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数学模拟测试
本试卷共150分 考试时间120分钟
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名 准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 复数的实部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数的运算法则，化简得到
【详解】根据复数的运算法则，求得，
所以复数的实部为.
故选：A.
2. 已知集合，，，则集合的子集共有（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 8个
【答案】C
【解析】
【分析】首先用列举法表示出集合、，即可求出集合，再求出其子集个数.
【详解】因为，又，
所以，所以，则集合的子集共有个．
故选：C
3. 记为等差数列的前项和，若，则（ ）
A. B. C. 10 D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，由等差数列的求和公式代入计算，即可得到结果.
【详解】，即.
故选：D
4. 已知向量与的夹角为，且，，则（ ）
A. B. C. 4 D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意和平面数量积的定义可得，结合计算即可求解.
【详解】由题意可得，，
所以．
故选：A
5. 某城市运动会的组委会安排甲 乙等5名志愿者去足球 篮球 排球 乒乓球4个比赛场馆从事志愿者活动，每人只去一个场馆，若排球场馆必须安排2人，其余场馆各安排1人，则不同的方案种数为（ ）
A. 48 B. 52 C. 60 D. 68
【答案】C
【解析】
【分析】先从5人中安排2人去排球场馆，然后剩下的3人安排去余下的3个场馆，按分步计数原理相乘可得答案.
【详解】先从5名志愿者中选出2人去排球场馆，有种选择，
将剩下的3名志愿者分别安排到足球、篮球、乒乓球3个比赛场馆，有种选择，
则共有种不同的方案.
故选：C.
6. 已知在正四面体中，，则直线与平面所成角正弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设为三角形的中心，取中点，连接，根据正四面体的性质得到平面，且，即为直线与平面所成角，再由锐角三角函数计算可得.
【详解】如图，在正四面体中，设为三角形的中心，取中点，连接，
由正四面体的性质可知平面，且，则即为直线与平面所成角，
因为，则，
故，故，
由勾股定理得，
故，
即直线与平面所成角的正弦值为．
故选：D．
7. 某企业的废水治理小组积极探索改良工艺，致力于使排放的废水中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量为，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为，第n次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量满足函数模型（，），其中为改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量，为首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量，n为改良工艺的次数．假设废水中含有的污染物数量不超过时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少为（ ）（参考数据：，）
A. 12 B. 13 C. 14 D. 15
【答案】D
【解析】
【分析】由题意，根据指数幂和对数运算的性质可得，由，解不等式即可求解.
【详解】由题意知，，
当时，，故，解得，
所以．
由，得，即，
得，又，
所以，
故若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要15次．
故选：D
8. 已知抛物线的焦点为F，直线l交抛物线T于A，B两点，M为线段的中点，过点M作抛物线T的准线的垂线，垂足为N，若，则的最大值为（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设，，如图，根据抛物线的定义和梯形的中位线的性质可得，结合基本不等式的应用即可求解.
【详解】设，，因为，所以，
所以，过点A，B分别作，垂直准线于点G，W，
由抛物线的定义可知，，
由梯形的中位线可知．
因为，所以，
当且仅当时，等号成立，所以
所以，故的最大值为．
故选：B
二 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 设函数，则（ ）
A. 有个极大值点
B. 有个极小值点
C. 是的极大值点
D. 是极小值点
【答案】ABD
【解析】
【分析】求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间与极值点.
【详解】函数的定义域为，
且，
所以当或时，
当或时，
所以在，上单调递减，在，上单调递增，
所以在处取得极小值，在处取得极大值，在处取得极小值.
