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第1章 三角形的证明单元测试卷A
【北师大版】
姓名：___________班级：___________考号：___________
考试时间：120分钟 满分：120分 考试范围：三角形的证明
注意事项：
1.考生先将自己的班级、学号、姓名填写清楚。
2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5mm黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卷面清洁，不折叠、不破损。
5.正确填涂
第Ⅰ卷（选择题共30分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.）
1．三条公路将A，B，C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（ ）
A．三条高线的交点 B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点
【答案】C
【详解】解：在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，
根据角平分线的性质，集贸市场应建在、、的角平分线的交点处．
故选：C．
2．如图，为等边三角形，为等腰直角三角形，，则直线与直线的夹角为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【详解】如图，延长，交于点E，

∵为等边三角形，为等腰直角三角形，
∴，
∴
∴直线与直线的夹角为．
故选：B．
3．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．等边三角形是锐角三角形 B．如果两个实数相等，那么它们的平方相等
C．两直线平行，同位角相等 D．如果两个角是直角，那么它们相等
【答案】C
【详解】解：A、等边三角形是锐角三角形的逆命题是：锐角三角形是等边三角形，逆命题是假命题，所以A不符合题意；
B、如果两个实数相等，那么它们的平方相等的逆命题是：如果两个实数的平方相等，那么它们相等，逆命题是假命题，所以B不符合题意；
C、两直线平行，同位角相等的逆命题：同位角相等，两直线平行，逆命题是真命题，所以C符合题意；
D、如果两个角是直角，那么它们相等的逆命题是：如果两个角相等，那么它们是直角，逆命题是假命题，所以D不符合题意；
故选：C．
4．如图，依据尺规作图痕迹，若，，则的度数为（ ）
A．50° B．60° C．66° D．80°
【答案】C
【详解】解：由作图可得：是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
由作图可得：是的角平分线，
∴；
∵，
∴
故选：C．
5．的三边长分别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：A、设，则
解得，则，故该选项是符合题意的；
B、因为，所以，解得，故该选项是不符合题意的；
C、设，则，即，所以是直角三角形，故该选项是不符合题意的；
D、因为，所以是直角三角形，该选项是不符合题意的；
故选：A
6．如图，衣架框内部可以近似看成一个等腰三角形，记为等腰，若，是的中点，，则衣架宽度的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：是等腰三角形，是的中点，
，，
，
，
，
，
，
∴，
∴，
故选．
7．如图，平分，垂足分别为A、B．若，则为（　 　）
A．2 B．4 C．6 D．3
【答案】D
【详解】解：∵平分
∴
故选：D
8．如图，在中，，根据尺规作图痕迹，的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由作图可得，平分，垂直平分线
∵
∴
∵
∴．
故选：C．
9．如图，在网格图中，小正方形的边长为1，在格点上找一点P，使的面积为1，这样的点P的个数为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【详解】解：如图，分别在线段的两侧找点C和点D，使构成的三角形面积为1，过这点C和点D作线段的平行线，
∵,，
∴，
∴，
∴，
过点C作线段的平行线与正方形网格相交，则由平行线间的距离处处相等，即等高，
∴有4个，同理过点D作线段的平行线也符合题意，
∴由图可知，共有8个点符合题意．
故选：C．
10．如图，在平面直角坐标系中，三角形，三角形，三角形，……，是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6……的等腰直角三角形．若三角形的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：由题意，∵，
∴在x轴的负半轴上，
∵，，，，…，
∴的横坐标为，即，
故选：A．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
填空题（共8小题，满分24分，每小题3分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。）
11．在中，，，则等于 ．
【答案】3
【详解】解：中，，
，
是等边三角形，
又，
，
故答案为：3．
12．如图，，，若，则 °．

