尖创新人才超常规选鉴通道，设立清华大学数学科学领军人才培养计划 北京大学物理卓越人才培养计划等专项计划，推进拔尖创新人才选拔培养.为此，各地区高中积极推进“强基计划”的落实，“强基培训”成为学生们热爱的课程之一.某高中随机调研了本校2023年参加高考的90位考生是否参加“强基培训”的情况，经统计，“强基培训”与性别情况如下表：（单位：人）
　 参加“强基培训” 不参加“强基培训”
男生 25 35
女生 5 25
（1）根据表中数据并依据小概率值的独立性检验，分析参加“强基培训”与性别是否有关联？
（2）在本校被调研的90位考生中，先对多加“强基培训”的30人采用分层抽样的方法抽取6位同学，然后从这6名同学中选拔2人参加北京大学物理卓越人才培养计划专项计划的招生考试，求有女生参加北京大学物理卓越人才培养计划专项计划的招生考试的概率.
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
【答案】（1）解：假设参加“强基培训”与性别无关联，
由题意，，
依据小概率值的独立性检验，可推断假设不成立，即认为参加“强基培训”与性别有关联.
（2）解：由题知，在本校被调研的90位考生中，先对参加“强基培训”的30人采用分层抽样的方法抽取6位同学，其中有5位男同学，一名女同学.
5位男同学分别记为：；
一名女同学记为：.
从中抽取2名同学共有：，，种方法，
其中抽到女生的方法有，G）共5种.
有女生参加北京大学物理卓越人才培养计划专项计划的招生考试的概率为，则.
【知识点】样本相关系数r及其数字特征；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）根据题中表格可求得，从而可求解.
(2)根据分层抽样可知抽取6位同学其中有5位男同学，一名女同学，然后利用列举法和古典概率知识从而求解.
12．（2024高三上·台州模拟）为了了解高中学生课后自主学习数学时间（分钟/每天）和他们的数学成绕（分）的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据（表一）．
表一
编号 1 2 3 4 5
学习时间 30 40 50 60 70
数学成绩 65 78 85 99 108
（1）请根据所给数据求出，的经验回归方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩：（参考数据：，，的方差为200）
（2）基于上述调查，某校提倡学生周末在校自主学习．经过一学期的实施后，抽样调查了220位学生．按照是否参与周未在校自主学习以及成绩是否有进步统计，得到列联表（表二）．依据表中数据及小概率值的独立性检验，分析“周末在校自主学习与成绩进步”是否有关．
表二
没有进步 有进步 合计
参与周末在校自主学习 35 130 165
未参与周末不在校自主学习 25 30 55
合计 60 160 220
附：，．．
0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】（1）解：，
，又，的方差为，
所以，
，故，当时，，
故预测每天课后自主学习数学时间达到100分钟时的数学成绩为140.5分．
（2）解：零假设为：学生周末在校自主学习与成绩进步无关．
根据数据，计算得到：
，
因为，所以依据的独立性检验，可以认为“周末自主学习与成绩进步”有关．
【知识点】最小二乘法；线性回归方程；独立性检验
【解析】【分析】（1）先求出平均数，再利用最小二乘法求出回归方程，代入数据即可预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩 ；
（2）先零假设为：学生周末在校自主学习与成绩进步无关，根据题意计算出，进而由的独立性检验得出答案.
13．（2024·昌乐模拟）2018年非洲猪瘟在东北三省出现，为了防控，某地生物医药公司派出技术人员对当地甲、乙两个养殖场提供技术服务，两种方案如下：
方案一：公司每天收取养殖场技术服务费40元，对于需要用药的每头猪收取药费2元，不需要用药的不收费；
方案二：公司每天收取养殖场技术服务费120元，若需要用药的猪不超过45头，不另外收费，若需要用药的猪超过45头，超过的部分每头猪收费标准为8元.
（1）设日收费为（单位：元），每天需要用药的猪的数量为（单位：头），试写出两种方案中与的函数关系式；
（2）若该生物医药公司从10月1日起对甲养殖场提供技术服务，10月31日该养殖场对其中一个猪舍9月份和10月份的猪的发病数量（单位：头）进行了统计，得到了如下的列联表：
9月份 10月份 合计
未发病 40 85 125
发病 65 20 85
合计 105 105 210
根据以上列联表判断是否有的把握认为猪未发病与该生物医药公司提供技术服务有关.
附：
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
（3）当地的丙养殖场对过去100天的猪的发病情况进行了统计，得到如图所示的条形图.依据该统计数据，把频率视为概率，从节约养殖成本的角度去考虑，若丙养殖场计划结合以往经验，从两个方案中选择一个，那么选择哪个方案更合适，请说明理由.
【答案】（1）解：由题意得，
方案一中的日收费y（单位：元）与需要用药的猪的数量n(单位：头）的函数关系式为y=40+2n，n∈N
方案二中的日收费y(单位：元）与需要用药的猪的数量n（单位：头）的函数关系式为
.
（2）解：由列联表计算可得，因为40.02>10.828，所以有99.9%的把握认为猪未发病与该生物医药公司提供技术服务有关.
（3）解：设方案一中的日收费为X，由条形图可得X的分布列为
X 124 128 132 136 140
P 0.2 0.4 0.2 0.1 0.1
所以E(X)=124×0.2+128×0.4+132×0.2+136×0.1+140×0.1=130
设方案二中的日收费为Y，由条形图可得Y的分布列
Y 120 128 144 160
P 0.6 0.2 0.1 0.1
所以E(Y)=120×0.6+128×0.2+144×0.1+160×0.1=128，
因为E(X)>E(Y)所以从节约养殖成本的角度去考虑，丙养殖场应该选择方案二.
【知识点】独立性检验的基本思想；独立性检验的应用；离散型随机变量的期望与方差；概率分布列
【解析】【分析】 (1) 根据题意分析求相应的函数关系式；
(2) 根据题意求，并与临界值对比分析；
(3) 根据题意求相应的分布列和期望，并对比分析.
14．（2024·宁德模拟）书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日.某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示.
（1）根据频率分布直方图，估计这位年轻人每天阅读时间的平均数（单位：分钟）；（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）
（2）若年轻人每天阅读时间近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，求；
（3）为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组，，的年轻人中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到每天阅读时间位于的人数的分布列和数学期望.
附参考数据：若，则①；②；③.
【答案】（1）解：根据频率分布直方图得：
.
