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备考2024中考二轮数学《高频考点冲刺》（全国通用）
专题22 圆的性质问题
考点扫描☆聚焦中考
圆的性质问题在近几年各地中考试题中，填空题、选择题、解答题三种形式都有所考查，多数题目较难，属于中、高档题；考查的内容主要涉及的有：点和圆的位置关系；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理及推论；圆内接四边形的性质；三角形外接圆与外心的性质等；从考查的热点主要涉及的有：垂径定理、圆周角定理及推论、圆内接四边形的性质、三角形外接圆与外心的性质。
考点剖析☆典型例题
例1（2023 凉山州）如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠ADB＝30°，BC＝2，则OC＝（　　）
A．1 B．2 C．2 D．4
例2（2023 武汉）如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠ACB＝2∠BAC．
（1）求证：∠AOB＝2∠BOC；
（2）若AB＝4，，求⊙O的半径．
例3（2023 赤峰）如图，圆内接四边形ABCD中，∠BCD＝105°，连接OB，OC，OD，BD，∠BOC＝2∠COD．则∠CBD的度数是（　　）
A．25° B．30° C．35° D．40°
例4（2023 淄博）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，∠BAC＝120°，D是BC边上一点，连接AD并延长交⊙O于点E．若AD＝2，DE＝3，则⊙O的半径为（　　）
A． B． C． D．
考点过关☆专项突破
类型一 垂径定理及其应用
1．（2023 宜昌）如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，AC，OB交于点D．若AD＝CD＝8，OD＝6，则BD的长为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
2．（2022 云南）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E．若AB＝26，CD＝24，则∠OCE的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
3．（2021 丽水）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥OA于点E，连结OC，OD．若⊙O的半径为m，∠AOD＝∠α，则下列结论一定成立的是（　　）
A．OE＝m tanα B．CD＝2m sinα C．AE＝m cosα D．S△COD＝m2 sinα
4．（2023 广西）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为37m，拱高约为7m，则赵州桥主桥拱半径R约为（　　）
A．20m B．28m C．35m D．40m
5．（2021 淄博）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长度是（　　）
A．12寸 B．24寸 C．13寸 D．26寸
6．（2023 湖州）如图，OA是⊙O的半径，弦BC⊥OA于点D，连结OB．若⊙O的半径为5cm，BC的长为8cm，则OD的长是 　　cm．
7．（2019 嘉兴）如图，在⊙O中，弦AB＝1，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为　　．
8．（2023 成都）为传承非遗文化，讲好中国故事，某地准备在一个场馆进行川剧演出．该场馆底面为一个圆形，如图所示，其半径是10米，从A到B有一笔直的栏杆，圆心O到栏杆AB的距离是5米，观众在阴影区域里观看演出，如果每平方米可以坐3名观众，那么最多可容纳 　　名观众同时观看演出．（π取3.14，取1.73）
9．（2023 贵州）如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，连接CO并延长交AB于点D，交⊙O于点E，连接EA，EB．
（1）写出图中一个度数为30°的角：　　，图中与△ACD全等的三角形是 　　；
（2）求证：△AED∽△CEB；
（3）连接OA，OB，判断四边形OAEB的形状，并说明理由．
10．（2023 上海）如图，在⊙O中，弦AB的长为8，点C在BO延长线上，且cos∠ABC＝，OC＝OB．
