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武汉市2024届高中毕业生四月调研考试
数学试卷
2024.4.24
本试题卷共4页，19题，全卷满分150分。考试用时120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
】,答题前，先将自已的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码
粘贴在答题卡上的捐定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2}铅笔把答题卡上对应题月的答豪标号涂
惑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效
3.非选择题的作答：月黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答題区域内。写在试卷、
草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效
4.考试结束后，诗将本试卷和答题卡-并上交
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1复数=4+i,则2
A.1
B.2
C.3
D.5
2.已知集合1=xlx2-2-3<0:,B=xx2-4x<0,x∈Z{.则A∩B=
A.2.3,4
B.1,2
C.0,1,2}
D.1,2,3
3.设m,n是两条不同的直线，心，B是两个不同的平M,则下列命题中下确的是
4.若a⊥B,m,则m1B
B.若化⊥B,mC,则m⊥B
C.若m,x: 上，则n⊥n
l).若m⊥，m∥，则nL
4.(2x-3)(x-1)3的展f式中含x项的系数为
4.-50
B.50
C.-10
D.10
5.记a=302,b=0.3-2,c=lou.03,则
在.a>h>
B.6>c>a
C.c>b>u
D.h>a>e
数学试卷第1页（共4页）
6.记等比数列{u}的前页和为S,若=8，S2=26,则S4=
A.1
B.2
c.3
D.4
7.点P是边长为1的六边形ACDF边上的动点，则P五·P吧的最大值为
A.2
B
.3
n号
8已知双曲线E:名-=1(@>0，b>0)的右焦点为，其东顶点分别为A,B,过少口
与x轴垂直的直线交双曲线E丁M,两点，设线段F的中点为P,若直线BP与直线
N的交点在y轴上，则双曲线E的腐心率为
.2
h.3
C.2
D.3
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分。
9.已知函数z)=in2x+sin(2x+).则
A.函数x-于)是奇函数
R.函数x+亞)是偶函数
C.f代x)的最大俏是3
D )在区间（石，7没）上单调递减
10.如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态。图{1)形成对称形态，
图(2)形成“石拖尾”形态，图(3)形成“左拖尾“形态，根据所给作出以下判断，正确
的是
(1)
(2)
〔3)
A.图(1)的平均数=中位数=众数
B.图(2)的平均数<众数<中位数
(.图(2)的众数中位数<平均数
D.图(3)的平均数<中位数<众数
Il.定义在R上的函数代x)与5(x)的导数分别为(x)和g'(x),若g(米)-八3-x)=2,
∫〔x)=‘(x-1),且g(-x+2)=-g(x+2),则下列说法定正确的是
生.g(x+2)为偶函数
B.'(x+2)为奇函数
221
C.函数f孔x)是周期函数
D.名()=0
数学试卷第2页（共4页）武汉市 2024 届高中毕业生四月调研考试
数学试卷参考答案及评分标准
选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D B C A D B C B BD ACD BCD
填空题：
125 3
12. 12 13. 13 14.
108
解答题：
15.（13分）解：
（1）由题意， cosC = cos A ，得：3sin BcosC sin AcosC = cos AsinC .
sinC 3sin B sin A
所以3sin BcosC = sin AcosC +cos AsinC = sin(A+C) .
又sin(A+C) = sin( B) = sin B，且sin B 0，所以cosC = 1 .
3
2 2 2
由sinC 0，故sinC = 1 cos C = . …………6分
3
（2） S = 1 absinC = 5 2 ，所以ab =15.
2
由余弦定理，c2 = a2 +b2 2abcosC = a2 +b2 10 .
又c2 = 6(a b)2 = 6(a2 +b2) 180 .
联立得：a2 +b2 = 34， c = 2 6 .
a + b = a
2 + b2 + 2ab = 8 .
所以 ABC的周长为a+b+ c =8+2 6 . …………13分
16.（15分）解：
（1）a = 1时， f (x) = ln x+ x+ x2 ， f '(x) = 1 +1+ 2x .
x
f '(1) = 4， f (1) = 2.
所求切线方程为 y = 4(x 1)+2，整理得： y = 4x 2 . …………5分
2
（2） f '(x) = 1 a + 2x = 2x ax +1 .
x x
因为 x 0，故a 0时， f '(x) 0 ， f (x)在 (0,+ )上递增.
当a 0时，对于 y = 2x2 ax+1 2， = a 8 .
若0 a 2 2 ，则 0，此时 f '(x) 0， f (x)在 (0,+ )上递增.
2
a 2 2 2x2
a a 8
若 ，令 ax+1= 0，得 x = 0 .
4
a a2 8 a + a2 8
0 x 时， f '(x) 0， f (x)递增； x 时， f '(x) 0 ， f (x)递增；
4 4
a a2 8 a + a2 8
x 时， f '(x) 0， f (x)递减；
4 4
综上所述：a 2 2 时， f (x)在 (0,+ )上递增；
a a2 8 a a2 8 a + a2 8
a 2 2时， f (x)在 (0, )上递增，在 ( , )上递减，
4 4 4
a + a2 8
在 ( ,+ )上递增， …………15分
4
{#{QQABCYIQogAIAIAAABhCUQVwCEIQkBEAACoGBAAIMAAByRFABAA=}#}
17.（15分）解：
2 2
（1）连接DA,EA，DA =1， AA = 2， DA A= 60 ， DE = 1 + 2 2 1 2 cos60 = 31 . 1 1
DA2 + DA 2 2 满足 1 = AA1 ，所以DA⊥ DA ，即1 DA⊥ AB .