（2）解：由题意知，
即，
所以
（3）解：由题意可知，和的频率之比为：，
故抽取的10人中，和分别为：2人，4人，4人，
随机变量的取值可以为，
，
，
，
，
故的分布列为：
0 1 2 3
所以.
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；离散型随机变量的期望与方差；3σ原则
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中的平均数求法，计算即可.
（2）利用 近似地服从正态分布 ，代入计算即可.
(3)列出随机变量的可能取值，根据古典概型概率公式，求出对应概率，列出分布列，利用数学期望公式计算即可.
15．（2022高一上·丰城期末）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，…，，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）求样本成绩的第75百分位数；
（3）已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩的总平均数.
【答案】（1）解：∵每组小矩形的面积之和为1，
∴，
∴.
（2）解：成绩落在内的频率为，
落在内的频率为，
设第75百分位数为m，
由，得，故第75百分位数为84；
（3）解：由图可知，成绩在的市民人数为，
成绩在的市民人数为，
故.
所以两组市民成绩的总平均数是62，
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】（1）根据每组小矩形的面积之和为1即可求解；（2）由频率分布直方图求第百分位数的计算公式即可求解；（3）根据平均数和方差的计算公式即可求解.
16．（2023高三上·通榆期中）随着科学技术飞速发展，科技创新型人才需求量增大，在2015年，国家开始大力推行科技特长生招生扶持政策，教育部也出台了《关于“十三五”期间全面深入推进教育信息化工作的指导意见（征求意见稿）》，为选拔和培养科技创新型人才做好准备．某调研机构调查了、两个参加国内学科竞赛的中学，从、两个中学的参赛学员中随机抽取了60人统计其参赛获奖情况，统计结果如下：
未获得区前三名及以上名次 获得区前三名及以上名次
中学 11 6
中学 34 9
（1）依据的独立性检验，能否认为获得区前三名及以上名次与所在的学校有关？
（2）用分层随机抽样的方法，从样本中获得区前三名及以上名次的学生中抽取5人，再从这5人中任选3人进行深度调研，记所选的3人中有人来自中学，求的分布列及数学期望．
附：，其中．
【答案】（1）解：补全列联表如下：
未获得区前三名及以上名次 获得区前三名及以上名次 总计
中学 11 6 17
中学 34 9 43
总计 45 15 60
零假设为：获得区前三名及以上名次与所在学校无关．
所以，
故依据的独立性检验，没有充分的证明推断不成立，所以认为成立，即获得区前三名及以上名次与所在的学校无关．
（2）解：由题意知，用分层随机抽样抽取的5人中，来自中学的有2人，来自中学的有3人，
故的可能取值有0，1，2，
则，，，
所以的分布列为
0 1 2
所以．
【知识点】实际推断原理和假设检验；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据题意，补全列联表，利用公式求得，结合附表，即可得到结论；
（2）由题意知，用分层随机抽样得到来自中学的有2人，来自中学的有3人，得到的可能取值有0，1，2，求得相应的概率，列出分布列，利用期望的公式.
17．（2024·扬州模拟）在三维空间中，立方体的坐标可用三维坐标表示，其中．而在n维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为n维坐标，其中．现有如下定义：在n维空间中两点间的曼哈顿距离为两点与坐标差的绝对值之和，即为．回答下列问题：
（1）求出n维“立方体”的顶点数；
（2）在n维“立方体”中任取两个不同顶点，记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离
①求出X的分布列与期望；
②证明：在n足够大时，随机变量X的方差小于．
（已知对于正态分布，P随X变化关系可表示为）
【答案】（1）解：对于n维坐标有两种选择（）．
故共有种选择，即个顶点
（2）解：①对于的随机变量，在坐标与中有k个坐标值不同，
即，剩下个坐标值满足．
此时所对应情况数为种．
即
故分布列为：
0 1 2 …
…
数学期望
倒序相加得
即．
②当n足够大时，．
设正态分布，正态分布曲线为，
由定义知该正态分布期望为，方差为．
设题中分布列所形成的曲线为．
则当与均在处取最大值，若当时，
且，则可认为方差．
I．：当时，有
即．
II．
当n足够大时，有
当时，
当时，
故．
综上所述，可以认为．
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；分步乘法计数原理；组合及组合数公式；正态分布的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据乘法原理，即可确定顶点个数；
（2）①首先确定，再结合组合数公式求概率，即可求解分布列和数学期望；
②由①可知，n足够大时，，可得正态分布，正态分布曲线为，并设题中分布列所形成的曲线为，则当与均在处取最大值，说明当时，
且，则可认为方差．
18．（2023高三上·东莞期中）新高考改革后广西壮族自治区采用“3+1+2”高考模式，“3”指的是语文 数学 外语，这三门科目是必选的；“1”指的是要在物理 历史里选一门；“2”指考生要在生物学 化学 思想政治 地理4门中选择2门.
附：，，.
（1）若按照“3+1+2”模式选科，求甲乙两个学生恰有四门学科相同的选法种数；
（2）某教育部门为了调查学生语数外三科成绩，现从当地不同层次的学校中抽取高一学生5000名参加语数外的网络测试 满分450分，假设该次网络测试成绩服从正态分布.
①估计5000名学生中成绩介于120分到300分之间有多少人；
②某校对外宣传“我校200人参与此次网络测试，有10名同学获得430分以上的高分”，请结合统计学知识分析上述宣传语的可信度.
【答案】（1）解：甲乙两个学生必选语文 数学 外语，若另一门相同的选择物理 历史中的一门，有种，在生物学 化学 思想政治 地理4门中甲乙选择不同的2门，则，即种； 若另一门相同的选择生物学 化学 思想政治 地理4门中的一门，则有种，
所以甲乙两个学生恰有四门学科相同的选法种数共种方法；
（2）解：①设此次网络测试的成绩记为，则，
由题知，，，
则，所以，
所以估计5000名学生中成绩介于120分到300分之间有4093人；
②不可信.，
则，
5000名学生中成绩大于430分的约有人，
这说明5000名考生中，会出现约7人的成绩高于430分的“极端”样本，
所以说“某校200人参与此次网络测试，有10名同学获得430分以上的高分”，
说法错误，此宣传语不可信.
【知识点】正态密度曲线的特点；排列与组合的综合；正态分布的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据题意，分生物学 化学 思想政治 地理4门中甲乙选择不同的2门，和另一门相同的选择生物学 化学 思想政治 地理4门中的一门两种情况，结合排列数和组合数的公式，即可求解；
（2）①设此次网络测试的成绩记为，则，根据正态分布曲线的对称性，求得，所以，即可估计5000名学生中成绩介于120分到300分之间人数；
②根据正态分布曲线的对称性，结合原则，即可得到结论.