故选：ABD
10. 已知圆，圆，则下列选项正确的是（ ）
A. 直线的方程为
B. 圆和圆共有4条公切线
C. 若P，Q分别是圆和圆上的动点，则的最大值为10
D. 经过点，的所有圆中面积最小的圆的面积为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据题意，求得圆的圆心坐标和半径，结合直线方程的形式，圆与圆的位置关系的判定，以及圆的性质，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意得，圆的圆心，半径，
圆的圆心，半径，
对于A，直线的方程为，即，所以A正确；
对于B，因且，可得，
所以圆与圆外切，所以两圆的公切线共有3条，所以B错误；
对于C，因为，所以的最大值为，所以C正确；
对于D，当为圆的直径时，该圆在经过点，的所有圆中面积最小，
此时圆的面积为，所以D正确．
故选：ACD.
11. 已知函数，若把函数的图像向右平移个单位长度后得到的图像关于原点对称，则（ ）
A.
B. 函数的图象关于点对称
C. 函数在区间上单调递减
D. 函数在上有2个零点
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据题意，由条件可得，即可得到函数的解析式，再由正弦型函数的性质，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】因为的图像关于原点对称，
则，解得，又，
则时，，所以，故A错误；
因为，所以的图像关于点对称，故B正确；
当时，则，且函数在单调递减，故C正确；
令，即，解得，又，
则，共两个零点，故D正确；
故选：BCD
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 将棱长为4的正方体削成一个体积最大的球，则这个球的体积为___________．
【答案】
【解析】
【分析】由题意可知，球为正方体的内切球，即可求出球的半径可解出球体体积.
【详解】根据题意可知，此球为正方体的内切球，所以球的直径等于正方体棱长，
故球的半径为，所以球的体积为：.
故答案为：.
13. 已知，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，由余弦的和差角公式展开可得，再由二倍角公式，即可得到结果.
【详解】因为，整理得，
所以，所以，
所以．
故答案为：
14. 已知椭圆的左 右焦点分别为为上一点，且，若，的外接圆面积是其内切圆面积的25倍，则椭圆的离心率__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意结合椭圆的定义，利用等面积法可得方程，由此可得，再由正弦定理可得，又根据的外接圆面积是其内切圆面积的25倍，可得，由此列出方程化简即可得到齐次式，即解方程注意即可得到结果.
【详解】
根据已知条件有，有正弦定理面积公式有：
，又，
所以，
设的外接圆半径为，内切圆半径为，
因为为椭圆上一点，则，又，
以的三边为底，内切圆半径为高的三个三角形面积和等于面积，
所以，解得，
由正弦定理有：，解得，
又的外接圆面积是其内切圆面积的25倍，即，即，
所以，即，
即，两边同除以，得，又，解得.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用等面积法求出，再利用正弦定理求出，结合已知条件得到关于、的齐次式求解.
四 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤．
15. 已知在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且．
（1）求C；
（2）求的最大值．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求解即得.
（2）由（1）的信息结合正弦定理边化角，再利用基本不等式求解即得.
【小问1详解】
在中，由及正弦定理得，
即，由余弦定理得，而，
所以.
【小问2详解】
由（1）知，，由正弦定理得，
而，因此，当且仅当时取等号，
于是，解得，
在中，，由，得，
所以当时，取得最大值．
16. 如图，已知在圆柱中，A，B，C是底面圆O上的三个点，且线段为圆O的直径，，为圆柱上底面上的两点，且矩形平面，D，E分别是，的中点．
（1）证明：平面．
（2）若是等腰直角三角形，且平面，求平面与平面的夹角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）．
【解析】
【分析】（1）运用线面平行的判定定理、面面平行的判定定理和性质定理证明线面平行；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解.
【小问1详解】
如图，取的中点F，连接，，
因为D，E，F分别为，，的中点，
所以，．
又因为平面，平面，平面，平面，
所以平面，平面．
因为，，平面，
所以平面平面．
又因为平面，所以平面．
【小问2详解】
如图，连接，．因为E，O分别为，的中点，所以，且，
又因为D为的中点，所以，且，
所以，且，所以四边形为平行四边形，
所以．
因为平面，所以平面．
又因为平面，所以，可得．
因为是等腰直角三角形，所以．又矩形平面，可得平面，
以A为原点，以，，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
设，则，可得，，，，
则，，，．
设平面的法向量为，则，
即，取，可得，，所以．
设平面的法向量为，则，
即，取，可得，，
所以．
，
所以平面与平面的夹角的正弦值为．
17. 已知双曲线的一条渐近线方程为，右焦点到渐近线的距离为．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过点的直线与双曲线交于两点，．求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，结合双曲线的几何性质，求得的值，即可求解；
（2）当直线的斜率不存在时，即，求得，得到；
当直线的斜率存在时，设，联立方程组求得，结合，结合向量的数量积的坐标运算，即可求解.
