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福建省福州晋安区2023-2024学年七年级下学期期中数学试题
（完卷时间：120分钟 满分：160分）
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 下列命题中，是假命题的是（　　　）
A. 对顶角相等 B. 同旁内角互补，两直线平行
C. 两点之间线段最短 D. 内错角相等
2. 下列数据不能确定物体位置的是（ ）
A. 6楼7号 B. 北偏东
C. 龙华路25号 D. 东经、北纬
3. 在（相邻两个1之间0个数逐次加1）中，无理数的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 如图，能判定AD∥BC条件是（ ）
A ∠3＝∠2 B. ∠1＝∠2 C. ∠B＝∠D D. ∠B＝∠1
5. 我国古典数学文献增删算法统宗六均输中这样一道题：甲、乙两人一同放牧，两人暗地里数羊，如果乙给甲只羊，则甲的羊数为乙的两倍；如果甲给乙只羊，则两人的羊数相同，设甲有羊只，乙有羊只，根据题意，可列方程组为（　　　）
A. B.
C. D.
6. 在平面直角坐标系中，点（）所在的象限是（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
7. 如图，是我们学过的用直尺和三角尺画平行线的方法示意图，画图的原理是（ ）
A. 同位角相等，两直线平行 B. 内错角相等，两直线平行
C 两直线平行，同位角相等 D. 两直线平行，内错角相等
8. 如图，直径为1个单位长度的圆从A点沿数轴向右滚动（无滑动）一周到达点B，则点表示的数是（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，将沿BC方向平移3cm得到，若的周长为24cm，则四边形ABFD的周长为（ ）
A. 30cm B. 24cm C. 27cm D. 33cm
10. 如图，在平面直角坐标系中，点M从原点0出发，按图中箭头所示的方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，第4次接着运动到点，第5次接着运动到点，第6次接着运动到点按这样的运动规律，经过2024次运动后，点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）
11. 把方程写成用含的代数式表示的形式___________．
12. 4的平方根是_______．
13. 点A(2， 1)到x轴的距离是_______．
14. 已知、为两个连续的整数，且，则=________．
15. 若是二元一次方程的一个解，则的值是___________．
16. 如图，，平分，，下列结论：①；②；③；④若，则，其中结论正确是_________（填序号）
三、解答题（本题共9小题，满分86分）
17. 计算与化简：
（1）
（2）
18. 求下列各式中的值：
（1）
（2）
19. 解方程组：
（1）
（2）
20. 如图，点D，E分别在上，，．
求证：．请你将证明过程补充完整：
证明：
___________（___________）
（已知）
___________（等量代换）．
（___________）
21. 已知：如图，．平分．
（1）求证：；
（2）求的度数．
22. 按要求画图及填空：
在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示平面直角坐标系，原点O及的顶点都在格点上．
（1）点A的坐标为______．
（2）将先向下平移2个单位长度，再向右平移5个单位长度得到，画出．
（3）计算的面积．
23. 当a，b都是实数，且满足，就称点为“奇点”．
（1）判断点是否为“奇点”．
（2）已知关于x，y的方程组，当为何值时，以方程组的解为坐标的点是“奇点”，请说明理由．
24. 如图，在平面直角坐标系中，点，且a，b满足，将线段向右平移至线段，A与对应，与对应，其中点B落在轴正半轴上．
（1）求出点B、C的坐标；
（2）若，，．
①求证：；
②求点D的坐标；
25. 如图1，点是直线上一点，是直线上一点，是直线之间的一点，．
（1）求证：；
（2）如图2，作与的角平分线交于点．若，求的度数；
（3）如图3，平分平分，已知，则_____________（直接写出结果）．福建省福州晋安区2023-2024学年七年级下学期期中数学试题
（完卷时间：120分钟 满分：160分）
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 下列命题中，是假命题的是（　　　）
A. 对顶角相等 B. 同旁内角互补，两直线平行