19．（2024高三上·广州月考）西梅以“梅”为名，实际上不是梅子，而是李子，中文正规名叫“欧洲李”，素有“奇迹水果”的美誉.因此，每批西梅进入市场之前，会对其进行检测，现随机抽取了10箱西梅，其中有4箱测定为一等品.
（1）现从这10箱中任取3箱，求恰好有1箱是一等品的概率；
（2）以这10箱的检测结果来估计这一批西梅的情况，若从这一批西梅中随机抽取3箱，记表示抽到一等品的箱数，求的分布列和期望.
【答案】（1）解：设抽取的3箱西梅恰有1箱是一等品为事件，
则；
因此从这10箱中任取3箱，恰好有1箱是一等品的概率为.
（2）解：由题意可知，从这10箱中随机抽取1箱恰好是一等品的概率，
由题可知的所有可能取值为0，1，2，3，则
，，，
，
所以的分布列为
0 1 2 3
P
.
【知识点】古典概型及其概率计算公式；二项分布；组合及组合数公式
【解析】【分析】(1)使用组合数的相关知识并结合古典概型公式，即可求得概率；
(2)根据二项分布模型计算出分布列，即可求得期望.
20．（2023高二上·惠州月考）“盲盒”是指商家将动漫、影视作品的周边或设计师单独设计出玩偶放入盒子里，当消费者购买这个盒子，因盒子上没有标注，只有打开才会知道抽到什么，不确定的刺激会加强重复决策，从而刺激消费．某商家将编号为1，2，3的三个玩偶随机放入编号为1，2，3的三个盒子里，每个盒子放一个玩偶，每个玩偶的放置是相互独立的．
（1）共有多少种不同的放法？请列举出来；
（2）求盒中放置的玩偶的编号与所在盒的编号均不相同的概率．
【答案】（1）解：共有6种不同的放法，按盒子号1，2，3的顺序放入玩偶的情况为；；
；；；．
（2）解：设所求事件为A，则A包含有，两个基本事件，并且每个基本事件等可能，故．
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【分析】（1）按盒子号1，2，3的顺序放入小球的情况列出结果，即可得到有多少种不同的放法.
（2）设所求事件为A，则A包含有，两个基本事件然后求解概率.
21．（2023·浙江模拟）随着人口老龄化的到来，我国的劳动力人口在不断减少，“延迟退休”已经成为人们越来越关注的话题，为了了解公众对“延迟退休”的态度，某校课外研究性学习小组对某社区随机抽取了5人进行调查，将调查情况进行整理后制成下表：
年龄 [20，25） [25，30） [30，35） [35，40） [40，45）
人数 4 5 8 5 3
年龄 [45，50） [50，55） [55，60） [60，65） [65，70）
人数 6 7 3 5 4
年龄在[25，30），[55，60）的被调查者中赞成人数分别是3人和2人，现从这两组的被调查者中各随机选取2人，进行跟踪调查．
（1）求年龄在[25，30）的被调查者中选取的2人都是赞成的概率；
（2）求选中的4人中，至少有3人赞成的概率；
（3）若选中的4人中，不赞成的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
【答案】（1）解：设“年龄在，的被调查者中选取的2人都赞成”为事件A，所以；
（2）解：设“选中的4人中，至多有3人赞成”为事件，所以；
（3）解：可以取值0，1，2，3
所以；
；
；
；
所以X的分布列是：
0 1 2 3
．
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；概率分布列；组合及组合数公式
【解析】【分析】(1)年龄在，被调查者中人数为5人，赞成人数为3人，进而利用古典概型求“年龄在，的被调查者中选取的2人都赞成” 的概率；
(2)设“选中的4人中，至多有3人赞成”为事件，则赞成人数可为1人，2人，3人，进而利用古典概型求事件的概率；
(3)可以取值0，1，2，3，分别求出其概率写出分布列求解数学期望.
22．（2024高二上·亳州期末）（1）求除以15的余数；
（2）若，求的值；
（3）求展开式中系数最大的项．
【答案】（1）解：
，
除以15的余数为4.
（2）解：由已知得，
令，得，①
令，得，②
联立①②得，
令，得，所以
（3）解：的展开式通项为，
由不等式组，解得，
因为，所以，，
因此，展开式中系数最大的项为
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合二项式定理和求余的方法，进而得出除以15的余数.
（2）利用已知条件结合二项式定理和赋值法和联立方程求解的方法，进而得出的值.
（3）利用已知条件结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再结合单调性得出k的取值范围，进而得出满足要求的k的值，从而得出展开式中系数最大的项.
1 / 1备考2024年高考数学提升专题特训：概率与统计
一、解答题
1．（2023高二上·成都月考）某市为了了解校园安全教育系列活动的成效，对全市高中生进行一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格” “不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化，现随机抽取部分高中生的答卷，统计结果如下，对应的频率分布直方图如图所示.
等级 不合格 合格
得分
频数 12 48 24
（1）求的值；
（2）估计该市高中生测试成绩评定等级为“合格”的概率；
（3）在抽取的答卷中，用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的答卷中抽取5份，再从这5份答卷中任取2份，求恰有1份评定等级为“不合格”的概率
2．（2023高二上·成都月考） 有2(甲、乙)人在一座7层大楼的底层进入电梯，假设每一个人自第二层开始在每层楼离开电梯是等可能的.
（1）求这两个人在不同层离开电梯的概率；
（2）甲先于乙离开电梯的概率.
3．（2024咸阳高考模拟）随着疫情时代的结束，越来越多的人意识到健康的重要性，更多的人走出家门，走进户外.近期文旅消费加速回暖，景区人流不息 酒店预订爆满 市集红红火火，旅游从业者倍感振奋.某乡村旅游区开发了一系列的娱乐健身项目，其中某种游戏对抗赛，每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，两人约定其中一人比另一人多赢两局就停止比赛，每局比赛相互独立.设比赛结束时比赛进行的局数为.
求：
（1）当时，甲赢得比赛的概率；
（2）的数学期望.
附：当时，.
