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第4章 因式分解单元测试卷B
【北师大版】
姓名：___________班级：___________考号：___________
考试时间：120分钟 满分：120分 考试范围：因式分解
注意事项：
1.考生先将自己的班级、学号、姓名填写清楚。
2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5mm黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卷面清洁，不折叠、不破损。
5.正确填涂
第Ⅰ卷（选择题共30分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.）
1．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：、，不属于因式分解，不符合题意；
、是完全平方公式运算，不属于因式分解，不符合题意；
、，属于因式分解，符合题意；
、分解不完全，不符合题意；
故选：．
2．下列各式中，多项式的因式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】∵，
∴多项式的因式是或，
故选：C．
3．将多项式提公因式后，另一个因式为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：
，
∴公因式是，另一个因式为．
故选：B
4．若，则表示的代数式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：
故选：C
5．若的结果为整数，则整数n的值不可能是（ ）
A．44 B．55 C．66 D．77
【答案】D
【详解】解：，
A、，是的因子，可使结果为整数，不符合题意，
B、，是的因子，可使结果为整数，不符合题意，
C、，是的因子，可使结果为整数，不符合题意，
D、，不是的因子，不可使结果为整数，符合题意，
故选：D．
6．如图，小明在学习因式分解时，从不同角度分别表示大矩形的面积，再根据面积相等将多项式因式分解成．这种方法体现的数学思想是（ ）
A．数形结合 B．分类讨论 C．公理化 D．由一般到特殊
【答案】A
【详解】解：根据图形面积的两种不同的表示方式得出等式，从而推导出，属于数形结合思想．
故选A．
7．若且，则的值是（ ）
A．12 B．24 C．6 D．14
【答案】C
【详解】解：∵，
∴，
∴；
故选C．
8．对于任何整数，多项式都能（ ）
A．被9整除 B．被a整除 C．被整除 D．被整除
【答案】C
【详解】解：原式，
则对于任何整数a，多项式都能被整除．
故选：C．
9．已知，记，则（ ）
A． B．
C． D．不能确定，M的值与a，b，c的大小有关
【答案】A
【详解】
证明设．
(1)若，则M随a的值增加而增加．
由有，
所以，
即．
(2)若，则M随a的值增加而减少．
由有，
即．
(3)若，则，显然，
综上所述，．
故选：A．
10．已知，，，则代数式的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【详解】解：∵，，，
∴，，，
∴
，
故选：D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
填空题（共8小题，满分24分，每小题3分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。）
11．因式分解： ．
【答案】
【详解】解：
，
故答案为：
12．若a，b，c是的三边，且满足，则是 三角形．
【答案】等腰
【详解】解：为等腰三角形，理由如下：
，，分别为的三边，
，即，
已知等式整理得：，
分解因式得：，即，
，即，
则为等腰三角形．
故答案为：等腰．
13．图1为某校八(1)(2)两个班级的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为、的正方形，其中重叠部分为池塘，阴影部分、分别表示八(1)(2)两个班级的基地面积．若，，则 ．
【答案】
【详解】解：根据题意，得，，
∴
，
∵，，
∴．
故答案为：．
14．已知，则 ．
【答案】
【详解】解：
当时，
，
原式
，
故答案为：．
15．给多项式加上一个单项式，使其成为一个完全平方式，则加上的单项式是 ．
【答案】（答案不唯一）
【详解】解：，
加上的单项式可以是：，
故答案为：（答案不唯一）．
16．若，，则 ．
【答案】15
【详解】∵，，
∴
．
故答案为：15．
17．已知实数满足，则 ．
【答案】
【详解】解：∵，
∴，
当时，显然成立，
当时，则，没有意义，
∴，
∴．
故答案为：．
18．如图，将长方形纸片沿折叠，使点A落在边上点处，点D的对应点为，连接交边于点E，连接，若，，点为的中点，则线段的长为 ．

【答案】
【详解】如图，连接，
折叠
，，
四边形是长方形，，，
，，
设
则
是的中点，
在中，
在中，
即
解得
，
又∵
设
在中
即①
又
②
由①可得③
将②代入③得④
②-④得
解得
即
故答案为：．
三、解答题（本大题共6个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．因式分解：
(1)；
(2)．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
20．发现：如果两个连续的正整数的和可以表示成某一个正整数的平方，那么以这三个正整数为边长的三角形是直角三角形．
验证：
如：，请判断以40、41和9为边长的三角形是否为直角三角形？说明理由；
探究
设两个连续的正整数m和的和可以表示成正整数，请论证“发现”中的结论正确．
【答案】验证：以40、41和9为边长的三角形是直角三角形，见解析；探究：见解析
【详解】解：验证：以40、41和9为边长的三角形是直角三角形，
理由：，，
即，
以40、41和9为边长的三角形是直角三角形；
探究：由题意，，
，
，
以m、和n为边长的三角形是直角三角形，
“发现”中的结论正确．
21．如图，约定：上方相邻两整式之和等于这两个整式下方箭头共同指向的整式．
(1)求整式P．
(2)将整式因式分解．
(3)的最小值为______．
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）解：
．
（2）
（3），
，
当时，的最小值为
22．已知，，求下列各式的值．
(1)；
(2)．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）原式．
将，代入，得
原式．
（2）原式．
将，代入，得
原式．
23．阅读材料：
利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解例如：
．
根据以上材料，解答下列问题．
(1)分解因式（利用公式法）：；
(2)求多项式的最小值；