C. 两点之间线段最短 D. 内错角相等
【答案】D
【解析】
【分析】利用对顶角的性质、平行线的性质等知识分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A. 对顶角相等，是真命题；
B. 同旁内角互补，两直线平行，是真命题；
C. 两点之间线段最短，是真命题；
D. 两直线平行，内错角相等，∴原命题是假命题
故选：D
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解对顶角的性质、平行线的性质等知识，属于基础知识，难度不大．
2. 下列数据不能确定物体位置的是（ ）
A. 6楼7号 B. 北偏东
C. 龙华路25号 D. 东经、北纬
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查位置的确定，根据两个条件确定一个位置，进行判断即可．
【详解】解：选项A、C、D，都能根据给出的数据找到确切的位置，只有B选项，只能确定具体的方向，而距离不确定，不能确定物体位置．
故选B．
3. 在（相邻两个1之间0的个数逐次加1）中，无理数的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如（每两个8之间依次多1个0）等形式．分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
【详解】解：（相邻两个1之间0的个数逐次加1）中，
（相邻两个1之间0的个数逐次加1）是无理数，
故选：B．
4. 如图，能判定AD∥BC的条件是（ ）
A. ∠3＝∠2 B. ∠1＝∠2 C. ∠B＝∠D D. ∠B＝∠1
【答案】D
【解析】
【详解】【分析】根据平行线的判定定理逐项进行判断即可得.
【详解】A、∠3=∠2可知AB∥CD，不能判断AD∥BC，故A错误；
B、∠1=∠2不能判断AD∥BC，故B错误；
C、∠B=∠D不能判断AD∥BC，故C错误；
D、当∠B=∠1时，由同位角相等，两直线平行可知AD∥BC，故D正确，
故选D．
【点睛】本题主要考查的是平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．
5. 我国古典数学文献增删算法统宗六均输中这样一道题：甲、乙两人一同放牧，两人暗地里数羊，如果乙给甲只羊，则甲的羊数为乙的两倍；如果甲给乙只羊，则两人的羊数相同，设甲有羊只，乙有羊只，根据题意，可列方程组为（　　　）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据乙给甲只羊，则甲的羊数为乙的两倍可得：甲的羊数乙的羊数；如果甲给乙只羊，则两人的羊数相同可得等量关系：甲的羊数乙的羊数，进而可得方程组．
详解】解：设甲有羊只，乙有羊只，
根据题意得：，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
6. 在平面直角坐标系中，点（）所在的象限是（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查象限中各点的坐标特征，涉及平方的非负性等知识，判断所给点横、纵坐标符号，由象限中各点的坐标特征直接判断即可得到答案，熟记象限中各点的坐标特征是解决问题的关键．
【详解】解：，
∴，
∴，
∴点的横坐标为负，纵坐标为负，点在第三象限，
故选：C．
7. 如图，是我们学过的用直尺和三角尺画平行线的方法示意图，画图的原理是（ ）
A. 同位角相等，两直线平行 B. 内错角相等，两直线平行
C. 两直线平行，同位角相等 D. 两直线平行，内错角相等
【答案】A
【解析】
【分析】由已知可知∠DPF=∠BAF，从而得出同位角相等，两直线平行．
【详解】∵∠DPF=∠BAF，
∴AB∥PD（同位角相等，两直线平行）．
故选A．
【点睛】此题主要考查了基本作图与平行线的判定，正确理解题目的含义是解决本题的关键．
8. 如图，直径为1个单位长度圆从A点沿数轴向右滚动（无滑动）一周到达点B，则点表示的数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了实数与数轴，根据实数的运算，点表示的数加一个圆周，可得B点表示的数，理解点表示的数加一个圆周，可得B点表示的数是解题的关键．
【详解】解：，
∴点表示的数是，
故选：D．
9. 如图，将沿BC方向平移3cm得到，若的周长为24cm，则四边形ABFD的周长为（ ）
A. 30cm B. 24cm C. 27cm D. 33cm
【答案】A
【解析】
【分析】根据平移的性质可得DF=AC，再求出四边形ABFD的周长等于△ABC的周长加上AD与CF，然后计算即可得解．