【答案】30
【详解】解：
故答案为：30
13．如图，点，在的边上，，只需添加一个条件即可证明≌，则这个条件可以是 写一个即可
【答案】（答案不唯一）
【详解】解：添加，则≌，
，
，
在与中，
，
≌，
故答案为：答案不唯一．
14．甲、乙两船从位于南北走向的海岸线上的港口A同时出发，甲以每小时15海里的速度向北偏东方向航行，乙船以每小时20海里的速度向另一方向航行，4小时后甲船到达C岛，乙船到达B岛，已知B、C两岛相距100海里，则乙船航行的方向为 ．
【答案】南偏东
【详解】解：由题意可得：
（海里），（海里），
，
，
故，
是直角三角形，
，
∴，
乙船航行的方向是南偏东．
故答案为：南偏东．
15．如图，已知平分，平分，且，设，，，则的周长是 ．

【答案】30
【详解】解：∵平分，平分，
，
，
，
，
，
的周长，
故答案为：30．
16．如图，的周长为16，的垂直平分线交于点D，垂足为E，若，则的周长是 ．
【答案】10
【详解】解：∵的周长为16，
∴，
∵是线段的垂直平分线，，
∴，
∴，
∴的周长，
故答案为：10．
17．如图，的外角和的平分线、相交于点，于且，若的周长为，，则的面积为 ．
【答案】7.5
【详解】解：如图，过点作于，作于，连接，
和的平分线、交于，，
，
，
，
解得，
的周长为，
，
，
．
故答案为：7.5．
18．如图，是一钢架，，为使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管，，，…，添加的钢管长度都与的长度相等，则最多能添加的钢管根数为 根．
【答案】6
【详解】解：∵添加的钢管长度都与相等，，
∴，…从图中我们会发现有好几个等腰三角形，即第一个等腰三角形的底角是，第二个是，第三个是，第四个是，第五个是，第六个是，第七个是就不存在了．
所以一共有6根钢管．
故答案为：6．
三、解答题（本大题共6个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图，在与中，在边上，，，，
(1)求证：．
(2)若，求的度数．
【答案】(1)证明见解析；(2)．
【详解】（1）证明：，
，即，
在和中，
，
，
（2），
，
又，
∴，
又，
，
．
20．如图，在中，是的平分线，于，于，在上，．求证：
(1)；
(2)如果，，，求的面积．
【答案】(1)见解析(2)14
【详解】（1）证明：平分，，，
、，
在和中．
，
，
；
（2）解：，，
，
、，
，，
，
．
21．如图，为等边三角形，平分交于点D，交于点E．
(1)求证：是等边三角形．
(2)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【详解】（1）∵为等边三角形，
∴．
∵，
∴，．
∴是等边三角形．
（2）∵为等边三角形，
∴．
∵平分，
∴．
∵是等边三角形，
∴．
∴．
22．若，，为的三条边，且，，满足．
(1)试判断的形状，并说明理由；
(2)若，求的面积．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下：
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形；
（2）解：∵，
∴根据解析（1）可知：，
即，
∵，
∴，，
∴，，
∵是直角三角形，且斜边为，
∴的面积为．
23．如图是正方形网格，已知格点，，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图．
(1)在图中，以为腰，在格点上找点，作等腰，使其面积最小；
(2)在图中，以为斜边，在格点上找点，作直角，使其面积最小．
【答案】(1)见解析；(2)见解析
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求；
24．如图，在中，，的面积为，是边上的高，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿匀速向终点运动，点不与点，重合，连接、．设点的运动时间用“秒”表示．
(1)求的长；
(2)用含的代数式表示的长；
(3)在点运动的过程中，不再添加其他辅助线的情况下，当图中存在等腰直角三角形时，求的面积．
【答案】(1)(2)(3)或
【详解】（1）解∵，
∴，
（2）解：，
当时，点P在上，；
当时，点P在上，；
∴；
（3）如图，当点在上时，存在是等腰直角三角形，
则，即，解得：，
∴
∴；
如图，当点在上时，存在是等腰直角三角形，
则，即，解得：；
∴，
∴；
∴图中存在等腰直角三角形时，的面积为或．
25．定义：如图，点把线段分割成，若以为边的三角形是一个直角三角形，则称点是线段的勾股分割．
(1)已知把线段分割成，若，则点是线段的勾股分割点吗？请说明理由；
(2)已知点是线段的勾股分割点，且为直角边，若，求的长．
【答案】(1)点、是线段的勾股分割点；理由见解析
(2)或10．
【详解】（1）解：点、是线段的勾股分割点．理由如下：
，，
，
、、为边的三角形是一个直角三角形，
点、是线段的勾股分割点；
（2）解：设，则，
①当为最长线段时，依题意，
即，
解得；
②当为最长线段时，依题意．
即，
解得．
综上所述，或10．
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第1章 三角形的证明单元测试卷A
【北师大版】
姓名：___________班级：___________考号：___________
考试时间：120分钟 满分：120分 考试范围：三角形的证明
注意事项：
1.考生先将自己的班级、学号、姓名填写清楚。
2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5mm黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卷面清洁，不折叠、不破损。
5.正确填涂
第Ⅰ卷（选择题共30分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.）
1．三条公路将A，B，C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（ ）
A．三条高线的交点 B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点
2．如图，为等边三角形，为等腰直角三角形，，则直线与直线的夹角为（ ）