4．（2022·厦门模拟）某工厂采购了一批新的生产设备．经统计，设备正常状态下，生产的产品正品率为0.98．为监控设备生产过程，检验员每天从该设备生产的产品中随机抽取10件产品，并检测质量．规定：抽检的10件产品中，若至少出现2件次品，则认为设备生产过程出现了异常情况，需对设备进行检测及修理．
（1）假设设备正常状态，记X表示一天内抽取的10件产品中的次品件数，求，并说明上述监控生产过程规定的合理性；
（2）该设备由甲、乙两个部件构成，若两个部件同时出现故障，则设备停止运转；若只有一个部件出现故障，则设备出现异常．已知设备出现异常是由甲部件故障造成的概率为p，由乙部件故障造成的概率为．若设备出现异常，需先检测其中一个部件，如果确认该部件出现故障，则进行修理，否则，继续对另一部件进行检测及修理．已知甲部件的检测费用1000元，修理费用5000元，乙部件的检测费用2000元，修理费用4000元．当设备出现异常时，仅考虑检测和修理总费用，应先检测甲部件还是乙部件，请说明理由．
参考数据：．
5．（2024高三上·海南高考模拟）红松树分布在我国东北的小兴安岭到长白山一带，耐荫性强.在一森林公园内种有一大批红松树，为了研究生长了4年的红松树的生长状况，从中随机选取了12棵生长了4年的红松树，并测量了它们的树干直径（单位：厘米），如下表：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
28.7 27.2 31.5 35.8 24.3 33.5 36.3 26.7 28.9 27.4 25.2 34.5
计算得：.
（1）求这12棵红松树的树干直径的样本均值与样本方差.
（2）假设生长了4年的红松树的树干直径近似服从正态分布.记事件：在森林公园内再从中随机选取12棵生长了4年的红松树，其树干直径都位于区间.
①用（1）中所求的样本均值与样本方差分别作为正态分布的均值与方差，求；
②护林员在做数据统计时，得出了如下结论：生长了4年的红松树的树干直径近似服从正态分布.在这个条件下，求，并判断护林员的结论是否正确，说明理由.
参考公式：若，则.
参考数据：.
6．（2023高三上·江门月考）为深入学习党的二十大精神，某学校团委组织了“青春向党百年路，奋进学习二十大”知识竞赛活动，并从中抽取了200份试卷进行调查，这200份试卷的成绩（卷面共100分）频率分布直方图如右图所示．
（1）用样本估计总体，求此次知识竞赛的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．
（2）可以认为这次竞赛成绩X近似地服从正态分布N(μ，σ2)（用样本平均数和标准差s分别作为μ、σ的近似值），已知样本标准差s≈7.36，如有84%的学生的竞赛成绩高于学校期望的平均分，则学校期望的平均分约为多少？（结果取整数）
（3）从得分区间[80，90)和[90，100]的试卷中用分层抽样的方法抽取10份试卷，再从这10份样本中随机抽测3份试卷，若已知抽测的3份试卷来自于不同区间，求抽测3份试卷有2份来自区间[80，90)的概率．
参考数据：若X~N(μ，σ2)，则P(μ-σ7．（2024高三上·九龙期中） 2023年9月23日第19届亚运会在中国杭州举行，其中电子竞技第一次列为正式比赛项目．某中学对该校男女学生是否喜欢电子竞技进行了调查，随机调查了男女生人数各200人，得到如下数据：
（1）根据表中数据，采用小概率值的独立性检验，能否认为该校学生对电子竞技的喜欢情况与性别有关？
（2）为弄清学生不喜欢电子竞技原因，采用分层抽样的方法从调查的不喜欢电子竞技的学生中随机抽取9人，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，求“至少抽到一名男生”的概率；
（3）将频率视为概率，用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取10人，记其中对电子竞技喜欢的人数为，求的数学期望．
参考公式及数据：，其中．
8．（2023高二上·梅河口开学考）为了解学生的周末学习时间（单位：小时），高一年级某班班主任对本班名学生某周末的学习时间进行了调查，将所得数据整理绘制出如图所示的频率分布直方图，根据直方图所提供的信息：
（1）求该班学生周末的学习时间不少于小时的人数；
（2）估计这名同学周末学习时间的分位数；
（3）如果用该班学生周末的学习时间作为样本去推断该校高一年级全体学生周末的学习时间，这样推断是否合理？说明理由．
9．（2022高一上·丰城期末）为了解某年级学生对《居民家庭用电配置》的了解情况，校有关部门在该年级进行了一次问卷调查(共10道题)，从该年级学生中随机抽取24人，统计了每人答对的题数，将统计结果分成[0，2)，[2，4)，[4，6)，[6，8)，[8，10]五组，得到如下频率分布直方图.
（1）估计这组数据的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
（2）用分层随机抽样的方法从[4，6)，[6，8)，[8，10]的组别中共抽取12人，分别求出抽取的三个组别的人数；
（3）若从答对题数在[2，6)内的人中随机抽取2人，求恰有1人答对题数在[2，4)内的概率.
10．（2024·巴南模拟）书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日.某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示.
（1）根据频率分布直方图，估计这位年轻人每天阅读时间的平均数（单位：分钟）；（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）
（2）若年轻人每天阅读时间近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，求；
（3）为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组，，的年轻人中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到每天阅读时间位于的人数的分布列和数学期望.
附参考数据：若，则①；②；③.
11．（2024高三上·锡林郭勒盟模拟）2023年，在第十四届全国人民代表大会常务委员会第六次会议上教育部关于考试招生制度改革情况的报告中提出：改革考试内容和形式，实现从“考知识”向“考能力素养”转变；探索拔尖创新人才超常规选鉴通道，设立清华大学数学科学领军人才培养计划 北京大学物理卓越人才培养计划等专项计划，推进拔尖创新人才选拔培养.为此，各地区高中积极推进“强基计划”的落实，“强基培训”成为学生们热爱的课程之一.某高中随机调研了本校2023年参加高考的90位考生是否参加“强基培训”的情况，经统计，“强基培训”与性别情况如下表：（单位：人）
　 参加“强基培训” 不参加“强基培训”
男生 25 35
女生 5 25
（1）根据表中数据并依据小概率值的独立性检验，分析参加“强基培训”与性别是否有关联？
（2）在本校被调研的90位考生中，先对多加“强基培训”的30人采用分层抽样的方法抽取6位同学，然后从这6名同学中选拔2人参加北京大学物理卓越人才培养计划专项计划的招生考试，求有女生参加北京大学物理卓越人才培养计划专项计划的招生考试的概率.
