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(共97张PPT)
（一）二次函数
1.[2022绍兴中考]已知抛物线 的对称轴为直线 ，则关
于 的方程 的根是( )
D
A.0，4 B.1，5 C.1， D. ，5
【解析】 抛物线 的对称轴为直线 ， ，解
得 ， 方程 可以写成 ，
，解得 ， .
2.[2023台州中考]抛物线 与直线 交于
， 两点.若 ，则直线 一定经过
( )
D
A.第一、二象限 B.第二、三象限 C.第三、四象限 D.第一、四象限
【解析】 由题意，得 ， ，
, .当 ， 时，直线 经过第一、
三、四象限；当 ， 时，直线 经过第一、二、四象
限.综上，直线 一定经过第一、四象限．
3.[2023衡阳中考]已知 ，若关于 的方程
的解为 ， ，关于 的方程 的解为
， .则下列结论正确的是( )
B
A. B.
C. D.
【解析】 关于 的方程
的解为抛物线
与直线 的交点的横
坐标，关于 的方程
的解为抛物线 与直线
的交点的横坐标，如图，由图可知，
.
4.[2023宁波中考]已知二次函数 ，下列说
法正确的是( )
C
A.点 在该函数的图象上
B.当 且 时，
C.该函数的图象与 轴一定有交点
D.当 时，该函数图象的对称轴一定在直线 的左侧
【解析】 已知 ，当 时，
， ， 点 不在
该函数的图象上，故A错误.当 时，
， 函数的图象开口向上，对称轴为直
线 ，且 ， 当 时， 有最大值，
为 ，当 时， 有最小值，为 ， ，
故B错误. ，
该函数的图象与 轴一定有交点，故C正确.当 时，
函数图象的对称轴为直线 ， 该函数图象的对称轴
一定在直线 的右侧，故D错误.
5.新趋势·结论开放[2023上海中考]一个二次函数 的顶点
在 轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的
表达式可以是_ __________________________.
（答案不唯一）
【解析】 由题意，得 ， ， ， 这个二次函数的表达式可以是 .
6.[2022武威中考]如图，以一定的速
度将小球沿与地面成一定角度的方
向击出时，小球的飞行路线是一条
2
【解析】 ，且 ， 当
时， 取得最大值20.
抛物线.若不考虑空气阻力，小球的飞行高度 （单位： ）与飞行时间
（单位： ）之间具有的函数关系是 ，则当小球飞行高
度达到最高时，飞行时间为___ .
7.[2023福建中考]已知抛物线 经过
， 两点，若 ， 分别位于抛物线对称轴的两
侧，且 ，则 的取值范围是_ ___________.
【解析】 抛物线的对称轴为直线 ， ， 抛物线开
口向上. ， 若点 在对称轴 的左侧，点 在对称轴
的右侧，由题意,得 该不等式组无解；若
点 在对称轴 的左侧，点 在对称轴 的右侧，由题意，得
解得 ， ．
8.[2023巴中中考]规定：如果两个函数的图象关于 轴对称，那么称这两
个函数互为“ 函数”.例如：函数 与 互为“ 函数”.若
函数 的图象与 轴只有一个交点，则它的“
函数”图象与 轴的交点坐标为_ _____________.
或
【解析】 当 时，函数表达式为 ，它的“ 函数”表达式
为 ，它们的图象与 轴都只有一个交点， 它的“ 函数”图象
与 轴的交点坐标为 ；当 时，此函数为二次函数，若二次函
数 的图象与 轴只有一个交点，则二次函数
的顶点在 轴上，即 ，解得 ， 二次函数的
表达式为 ,
,令 ，则
,解得 ， 二次函数的“ 函数”图象与 轴的交点坐标为 .
综上，它的“ 函数”图象与 轴的交点坐标为 或 ．
9.[2022遂宁中考]在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互
为相反数，则称该点为“黎点”.例如 ， 都是“黎点”.
（1）求双曲线 上的“黎点”；
解：设双曲线 上的“黎点”为 ，
， .
经检验， 是分式方程的解，
双曲线 上的“黎点”为 和 .
