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第3章 二次函数
3.2 二次函数
1
学习目标
2
课时导入
3
感悟新知
4
随堂检测
5
课堂小结
二次函数的定义
二次函数的一般形式及函数值
建立二次函数的模型
回顾与思考
我们已经学习了哪些函数？它们的解析式是什么？
一次函数 y＝kx＋b(k≠0)
正比例函数 y＝kx (k≠0)
反比例函数
一条直线
双曲线
正方体的六个面是全等的正方形(如图)，设正方体的棱长为x，表面积为y. 显然，对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数，它们的具体关系可以表示为 y＝6x2.
这个函数与我们学过的函数不同，其中自变量x的最高次数是2.
这类函数具有哪些性质呢？这就是本章要学习的二次函数．
知识点
二次函数的定义
1
某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少，根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就
会少结5个橙子.
果园共有(100＋x)棵橙子树，平均每棵橙子树结(600－5x)个橙子，因此果园橙子的总产量
y＝(600－5x)(100＋x)＝－5x2＋100x＋60 000.
问题1
n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数m与球队数n有什么关系？
比赛的场次数 m＝ n(n－1)，
即m＝ n2－ n.
问题2
某种产品现在的年产量是20 t，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？
两年后的产量 y＝20(1＋x)2，
即y＝20x2＋40x＋20.
一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数．其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项．
定义：
二次函数的特殊形式：
1. 只含二次项，即y=ax2(b=0，c=0)；
2. 不含一次项，即y=ax2+c(b=0，c ≠ 0)；
3. 不含常数项，即y=ax2+bx(b ≠ 0，c=0).
下列函数中，哪些是二次函数？并指出二次函
数的二次项系数、一次项系数和常数项．
(1)y＝7x－1；　 (2)y＝－5x2；　　　　　
(3)y＝3a3＋2a2； (4)y＝x－2＋x；
(5)y＝3(x－2)(x－5)； (6)y＝x2＋ .
例 1
当m 取何值时，函数y=(m2+m)xm2-2m-1+(m-5)x+m2是关于x 的二次函数？并求出这时二次函数的表达式.
解：由题意，得
m2－2m－1=2，
m2+m ≠ 0，
解得m=3.
∴当m=3 时，该函数是二次函数，表达式为
y=(32+3)x +(3－5)x+32，
即y=12x2－2x+9.
32-2×3-1
当函数的二次项系数包含字母时，要注意二次项系数不为0. 解此类题易只关注满足指数的要求，而忽略对二次项系数的限制，从而导致错误.
1. 下列函数中(x，t是自变量)，哪些是二次函数
解：
2. 下列各式中，y是x的二次函数的是(　　)
A．y＝ax2＋bx＋c B．x2＋y－2＝0
C．y2－ax＝2 D．x2－y2＋1＝0
B
3. 若函数y＝(m－2)x2＋4x－5(m是常数)是二次函数，则(　　)
A．m≠－2 B．m≠2 C．m≠3 D．m≠－3
B
4 . 对于任意实数m，下列函数一定是二次函数的是(　　)
A．y＝mx2＋3x－1
B．y＝(m－1)x2
C．y＝(m－1)2x2
D．y＝(－m2－1)x2
D
一般地，任何一个二次函数，经过整理，都能化成如下形式：y=ax +bx+c (a≠0) 这种形式叫做二次函数的一般形式 .
知识点
二次函数的一般形式及函数值
2
为什么规定a≠0，b，c可以为0吗？
二次函数的项和各项系数
y=a x +b x+ c
二次项系数
一次项系数
a≠0
二次项
一次项
常数项
指出方程各项的系数时要带上前面的符号.
函数值：确定一个x的值，代入二次函数表达式中
所得的y值为函数值.
当x＝－2和1时，对于二次函数y＝x2－x－2对应的函数值是多少？
当x＝－2时，y＝4－(－2)－2＝4，
当x＝1时，y＝1－1－2＝ －2.
所以，当x＝－2时，函数值y＝4，
当x＝1时，函数值y＝ －2.
