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高考数学复习：糖水不等式
一、选择题
1．（2024高一上·天河期末）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖假设全部溶解，糖水变甜了将这一事实表示成一个不等式为（　　）
A． B． C． D．
2．（2021高一上·潍坊月考）克糖水中含有克糖，糖的质量与糖水的质量比为，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加克糖（假设全部溶解），生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为，这个不等式趣称为糖水不等式．根据糖水不等式，下列不等式正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
3．（2021高二上·泾阳期中）在日常生活中有这样一种现象，向糖水中不断加入糖，糖水会变得越来越甜．已知a克糖水中含有b克糖 ，再添加m克糖（ ，假设全部溶解），可将糖水变甜．这一事实表示为下列哪一个不等式？（　　）
A． B． C． D．
4．（2020高一上·吉林期末）在日常生活中有这样一种现象，向糖水中不断加入糖，糖水会变得越来越甜.已知 克糖水中含有 克糖( )，再添加 克糖( )(假设全部溶解)，可将糖水变甜这一事实表示为下列哪一个不等式（　　）
A． B． C． D．
5．（2021·凉山州模拟） 克糖水中含有 克糖，糖的质量与糖水的质量比为 ，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加 克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为 ( ， ).若 ， ， ，则（　　）
A． B． C． D．
6．（2020高二上·东莞期末）糖水溶液（不饱和）的浓度计算公式为 ，向糖水（不饱和）中再加入 克糖，那么糖水（不饱和）将变得更甜，则反应这一事实的不等关系为（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题
7．（2023高一上·忠县月考） 生活经验告诉我们， 克糖水中有克糖， 且， 若再添加克糖后， 糖水会更甜， 于是得出一个不等式：. 趣称之为“糖水不等式”. 根据生活经验和不等式的性质判断下列命题一定正确的是（　　）
A．若 ， 则与的大小关系随的变化而变化
B．若 ， 则
C．若 ， 则
D．若 ， 则一定有
8．（2019高二上·苏州期中）已知 克糖水中有 克糖 ，若再添加 克糖 ，则糖水变得更甜.对于 ， ，下列不等式正确的有：（　　）
A． B．
C． D．
三、填空题
9．（2021·呼和浩特模拟）若 克不饱和糖水中含有 克糖，则糖的质量分数为 ，这个质量分数决定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加 克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不等式 ( ， )数学中常称其为糖水不等式.依据糖水不等式可得出 　 　 (用“ ”或“ ”填空)；并写出上述结论所对应的一个糖水不等式　 　.
10．（2019高一上·阜新月考）已知 ，类比于我们学习过的“糖水加糖甜更甜”的原理，提炼出“向一杯糖水中加入水，则糖水变淡了”的不等关系式为　 　
11．（2019高二上·烟台期中）已知 克糖水中含有 克糖（ ），再添加 克糖（ ）（假设全部溶解），糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式　 　．
12．b克糖水中有a克糖（b＞a＞0），若再加入m克糖（m＞0），则糖水更甜了，将这个事实用一个不等式表示为　 　
13．已知b克糖水中含有a克糖（b＞a＞0），若再添加m克糖（m＞0），则糖水就变得更甜了．试根据这一事实归纳推理得一个不等式　 　
四、解答题
14．（2023高一上·沧州期中）如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴含着著名的糖水不等式：．
（1）证明榶水不等式；
（2）已知是三角形的三边，求证：．
15．（2020高一上·麻城月考）日常生活中，在一杯含有 克糖的 克糖水中，再加入 克糖，则这杯糖水变甜了.请根据这一事实提炼出一道不等式，并加以证明.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】解： 再添加克糖后，糖水变甜，则糖的浓度变大，即.
故答案为：B.
【分析】糖水变甜，表示糖的浓度变大，代入数据即可判断.
2．【答案】A
【知识点】不等式的基本性质；反证法与放缩法
【解析】【解答】对于A，由得，，A符合题意；
对于B，因为，B不符合题意；
对于C，由题得，C不符合题意；
对于D，由糖水不等式得，所以，D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合 ， 再利用分式的性质结合不等式的基本性质， 从而找出不等式正确的选项。
3．【答案】B
【知识点】利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】因为向糖水中不断加入糖，糖水会变得越来越甜，
所以糖水的浓度 ，
再添加m克糖，即浓度 ，
将糖水变甜．则 ，
因为 ， ，
所以 ，
故答案为：B
【分析】根据不等式中表示糖水变甜即糖的浓度增大，利用溶液的浓度计算公式即可得出答案。
4．【答案】B
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】解：根据不等式中两个重要不等式判定得 ， ，
糖水变甜说明加糖后分式的值变大了，只有 符合.
