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第4章 因式分解单元测试卷A
【北师大版】
姓名：___________班级：___________考号：___________
考试时间：120分钟 满分：120分 考试范围：因式分解
注意事项：
1.考生先将自己的班级、学号、姓名填写清楚。
2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5mm黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卷面清洁，不折叠、不破损。
5.正确填涂
第Ⅰ卷（选择题共30分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.）
1．下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：A．不是因式分解，故选项不符合题意；
B．不是因式分解，故选项不符合题意；
C．是因式分解，故选项符合题意；
D．不是因式分解，故选项不符合题意．
故选：C．
2．多项式提取公因式后，剩下的因式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：
∴此多项式的公因式为，提取公因式后，剩下的因式是．
故选C
3．把多项式分解因式正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】本题考查了提公因式法分解因式等知识，利用提公因式法将分解为，问题得解．
故选：C
4．已知关于x的二次三项式分解因式的结果为，则m，n的值分别为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】∵关于x的二次三项式分解因式的结果为，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
5．若，则M，N分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【详解】解：∵，
∴，；
故选A．
6．已知实数满足，则（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
【答案】B
【详解】解：，
，
原式
，
故选：B．
7．下列说法错误的是（　　）
A．用反证法证明“”时，应假设
B．“同位角相等，两直线平行”的逆命题是真命题
C．是关于的不等式，其解集为
D．多项式与的公因式为
【答案】C
【详解】解：A、用反证法证明“”时，应假设，说法正确，本选项不符合题意；
B、“同位角相等，两直线平行”的逆命题是“两直线平行，同位角相等”是真命题，说法正确，本选项不符合题意；
C、是关于的不等式，其解集为，原说法错误，本选项符合题意；
D、多项式与的公因式为，说法正确，本选项不符合题意；
故选：C．
8．若k为任意整数，则的值总能（ ）
A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除
【答案】B
【详解】解：
∵k为任意整数，
∴为整数，
∴一定能被3整除，
∴的值总能被3整除，
故选：B．
9．已知，，是的三边长，满足，据此判断的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【详解】解：∵
∴，即：，
∴，且，即：，，
∴，
∴是等边三角形，
故选：．
10．已知，则化简的结果为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴
．
故选：A．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
填空题（共8小题，满分24分，每小题3分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。）
11．把多项式分解因式的结果是 ．
【答案】
【详解】解：
．
故答案为：．
12．若有一个因式，则 ．
【答案】8
【详解】解：∵有一个因式，
∴设，
∴
∴，
∴．
故答案为：8．
13．若关于x的代数式能写成完全平方公式，则m的值为 ．
【答案】16或
【详解】解：∵关于的二次三项式是完全平方式，
又∵，
∴，
∴或，
∴的值为或．
故答案为：或．
14．一个直角三角形斜边长为a，直角边长分别为b，c，若它的面积为6，斜边长为5，则的值为 ．
【答案】444
【详解】解：∵直角三角形斜边长为a，直角边长分别为b，c，斜边长为5，面积为6，
∴，，
∴，
∴
；
故答案为：
15．已知，则的值为 ．
【答案】64
【详解】解：，
得，，
，
故答案为：64．
16．若多项式，则p的最小值是 ．
【答案】2014
【详解】解：
，
∵，
∴，
∴p的最小值是2014，
故答案为：2014．
17．已知，则 ．
【答案】8
【详解】解：∵，
∴
故答案为：8．
18．若一个各个数位都不相同的四位正整数，其千位数字与十位数字之和为10，百位数字与个位数字之和为10，则称这样的四位数为“双十数”．请写出最小的“双十数” ；若m是一个“双十数”，将m的千位数字和十位数字交换位置，百位数字与个位数字交换位置，得到一个新的四位数n．若是一个完全平方数，则m的最大值是 ．
【答案】
【详解】解：由“双十数”定义可得最小的“双十数”的千位为，则十位为，
而百位为，则个位为，
∴最小的“双十数”为；
设“双十数”的千位数字为，百位数字为，则十位数字为，个位数字为，
∴，
，
∴，
∵，
∴；
∵是完全平方数，且最大，而，，且，为正整数，
∴，
∵为完全平方数，
∴当最大，则最小，最大，最大，
∴，
∴，
∴当最大时，则，
∴；
故答案为：，；
三、解答题（本大题共6个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．把下列各式因式分解：
(1)；
(2)；
(3)
(4)
【答案】(1)(2)(3)(4)
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
20．阅读材料：
已知，求m，n的值．
解：等式可变形为,
即．
因为，
所以．
所以．
像这样将代数式进行恒等变形，使代数式中出现完全平方式的方法叫做“配方法”．
请你利用配方法，解决下列问题：
已知a，b分别是长方形的长、宽，且满足，试求长方形的面积．
【答案】12
【详解】
∵，，
∴，，
解得：，，
∵a，b分别是长方形的长、宽，
∴长方形的面积为：．
21．将分解因式，并求当，时此式子的值．
【答案】，
【详解】解：，
当，时，原式．