（1）求⊙O的半径；
（2）求∠BAC的正切值．
类型二 圆周角定理
1．（2023 枣庄）如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P．若∠A＝48°，∠APD＝80°，则∠B的度数为（　　）
A．32° B．42° C．48° D．52°
2．（2023 山西）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC，BD为对角线，BD经过圆心O．若∠BAC＝40°，则∠DBC的度数为（　　）
A．40° B．50° C．60° D．70°
3．（2023 湖北）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，连接AC，AD，BD，若∠C＝20°，∠BPC＝70°，则∠ADC＝（　　）
A．70° B．60° C．50° D．40°
4．（2023 阜新）如图，A，B，C是⊙O上的三点，若∠AOC＝90°，∠ACB＝25°，则∠BOC的度数是（　　）
A．20° B．25° C．40° D．50°
5．（2023 温州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC∥AD，AC⊥BD．若∠AOD＝120°，AD＝，则∠CAO的度数与BC的长分别为（　　）
A．10°，1 B．10°， C．15°，1 D．15°，
6．（2023 青海）如图，AB是⊙O的弦，C是⊙O上一点，OC⊥AB，垂足为D．若∠A＝20°，则∠ABC＝（　　）
A．20° B．30° C．35° D．55°
7．（2023 长沙）如图，点A，B，C在半径为2的⊙O上，∠ACB＝60°，OD⊥AB，垂足为E，交⊙O于点D，连接OA，则OE的长度为 　　．
8．（2023 衡阳）如图，AB是⊙O的直径，AC是一条弦，D是弧AC的中点，DE⊥AB于点E，交AC于点F，交⊙O于点H，DB交AC于点G．
（1）求证：AF＝DF．
（2）若AF＝，sin∠ABD＝，求⊙O的半径．
9．（2023 无锡）如图，AB是⊙O的直径，FD为⊙O的切线，CD与AB相交于点E．DF∥AB，交CA的延长线于点F，CF＝CD．
（1）求∠F 的度数；
（2）若 DE DC＝8，求⊙O的半径．
10．（2023 内蒙古）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是上一点，P是AB延长线上一点，连接AD，DC，CP．
（1）求证：∠ADC﹣∠BAC＝90°；（请用两种证法解答）
（2）若∠ACP＝∠ADC，⊙O的半径为3，CP＝4，求AP的长．
类型三 圆内接四边形
1．（2023 绍兴）如图，四边形ABCD内接于圆O，若∠D＝100°，则∠B的度数是 　　．
2．（2023 西藏）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点．若∠DCE＝65°，则∠BOD的度数是（　　）
A．65° B．115° C．130° D．140°
3．（2023 襄阳）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在CD的延长线上．若∠ADE＝70°，则∠AOC＝　　度．
4．（2023 淮安）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC是⊙O的直径，BC＝2CD，则∠BAD的度数是 　　°．
5．（2023 宁夏）如图，四边形ABCD内接于⊙O，延长AD至点E，已知∠AOC＝140° 那么∠CDE＝　　°．
6．（2023 北京）如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADB．
（1）求证DB平分∠ADC，并求∠BAD的大小；
（2）过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F，若AC＝AD，BF＝2，求此圆半径的长．
类型四 三角形的外接圆与外心
1．（2023 陕西）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝72°．过点O作BC的垂线交于点D，连接BD，则∠D的度数为（　　）
A．64° B．54° C．46° D．36°
2．（2023 自贡）如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，连接BD，∠DCA＝41°，则∠ABC的度数是（　　）
A．41° B．45° C．49° D．59°