故答案为：B.
【分析】根据不等式中两个重要不等式判定即可。
5．【答案】B
【知识点】对数的性质与运算法则；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：因为 ， ，
所以 ， ，
根据题意当 ， 时 成立，
又 ，
所以 ，
即： ，
又
所以 ，
所以 ，
故答案为：B.
【分析】根据题意当 ， 时 成立，得出 ，用作差法比较得出，即可得出答案。
6．【答案】B
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】解：依题意，向糖水（不饱和）中再加入 克糖，
此时糖水的浓度为 ，
根据糖水更甜，可得 .
故答案为：B
【分析】依题意得到不等关系，即可得答案.
7．【答案】C,D
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】解：根据题意中的“ 糖水不等式”，可得：，即 与的大小关系不会随的变化而变化，则A选项错误；
对于B选项：假设，则，
此时，故B选项错误；
对于C选项：，则，则根据“ 糖水不等式”有：即，故C选项正确；
对于D选项：若，
则， ，则，又
所以，所以：，故D选项正确.
故答案为：CD.
【分析】根据糖水不等式即可判定A选项；B选项通过特殊值即可判定；C、D选项利用不等式的性质及糖水不等式进行判定即可.
8．【答案】A,C
【知识点】不等式的基本性质
【解析】【解答】由题意可知，可以得到不等式，若 ， ，
则有 ，因此A是正确的；
由该不等式反应的性质可得： ，因此C是正确的；
对于B：假设 成立，例如：当 时，
显然 不成立，不是正确的；
对于D：假设 成立，例如：当 时，
显然 不成立，D不是正确的.
故答案为：AC
【分析】根据题意得到一个不等式，根据不等式对四个选项逐一判断即可.
9．【答案】＜；
【知识点】对数的性质与运算法则；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】空1：因为 ，所以可得：
；
空2：由空1可得： ，即 .
故答案为：＜；
【分析】 先利用换底公式以及对数的运算性质将log1510进行化简变形，然后再利用条件中的不等式进行分析即可．
10．【答案】
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】质量为 克的糖水中含有 克糖,质量百分比为 ,向其中加入 克水后, 质量百分比变为 ,糖水被稀释了,则 .
【分析】质量为 克的糖水中含有 克糖,向其中加入 克水后, 质量百分比变小,可得出不等式.
11．【答案】
【知识点】不等式的基本性质
【解析】【解答】糖水变甜，表示糖的浓度变大，即
故答案为：
【分析】糖水变甜，表示糖的浓度变大，代入数据得到答案.
12．【答案】
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】∵b千克糖水中含a千克糖（0＜a＜b）时，糖水的“甜度”为，
∴若在该糖水中加入m（c＞0）千克糖，则此时的“甜度”是，
又∵糖水会更甜，
∴
故答案为：
【分析】根据“甜度”的定义，先表示出“甜度”为的b千克糖水中加入m（m＞0）千克糖时的“甜度”：是，再由“糖水会更甜”，可知此时糖水的“甜度”大于原来糖水的“甜度”，即．
13．【答案】
【知识点】不等式的基本性质
【解析】【解答】解：根据这一事实归纳推理得一个不等式：
（a＞b＞0，m＞0）．
故答案为：（a＞b＞0，m＞0）．
【分析】利用溶液的浓度的意义即可得出．
14．【答案】（1）解：，
因为，所以，
所以，即．
（2）解：因为是三角形的三边，所以，
由（1）知，
同理，
所以，
所以原不等式成立．
【知识点】利用不等式的性质比较大小
【解析】【分析】 (1) 根据题意利用作差法分析证明；
(2) 根据三角形的性质结合（1）的结论分析证明.
15．【答案】由题知：原来糖水的浓度为 ，
加入 克糖后的浓度为 ， ， .
因为这杯糖水变甜了，所以 ，
整理得： ， ， .
因为 ，
又因为 ， ，所以 ， ， ，
所以 ，即证 .