（2）若抛物线 （ ， 为常数）上有且只有一个“黎点”，
当 时，求 的取值范围.
抛物线 （ , 为常数）上有且只有一个“黎点”，
关于 的方程 有且只有一个解，
即关于 的方程 有且只有一个解，
， ， .
， .
10.[2023内蒙古中考]随着科技的发展，扫地机器人（图1）已广泛应用于
生活中.某公司推出一款新型扫地机器人，经统计该产品2022年每个月的
销售情况发现，每台的销售价格随销售月份的变化而变化.设该产品2022
年第 为整数)个月每台的销售价格为 （单位：元）， 与 的函数关
系如图2所示（图中 为折线）.
图1
图2
（1）当 时，求每台的销售价格 与 之间的函数关系式.
解：当 时，设每台的销售价格 与 之间的函数关系式为
，
图象过 ， 两点，
解得
当 时， .
（2）设该产品2022年第 个月的销售数量为 （单位：万台）， 与 的关系可以用 来描述.哪个月的销售收入最多，最多为多少万元？（销售收入 每台的销售价格×销售数量）
设销售收入为 万元，
①当 时，
,
， 当 时， ；
②当 时， ，
， 随 的增大而增大，
当 时， .
，
第5个月的销售收入最多，最多为3 375万元．
11.[2023达州中考]如图，抛物线 过点 ，
， .
备用图
（1）求抛物线的表达式.
解：由题意，得 ，
则 ，解得 ，
故抛物线的表达式为 .
（2）设点 是直线 上方抛物线上一点，求出 的最大面积及此
时点 的坐标.
由点 ， 的坐标，得直线 的表达式为
，
如图，过点 作 轴的平行线交 于点 ，
设点 ，则点 ，
则
，
即 面积的最大值为 ，此时点 ， .
（3）若点 是抛物线对称轴上一动点，点 为坐标平面内一点，是否存
在以 为边，点 ， ， ， 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直
接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由.
存在.点 的坐标为 或 或 或
.
由（1）知抛物线的表达式为 ，
抛物线的对称轴为直线 .
设点 ， ，
若 为菱形的边，此时为菱形 ，
则 ，即 ，
解得 ， .
， .
若 为菱形的边，此时为菱形 ，
则 ，即 ，
解得 ， .
， .
故点 的坐标为 或 或 或
．
（二）圆
1.[2023宜宾中考]如图，已知点 ， ， 在 上，
为 的中点.若 ，则 等于( )
A
A. B. C. D.
【解析】 如图，连接 ， ，
为 的中点， ，
， ．
2.[2023无锡中考]给出下列命题：①各边相等的多边形是正多边形；②正
多边形是中心对称图形；③正六边形的外接圆半径与边长相等；④正 边
形共有 条对称轴.其中真命题的个数是( )
C
A.4 B.3 C.2 D.1
【解析】 各边相等各角相等的多边形是正多边形，只有各边相等的多边
形不一定是正多边形，如菱形，故①是假命题；正三角形和正五边形都不
是中心对称图形，故②为假命题；在正六边形中，由外接圆半径与边长可
构成等边三角形，所以外接圆半径与边长相等，故③为真命题；根据轴对
称图形的定义和正多边形的特点，可知正 边形共有 条对称轴，故④为
真命题.
3.[2022广西北部湾经济区中考]如图，在 中，
， ，将 绕点 逆时针
旋转 ，得到 ，连接 并延长交 于点
，当 时，弧 的长是( )
B
A. B. C. D.
【解析】 根据旋转的性质可得， ，
， ， 四边形 是平行四边形，
，
， ，
， ，
， 弧 的长度为 .
4.[2022杭州中考]如图，已知 内接于半径为1的
， （ 是锐角），则 的面积的最
大值为( )
D
A. B.
C. D.
【解析】 如图，当 的高 经过 的圆心，即在 处时，
的面积最大.连接 ， ， ， .在 中， ， ，
， ，
， ， 的面
积的最大值
.
5.新趋势·数学文化[2023东营中考]“圆材埋壁”是我
国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今
有圆材，埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，
锯道长一尺.问：径几何？”转化为现在的数学语言
表达就是：如图， 为 的直径，弦
，垂足为 ， 寸， 寸，
则直径 的长度为____寸.