【详解】解：∵△ABC沿BC方向平移3cm得到△DEF，
∴DF=AC，AD=CF=3cm，
∴
=30（cm）
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等，确定出四边形的周长与△ABC的周长的关系是解题的关键．
10. 如图，在平面直角坐标系中，点M从原点0出发，按图中箭头所示的方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，第4次接着运动到点，第5次接着运动到点，第6次接着运动到点按这样的运动规律，经过2024次运动后，点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了点的坐标系变化规律，总结归纳出坐标变换规律是解题关键．
由点的坐标变化得，坐标变化满足每5次一循环，探究出纵坐标为，然后再探究其横坐标，为即可．
【详解】解：由图得，点的坐标变化规律是先沿边长为2的等边三角形的边运动，
再沿边长为2的正方形的边运动，
点的纵坐标变化满足运动5次一循环，
．
即点的2023次运动与第3次运动后的纵坐标相同，
第3次坐标，即
第8次坐标，即
第13次坐标，即
第次坐标为，
令，解得，
第2023次坐标为，即．
故选：A．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）
11. 把方程写成用含的代数式表示的形式___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查二元一次方程的变形，掌握方程的移项法则，是解题的关键．把原方程含x的项移到右边，即可．
【详解】解：，
移项得：，
故答案是：．
12. 4的平方根是_______．
【答案】±2
【解析】
【详解】解：∵，
∴4的平方根是±2．
故答案为±2．
13. 点A(2， 1)到x轴的距离是_______．
【答案】1
【解析】
【分析】平面内一点到x轴的距离是它的纵坐标的绝对值，据此即可求解．
【详解】解：点A（2，-1）到x轴的距离是1．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了平面内的点到坐标轴的距离和点的坐标的关系．注意：平面内一点到x轴的距离是它的纵坐标的绝对值，到y轴的距离是它的横坐标的绝对值．
14. 已知、为两个连续的整数，且，则=________．
【答案】11
【解析】
【分析】根据无理数的性质，得出接近无理数的整数，即可得出a，b的值，即可得出答案．
【详解】解：∵a＜＜b，a、b为两个连续的整数，
∴，
∴a＝5，b＝6，
∴a＋b＝11.
故答案为：11.
【点睛】本题考查的是估算无理数的大小，熟练掌握无理数是解题的关键.
15. 若是二元一次方程的一个解，则的值是___________．
【答案】0
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程的解，掌握方程解的定义是解题的关键．根据方程的解满足方程，把解代入方程，可得关于的方程，代入代数式可得答案．
【详解】解：∵是二元一次方程的一个解，
∴代入得：，
∴，
故答案为：0．
16. 如图，，平分，，下列结论：①；②；③；④若，则，其中结论正确的是_________（填序号）
【答案】①②④
【解析】
【分析】由，可得，根据，可得，再根据平行线的性质以及角的和差关系进行计算，即可得出正确结论．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，故①正确；
∴，
∴，，
∴，
又∵平分，
∴，即，故②正确；
∵与不一定相等，
∴不一定成立，故③错误；
∵
，
∴为定值，故④正确．
综上所述，正确的选项①②④，
故答案为：①②④．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解题的关键是注意：两直线平行，内错角相等．
三、解答题（本题共9小题，满分86分）
17. 计算与化简：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的运算：
（1）先计算立方根，算术平方根和乘方，再计算加减法即可得到答案；
（2）先去绝对值和计算立方根，再计算加减法即可得到答案．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
18. 求下列各式中的值：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了利用平方根和立方根的定义解方程，熟练掌握平方根和立方根的定义是解题的关键.
（1）整理后利用平方根的定义解方程即可；
（2）移项后利用立方根的定义解方程即可.