【知识点】不等式的基本性质
【解析】【分析】根据题意由题意即可得出不等式，然后由不等式的基本性质整理即可得证出结论。
1 / 1高考数学复习：糖水不等式
一、选择题
1．（2024高一上·天河期末）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖假设全部溶解，糖水变甜了将这一事实表示成一个不等式为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】解： 再添加克糖后，糖水变甜，则糖的浓度变大，即.
故答案为：B.
【分析】糖水变甜，表示糖的浓度变大，代入数据即可判断.
2．（2021高一上·潍坊月考）克糖水中含有克糖，糖的质量与糖水的质量比为，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加克糖（假设全部溶解），生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为，这个不等式趣称为糖水不等式．根据糖水不等式，下列不等式正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】不等式的基本性质；反证法与放缩法
【解析】【解答】对于A，由得，，A符合题意；
对于B，因为，B不符合题意；
对于C，由题得，C不符合题意；
对于D，由糖水不等式得，所以，D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合 ， 再利用分式的性质结合不等式的基本性质， 从而找出不等式正确的选项。
3．（2021高二上·泾阳期中）在日常生活中有这样一种现象，向糖水中不断加入糖，糖水会变得越来越甜．已知a克糖水中含有b克糖 ，再添加m克糖（ ，假设全部溶解），可将糖水变甜．这一事实表示为下列哪一个不等式？（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】因为向糖水中不断加入糖，糖水会变得越来越甜，
所以糖水的浓度 ，
再添加m克糖，即浓度 ，
将糖水变甜．则 ，
因为 ， ，
所以 ，
故答案为：B
【分析】根据不等式中表示糖水变甜即糖的浓度增大，利用溶液的浓度计算公式即可得出答案。
4．（2020高一上·吉林期末）在日常生活中有这样一种现象，向糖水中不断加入糖，糖水会变得越来越甜.已知 克糖水中含有 克糖( )，再添加 克糖( )(假设全部溶解)，可将糖水变甜这一事实表示为下列哪一个不等式（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】解：根据不等式中两个重要不等式判定得 ， ，
糖水变甜说明加糖后分式的值变大了，只有 符合.
故答案为：B.
【分析】根据不等式中两个重要不等式判定即可。
5．（2021·凉山州模拟） 克糖水中含有 克糖，糖的质量与糖水的质量比为 ，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加 克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为 ( ， ).若 ， ， ，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】对数的性质与运算法则；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：因为 ， ，
所以 ， ，
根据题意当 ， 时 成立，
又 ，
所以 ，
即： ，
又
所以 ，
所以 ，
故答案为：B.
【分析】根据题意当 ， 时 成立，得出 ，用作差法比较得出，即可得出答案。
6．（2020高二上·东莞期末）糖水溶液（不饱和）的浓度计算公式为 ，向糖水（不饱和）中再加入 克糖，那么糖水（不饱和）将变得更甜，则反应这一事实的不等关系为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】解：依题意，向糖水（不饱和）中再加入 克糖，
此时糖水的浓度为 ，
根据糖水更甜，可得 .
故答案为：B
【分析】依题意得到不等关系，即可得答案.
二、多项选择题
7．（2023高一上·忠县月考） 生活经验告诉我们， 克糖水中有克糖， 且， 若再添加克糖后， 糖水会更甜， 于是得出一个不等式：. 趣称之为“糖水不等式”. 根据生活经验和不等式的性质判断下列命题一定正确的是（　　）
A．若 ， 则与的大小关系随的变化而变化
B．若 ， 则
C．若 ， 则
D．若 ， 则一定有
【答案】C,D
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】解：根据题意中的“ 糖水不等式”，可得：，即 与的大小关系不会随的变化而变化，则A选项错误；
对于B选项：假设，则，
此时，故B选项错误；
对于C选项：，则，则根据“ 糖水不等式”有：即，故C选项正确；
对于D选项：若，
则， ，则，又
所以，所以：，故D选项正确.
故答案为：CD.
【分析】根据糖水不等式即可判定A选项；B选项通过特殊值即可判定；C、D选项利用不等式的性质及糖水不等式进行判定即可.