【小问1详解】
解：由双曲线的渐近线方程为，可得，
又由焦点到渐近线的距离为，可得，可得，
又因为，可得，所以双曲线的方程为.
【小问2详解】
解：由（1）知，可得，
当直线的斜率不存在时，即，将代入，可得或，
不妨设，
又由，可得，
所以；
当直线的斜率存在时，即，
联立方程组，整理得，
设，则，
且，
则，
且，
则
，
综上可得：.
【点睛】方法技巧：求解圆锥曲线的最值与定值问题的解答策略与技巧：
1、若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆、圆锥曲线的定义、图形，以及几何性质求解；
2、当题目给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个目标函数的最值（或值域），常用方法：①配方法；②基本不等式；③单调性法；④三角换元法；⑤导数法等，要特别注意自变量的取值范围.
18. 某景区的索道共有三种购票类型，分别为单程上山票、单程下山票、双程上下山票．为提高服务水平，现对当日购票的120人征集意见，当日购买单程上山票、单程下山票和双程票的人数分别为36、60和24．
（1）若按购票类型采用分层随机抽样的方法从这120人中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，求随机抽取的4人中恰有2人购买单程上山票的概率．
（2）记单程下山票和双程票为回程票，若在征集意见时要求把购买单程上山票的2人和购买回程票的m（且）人组成一组，负责人从某组中任选2人进行询问，若选出的2人的购票类型相同，则该组标为A，否则该组标为B，记询问的某组被标为B的概率为p．
（i）试用含m的代数式表示p；
（ii）若一共询问了5组，用表示恰有3组被标为B的概率，试求的最大值及此时m的值．
【答案】（1）
（2）（i）；（ii）时，．
【解析】
【分析】（1）由古典概型结合组合数公式即可求得答案；
（2）（i）由古典概型结合对立事件的概率公式即可求得答案；
（ii）由n次独立重复试验概率公式结合导数知识即可求解.
【小问1详解】
因为购买单程上山票、单程下山票和双程票的人数之比为，所以这10人中，购买单程上山票、单程下山票和双程票的人数分别为：，，，
故随机抽取的4人中恰有2人购买单程上山票的概率．
【小问2详解】
（i）从人中任选2人，有种选法，其中购票类型相同的有种选法，则询问的某组被标为B的概率．
（ii）由题意，5组中恰有3组被标为B的概率，
所以，，
所以当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以当时，取得最大值，且最大值为．
由，且，得．
当时，5组中恰有3组被标为B的概率最大，且的最大值为．
19. 已知函数，．
（1）讨论的单调性；
（2）若，恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）答案见解析
（2）．
【解析】
【分析】（1）利用导数分类讨论判断函数的单调性，即可求解；
（2）先利用导数证明不等式，分离变量可得恒成立，进而，即可求解.