22．已知，，求下列式子的值：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）解：，
，，
∴；
（2）解：
；
（3）解：
．
23．定义：为正整数，若，则称为“完美勾股数”，为的“伴侣勾股数”．如，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”．
(1)数10_______“完美勾股数”（填“是”或“不是”）；
(2)已知的三边满足．求证：是“完美勾股数”．
【答案】(1)是
(2)见解析
【详解】（1）解：，
数10是“完美勾股数”，
故答案为：是；
（2）证明：
，
，
是“完美勾股数”；
24．从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
(1)上述操作能验证的等式是　　　　　；
(2)若，，求的值；
(3)计算：①．
②计算：．
【答案】(1)(2)3(3)①，②
【详解】（1）解：图1的阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即，
图2的图形，长为，宽为，故面积为，
二者面积相等，
有，
故答案为：；
（2）解：，
由（1）中的结论可得，
又，
；
（3）解：①
．
②计算：
25．对任意一个两位数，如果等于两个正整数的平方和，那么称这个两位数为“平方和数”，若（、为正整数），记．例如：，就是一个“平方和数”，则．
(1)判断13是否是“平方和数”，若是，请计算的值；若不是，请说明理由；
(2)若是一个“平方和数”，
①设，则________；
②当，求的值．
【答案】(1)是，
(2)①，②的值为或或．
【详解】（1）解：13是“平方和数”，
，
；
（2）①解：由题知，设，则，
故答案为：．
②解：设，
，
，
，
，
，
即或，
整理得或，
、为正整数，为两位数，
当时，或，，；
当时，或，，；
当时，或，，；
综上所述，的值为或或．
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第4章 因式分解单元测试卷A
【北师大版】
姓名：___________班级：___________考号：___________
考试时间：120分钟 满分：120分 考试范围：因式分解
注意事项：
1.考生先将自己的班级、学号、姓名填写清楚。
2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5mm黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卷面清洁，不折叠、不破损。
5.正确填涂
第Ⅰ卷（选择题共30分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.）
1．下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．多项式提取公因式后，剩下的因式是（　　）
A． B． C． D．
3．把多项式分解因式正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．已知关于x的二次三项式分解因式的结果为，则m，n的值分别为（　　）
A． B．
C． D．
5．若，则M，N分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
6．已知实数满足，则（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
7．下列说法错误的是（　　）
A．用反证法证明“”时，应假设
B．“同位角相等，两直线平行”的逆命题是真命题
C．是关于的不等式，其解集为
D．多项式与的公因式为
8．若k为任意整数，则的值总能（ ）
A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除
9．已知，，是的三边长，满足，据此判断的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
10．已知，则化简的结果为（　　）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
填空题（共8小题，满分24分，每小题3分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。）
11．把多项式分解因式的结果是 ．
12．若有一个因式，则 ．
13．若关于x的代数式能写成完全平方公式，则m的值为 ．
14．一个直角三角形斜边长为a，直角边长分别为b，c，若它的面积为6，斜边长为5，则的值为 ．
15．已知，则的值为 ．
16．若多项式，则p的最小值是 ．
17．已知，则 ．
18．若一个各个数位都不相同的四位正整数，其千位数字与十位数字之和为10，百位数字与个位数字之和为10，则称这样的四位数为“双十数”．请写出最小的“双十数” ；若m是一个“双十数”，将m的千位数字和十位数字交换位置，百位数字与个位数字交换位置，得到一个新的四位数n．若是一个完全平方数，则m的最大值是 ．
三、解答题（本大题共6个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．把下列各式因式分解：
(1)；
(2)；
(3)
(4)
20．阅读材料：
已知，求m，n的值．
解：等式可变形为,
即．
因为，
所以．
所以．
像这样将代数式进行恒等变形，使代数式中出现完全平方式的方法叫做“配方法”．
请你利用配方法，解决下列问题：
已知a，b分别是长方形的长、宽，且满足，试求长方形的面积．
21．将分解因式，并求当，时此式子的值．
22．已知，，求下列式子的值：
(1)；
(2)；
(3)．
23．定义：为正整数，若，则称为“完美勾股数”，为的“伴侣勾股数”．如，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”．
(1)数10_______“完美勾股数”（填“是”或“不是”）；
(2)已知的三边满足．求证：是“完美勾股数”．
24．从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
(1)上述操作能验证的等式是　　　　　；
(2)若，，求的值；
(3)计算：①．
②计算：．
25．对任意一个两位数，如果等于两个正整数的平方和，那么称这个两位数为“平方和数”，若（、为正整数），记．例如：，就是一个“平方和数”，则．
(1)判断13是否是“平方和数”，若是，请计算的值；若不是，请说明理由；
(2)若是一个“平方和数”，
①设，则________；
②当，求的值．
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