A． B． C． D．
3．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．等边三角形是锐角三角形 B．如果两个实数相等，那么它们的平方相等
C．两直线平行，同位角相等 D．如果两个角是直角，那么它们相等
4．如图，依据尺规作图痕迹，若，，则的度数为（ ）
A．50° B．60° C．66° D．80°
5．的三边长分别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的为（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，衣架框内部可以近似看成一个等腰三角形，记为等腰，若，是的中点，，则衣架宽度的长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，平分，垂足分别为A、B．若，则为（　 　）
A．2 B．4 C．6 D．3
8．如图，在中，，根据尺规作图痕迹，的度数为（ ）

A． B． C． D．
9．如图，在网格图中，小正方形的边长为1，在格点上找一点P，使的面积为1，这样的点P的个数为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
10．如图，在平面直角坐标系中，三角形，三角形，三角形，……，是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6……的等腰直角三角形．若三角形的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
填空题（共8小题，满分24分，每小题3分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。）
11．在中，，，则等于 ．
【答案】3
【详解】解：中，，
，
是等边三角形，
又，
，
故答案为：3．
12．如图，，，若，则 °．

13．如图，点，在的边上，，只需添加一个条件即可证明≌，则这个条件可以是 写一个即可
14．甲、乙两船从位于南北走向的海岸线上的港口A同时出发，甲以每小时15海里的速度向北偏东方向航行，乙船以每小时20海里的速度向另一方向航行，4小时后甲船到达C岛，乙船到达B岛，已知B、C两岛相距100海里，则乙船航行的方向为 ．
15．如图，已知平分，平分，且，设，，，则的周长是 ．

16．如图，的周长为16，的垂直平分线交于点D，垂足为E，若，则的周长是 ．
17．如图，的外角和的平分线、相交于点，于且，若的周长为，，则的面积为 ．
18．如图，是一钢架，，为使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管，，，…，添加的钢管长度都与的长度相等，则最多能添加的钢管根数为 根．
三、解答题（本大题共6个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图，在与中，在边上，，，，
(1)求证：．
(2)若，求的度数．
20．如图，在中，是的平分线，于，于，在上，．求证：
(1)；
(2)如果，，，求的面积．
21．如图，为等边三角形，平分交于点D，交于点E．
(1)求证：是等边三角形．
(2)求证：．
22．若，，为的三条边，且，，满足．
(1)试判断的形状，并说明理由；
(2)若，求的面积．
23．如图是正方形网格，已知格点，，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图．
(1)在图中，以为腰，在格点上找点，作等腰，使其面积最小；
(2)在图中，以为斜边，在格点上找点，作直角，使其面积最小．
24．如图，在中，，的面积为，是边上的高，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿匀速向终点运动，点不与点，重合，连接、．设点的运动时间用“秒”表示．
(1)求的长；
(2)用含的代数式表示的长；
(3)在点运动的过程中，不再添加其他辅助线的情况下，当图中存在等腰直角三角形时，求的面积．
25．定义：如图，点把线段分割成，若以为边的三角形是一个直角三角形，则称点是线段的勾股分割．
(1)已知把线段分割成，若，则点是线段的勾股分割点吗？请说明理由；
(2)已知点是线段的勾股分割点，且为直角边，若，求的长．
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