【小问1详解】
函数，的定义域为，且．
当时，，恒成立，此时在区间上单调递增；
当时，令，解得，
当时，，在区间上单调递增，
当时，，在区间上单调递减．
综上所述，当时，在区间上单调递增；
当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减．
【小问2详解】
设，则，
在区间上，，单调递减，在区间上，，单调递增，
所以，所以（当且仅当时等号成立）．
依题意，，恒成立，即恒成立，
而，
当且仅当时等号成立．
因为函数在上单调递增，，，
所以存在，使得成立．
所以，即a的取值范围是．
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的恒成立问题的求解策略：
形如的恒成立的求解策略：
1、构造函数法：令，利用导数求得函数的单调性与最小值，只需恒成立即可；
2、参数分离法：转化为或恒成立，即或恒成立，只需利用导数求得函数的单调性与最值即可；
3，数形结合法：结合函数的图象在的图象的上方（或下方），进而得到不等式恒成立.数学模拟测试
本试卷共150分 考试时间120分钟
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名 准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 复数的实部为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知集合，，，则集合的子集共有（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 8个
3. 记为等差数列的前项和，若，则（ ）
A. B. C. 10 D. 3
4. 已知向量与的夹角为，且，，则（ ）
A. B. C. 4 D.
5. 某城市运动会组委会安排甲 乙等5名志愿者去足球 篮球 排球 乒乓球4个比赛场馆从事志愿者活动，每人只去一个场馆，若排球场馆必须安排2人，其余场馆各安排1人，则不同的方案种数为（ ）
A. 48 B. 52 C. 60 D. 68
6. 已知在正四面体中，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
7. 某企业的废水治理小组积极探索改良工艺，致力于使排放的废水中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量为，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为，第n次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量满足函数模型（，），其中为改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量，为首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量，n为改良工艺的次数．假设废水中含有的污染物数量不超过时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少为（ ）（参考数据：，）
A. 12 B. 13 C. 14 D. 15
8. 已知抛物线的焦点为F，直线l交抛物线T于A，B两点，M为线段的中点，过点M作抛物线T的准线的垂线，垂足为N，若，则的最大值为（ ）
A. 1 B. C. D.
二 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9 设函数，则（ ）
A. 有个极大值点
B. 有个极小值点
C. 是的极大值点
D. 是的极小值点
10. 已知圆，圆，则下列选项正确的是（ ）
A. 直线的方程为
B. 圆和圆共有4条公切线
C. 若P，Q分别是圆和圆上的动点，则的最大值为10
D. 经过点，的所有圆中面积最小的圆的面积为
11. 已知函数，若把函数的图像向右平移个单位长度后得到的图像关于原点对称，则（ ）
A.
B. 函数的图象关于点对称
C. 函数在区间上单调递减
D. 函数在上有2个零点
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 将棱长为4的正方体削成一个体积最大的球，则这个球的体积为___________．
13. 已知，则______．
14. 已知椭圆的左 右焦点分别为为上一点，且，若，的外接圆面积是其内切圆面积的25倍，则椭圆的离心率__________．
四 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤．
15. 已知在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求C；
（2）求的最大值．
16. 如图，已知在圆柱中，A，B，C是底面圆O上的三个点，且线段为圆O的直径，，为圆柱上底面上的两点，且矩形平面，D，E分别是，的中点．
（1）证明：平面．
（2）若是等腰直角三角形，且平面，求平面与平面夹角的正弦值．
17. 已知双曲线的一条渐近线方程为，右焦点到渐近线的距离为．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过点的直线与双曲线交于两点，．求的值．
18. 某景区的索道共有三种购票类型，分别为单程上山票、单程下山票、双程上下山票．为提高服务水平，现对当日购票的120人征集意见，当日购买单程上山票、单程下山票和双程票的人数分别为36、60和24．
（1）若按购票类型采用分层随机抽样的方法从这120人中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，求随机抽取的4人中恰有2人购买单程上山票的概率．
（2）记单程下山票和双程票为回程票，若在征集意见时要求把购买单程上山票的2人和购买回程票的m（且）人组成一组，负责人从某组中任选2人进行询问，若选出的2人的购票类型相同，则该组标为A，否则该组标为B，记询问的某组被标为B的概率为p．
（i）试用含m代数式表示p；
（ii）若一共询问了5组，用表示恰有3组被标为B的概率，试求的最大值及此时m的值．
19 已知函数，．
（1）讨论的单调性；
（2）若，恒成立，求实数a的取值范围．

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