3．（2023 巴中）如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠C＝25°，则∠BAO＝（　　）
A．25° B．50° C．60° D．65°
4．（2023 内蒙古）如图，⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC．垂足分别为D，E，F，连接DE，EF，FD．若DE+DF＝6.5，△ABC的周长为21，则EF的长为（　　）
A．8 B．4 C．3.5 D．3
5．（2023 湖北）如图，在3×3的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中的圆弧为格点△ABC外接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部分的面积为（　　）
A．π﹣ B．π﹣ C．π﹣ D．π﹣
6．（2023 十堰）如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦BD交AC于点E，AE＝DE，BC＝CE，过点O作OF⊥AC于点F，延长FO交BE于点G，若DE＝3，EG＝2，则AB的长为（　　）
A．4 B．7 C．8 D．
7．（2023 金昌）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D是⊙O上一点，∠CDB＝55°，则∠ABC＝　　°．
8．（2023 呼和浩特）如图，△ABC内接于⊙O且∠ACB＝90°，弦CD平分∠ACB，连接AD，BD．若AB＝5，AC＝4，则BD＝　　，CD＝　　．
9．（2023 南京）如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点O作AC的垂线，垂足为D，分别交直线BC，于点E，F，射线AF交直线BC于点G．
（1）求证AC＝CG．
（2）若点E在CB的延长线上，且EB＝CG，求∠BAC的度数．
（3）当BC＝6时，随着CG的长度的增大，EB的长度如何变化？请描述变化过程，并说明理由．
10．（2023 陕西）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝45°，过点B作BC的垂线，交⊙O于点D，并与CA的延长线交于点E，作BF⊥AC，垂足为M，交⊙O于点F．
（1）求证：BD＝BC；
（2）若⊙O的半径r＝3，BE＝6，求线段BF的长．
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备考2024中考二轮数学《高频考点冲刺》（全国通用）
专题22 圆的性质问题
考点扫描☆聚焦中考
圆的性质问题在近几年各地中考试题中，填空题、选择题、解答题三种形式都有所考查，多数题目较难，属于中、高档题；考查的内容主要涉及的有：点和圆的位置关系；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理及推论；圆内接四边形的性质；三角形外接圆与外心的性质等；从考查的热点主要涉及的有：垂径定理、圆周角定理及推论、圆内接四边形的性质、三角形外接圆与外心的性质。
考点剖析☆典型例题
例1（2023 凉山州）如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠ADB＝30°，BC＝2，则OC＝（　　）
A．1 B．2 C．2 D．4
【答案】B
【点拨】连接OB，设OA交BC于E，由∠ADB＝30°，得∠AOB＝60°，根据OA⊥BC，BC＝2，得BE＝BC＝，故sin60°＝，从而OB＝2＝OC＝2．
【解析】解：连接OB，设OA交BC于E，如图：
∵∠ADB＝30°，
∴∠AOB＝60°，
∵OA⊥BC，BC＝2，
∴BE＝BC＝，
在Rt△BOE中，sin∠AOB＝，
∴sin60°＝，
∴OB＝2，
∴OC＝2；
故选：B．
【点睛】本题考查了垂径定理和圆周角定理，解题的关键是掌握含30°角的直角三角形三边关系．
例2（2023 武汉）如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠ACB＝2∠BAC．
（1）求证：∠AOB＝2∠BOC；
（2）若AB＝4，，求⊙O的半径．
【答案】见解析
【点拨】（1）利用圆周角定理可得，，结合∠ACB＝2∠BAC可证明结论；
（2）过点O作半径OD⊥AB于点E，可得AE＝BE，根据圆周角、弦、弧的关系可证得BD＝BC，即可求得BE＝2，，利用勾股定理可求解DE＝1，再利用勾股定理可求解圆的半径．