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
12．（2024高三上·台州模拟）为了了解高中学生课后自主学习数学时间（分钟/每天）和他们的数学成绕（分）的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据（表一）．
表一
编号 1 2 3 4 5
学习时间 30 40 50 60 70
数学成绩 65 78 85 99 108
（1）请根据所给数据求出，的经验回归方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩：（参考数据：，，的方差为200）
（2）基于上述调查，某校提倡学生周末在校自主学习．经过一学期的实施后，抽样调查了220位学生．按照是否参与周未在校自主学习以及成绩是否有进步统计，得到列联表（表二）．依据表中数据及小概率值的独立性检验，分析“周末在校自主学习与成绩进步”是否有关．
表二
没有进步 有进步 合计
参与周末在校自主学习 35 130 165
未参与周末不在校自主学习 25 30 55
合计 60 160 220
附：，．．
0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
13．（2024·昌乐模拟）2018年非洲猪瘟在东北三省出现，为了防控，某地生物医药公司派出技术人员对当地甲、乙两个养殖场提供技术服务，两种方案如下：
方案一：公司每天收取养殖场技术服务费40元，对于需要用药的每头猪收取药费2元，不需要用药的不收费；
方案二：公司每天收取养殖场技术服务费120元，若需要用药的猪不超过45头，不另外收费，若需要用药的猪超过45头，超过的部分每头猪收费标准为8元.
（1）设日收费为（单位：元），每天需要用药的猪的数量为（单位：头），试写出两种方案中与的函数关系式；
（2）若该生物医药公司从10月1日起对甲养殖场提供技术服务，10月31日该养殖场对其中一个猪舍9月份和10月份的猪的发病数量（单位：头）进行了统计，得到了如下的列联表：
9月份 10月份 合计
未发病 40 85 125
发病 65 20 85
合计 105 105 210
根据以上列联表判断是否有的把握认为猪未发病与该生物医药公司提供技术服务有关.
附：
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
（3）当地的丙养殖场对过去100天的猪的发病情况进行了统计，得到如图所示的条形图.依据该统计数据，把频率视为概率，从节约养殖成本的角度去考虑，若丙养殖场计划结合以往经验，从两个方案中选择一个，那么选择哪个方案更合适，请说明理由.
14．（2024·宁德模拟）书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日.某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示.
（1）根据频率分布直方图，估计这位年轻人每天阅读时间的平均数（单位：分钟）；（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）
（2）若年轻人每天阅读时间近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，求；
（3）为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组，，的年轻人中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到每天阅读时间位于的人数的分布列和数学期望.
附参考数据：若，则①；②；③.
15．（2022高一上·丰城期末）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，…，，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）求样本成绩的第75百分位数；
（3）已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩的总平均数.
16．（2023高三上·通榆期中）随着科学技术飞速发展，科技创新型人才需求量增大，在2015年，国家开始大力推行科技特长生招生扶持政策，教育部也出台了《关于“十三五”期间全面深入推进教育信息化工作的指导意见（征求意见稿）》，为选拔和培养科技创新型人才做好准备．某调研机构调查了、两个参加国内学科竞赛的中学，从、两个中学的参赛学员中随机抽取了60人统计其参赛获奖情况，统计结果如下：
未获得区前三名及以上名次 获得区前三名及以上名次
中学 11 6
中学 34 9
（1）依据的独立性检验，能否认为获得区前三名及以上名次与所在的学校有关？
（2）用分层随机抽样的方法，从样本中获得区前三名及以上名次的学生中抽取5人，再从这5人中任选3人进行深度调研，记所选的3人中有人来自中学，求的分布列及数学期望．
附：，其中．
17．（2024·扬州模拟）在三维空间中，立方体的坐标可用三维坐标表示，其中．而在n维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为n维坐标，其中．现有如下定义：在n维空间中两点间的曼哈顿距离为两点与坐标差的绝对值之和，即为．回答下列问题：
（1）求出n维“立方体”的顶点数；
（2）在n维“立方体”中任取两个不同顶点，记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离
①求出X的分布列与期望；
②证明：在n足够大时，随机变量X的方差小于．
（已知对于正态分布，P随X变化关系可表示为）
18．（2023高三上·东莞期中）新高考改革后广西壮族自治区采用“3+1+2”高考模式，“3”指的是语文 数学 外语，这三门科目是必选的；“1”指的是要在物理 历史里选一门；“2”指考生要在生物学 化学 思想政治 地理4门中选择2门.
附：，，.
（1）若按照“3+1+2”模式选科，求甲乙两个学生恰有四门学科相同的选法种数；
（2）某教育部门为了调查学生语数外三科成绩，现从当地不同层次的学校中抽取高一学生5000名参加语数外的网络测试 满分450分，假设该次网络测试成绩服从正态分布.
①估计5000名学生中成绩介于120分到300分之间有多少人；
②某校对外宣传“我校200人参与此次网络测试，有10名同学获得430分以上的高分”，请结合统计学知识分析上述宣传语的可信度.
19．（2024高三上·广州月考）西梅以“梅”为名，实际上不是梅子，而是李子，中文正规名叫“欧洲李”，素有“奇迹水果”的美誉.因此，每批西梅进入市场之前，会对其进行检测，现随机抽取了10箱西梅，其中有4箱测定为一等品.
（1）现从这10箱中任取3箱，求恰好有1箱是一等品的概率；
（2）以这10箱的检测结果来估计这一批西梅的情况，若从这一批西梅中随机抽取3箱，记表示抽到一等品的箱数，求的分布列和期望.