8．（2019高二上·苏州期中）已知 克糖水中有 克糖 ，若再添加 克糖 ，则糖水变得更甜.对于 ， ，下列不等式正确的有：（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,C
【知识点】不等式的基本性质
【解析】【解答】由题意可知，可以得到不等式，若 ， ，
则有 ，因此A是正确的；
由该不等式反应的性质可得： ，因此C是正确的；
对于B：假设 成立，例如：当 时，
显然 不成立，不是正确的；
对于D：假设 成立，例如：当 时，
显然 不成立，D不是正确的.
故答案为：AC
【分析】根据题意得到一个不等式，根据不等式对四个选项逐一判断即可.
三、填空题
9．（2021·呼和浩特模拟）若 克不饱和糖水中含有 克糖，则糖的质量分数为 ，这个质量分数决定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加 克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不等式 ( ， )数学中常称其为糖水不等式.依据糖水不等式可得出 　 　 (用“ ”或“ ”填空)；并写出上述结论所对应的一个糖水不等式　 　.
【答案】＜；
【知识点】对数的性质与运算法则；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】空1：因为 ，所以可得：
；
空2：由空1可得： ，即 .
故答案为：＜；
【分析】 先利用换底公式以及对数的运算性质将log1510进行化简变形，然后再利用条件中的不等式进行分析即可．
10．（2019高一上·阜新月考）已知 ，类比于我们学习过的“糖水加糖甜更甜”的原理，提炼出“向一杯糖水中加入水，则糖水变淡了”的不等关系式为　 　
【答案】
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】质量为 克的糖水中含有 克糖,质量百分比为 ,向其中加入 克水后, 质量百分比变为 ,糖水被稀释了,则 .
【分析】质量为 克的糖水中含有 克糖,向其中加入 克水后, 质量百分比变小,可得出不等式.
11．（2019高二上·烟台期中）已知 克糖水中含有 克糖（ ），再添加 克糖（ ）（假设全部溶解），糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式　 　．
【答案】
【知识点】不等式的基本性质
【解析】【解答】糖水变甜，表示糖的浓度变大，即
故答案为：
【分析】糖水变甜，表示糖的浓度变大，代入数据得到答案.
12．b克糖水中有a克糖（b＞a＞0），若再加入m克糖（m＞0），则糖水更甜了，将这个事实用一个不等式表示为　 　
【答案】
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】∵b千克糖水中含a千克糖（0＜a＜b）时，糖水的“甜度”为，
∴若在该糖水中加入m（c＞0）千克糖，则此时的“甜度”是，
又∵糖水会更甜，
∴
故答案为：
【分析】根据“甜度”的定义，先表示出“甜度”为的b千克糖水中加入m（m＞0）千克糖时的“甜度”：是，再由“糖水会更甜”，可知此时糖水的“甜度”大于原来糖水的“甜度”，即．
13．已知b克糖水中含有a克糖（b＞a＞0），若再添加m克糖（m＞0），则糖水就变得更甜了．试根据这一事实归纳推理得一个不等式　 　
【答案】
【知识点】不等式的基本性质
【解析】【解答】解：根据这一事实归纳推理得一个不等式：
（a＞b＞0，m＞0）．
故答案为：（a＞b＞0，m＞0）．
【分析】利用溶液的浓度的意义即可得出．
四、解答题
14．（2023高一上·沧州期中）如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴含着著名的糖水不等式：．
（1）证明榶水不等式；
（2）已知是三角形的三边，求证：．
【答案】（1）解：，
因为，所以，
所以，即．
（2）解：因为是三角形的三边，所以，
由（1）知，
同理，
所以，
所以原不等式成立．
【知识点】利用不等式的性质比较大小
【解析】【分析】 (1) 根据题意利用作差法分析证明；
(2) 根据三角形的性质结合（1）的结论分析证明.
15．（2020高一上·麻城月考）日常生活中，在一杯含有 克糖的 克糖水中，再加入 克糖，则这杯糖水变甜了.请根据这一事实提炼出一道不等式，并加以证明.
【答案】由题知：原来糖水的浓度为 ，
加入 克糖后的浓度为 ， ， .
因为这杯糖水变甜了，所以 ，
整理得： ， ， .
因为 ，
又因为 ， ，所以 ， ， ，
所以 ，即证 .
【知识点】不等式的基本性质
【解析】【分析】根据题意由题意即可得出不等式，然后由不等式的基本性质整理即可得证出结论。
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