【解析】（1）证明：∵，，∠ACB＝2∠BAC，
∴∠AOB＝2∠BOC；
（2）解：过点O作半径OD⊥AB于点E，连接DB，
∴AE＝BE，
∵∠AOB＝2∠BOC，∠DOB＝∠AOB，
∴∠DOB＝∠BOC．
∴BD＝BC．
∵AB＝4，，
∴BE＝2，，
在 Rt△BDE 中，∠DEB＝90°，
∴，
在Rt△BOE中，∠OEB＝90°，
OB2＝（OB﹣1）2+22，
解得，
即⊙O的半径是 ．
【点睛】本题主要考查圆周角定理，勾股定理，垂径定理，圆心角、弦、弧的关系，掌握圆周角定理是解题的关键．
例3（2023 赤峰）如图，圆内接四边形ABCD中，∠BCD＝105°，连接OB，OC，OD，BD，∠BOC＝2∠COD．则∠CBD的度数是（　　）
A．25° B．30° C．35° D．40°
【答案】A
【点拨】利用圆内接四边形的性质及圆周角定理求得∠BOD的度数，再结合已知条件求得∠COD的度数，然后利用圆周角定理求得∠CBD的度数．
【解析】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠BCD＝180°，
∵∠BCD＝105°，
∴∠A＝75°，
∴∠BOD＝2∠A＝150°，
∵∠BOC＝2∠COD，
∴∠BOD＝3∠COD＝150°，
∴∠COD＝50°，
∴∠CBD＝∠COD＝25°，
故选：A．
【点睛】本题考查圆内接四边形性质及圆周角定理，结合已知条件求得∠BOD的度数是解题的关键．
例4（2023 淄博）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，∠BAC＝120°，D是BC边上一点，连接AD并延长交⊙O于点E．若AD＝2，DE＝3，则⊙O的半径为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【点拨】连接OA，OC，CE，根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠ACB＝30°，根据等边三角形的性质得到AC＝OA，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．
【解析】解：连接OA，OC，CE，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠ACB＝30°，
∴∠AOC＝60°，
∵OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴AC＝OA，
∵∠AEC＝∠ACB＝30°，∠CAD＝∠EAC，
∴△ACD∽△AEC，
∴，
∴AC2＝AD AE，
∵AD＝2，DE＝3，
∴AC＝＝＝，
∴OA＝AC＝，
即⊙O的半径为，
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆和外心，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形 的判定和性质是解题的关键．
考点过关☆专项突破
类型一 垂径定理及其应用
1．（2023 宜昌）如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，AC，OB交于点D．若AD＝CD＝8，OD＝6，则BD的长为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【点拨】根据垂径定理的推论得OB⊥AC，再根据勾股定理得OA＝＝＝10，即可求出答案．
【解析】解：∵AD＝CD＝8，
∴OB⊥AC，
在Rt△AOD中，OA＝＝＝10，
∴OB＝10，
∴BD＝10﹣6＝4．
故选：B．
【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，由垂径定理得OB⊥AC是解题的关键．
2．（2022 云南）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E．若AB＝26，CD＝24，则∠OCE的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【点拨】利用垂径定理求得CE，利用余弦的定义在Rt△OCE中解答即可．
【解析】解：∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，
∴CE＝DE＝CD＝12，
∵AB＝26，
∴OC＝13．
∴cos∠OCE＝．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，直角三角形的边角关系定理，熟练掌握直角三角形的边角关系定理是解题的关键．