【小问1详解】
解：原方程即为：，
所以，
所以；
【小问2详解】
解：原方程即为：，
所以，
所以
19. 解方程组：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，根据方程的特点选取适当消元方法是解题的关键．
（1）利用代入消元法，将方程①代入②，得，解得的值，进而求得的值即可；
（2）利用加减消元法，将方程，得，然后将代入②，得，求得y的值即可．
【小问1详解】
解：
将①代入②，得，
解得，
将代入①，得，
∴原方程组的解为；
【小问2详解】
解：
，得，
将代入②，得，
解得，
∴原方程组的解为．
20. 如图，点D，E分别在上，，．
求证：．请你将证明过程补充完整：
证明：
___________（___________）
（已知）
___________（等量代换）．
（___________）
【答案】；两直线平行，内错角相等；；同位角相等，两直线平行
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，由平行线的性质得到，等量代换可得，根据平行线的判定问题得证．
【详解】证明：
（两直线平行，内错角相等）
（已知）
（等量代换）．
（同位角相等，两直线平行），
故答案为：；两直线平行，内错角相等；；同位角相等，两直线平行．
21. 已知：如图，．平分．
（1）求证：；
（2）求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）证明，即可得出结论；
（2）根据平行线的性质，求出，再根据角平分线的定义即可求解．
【详解】解：（1）证明:，
，
；
（2）由（1）得，
，
平分，
．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，解题的关键是根据图形特点合理选择平行线的判定与性质定理．
22. 按要求画图及填空：
在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示平面直角坐标系，原点O及的顶点都在格点上．
（1）点A的坐标为______．
（2）将先向下平移2个单位长度，再向右平移5个单位长度得到，画出．
（3）计算的面积．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）5.5
【解析】
【分析】本题考查作图平移变换，三角形的面积等知识；
（1）根据点的位置写出坐标即可．
（2）根据平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
（3）利用分割法求面积即可．
小问1详解】
如图，．
故答案为：．
【小问2详解】
如图，即为所求．
【小问3详解】
．
23. 当a，b都是实数，且满足，就称点为“奇点”．
（1）判断点是否为“奇点”．
（2）已知关于x，y的方程组，当为何值时，以方程组的解为坐标的点是“奇点”，请说明理由．
【答案】（1）点是“奇点”
（2）当时，以方程组的解为坐标的点是“奇点”，理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，新定义：
（1）直接根据新定义计算求解即可；
（2）先解方程组得到，进而得到，再根据新定义得到，即，解之即可得到答案．
【小问1详解】
解：，
∴点是“奇点”；
【小问2详解】
解：当时，以方程组的解为坐标的点是“奇点”，理由如下：
解方程组得，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴当时，以方程组的解为坐标的点是“奇点”．
24. 如图，在平面直角坐标系中，点，且a，b满足，将线段向右平移至线段，A与对应，与对应，其中点B落在轴正半轴上．
（1）求出点B、C坐标；
（2）若，，．
①求证：；
②求点D的坐标；
【答案】（1）
（2）①见解析；②
【解析】
【分析】（1）根据非负数性质求出a、b值，从而得点A坐标，再由平移性质求解即可．
（2）①先证明，再由，可证明，从而得结论；②根据，即，求出，即可求解．
【小问1详解】
解：
，
，，
由平移的性质可得：
，．
【小问2详解】
解：①，，
，
，
，
，
，
②由①得：，
，
解得：，
．
【点睛】本题考查平面直角坐标系，非负数性质，平移的性质，三角形的面积．熟练掌握平移的性质和非负数性质是解题的关键．
25. 如图1，点是直线上一点，是直线上一点，是直线之间的一点，．
（1）求证：；
（2）如图2，作与的角平分线交于点．若，求的度数；
（3）如图3，平分平分，已知，则_____________（直接写出结果）．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟知平行线的性质是解题的关键．
（1）作，根据平行线的性质得到，再由，即可证明；
（2）过B点作，过F点作，先证明，，再根据平行线的性质即可求解；
（3）根据已知条件可导出，变形即可求得的值．
【小问1详解】
证明：如图，作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【小问2详解】
解：如图，过B点作，过F点作，
则，
∴，，
∵，是的角平分线，
∴，，，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
即的度数为；
【小问3详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，平分，，
∴，
∴．
故答案为：．

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