20．（2023高二上·惠州月考）“盲盒”是指商家将动漫、影视作品的周边或设计师单独设计出玩偶放入盒子里，当消费者购买这个盒子，因盒子上没有标注，只有打开才会知道抽到什么，不确定的刺激会加强重复决策，从而刺激消费．某商家将编号为1，2，3的三个玩偶随机放入编号为1，2，3的三个盒子里，每个盒子放一个玩偶，每个玩偶的放置是相互独立的．
（1）共有多少种不同的放法？请列举出来；
（2）求盒中放置的玩偶的编号与所在盒的编号均不相同的概率．
21．（2023·浙江模拟）随着人口老龄化的到来，我国的劳动力人口在不断减少，“延迟退休”已经成为人们越来越关注的话题，为了了解公众对“延迟退休”的态度，某校课外研究性学习小组对某社区随机抽取了5人进行调查，将调查情况进行整理后制成下表：
年龄 [20，25） [25，30） [30，35） [35，40） [40，45）
人数 4 5 8 5 3
年龄 [45，50） [50，55） [55，60） [60，65） [65，70）
人数 6 7 3 5 4
年龄在[25，30），[55，60）的被调查者中赞成人数分别是3人和2人，现从这两组的被调查者中各随机选取2人，进行跟踪调查．
（1）求年龄在[25，30）的被调查者中选取的2人都是赞成的概率；
（2）求选中的4人中，至少有3人赞成的概率；
（3）若选中的4人中，不赞成的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
22．（2024高二上·亳州期末）（1）求除以15的余数；
（2）若，求的值；
（3）求展开式中系数最大的项．
答案解析部分
1．【答案】（1）解：由表格可知样本容量为
所以，即由，即
（2）解：（或由此估计该市高中生测试成绩等级为“合格”的概率是
（3）解：合格的有72人 不合格的有48人抽样比
故从评定等级为“合格”的答卷中抽取的份数为，记为
从评定等级为“不合格”的答卷中抽取的份数为，记为
则从5份答卷中抽取2份，基本事件
共10个基本事件记事件A：恰有1份评定等级为“不合格”
共6个基本事件
则从这5份答卷中抽取2份，恰有1份评定等级为“不合格”的概率为
【知识点】频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）根据求得样本容量，进而求得x、z.
（2）利用古典概型概率公式即可估计该市高中生测试成绩等级为“合格”的概率.
(3)先求出合格的有72人 不合格的有48人抽样比，得出从评定等级为“合格”、“不合格”的答卷中抽取的份数，根据古典概型概率公式即可求出从这5份答卷中抽取2份，恰有1份评定等级为“不合格”的概率.
2．【答案】（1）解：每个人离开电梯都有6种可能的结果，两人离开电梯共有（种）可能的结果；
两人在不同层离开电梯共有（种）可能的结果，
故所求概率为，
即两个人在不同层离开电梯的概率为.
（2）解：根据题意可知，若甲在第二层离开，则乙有5种离开的可能，可以在第三、第四、第五、第六、第七层离开；
若甲在第三层离开，则乙有4种离开的可能，可以在第四、第五、第六、第七层离开；
若甲在第四层离开，则乙有3种离开的可能，可以在第五、第六、第七层离开；
若甲在第五层离开，则乙有2种离开的可能，可以在第六、第七层离开；
若甲在第六层离开，则乙有1种离开的可能，可以在第七层离开；
所以甲先于乙离开电梯共有种可能，
因此甲先于乙离开电梯的概率为.
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】 (1) 根据分步乘法计数原理结合古典概型运算求解；
(2)根据题意可知，若甲在第二层离开，则乙有5种离开的可能，可以在第三、第四、第五、第六、第七层离开；结合古典概型运算求解.
3．【答案】（1）解：；
其中甲赢得比赛的概率为，
所以所求概率.
（2）解：根据题意可设，
当时，，此时
当时，，此时；
当时，，此时；
当时，，此时；
…，
.
所以的期望
所以，①
，②
根据①-②得，
所以，即的数学期望是.
【知识点】数列的求和；离散型随机变量的期望与方差；条件概率
【解析】【分析】 (1)直接利用条件概率公式计算即可求解；
(2)先根据题意得出，再利用错位相减法计算数学期望即可.
4．【答案】（1）解：由题可知，单件产品为次品的概率为0.02，所以，
所以，，
所以，
由可知，如果生产状态正常，一天内抽取的10个零件中，至少出现2个次品的概率约为0.014，该事件是小概率事件，因此一旦发生这种状况，就有理由认为设备在这一天的生产过程出现了异常情况，需对设备进行检测和修理，可见上述监控生产过程的规定是合理的.
（2）解：若先检测甲部件，设检测费和修理费之和为元，则的所有可能值为6000，7000，
则，，
所以，
若先检测乙部件，设检测费和修理费之和为元，则的所有可能值为6000，8000，
则，，
所以，
所以，
则当时，，应先检测乙部件；当时，，先检测甲部件或乙部件均可；当时，，应先检测甲部件.
【知识点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)根据题意由已知条件由n次独立事件的概率公式，代入数值计算出结果，再与标准值进行比较由此即可得出答案。
(2)由随机变量的概率分布以及数据，计算出结果再把结果代入到期望公式由此计算出结果，进行比较即可得出结论。
5．【答案】（1）解：样本均值，
样本方差
.
（2）解：①由题意可得，树干直径（单位：近似服从正态分布.
在森林公园内再随机选一棵生长了4年的红松树，其树干直径位于区间的概率是0.9545，
所以.
②若树干直径近似服从正态分布，
则
此时发生的概率远小于（1）中根据测量结果得出的概率估计值.是一个小概率事件，但是第一次随机选取的12棵生长了4年的红松树，事件发生了，所以认为护林员给出的结论是错误的.
【知识点】正态密度曲线的特点；正态分布的期望与方差
【解析】【分析】（1）利用样本平均数、样本方差公式计算即可.
（2）①根据树干直径（单位：近似服从正态分布.结合参考数据即可得A的概率.
②同理，树干直径近似服从正态分布，结合参考数据即可求解.从而说明理由.
6．【答案】（1）由频率分布直方图可知，
平均分；
（2）由（1）可知
设学校期望的平均分约为m，则，
因为，，
所以，即，
所以学校期望的平均分约为73分；
（3）由频率分布直方图可知，分数在和的频率分别为0.35和0.15，
那么按照分层抽样，抽取10人，其中分数在，应抽取人，
分数在应抽取人，
记事件：抽测的3份试卷来自于不同区间；事件B：取出的试卷有2份来自区间[80，90)，
则，，
则．
所以抽测3份试卷有2份来自区间[80，90)的概率为.
【知识点】频率分布直方图；用样本的数字特征估计总体的数字特征；总体分布的估计；条件概率
【解析】【分析】（1）利用每组小矩形的面积乘以各区间的中点值相加可得平均数的估计值；
（2）由原则得到，进一步可得从而求得 学校期望的平均分 ；
（3）记事件：抽测的3份试卷来自于不同区间；事件B：取出的试卷有2份来自区间[80，90)，先利用分层抽样公式算得分数在，中抽取的人数，再利用条件概率公式计算可得答案.