3．（2021 丽水）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥OA于点E，连结OC，OD．若⊙O的半径为m，∠AOD＝∠α，则下列结论一定成立的是（　　）
A．OE＝m tanα B．CD＝2m sinα C．AE＝m cosα D．S△COD＝m2 sinα
【答案】B
【点拨】根据垂径定理和锐角三角函数计算则可进行判断．
【解析】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥OA于点E，∴DE＝CD，
在Rt△EDO中，OD＝m，∠AOD＝∠α，
∴tanα＝，
∴OE＝＝，
故选项A不符合题意；
∵AB是⊙O的直径，CD⊥OA，
∴CD＝2DE，
∵⊙O的半径为m，∠AOD＝∠α，
∴DE＝OD sinα＝m sinα，
∴CD＝2DE＝2m sinα，
故选项B正确，符合题意；
∵cosα＝，
∴OE＝OD cosα＝m cosα，
∵AO＝DO＝m，
∴AE＝AO﹣OE＝m﹣m cosα，
故选项C不符合题意；
∵CD＝2m sinα，OE＝m cosα，
∴S△COD＝CD×OE＝×2m sinα×m cosα＝m2sinα cosα，
故选项D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理，垂径定理，解直角三角形，解决本题的关键是掌握圆周角定理，勾股定理，垂径定理，解直角三角形等知识．
4．（2023 广西）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为37m，拱高约为7m，则赵州桥主桥拱半径R约为（　　）
A．20m B．28m C．35m D．40m
【答案】B
【点拨】设主桥拱半径R，根据垂径定理得到AD＝，再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案．
【解析】解：由题意可知，AB＝37m，CD＝7m，
设主桥拱半径为R m，
∴OD＝OC﹣CD＝（R﹣7）m，
∵OC是半径，OC⊥AB，
∴AD＝BD＝AB＝（m），
在RtADO中，AD2+OD2＝OA2，
∴（）2+（R﹣7）2＝R2，
解得R＝≈28．
故选：B．
【点睛】本题主要考查垂径定理的应用，涉及勾股定理，解题的关键是用勾股定理列出关于R的方程解决问题．
5．（2021 淄博）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长度是（　　）
A．12寸 B．24寸 C．13寸 D．26寸
【答案】D
【点拨】连接OA构成直角三角形，先根据垂径定理，由DE垂直AB得到点E为AB的中点，由AB＝6可求出AE的长，再设出圆的半径OA为x，表示出OE，根据勾股定理建立关于x的方程，解方程直接可得2x的值，即为圆的直径．
【解析】解：连接OA，
∵AB⊥CD，且AB＝10寸，
∴AE＝BE＝5寸，
设圆O的半径OA的长为x，则OC＝OD＝x，
∵CE＝1，
∴OE＝x﹣1，
在直角三角形AOE中，根据勾股定理得：
x2﹣（x﹣1）2＝52，化简得：x2﹣x2+2x﹣1＝25，
即2x＝26，
∴CD＝26（寸）．
故选：D．
【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是关键．
6．（2023 湖州）如图，OA是⊙O的半径，弦BC⊥OA于点D，连结OB．若⊙O的半径为5cm，BC的长为8cm，则OD的长是 　3　cm．
【答案】3．
【点拨】根据垂径定理和勾股定理列方程即可．
【解析】解：∵BC⊥OA，BC＝8cm，
∴BD＝CD＝BC＝4cm，BD2+OD2＝OB2，
∵OB＝5cm，
∴42+OD2＝52，
∴OD＝3或OD＝﹣3（舍去），
∴OD的长是3cm，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题关键是连接半径，构建直角三角形，列方程解决问题．
7．（2019 嘉兴）如图，在⊙O中，弦AB＝1，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为　　．
【答案】．
【点拨】连接OD，如图，利用勾股定理得到CD，利用垂线段最短得到当OC⊥AB时，OC最小，再求出即可．
【解析】解：连接OD，如图，
∵CD⊥OC，
∴∠DCO＝90°，
∴CD＝＝，
当OC的值最小时，CD的值最大，
而OC⊥AB时，OC最小，此时D、B两点重合，
