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勾股定理
知识点一：勾股定理的概念
要点一、勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么.
要点诠释：理解勾股定理的一些变式：
，， .
要点二、勾股定理的作用
已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；
用于解决带有平方关系的证明问题；
利用勾股定理，作出长为的线段.
题型一：勾股定理的概念
1.在Rt△ABC中，分别为∠A，∠B，∠C的对边的长，若∠C=90°，=1，=，则的值为（ ）
A. B. C. D.
2.一个直角三角形的两边长分别为3，4，则该直角三角形的第三边的长为（ ）
A.5 B. C.25 D.5或
3.如图，求图中各直角三角形中未知边的长.
图①中，= ；
图②中，= ；
图③中，= .
4.在等腰三角形ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，则BC边上的高是 cm.
5.如图，在△ABC中，∠C=30°，∠BAC=105°.若AC=2cm，求BC的长.
6.（1）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=3，则AB +BC +AC = ；
（2）在平面直角坐标系中，点P（—2，3）到原点的距离是 ；
（3）点M在平面直角坐标系的第二象限内，=2.5，且点到轴的距离为1.5，则点的坐标为 .
7.如图，根据图中的数据进行计算，AB= .
8.已知直角三角形的两条直角边长的和为6cm，面积为cm ,则这个直角三角形的斜边长为 .
9.如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN的值为 .
（第9题） （第10题）
10.如图，在锐角三角形ABC中，高AD=12，边AC=13，BC=14，求AB的长.
题型二：勾股定理在实际生活中的运用
1.如图是修铁路需凿通的隧道AC，测得∠B=16°，∠A=74°，AB≈500m，BC≈480m.若每天凿隧道10m，则把隧道凿通约需（ ）
A.10天 B.12天 C.14天 D.16天
2.《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一.在”勾股“章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折着高几何？”翻译成数学问题：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC+AB=10，BC=3，求AC的长.如果设AC=，那么可列方程为 .
（第2题） （第3题）
3.如图，某人要横渡一条宽480m的河，由于受水流影响，实际上岸地点C偏离欲要到达的地点B 200m，则他在河中实际游了 m.
4.如图，在一次课外实践活动中，同学们要测量某公园人工湖两侧A，B两个凉亭之间的距离.已测得AC=30m，BC=70m，∠CAB=120°，求A，B两个凉亭之间的距离.
5.如图是两棵树，一棵高12m，另一棵高6m，两树相距8m.一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，小鸟至少需要飞行 m.
（第5题） （第6题）
6.如图，学校内有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”.他们仅仅少走了 步路（假设2步为1m），却踩伤了花草.
7.某小区内有一块如图所示的三角形空地ABC，现计划将这块空地建成一个花园，以美化小区环境.预计花园每平方米造价25元，小区修建这个花园大概需要多少元？
题型三：勾股定理作图与计算
1.如图，长方形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径画弧，交数轴的正半轴于点M，，则点M在数轴上所对应的数为（ ）
2.如图，在数轴上找出表示和的点（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）.
3.如图，O为数轴原点，A，B两点分别对应—3，3，作腰长为4的等腰三角形ABC，连接OC，以点O为圆心，OC的长为半径画弧，交数轴的正半轴于点M，则点M对应的实数为 .
知识点二：勾股定理逆定理
要点一、勾股定理的逆定理
如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.
要点诠释：勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.
要点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形
首先确定最大边（如）.
验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形.
要点诠释：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.
要点三、勾股数
满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.
熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：　
3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……
题型一：勾股定理的逆定理及应用
下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A.1，2，3 B.4，5，6 C.9，12，15 D.1，，
已知三角形的两边长分别为6和8，当第三边的长为 时，此三角形是直角三角形.
如图，点A，B，C在格点上，若小正方形的边长均为1，试判断△ABC的形状，并说明理由.
如图，在△ABC中，D是BC上的一点，AB=15，AD=12，AC=13，BD=9.求△ABC的面积.
已知一个三角形的三边长分别为，和2，则这个三角形的面积为 .
一个三角形的三边长分别为15cm，20cm，25cm，则这个三角形最长边上的高是 cm.
如图，在四边形ABCD中，AB=5，BC=3，CD=6，AD=，若AC⊥BC，求证;AD∥BC.
题型二：勾股定理及其逆定理的综合应用
张大伯家的三角形菜地的三边长分别为7m，24m，25m，则这块菜地的面积为（ ）
A.87.5 m B.300m C.168m D.84m
木工师傅测量了一块等腰三角形木板的腰、底边和底边上的高，但他把这三个数据与其他数据弄混了，请你帮助他找出来，这组数据是（ ）
A.13，12，12 B.12，12，8 C.13，10，12 D.5，8，4
现有四根铁管，它们的长度依次是m，m，4m，m，从中选取三根，焊接成一个直角三角形，则舍弃的铁管的长度是 .
如图，A，B，C三个村庄之间的距离分别为AB=5千米，BC=12千米，AC=13千米，要从村庄B修一条公路BD直达AC，且公路的造价为26000元/千米.求修这条公路的最低造价.
把一根长为112cm的铁丝，从一端起顺次截下长为14cm，48cm的两根铁丝，用这两根铁丝和剩下的铁丝围成的三角形的面积是 cm .
如图，小娟的爸爸在一块四边形土地上种了一些蔬菜，爸爸让小娟计算一下土地的面积，以便计算产量，小娟找了一卷米尺，测得AB=4m，BC=3m，CD=13m，DA=12m.已知∠B=90°，则这块土地的面积为 m .
如图，在四边形ABCD中，AB⊥AD，AB=AD=，CD=3，BC=5.求∠ADC的度数.

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