7．【答案】（1）解：列联表如下表所示：
男生 女生 合计
喜欢
不喜欢
合计
零假设该校学生对电子竞技的喜欢情况与性别无关，
，
，
采用小概率值的独立性检验，可推断不成立，即能认为该校学生对电子竞技的喜欢情况与性别有关，
（2）解：采用分层抽样的方法从抽取的不喜欢电子竞技的学生中随机抽取9人，这9人中男生的人数为4，女生的人数为5，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，“至少抽到一名男生”的概率为．
（3）解：由题意可知喜欢电子竞技的概率为，所以，
故．
【知识点】分层抽样方法；独立性检验的应用；离散型随机变量的期望与方差；概率的应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合独立性检验的方法，从而得出能认为该校学生对电子竞技的喜欢情况与性别有关。
（2）利用已知条件结合分层抽样的方法和组合数公式求计数问题的方法，再结合对立事件求概率公式，进而得出“至少抽到一名男生”的概率。
（3）利用已知条件结合古典概型求概率公式可知喜欢电子竞技的概率，再利用二项分布定义，从而判断出随机变量X服从二项分布，再结合二项分布求数学期望公式，进而得出随机变量X的数学期望。
8．【答案】（1）解：由图可知，该班学生周末的学习时间不少于20小时的频率为
则名学生中周末的学习时间不少于20小时的人数为．
（2）解：学习时间在小时以下的频率为，
学习时间在小时以下的频率为，
所以分位数在，
，
则这名同学周末学习时间的分位数为．
（3）解：不合理，样本的选取只选在高一某班，不具有代表性．
【知识点】收集数据的方法；频率分布直方图；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】(1)先根据频率分布直方图求 不少于20小时的频率 ，进而求人数；
(2)根据题意分析可得 分位数在， 结合百分位数的定义运算求解；
(3)根据随机抽样的性质分析判断.
9．【答案】（1）解：在[0，2)，[2，4)，[4，6)，[6，8)，[8，10]的概率分别为，，，，
则估计这组数据的平均数为.
（2）解：由题意可知在中的总人数为人；
又采用分层抽样的方法抽取人，所以内抽取人；
所以内抽取人；
所以内抽取人；
所以在分别抽取4人 6人 2人，
（3）解：由题图可知，答对题数在[4，6)中有6人，分别设为，，，，，，
答对题数在[2，4)中有3人，分别设为，，，
从答对题数在[2，6)内的人中随机抽取2人的情况有
，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
共有36种.
恰有1人答对题数在[2，4)内的情况有
，，，，，，，，，，，，，，，，，，
共有18种.
故所求概率.
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图的各组的中间值进行计算求出平均值的估计值；
（2）根据[4，6)，[6，8)，[8，10]的频率，求出此区间内的总人数，再根据需要取的样本总数，确定分层比例，即可求解；
（3）利用列举法求出所有结果，根据古典概型即可求解．
10．【答案】（1）解：根据频率分布直方图得：
.
（2）解：由题意知，即，
所以.
（3）解：由题意可知，和的频率之比为：，
故抽取的10人中，和分别为：2人，4人，4人，
随机变量的取值可以为，
，，
，，
故的分布列为：
0 1 2 3
所以.
【知识点】用样本的频率分布估计总体分布；超几何分布的应用；正态分布定义
【解析】【分析】本题考查利用频率分布直方图求平均数，利用正态分布的对称性求概率，超几何分布的应用.
（1）根据频率分布直方图以及平均数的计算方法计算即可；
（2）依据，利用正态分布的对称性计算即可；
（3）先由题意得到随机变量的取值，并分别计算相应的概率，然后列出分布列，并按期望公式计算即可.
11．【答案】（1）解：假设参加“强基培训”与性别无关联，
由题意，，
依据小概率值的独立性检验，可推断假设不成立，即认为参加“强基培训”与性别有关联.
（2）解：由题知，在本校被调研的90位考生中，先对参加“强基培训”的30人采用分层抽样的方法抽取6位同学，其中有5位男同学，一名女同学.
5位男同学分别记为：；
一名女同学记为：.
从中抽取2名同学共有：，，种方法，
其中抽到女生的方法有，G）共5种.
有女生参加北京大学物理卓越人才培养计划专项计划的招生考试的概率为，则.
【知识点】样本相关系数r及其数字特征；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）根据题中表格可求得，从而可求解.
(2)根据分层抽样可知抽取6位同学其中有5位男同学，一名女同学，然后利用列举法和古典概率知识从而求解.
12．【答案】（1）解：，
，又，的方差为，
所以，
，故，当时，，
故预测每天课后自主学习数学时间达到100分钟时的数学成绩为140.5分．
（2）解：零假设为：学生周末在校自主学习与成绩进步无关．
根据数据，计算得到：
，
因为，所以依据的独立性检验，可以认为“周末自主学习与成绩进步”有关．
【知识点】最小二乘法；线性回归方程；独立性检验
【解析】【分析】（1）先求出平均数，再利用最小二乘法求出回归方程，代入数据即可预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩 ；
（2）先零假设为：学生周末在校自主学习与成绩进步无关，根据题意计算出，进而由的独立性检验得出答案.
13．【答案】（1）解：由题意得，
方案一中的日收费y（单位：元）与需要用药的猪的数量n(单位：头）的函数关系式为y=40+2n，n∈N
方案二中的日收费y(单位：元）与需要用药的猪的数量n（单位：头）的函数关系式为
.
（2）解：由列联表计算可得，因为40.02>10.828，所以有99.9%的把握认为猪未发病与该生物医药公司提供技术服务有关.
（3）解：设方案一中的日收费为X，由条形图可得X的分布列为
X 124 128 132 136 140
P 0.2 0.4 0.2 0.1 0.1
所以E(X)=124×0.2+128×0.4+132×0.2+136×0.1+140×0.1=130
设方案二中的日收费为Y，由条形图可得Y的分布列
Y 120 128 144 160
P 0.6 0.2 0.1 0.1
所以E(Y)=120×0.6+128×0.2+144×0.1+160×0.1=128，
因为E(X)>E(Y)所以从节约养殖成本的角度去考虑，丙养殖场应该选择方案二.
【知识点】独立性检验的基本思想；独立性检验的应用；离散型随机变量的期望与方差；概率分布列
【解析】【分析】 (1) 根据题意分析求相应的函数关系式；
(2) 根据题意求，并与临界值对比分析；
(3) 根据题意求相应的分布列和期望，并对比分析.
14．【答案】（1）解：根据频率分布直方图得：
.
（2）解：由题意知，
即，
所以
（3）解：由题意可知，和的频率之比为：，
故抽取的10人中，和分别为：2人，4人，4人，
随机变量的取值可以为，
，
，
，
，
故的分布列为：
0 1 2 3
所以.