∴CD＝CB＝AB＝×1＝，
即CD的最大值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了垂线段最短，勾股定理和垂径定理等知识点，能求出点C的位置是解此题的关键．
8．（2023 成都）为传承非遗文化，讲好中国故事，某地准备在一个场馆进行川剧演出．该场馆底面为一个圆形，如图所示，其半径是10米，从A到B有一笔直的栏杆，圆心O到栏杆AB的距离是5米，观众在阴影区域里观看演出，如果每平方米可以坐3名观众，那么最多可容纳 　184　名观众同时观看演出．（π取3.14，取1.73）
【答案】184．
【点拨】过O作OD⊥AB，D为垂足，可得到∠AOD＝60°，所以∠AOB＝120°，再求出S阴影部分＝S扇形OAB﹣S△OAB＝﹣×10×5＝π﹣25≈61.4（m2），然后乘以3即可得到观看马戏的观众人数约为184人．
【解析】解：过O作OD⊥AB，D为垂足，如图，
∴AD＝BD，OD＝5m，
∵cos∠AOD＝＝＝，
∴∠AOD＝60°，AD＝OD＝5m，
∴∠AOB＝120°，AB＝10m，
∴S阴影部分＝S扇形OAB﹣S△OAB＝﹣×10×5＝π﹣25≈61.4（m2），
∴61.4×3≈184（人）．
∴观看马戏的观众人数约为184人．
故答案为：184人．
【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键，也考查了三角函数的概念和特殊角的三角函数值．
9．（2023 贵州）如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，连接CO并延长交AB于点D，交⊙O于点E，连接EA，EB．
（1）写出图中一个度数为30°的角：　∠1　，图中与△ACD全等的三角形是 　△BCD　；
（2）求证：△AED∽△CEB；
（3）连接OA，OB，判断四边形OAEB的形状，并说明理由．
【答案】（1）∠1（答案不唯一），△BCD；（2）证明见解析；（3）菱形，理由见解析．
【点拨】（1）⊙O是等边三角形ABC的外接圆，可知点O为外心，故CD为AB的中线、垂线、∠ACB平分线（三线合一），并利用HL定理证明△ACD≌△BCD；
（2）利用两三角形两个对应角相等，可证明两三角形相似；
（3）根据“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”，可证得四边形OAEB四条边相等，从而证明它为菱形．
【解析】（1）解：∵已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，
∴点O是等边三角形ABC的外心，
∴CE⊥AB，∠1＝∠2＝30°．
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
又∵AC＝BC，CD＝CD，
∴Rt△ACD≌Rt△BCD（HL定理）．
故答案为：∠1（答案不唯一），△BCD．
（2）证明：∵∠ADE＝∠CBE＝90°，∠3＝∠CAE﹣∠CAB＝90°﹣60°＝30°＝∠2，
∴△AED∽△CEB．
（3）四边形OAEB为菱形．
证明：∵∠CAE＝90°，∠1＝30°，
∴AE＝CE．
同理可证，BE＝CE．
∴OA＝OB＝AE＝BE，
∴四边形OAEB为菱形．
【点睛】本题考查等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质、垂径定理与菱形的判定，知识点比较多，但难度不大，一定要牢牢掌握，并能运用自如．
10．（2023 上海）如图，在⊙O中，弦AB的长为8，点C在BO延长线上，且cos∠ABC＝，OC＝OB．
（1）求⊙O的半径；
（2）求∠BAC的正切值．
【答案】（1）⊙O的半径为5；
（2）∠BAC的正切值为．
【点拨】（1）过点O作OD⊥AB，垂足为D，根据垂径定理可得AD＝BD＝4，然后在Rt△OBD中，利用锐角三角函数的定义求出OB的长，即可解答；
（2）过点C作CE⊥AB，垂足为E，根据已知可得BC＝OB＝7.5，再利用平行线分线段成比例可得＝，从而求出BE的长，进而求出AE的长，然后在Rt△BCE中，利用勾股定理求出CE的长，再在Rt△ACE中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【解析】解：（1）过点O作OD⊥AB，垂足为D，
∵AB＝8，
∴AD＝BD＝AB＝4，
在Rt△OBD中，cos∠ABC＝，
∴OB＝＝＝5，
∴⊙O的半径为5；
（2）过点C作CE⊥AB，垂足为E，
∵OC＝OB，OB＝5，
∴BC＝OB＝7.5，
∵OD⊥AB，