解：
例2
1. 已知二次函数y＝1－3x＋5x2，则它的二次项系数a，一次项系数b，常数项c分别是(　　)
A．a＝1，b＝－3，c＝5
B．a＝1，b＝3，c＝5
C．a＝5，b＝3，c＝1
D．a＝5，b＝－3，c＝1
D
知识点
2. 关于函数y＝(500－10x)(40＋x)，下列说法不正确的是 (　　)
A．y是x的二次函数
B．二次项系数是－10
C．一次项是100
D．常数项是20 000
C
根据实际问题列二次函数的解析式，一般要经历
以下几个步骤：
(1)确定自变量与函数代表的实际意义；
(2)找到自变量与因变量之间的等量关系，根据等
量关系列出方程或等式．
(3)将方程或等式整理成二次函数的一般形式．
知识点
建立二次函数的模型
2
1. 建立二次函数的模型与建立一元二次方程的模型类似，不同的是需将它转化为用含一个未知数(自变量)的代数式表示另一个未知数(函数)的形式.
2. 自变量的取值范围应使实际问题有意义.
某网店销售某款童装，每件售价为60 元，每星期可卖300件.为了促销，该网店决定降价销售. 市场调查反映，每件童装每降价1 元，每星期可多卖30 件. 已知该款童装每件成本价为40 元，设每件售价为x 元，每星期的销售量为y 件.
(1)求y与x 之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围.
(2)设每星期的销售利润为W元，求W与x之间的函数关系式.
例3
解：(1) y=300+30(60－x)=－30x+2 100(40 ≤ x ≤ 60).
(2)W=(x－40)(－30x+2 100)=－30x2+3 300x－84 000.
导引：解题秘方：紧扣销售量和销售利润的基本关系式解答.
相等关系
降价后销售量=降价前可卖件数+降价后多卖的件数，每件降价(60－x) 元；销售利润=每件的利润×销售量，每件的利润为(x－40) 元.
方法点拨：在实际问题中建立二次函数模型时，关键要找出两个变量之间的相等关系，用类似建立一元二次方程模型的方法，借助方程思想求出二次函数的表达式.
1.建立二次函数的模型与建立一元二次方程的模型类似，不同的是需将它转化为用含一个未知数(自变量)的代数式表示另一个未知数(函数)的形式.
2. 自变量的取值范围应使实际问题有意义.
1.
圆的半径是1cm，假设半径增加x cm时，圆的面积增加 y cm2.
(1)写出y与x之间的关系式；
y＝π·(1＋x)2－π·12＝πx2＋2πx，
即y与x之间的关系式为y＝πx2＋2πx.
解：
(2)当圆的半径分别增加1cm， cm， 2cm时，圆的面积各增加多少
解：
当x＝1时，y＝π＋2π＝3π；
当x＝ 时，y＝2π＋2 π＝(2＋2 )π；2 m＝200 cm，
当x＝200时，y＝40 000π＋400π＝40 400π.
故当圆的半径分别增加1 cm， cm，2 m时，圆的
面积各增加3π cm2，(2＋2 )π cm2，40 400π cm2.
2. 一台机器原价60万元，如果每年的折旧率为x，两年后这台机器的价格为y万元，则y与x之间的函数表达式为 (　　)
A．y＝60(1－x)2 B．y＝60(1－x)
C．y＝60－x2 D．y＝60(1＋x)2
A
3. 如图，在Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB＝OB＝3，设直线x＝t(0＜t＜3)截此三角形所得阴影部分的面积为S，则S与t之间的函数关系式为(　　)
A．S＝t
B．S＝ t2
C．S＝t2
D．S＝ t2－1
B
C
2.已知二次函数y＝(a－1)x2－6x－a＋2的常数项为0，则二次函数的表达式是____________．
y＝x2－6x
【点拨】∵二次函数y＝(a－1)x2－6x－a＋2的常数项为0，∴－a＋2＝0，∴a＝2，∴二次函数的表达式是y＝x2－6x.
3．已知菱形的两条对角线长分别为x (cm)和2x (cm)，写出菱形的面积S(cm2)与x(cm)之间的函数表达式，并判断该函数是否为二次函数．
1.关于二次函数的定义要理解三点：
(1)函数表达式必须是整式，自变量的取值是全体实数，而在实际应用中，自变量的取值必须符合实际意义．
(2)确定二次函数表达式的各项系数及常数项时，要把函数表达式化为一般式．
(3)二次项系数不为0.
2. 根据实际问题列二次函数的关系式，一般要经历以下几个步骤：
(1)确定自变量与因变量代表的实际意义；
(2)找到自变量与因变量之间的等量关系，根据等量关系列出方程或等式．
(3)将方程或等式整理成二次函数的一般形式．

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