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；离散型随机变量的期望与方差；3σ原则
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中的平均数求法，计算即可.
（2）利用 近似地服从正态分布 ，代入计算即可.
(3)列出随机变量的可能取值，根据古典概型概率公式，求出对应概率，列出分布列，利用数学期望公式计算即可.
15．【答案】（1）解：∵每组小矩形的面积之和为1，
∴，
∴.
（2）解：成绩落在内的频率为，
落在内的频率为，
设第75百分位数为m，
由，得，故第75百分位数为84；
（3）解：由图可知，成绩在的市民人数为，
成绩在的市民人数为，
故.
所以两组市民成绩的总平均数是62，
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】（1）根据每组小矩形的面积之和为1即可求解；（2）由频率分布直方图求第百分位数的计算公式即可求解；（3）根据平均数和方差的计算公式即可求解.
16．【答案】（1）解：补全列联表如下：
未获得区前三名及以上名次 获得区前三名及以上名次 总计
中学 11 6 17
中学 34 9 43
总计 45 15 60
零假设为：获得区前三名及以上名次与所在学校无关．
所以，
故依据的独立性检验，没有充分的证明推断不成立，所以认为成立，即获得区前三名及以上名次与所在的学校无关．
（2）解：由题意知，用分层随机抽样抽取的5人中，来自中学的有2人，来自中学的有3人，
故的可能取值有0，1，2，
则，，，
所以的分布列为
0 1 2
所以．
【知识点】实际推断原理和假设检验；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据题意，补全列联表，利用公式求得，结合附表，即可得到结论；
（2）由题意知，用分层随机抽样得到来自中学的有2人，来自中学的有3人，得到的可能取值有0，1，2，求得相应的概率，列出分布列，利用期望的公式.
17．【答案】（1）解：对于n维坐标有两种选择（）．
故共有种选择，即个顶点
（2）解：①对于的随机变量，在坐标与中有k个坐标值不同，
即，剩下个坐标值满足．
此时所对应情况数为种．
即
故分布列为：
0 1 2 …
…
数学期望
倒序相加得
即．
②当n足够大时，．
设正态分布，正态分布曲线为，
由定义知该正态分布期望为，方差为．
设题中分布列所形成的曲线为．
则当与均在处取最大值，若当时，
且，则可认为方差．
I．：当时，有
即．
II．
当n足够大时，有
当时，
当时，
故．
综上所述，可以认为．
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；分步乘法计数原理；组合及组合数公式；正态分布的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据乘法原理，即可确定顶点个数；
（2）①首先确定，再结合组合数公式求概率，即可求解分布列和数学期望；
②由①可知，n足够大时，，可得正态分布，正态分布曲线为，并设题中分布列所形成的曲线为，则当与均在处取最大值，说明当时，
且，则可认为方差．
18．【答案】（1）解：甲乙两个学生必选语文 数学 外语，若另一门相同的选择物理 历史中的一门，有种，在生物学 化学 思想政治 地理4门中甲乙选择不同的2门，则，即种； 若另一门相同的选择生物学 化学 思想政治 地理4门中的一门，则有种，
所以甲乙两个学生恰有四门学科相同的选法种数共种方法；
（2）解：①设此次网络测试的成绩记为，则，
由题知，，，
则，所以，
所以估计5000名学生中成绩介于120分到300分之间有4093人；
②不可信.，
则，
5000名学生中成绩大于430分的约有人，
这说明5000名考生中，会出现约7人的成绩高于430分的“极端”样本，
所以说“某校200人参与此次网络测试，有10名同学获得430分以上的高分”，
说法错误，此宣传语不可信.
【知识点】正态密度曲线的特点；排列与组合的综合；正态分布的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据题意，分生物学 化学 思想政治 地理4门中甲乙选择不同的2门，和另一门相同的选择生物学 化学 思想政治 地理4门中的一门两种情况，结合排列数和组合数的公式，即可求解；
（2）①设此次网络测试的成绩记为，则，根据正态分布曲线的对称性，求得，所以，即可估计5000名学生中成绩介于120分到300分之间人数；
②根据正态分布曲线的对称性，结合原则，即可得到结论.
19．【答案】（1）解：设抽取的3箱西梅恰有1箱是一等品为事件，
则；
因此从这10箱中任取3箱，恰好有1箱是一等品的概率为.
（2）解：由题意可知，从这10箱中随机抽取1箱恰好是一等品的概率，
由题可知的所有可能取值为0，1，2，3，则
，，，
，
所以的分布列为
0 1 2 3
P
.
【知识点】古典概型及其概率计算公式；二项分布；组合及组合数公式
【解析】【分析】(1)使用组合数的相关知识并结合古典概型公式，即可求得概率；
(2)根据二项分布模型计算出分布列，即可求得期望.
20．【答案】（1）解：共有6种不同的放法，按盒子号1，2，3的顺序放入玩偶的情况为；；
；；；．
（2）解：设所求事件为A，则A包含有，两个基本事件，并且每个基本事件等可能，故．
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【分析】（1）按盒子号1，2，3的顺序放入小球的情况列出结果，即可得到有多少种不同的放法.
（2）设所求事件为A，则A包含有，两个基本事件然后求解概率.
21．【答案】（1）解：设“年龄在，的被调查者中选取的2人都赞成”为事件A，所以；
（2）解：设“选中的4人中，至多有3人赞成”为事件，所以；
（3）解：可以取值0，1，2，3
所以；
；
；
；
所以X的分布列是：
0 1 2 3
．
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；概率分布列；组合及组合数公式
【解析】【分析】(1)年龄在，被调查者中人数为5人，赞成人数为3人，进而利用古典概型求“年龄在，的被调查者中选取的2人都赞成” 的概率；
(2)设“选中的4人中，至多有3人赞成”为事件，则赞成人数可为1人，2人，3人，进而利用古典概型求事件的概率；
(3)可以取值0，1，2，3，分别求出其概率写出分布列求解数学期望.
22．【答案】（1）解：
，
除以15的余数为4.
（2）解：由已知得，
令，得，①
令，得，②
联立①②得，
令，得，所以
（3）解：的展开式通项为，
由不等式组，解得，
因为，所以，，
因此，展开式中系数最大的项为
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合二项式定理和求余的方法，进而得出除以15的余数.
（2）利用已知条件结合二项式定理和赋值法和联立方程求解的方法，进而得出的值.
（3）利用已知条件结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再结合单调性得出k的取值范围，进而得出满足要求的k的值，从而得出展开式中系数最大的项.
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