(3)已知a，b，c是的三边长，且满足，求的周长．
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）解：
；
（2）解：，
∵，
∴，
∴多项式的最小值为；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，，
∴，，，
∵，
∴的周长为．
24．某校举办“迎冬奥会“学生书画展览，现要在长方形展厅中划出3个形状、大小完全一样的小长方形(图中阴影部分)区域摆放作品．
(1)如图1，若大长方形的长和宽分别为45米和30米，设小长方形的长为x，宽为y，求出x和y的值．
(2)如图2，若大长方形的长和宽分别为a和b．
①求出1个小长方形周长与大长方形周长之比；
②若作品展览区域(阴影部分)面积占展厅面积的 ，求x和y的数量关系．
【答案】(1)
(2)①1个小长方形周长与大长方形周长之比是；②
【详解】（1）解：根据题意得
，
解得 ；
（2）①
①+②，得
，
∴
∴1个小长方形周长与大长方形周长之比是
即1个小长方形周长与大长方形周长之比是；
②∵作品展览区域(阴影部分)面积占展厅面积的
∴，
∴，
∴，
化简，得，
∴，
∴．
25．【阅读材料】配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题．
定义：若一个整数能表示成（，为整数）的形式，则称这个数为“完美数”
例如，5是“完美数”，理由：因为．所以5是“完美数”
(1)解决问题：已知29是“完美数”，请将它写成（，为整数）的形式；
(2)解决问题：若可配方成（、为常数），求的值；
(3)解决问题：已知（，是整数，是常数），要使为“完美数”，试写出的值，并说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)，理由见解析
【详解】（1）解：，
∴；
（2）∵
，
又∵，
∴，，
∴；
（3）当时，S是完美数，
理由如下：
，
，
∵x，y是整数，
∴，也是整数，
∵S是一个“完美数”，
∴，
∴．
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第4章 因式分解单元测试卷B
【北师大版】
姓名：___________班级：___________考号：___________
考试时间：120分钟 满分：120分 考试范围：因式分解
注意事项：
1.考生先将自己的班级、学号、姓名填写清楚。
2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5mm黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卷面清洁，不折叠、不破损。
5.正确填涂
第Ⅰ卷（选择题共30分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.）
1．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列各式中，多项式的因式是（ ）
A． B． C． D．
3．将多项式提公因式后，另一个因式为（　　）
A． B． C． D．
4．若，则表示的代数式是（ ）
A． B． C． D．
5．若的结果为整数，则整数n的值不可能是（ ）
A．44 B．55 C．66 D．77
6．如图，小明在学习因式分解时，从不同角度分别表示大矩形的面积，再根据面积相等将多项式因式分解成．这种方法体现的数学思想是（ ）
A．数形结合 B．分类讨论 C．公理化 D．由一般到特殊
7．若且，则的值是（ ）
A．12 B．24 C．6 D．14
8．对于任何整数，多项式都能（ ）
A．被9整除 B．被a整除 C．被整除 D．被整除
9．已知，记，则（ ）
A． B．
C． D．不能确定，M的值与a，b，c的大小有关
10．已知，，，则代数式的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
填空题（共8小题，满分24分，每小题3分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。）
11．因式分解： ．
12．若a，b，c是的三边，且满足，则是 三角形．
13．图1为某校八(1)(2)两个班级的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为、的正方形，其中重叠部分为池塘，阴影部分、分别表示八(1)(2)两个班级的基地面积．若，，则 ．
14．已知，则 ．
15．给多项式加上一个单项式，使其成为一个完全平方式，则加上的单项式是 ．
16．若，，则 ．
17．已知实数满足，则 ．
18．如图，将长方形纸片沿折叠，使点A落在边上点处，点D的对应点为，连接交边于点E，连接，若，，点为的中点，则线段的长为 ．

三、解答题（本大题共6个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．因式分解：
(1)；
(2)．
20．发现：如果两个连续的正整数的和可以表示成某一个正整数的平方，那么以这三个正整数为边长的三角形是直角三角形．
验证：
如：，请判断以40、41和9为边长的三角形是否为直角三角形？说明理由；
探究
设两个连续的正整数m和的和可以表示成正整数，请论证“发现”中的结论正确．
21．如图，约定：上方相邻两整式之和等于这两个整式下方箭头共同指向的整式．
(1)求整式P．
(2)将整式因式分解．
(3)的最小值为______．
22．已知，，求下列各式的值．
(1)；
(2)．
23．阅读材料：
利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解例如：
．
根据以上材料，解答下列问题．
(1)分解因式（利用公式法）：；
(2)求多项式的最小值；
(3)已知a，b，c是的三边长，且满足，求的周长．
24．某校举办“迎冬奥会“学生书画展览，现要在长方形展厅中划出3个形状、大小完全一样的小长方形(图中阴影部分)区域摆放作品．
(1)如图1，若大长方形的长和宽分别为45米和30米，设小长方形的长为x，宽为y，求出x和y的值．
(2)如图2，若大长方形的长和宽分别为a和b．
①求出1个小长方形周长与大长方形周长之比；
②若作品展览区域(阴影部分)面积占展厅面积的 ，求x和y的数量关系．
25．【阅读材料】配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题．
定义：若一个整数能表示成（，为整数）的形式，则称这个数为“完美数”
例如，5是“完美数”，理由：因为．所以5是“完美数”
(1)解决问题：已知29是“完美数”，请将它写成（，为整数）的形式；
(2)解决问题：若可配方成（、为常数），求的值；
(3)解决问题：已知（，是整数，是常数），要使为“完美数”，试写出的值，并说明理由．
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