26
【解析】 如图，连接 ，设 的半径是
寸， 直径 ，
（寸） 寸，
寸. ，
， （负值已舍
去）， 直径 的长度为26寸．
6.[2022金华中考]如图，木工用角尺的短边紧靠
于点 ，长边与 相切于点 ，角尺的直角顶点
为 .已知 ， ，则 的半径
为_ __ .
【解析】 如图，连接 ， ，过点 作
于点 ， 长边与 相切于点 ， .
又 ， ， 四边形 为矩
形， ， .设
的半径为 ，则 ，
，在 中，
， ，解得 .
7.[2022德阳中考改编]如图，点 是 的内心，
的延长线和 的外接圆相交于点 ，与 相交于
点 ，给出下列结论： ；②若
，则 ；③若点 为 的
中点，则 ； .其中一定正确的
是__________.（填序号）
①②③④
【解析】 是 的内心， 平分 ，
，故①正确.如图，连接 ， ，
是 的内心， ，
，
，
，
故②正确.
， .连接 ， 点 为 的中点，
，且 经过点 ， ，故③正确. 平分
， ，
， ， ，
故④正确.故一定正确的结论是①②③④.
8.[2023怀化中考节选]如图， 是 的直径，
点 是 外一点， 与 相切于点 ，点
为 上的一点.连接 ， ， ，且
.
（1）求证： 为 的切线.
证明： 是 的切线， .如图，
连接 .
在 与 中，
， .
又 为 的半径， 是 的切线.
（2）延长 与 的延长线交于点 ，若 ， ，求
阴影部分的面积.
解： ， ， ，
.
， ， ， ，
.
9.新考法[2023河北中考]装有水的水
槽放置在水平台面上，其横截面是
以 为直径的半圆 ，
，如图1和图2所示，
为水面截线， 为台面截线，
．
计算 在图1中，已知 ，过点 作 于点 .
（1）求 的长．
解：如图，连接 ，则
.
点 为圆心， ， ，
（依据：垂径定理），
.
操作 将图1中的水槽沿 向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当 时停止滚动，如图2,其中，半圆的中点为 ， 与半圆的切点为 ，连接 交 于点 ．
探究 在图2中．
（2）操作后水面高度下降了多少？
与半圆 的切点为 （信息点），
（依据：圆的切线垂直于经过切点的半径）.
又 , .
， ， ,
操作后水面高度下降了 .
（3）连接 并延长交 于点 ，求线段 与 的长度，并比较大小．
， , .
半圆的中点为 （信息点）， ， ，
,
,
.
，
．
10.一题多解[2023嘉兴中考]已知， 是半径为1的 的弦， 的另一条弦 满足 ，且 于点 （其中点 在圆内，且 ， ）.
（1）在图1中用尺规作出弦 与点 .（不写作法，保留作图痕迹）
解：如图， ，点 即所求.
（2）连接 ，猜想：当弦 的长度发生变化时，线段 的长度是否
变化？若发生变化，说明理由；若不变，求出 的长度.
图1
图1
解：线段 的长度不变.
如图1，连接 并延长交 于点 ，连接
， ，过点 作 于点 ，
于点 ，则四边形 是矩形.
， ， ，
四边形 是正方形， ，
，即 ，
是等腰直角三角形， .
， .
是 的直径， ， ，
是等腰直角三角形， ，
，
线段 是定长，长度不发生变化，值为 .
图2
（3）如图2，延长 至点 ，使得
，连接 ， 的平分线
交 的延长线于点 ，点 为
的中点，连接 .若 ，求
证： .
证明：证法一 如图2，过点 作 于 点，
图2
， .
， , ，即 是 的中点，
.
平分 ，过点 作 于点 ， 于点 ，
， ，
， ， .
在 中，由内角和得 ， .
证法二 如图3，延长 , ，交点为 ，
， 点 为 的中点.
又 点 为 的中点， 是 的中位线，
， .
又 ， ， .
， .
又 ， ，
，即 .