∴OD∥CE，
∴＝，
∴＝，
∴BE＝6，
∴AE＝AB﹣BE＝8﹣6＝2，
在Rt△BCE中，CE＝＝＝4.5，
在Rt△ACE中，tan∠BAC＝＝＝，
∴∠BAC的正切值为．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，解直角三角形，平行线分线段成比例，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
类型二 圆周角定理
1．（2023 枣庄）如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P．若∠A＝48°，∠APD＝80°，则∠B的度数为（　　）
A．32° B．42° C．48° D．52°
【答案】A
【点拨】根据外角∠APD，求出∠C，由同弧所对圆周角相等即可求出∠B．
【解析】解：∵∠A＝48°，∠APD＝80°，
∴∠C＝80°﹣48°＝32°，
∵，
∴∠B＝∠C＝32°．
故选：A．
【点睛】本题考查了圆周角的性质的应用，三角形外角的性质应用是解题关键．
2．（2023 山西）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC，BD为对角线，BD经过圆心O．若∠BAC＝40°，则∠DBC的度数为（　　）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【答案】B
【点拨】由圆周角定理可得∠BCD＝90°，∠BDC＝∠BAC＝40°，再利用直角三角形的性质可求解．
【解析】解：∵BD经过圆心O，
∴∠BCD＝90°，
∵∠BDC＝∠BAC＝40°，
∴∠DBC＝90°﹣∠BDC＝50°，
故选：B．
【点睛】本题主要考查圆周角定理，直角三角形的性质，掌握圆周角定理是解题的关键．
3．（2023 湖北）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，连接AC，AD，BD，若∠C＝20°，∠BPC＝70°，则∠ADC＝（　　）
A．70° B．60° C．50° D．40°
【答案】D
【点拨】先根据外角性质得∠BAC＝∠BPC﹣∠C＝50°＝∠BDC，再由AB是⊙O的直径得∠ADB＝90°即可求得∠ADC．
【解析】解：∵∠C＝20°，∠BPC＝70°，
∴∠BAC＝∠BPC﹣∠C＝50°＝∠BDC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADC＝∠ADB﹣∠BDC＝40°，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了三角形的外角性质以及直径所对的圆周角是直角，熟练掌握各知识点是解决本题的关键．
4．（2023 阜新）如图，A，B，C是⊙O上的三点，若∠AOC＝90°，∠ACB＝25°，则∠BOC的度数是（　　）
A．20° B．25° C．40° D．50°
【答案】C
【点拨】先利用圆周角定理求出∠AOB＝50°，然后利用角的和差关系进行计算，即可解答．
【解析】解：∵∠ACB＝25°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝50°，
∵∠AOC＝90°，
∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝40°，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
5．（2023 温州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC∥AD，AC⊥BD．若∠AOD＝120°，AD＝，则∠CAO的度数与BC的长分别为（　　）
A．10°，1 B．10°， C．15°，1 D．15°，
【答案】C
【点拨】由平行线的性质，圆周角定理，垂直的定义，推出∠AOB＝∠COD＝90°，∠CAD＝∠BDA＝45°，求出∠BOC＝60°，得到△BOC是等边三角形，得到BC＝OB，由等腰三角形的性质求出圆的半径长，求出∠OAD的度数，即可得到BC的长，∠CAO的度数．
【解析】解：连接OB，OC，
∵BC∥AD，
∴∠DBC＝∠ADB，
∴＝，
∴∠AOB＝∠COD，∠CAD＝∠BDA，
∵DB⊥AC，
∴∠AED＝90°，
∴∠CAD＝∠BDA＝45°，
∴∠AOB＝2∠ADB＝90°，∠COD＝2∠CAD＝90°，
∵∠AOD＝120°，
∴∠BOC＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝60°，