平面 ABB A ⊥平面 ABC ，且交线为1 1 AB ，由DA⊥ AB，得DA⊥平面 ABC .
由 BC 平面 ABC ，得DA⊥ BC ，又DE ⊥ BC ，且DA DE = D，所以BC ⊥平面DAE .
由 AE 平面DAE，得BC ⊥ AE .
设 BE = t,CE = 3t，有BA2 t2 = AC2 (3t)2，解得： t =1.
所以BC = 4，满足BA2 + AC2 = BC2 ，即 AC ⊥ AB，所以 AC ⊥平面 ABB1A1 .
由 BB 平面 ABB1A1，得 AC ⊥ BB . …………8分 1 1
（2）以 A为坐标原点， AB, AC, AD 为 x, y, z轴的正方向建立空间直角坐标系.
3
D(0,0, 3)， E(3 , ,0)， A1( 1,0, 3)， 2 2
3
DA1 = ( 1,0,0)， EA
5
1 = ( , , 3) . 2 2
设平面DEA 的法向量n = (x, y, z) ， 1
n DA = 0
x = 0
1
由 ，即 3 ， 5
n EA = 0 x y + 3z = 01 2 2
取 z =1，得到平面PBD的一个法向量 n = (0, 2,1) .
又 BB1 = AA1 = ( 1,0, 3) ，
设直线BB1 与平面DEA 所成角的大小为1 ，
| n BB |
3 15则 sin =| cos n, BB1 |=
1 = = .
| n | | BB | 5 4 101
15
所以直线BB1 与平面DEA 所成角的正弦值为 . …………15分 1 10
18.（17分）解：
（1）设 A(x1, y . 1),B(x2, y2),P(xP , yP)
y = x2
2
由 ，得 y ' = 2x，所以 l1方程为： y = 2x1(x x1)+ y ，整理得： y = 2x1 1x x1 .
2
同理， l2 方程为： y = 2x2x x2 .
x + x
联立得： xP =
1 2 ， yP = x1x2 . 2
AB y = k(x 1)+ 2 x2 设直线 的方程为 ，与抛物线方程联立得： kx+ k 2 = 0
故 x1 + x2 = k ， x
k
，所以 x = ， ，有 .
1x2 = k 2 P yP = k 2 y2 P
= 2xP 2
所以点P 在定直线 y = 2x 2上. …………6分
{#{QQABCYIQogAIAIAAABhCUQVwCEIQkBEAACoGBAAIMAAByRFABAA=}#}
x x
（2）在 l1, l2 的方程中，令 y = 0，得M (
1 ,0), N ( 2 ,0) ，
2 2
所以 PMN 面积 S = 1 | MN | | yP |=
1 | (x1 x2 )x1x2 |= 2 . 2 4
故 (x x )21 2 (x1x
2
2 ) = 32，带入可得： (k
2 4k +8)(k2 4k +4) = 32 .
[(k 2)2 +8][(k 2)2 4]= 0，解得： k = 0或 k = 4.
所以点P 的坐标为 (0, 2)或 (2,2). …………11分
x
（3）抛物线焦点F (0, 1)，由M ( 1 ,0)得直线MF 斜率 k = 1 = 1 ，
4 2 MF 2x1 kMP
所以MF ⊥MP ，同理 NF ⊥ NP ，所以PF 是 PMN 外接圆的直径.
若点T 也在该圆上，则TF ⊥TP .
由 k 7TF = ，得直线TP的方程为： y =
4 (x 1)+ 2 .
4 7
又点 P 在定直线 y = 2x 2上，
联立两直线方程，解得点P 的坐标为 (16 ,14) . …………17分
9 9
19.（17分）解：
（1）P(X = k) = (1 p)k 1 p，
n
k 1
k(1 p) p = p[1+ 2(1 p)+3(1 p)2 + ...+ n(1 p)n 1]，
k=1
2
记 Sn =1+ 2(1 p) + 3(1 p) + ...+ n(1 p)
n 1
，
则 (1 p)Sn = (1 p) + 2(1 p)
2 + ...+ (n 1)(1 p)n 1 + n(1 p)n ，
相减得： pSn =1+ (1 p)+ (1 p)
2 + ...+ (1 p)n 1 n(1 p)n
1 (1 p)n 1 (1 p)n
= n(1 p)
n = n(1 p)n
1 (1 p) p
1 (1 p)n
由题意：E(X ) = lim( pSn ) = lim[ n(1 p)
n ] = 1 . …………5分
n→ n→ p p
（2）（i）E2 = (1 p) (E2 +1) + p
2 2+ p(1 p) (E2 + 2) .
1+ p
解得：E2 = . …………8分
p2
（ii）期待在E 次试验后，首次出现连续 (n 1)次成功，若下一次试验成功，则试验停止，此时试n 1
验次数为 (En 1 +1) ；若下一次试验失败，相当于重新试验，后续期望仍是 E ，此时总的试验次数为n
(En 1 +1+E . n )
即 En = p (En 1 +1)+ (1 p) (En 1 +1+E ). n
整理得：E = 1 (E 1 1 1n p n 1
+1) ，即En + = (E + ) . 1 p p n 1 1 p
所以E + 1n =
1 (E + 11 ) . 1 p pn 1 1 p
由（1）知E1 =
1 ，
p
1 pn
代入得：En = . …………17分
(1 p) pn
{#{QQABCYIQogAIAIAAABhCUQVwCEIQkBEAACoGBAAIMAAByRFABAA=}#}

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