作 的外接圆，延长 交外接圆于点 ，连接 ， ，
是 的平分线， ， .
， ， ， ，
， .
， ．
图3
（三）样本与总体
1.[2023双鸭山期末]下列说法正确的是( )
D
A.为了审核书稿中的错别字，采用抽样调查
B.为了解春节晩会的收视率，采用普查
C.环保部门为了解黄河某段水域的水污染情况，采用普查
D.为了解某校八年级（1）班学生的体重情况，采用普查
2.[2022晋州期中]某中学为了解本校2 250名学生对北京2022年冬奥会的吉
祥物“冰墩墩”和“雪容融”设计寓意的知晓情况，在学校随机调查了200名
学生，下列说法正确的是( )
C
A.每个学生是个体
B.200名学生是总体的一个样本
C.这2 250名学生对设计寓意的知晓情况的全体是总体
D.样本容量是2 250
【解析】 个体是每个学生对设计寓意的知晓情况，200名学生对设计寓意的知晓情况是总体的一个样本，样本容量是200，故选项A,B,D错误，选项C正确.
3.[2023荆州中考]某校为了解学生对A，B，C，D四类运动的参与情况，随
机调查了本校80名学生，让他们选择参与其中的一类，得到对应的人数分
别是30，20，18，12.若该校有800名学生，则估计有_____人参与A类运动.
300
【解析】 估计参与A类运动的有 （人）．
4.小张根据某媒体上报道的条形统计图（如图所示）
说：“ 年在我市的中学生艺术节上,参加合
唱比赛的人数比2021年激增…….”小张说的______
（填“对”或“不对”），理由是
____________________________________________
____________________________________________.
不对
他没有考虑实际的人数差， ，2022年人数与2021年人数只相差40，差距并不大
5.下表为某商场三个停车场的收费情况，如果李先生停车时长在
，你会为他推荐___停车场.（填“A”“B”或“C”）
停车场 收费标准
A 内5元/辆，超过 元/辆，超过半天20元/辆
B 内5元/辆， 后每 加1元/辆
C 内4元/辆， 后每 加3元/辆
B
【解析】 李先生停车时长在 时，A，B，C三个停车场的收
费如下表：
停车场 1. 2.
A 5元 10元
B 5元 6元 7元
C 7元 10元 13元 16元 19元
6.[2022重庆中考A卷]公司生产A，B两种型号的扫地机器人，为了解它们
的扫地质量，工作人员从某月生产的A，B型扫地机器人中各随机抽取10
台，在完全相同条件下试验，记录下它们除尘量的数据（单位： ），并
进行整理、描述和分析（除尘量用 表示，共分为三个等级：合格
，良好 ，优秀 ），下面给出了部分信息.
10台A型扫地机器人的除尘量：83，84，84，88，89，89，95，95，95，
98.
10台B型扫地机器人中“良好”等级包含的所有数据为：85，90，90，90，94.
抽取的A,B型扫地机器人除尘量统计表
型号 平均数 中位数 众数 方差 “优秀”等级所占百分比
A 90 89 26.6
B 90 90 30
抽取的B型扫地机器人除尘量扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题.
（1） ____， ____， ____；
95
90
20
【解析】 在83，84，84，88，89，89，95，95，95，98中，出现次数最
多的是95， 台B型扫地机器人中等级“良好”的有5台，占 ，
“优秀”等级所占的百分比为 ， “合格”等级占
， .把B型扫地机器人的除尘量从小到大
排列后，第5个和第6个数都是90， .
（2）这个月公司可生产B型扫地机器人共3 000台，估计该月B型扫地机器人“优秀”等级的台数；
该月B型扫地机器人“优秀”等级的台数约为 .
（3）根据以上数据，你认为该公司生产的哪种型号的扫地机器人扫地质量更好？请说明理由（写出一条理由即可）.
A型号的扫地机器人扫地质量更好.理由如下：
在平均除尘量都是 的情况下，A型号的扫地机器人除尘量的众数大于
B型号的扫地机器人除尘量的众数.（理由不唯一）
7.[2023临沂中考]某中学九年级共有600名学生，从中随机抽取了20名学生进行信息技术操作测试，测试成绩（单位：分）如下：
81 90 82 89 99 95 91 83 92 93
87 92 94 88 92 87 100 86 85 96
（1）请按组距为5将数据分组，列出频数分布表，画出频数分布直方图.
