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二次根式单元复习
知识点一：二次根式的概念
二次根式的定义：一般地，形如的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。
二次根式有意义的条件：被开方数（式）为非负数。
在二次根式中，
二次根式有意义的条件应用类型：
题型一：二次根式的概念
1.在式子，，，，，，，和中，是二次根式的有（ ）。
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
2.判断下列各式中哪些是二次根式？
题型二：二次根式有意义的条件
1.当是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
（1）；（2）；（3）；（4）
2.若在实数范围内有意义，则满足的条件是（ ）
3.代数式中的取值范围在数轴上表示为（ ）
4.式子在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 .
5.若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
6.使得式子有意义的的取值范围是（ ）
A.≥4 B.＞4 C.≤4 D.＜4
题型三：二次根式的双重非负性
1.已知与互为相反数，求的值。
若实数满足等式，且恰好是等腰三角形的两条边的长，则的周长是（ ）
A.12 B.10 C.8 D.6
若，则的值为（ ）
如果有意义，求代数式的值.
已知是实数，且，求.
已知实数满足，求的值.
知识点二：二次根式的性质
1.二次根式的性质
，即一个非负数的算术平方根是非负数。
，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身。
，即任意一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
与的区别与联系：
拓展公式：当时，有，例如.总之，
2.代数式的概念：用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数或表示数的字母连接起来的式子叫做代数式。如6，,,,,,d都是代数式。
题型一：二次根式性质的运用
计算
（2） （3） （4） （5）
二次根式化简
= = = =
= = =
= = = ==
如图，数轴上点表示的数为，化简：
下列各式正确的是（ ）
计算：
（2）
（3）
题型二：代数式
1.下列式子：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）-2.其中是代数式的有（ ）
A.4个 B.5个 C.6个 D.7个
题型三：分解因式
1.在实数范围内分解因式
（1） （2）
2.在实数范围内分解因式
（1） （2）
知识点三：二次根式的乘除
二次根式的乘法法则：
积的算术平方根的性质
积的算术平方根的性质：积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积。
用字母表示：
利用积的算术平方根的性质化简的步骤：
被开方数进行因数分解或因式分解；
利用和，将能开得尽方的因数或因式开到根号外。
二次根式的除法
二次根式的除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。
用字母表示：
拓展：
商的算术平方根的性质
商的算术平方根：等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。
用字母表示：
最简二次根式：
被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式。
把一个二次根式化成最简二次根式的一般方法：
题型一：最简二次根式
1.化成最简二次根式
（1）；（2）；（3）；（4）
2.在下列根式中，不是最简二次根式的是（ ）
3.若，把化成最简二次根式为（ ）
4.把二次根式根号外的因式移入根号内为（ ）
5.将下列各式分母中的根号或根号内的分母去掉。
题型二：二次根式乘法
计算：
； （2）； （3）.
； （5）； （6）；
（7）； （8）.
题型三：二次根式除法
计算：
； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）；
（7）； （8）.
题型四：二次根式乘除混合运算
1.计算：
； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）；
（7）； （8）
（9）； （10）
； （12）.
2.下面计算正确的是（ ）
3.计算的结果是（ ）
4.使等式成立的的取值范围在数轴上可表示为（ ）
5.下列各式计算正确的是（ ）
6.比较下列各组数的大小。
7.计算：
知识点四：二次根式的加减
可以合并的二次根式：
被开方数相同的二次根式：将几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，则这样的二次根式可以合并，一般也称这些二次根式为同类二次根式。
合并的方法：与合并同类项类似，把根号外的因数（式）相加减，根指数与被开方数不变。依据：分配律（，其中）
二次根式的加减
化成最简二次根式；
找出被开方数相同的二次根式；
合并被开方数相同的二次根式——将系数相加减仍作为系数，根指数与被开方数保持不变.
二次根式的混合运算
二次根式的混合运算：实质上就是有理数与无理数的混合运算，是二次根式加、减、乘、除、乘方、开方运算法则的综合运用。
二次根式的混合运算顺序：先乘方、再乘除、最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号），与整时的混合运算顺序相同。
二次根式的混合运算律：实数运算中的运算律（交换律、结合律、分配律）和整式乘法中的乘法公式（平方差公式、完全平方公式）在二次根式的运算中仍然适用。
题型一：同类二次根式
1.下列各式中，能与合并的是（ ）
B. C. D.
与最简二次根式能合并，则= .
3.若两个最简二次根式可以合并，求和的值。
4.已知最简二次根式能够合并，求（1）的值；（2）的值。
题型二：二次根式加减
1.计算：
（4）
（5） （6）
（7） （8）
（9） （10）
2.下列四个运算中，只有一个是正确的，这个正确的序号是（ ）
3.计算的结果是（ ）
题型三：二次根式混合运算
计算
（5） （6）
（7） （8）
（10）
计算：
估计的运算结果应在（ ）
计算：
（2）
（4）
乘法公式在二次根式运算中的应用
题型四：二次根式化简求值
1.先化简，再求值：，其中
2.先化简，再求值：
3.已知求的值。
4.已知,,求的值；
5.已知，求的值.
巩固提高——计算专练
1、． 2、
3、÷ 4、
5、 6、
7、 8、．
9、（2﹣1）（2+1）﹣（1﹣2）2． 10、
11、 12、
13、 14、
15、 16、
17、 18、；
19、； 20、；
21、 22、
23、＋ 24、
25、 26、+
28、
29、 30、+．

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