【解析】 解题思路：利用极差和组数算出组距、确定分点，列频数分布表，再将频数分布表中的数据用频数分布直方图表示出来.
解：将数据按从小到大的顺序排列：81，82，83，85，86，87，87，88，89，90，91，92，92，92，93，94，95，96，99，100.最大值是100，最小值为81，极差为 ，组距为5，则组数为4.列频数分布表如下：
成绩分组
划记 正一 正_____
频数 4 6 7 3
画频数分布直方图如下：
（2）①这组数据的中位数是_____；
90.5
【解析】 这组数据的中位数是 .
②分析数据分布的情况____________________________________________
______________.（写出一条即可）
测试成绩分布在 范围内的人数较多.（答案不唯一）
（3）若85分以上（不含85分）成绩为优秀等次，请预估该校九年级学生在同等难度的信息技术操作考试中达到优秀等次的人数.
估计该校九年级学生在同等难度的信息技术操作考试中达到优秀等次的人数为 ．
8.[2023日照中考]2023年3月22日至28日是第三十六届“中国水周”，某学校
组织开展主题为“节约用水，共护母亲河”的社会实践活动 小组在甲、
乙两个小区各随机抽取30户居民，统计其3月份用水量，分别将两个小区
居民的用水量 分为5组，第1组： .第2组： .第3
组： .第4组： .第5组： .并对数据进
行整理、描述和分析，得到如下信息.
信息一：
甲小区3月份用水量频数分布表
用水量 频数/户
4
9
10
5
2
信息二：甲、乙两小区3月份用水量数据的平均数和中位数如下.
甲小区 乙小区
平均数 9.0 9.1
中位数 9.2
信息三：乙小区3月份用水量在第3组的数据为9， ， ， ， ， ，10， ， ， .
根据以上信息，回答下列问题.
（1） ____；
9.1
【解析】 根据频数分布直方图可得，乙小区3月份用水量的中位数是第3组中第1个和第2个数的平均数， 乙小区3月份用水量的中位数是 ．
（2）在甲小区抽取的用户中，3月份用水量低于本小区平均用水量的户数所占的百分比为 ，在乙小区抽取的用户中，3月份用水量低于本小区平均用水量的户数所占的百分比为 ，比较 ， 的大小，并说明理由；
.理由如下：在甲小区抽取的用户中，3月份用水量的平均数为
，低于本小区平均用水量的户数为 ，故在甲小区抽取的用
户中，3月份用水量低于本小区平均用水量的户数所占百分比为
，即 .
在乙小区抽取的用户中，3月份用水量的平均数为 ，低于本小区平均
用水量的户数为 ，故在乙小区抽取的用户中，3月份用
水量低于本小区平均用水量的户数所占百分比为 ，
.
， ．
即
（3）若甲小区共有600户居民，乙小区共有750户居民，估计两个小区3月
份用水量不低于 的总户数；
甲小区3月份用水量不低于 的总户数为 ，
乙小区3月份用水量不低于 的总户数为 ，
则 .
即估计两个小区3月份用水量不低于 的总户数为90.
（4）因任务安排，需在B小组和C小组中各随机抽取1名同学加入A小组，已知B小组有3名男生和1名女生，C小组有2名男生和2名女生，请用列表或画树状图的方法，求抽取的两名同学都是男生的概率.
画树状图如下：
由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中抽取的两名同学都是男生的
结果有6种， 抽取的两名同学都是男生的概率为 ．
或列表如下：
B小组 C小组 男 男 男 女
男 （男，男） （男，男） （男，男） （女，男）
男 （男，男） （男，男） （男，男） （女，男）
女 （男，女） （男，女） （男，女） （女，女）
女 （男，女） （男，女） （男，女） （女，女）
由列表可知，共有16种等可能的结果，其中抽取的两名同学都是男生的结
果有6种， 抽取的两名同学都是男生的概率为 ．

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