∵OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC＝OB，
∵OA＝OD，∠AOD＝120°，
∴∠OAD＝∠ODA＝30°，
∴AD＝OA＝，
∴OA＝1，
∴BC＝1，
∴∠CAO＝∠CAD﹣∠OAD＝45°﹣30°＝15°．
故选：C．
【点睛】本题考查圆周角定理，平行线的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，关键是由圆周角定理推出∠AOB＝∠COD＝90°，∠CAD＝∠BDA＝45°，证明△OBC是等边三角形．
6．（2023 青海）如图，AB是⊙O的弦，C是⊙O上一点，OC⊥AB，垂足为D．若∠A＝20°，则∠ABC＝（　　）
A．20° B．30° C．35° D．55°
【答案】C
【点拨】根据垂直定义可得∠ADO＝90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得∠AOD＝70°，然后利用圆周角定理进行计算，即可解答．
【解析】解：∵OC⊥AB，
∴∠ADO＝90°，
∵∠A＝20°，
∴∠AOD＝90°﹣∠A＝70°，
∴∠ABC＝∠AOD＝35°，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
7．（2023 长沙）如图，点A，B，C在半径为2的⊙O上，∠ACB＝60°，OD⊥AB，垂足为E，交⊙O于点D，连接OA，则OE的长度为 　1　．
【答案】1．
【点拨】连接OB，利用圆周角定理及垂径定理易得∠AOD＝60°，则∠OAE＝30°，结合已知条件，利用直角三角形中30°角对的直角边等于斜边的一半即可求得答案．
【解析】解：如图，连接OB，
∵∠ACB＝60°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝120°，
∵OD⊥AB，
∴＝，∠OEA＝90°，
∴∠AOD＝∠BOD＝∠AOB＝60°，
∴∠OAE＝90°﹣60°＝30°，
∴OE＝OA＝×2＝1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查圆与直角三角形性质的综合应用，结合已知条件求得∠AOD＝60°是解题的关键．
8．（2023 衡阳）如图，AB是⊙O的直径，AC是一条弦，D是弧AC的中点，DE⊥AB于点E，交AC于点F，交⊙O于点H，DB交AC于点G．
（1）求证：AF＝DF．
（2）若AF＝，sin∠ABD＝，求⊙O的半径．
【答案】（1）见解析；（2）5．
【点拨】（1）由D是弧AC的中点，得出，再由垂径定理得出，根据等弧所对圆周角相等得出∠ADH＝∠CAD，即可证明出结论．
（2）证明出∠ADE＝∠B，得出tan∠ADE＝，设AE＝x，根据勾股定理求出x，再求出直径即可．
【解析】（1）证明：∵D是弧AC的中点，
∴，
∵AB⊥DH，且AB是⊙O的直径，
∴，
∴，
∴∠ADH＝∠CAD，
∴AF＝DF．
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAB+∠B＝90°，
∵∠DAE+∠ADE＝90°，
∴∠ADE＝∠B，
∴sin∠ADE＝，
∴tan∠ADE＝，
设AE＝x，则DE＝2x，
∵DF＝AF＝，
∴EF＝2x﹣，
∵AE2+EF2＝AF2，
∴x＝2，
∴AD＝＝2，
∴AB＝，
∴AB＝10，
∴⊙O的半径为5．
【点睛】本题考查了圆的相关性质的应用，解直角三角形、勾股定理的计算是解题关键．
9．（2023 无锡）如图，AB是⊙O的直径，FD为⊙O的切线，CD与AB相交于点E．DF∥AB，交CA的延长线于点F，CF＝CD．
（1）求∠F 的度数；
（2）若 DE DC＝8，求⊙O的半径．
【答案】（1）67.5°；
（2）2．
【点拨】（1）连接OD，利用切线性质和平行线性质求得∠AOD＝90°，再利用圆周角定理求得∠ACD的度数，最后利用等边对等角及三角形内角和定理即可求得答案；
（2）结合（1）中所求易证得△DAE∽△DCA，再利用相似三角形性质及勾股定理即可求得答案．
【解析】解：（1）如图，连接OD，
∵FD为⊙O的切线，
∴∠ODF＝90°，
∵DF∥AB，
∴∠AOD＝180°﹣∠ODF＝90°，
∴∠ACD＝∠AOD＝45°，
∵CF＝CD，
∴∠F＝∠CDF＝＝67.5°；
（2）∵OA＝OD，∠AOD＝90°，
∴∠EAD＝45°，
∵∠ACD＝45°，
∴∠ACD＝∠EAD，
∵∠ADE＝∠CDA，
∴△DAE∽△DCA，
∴＝，
∴DA2＝DE DC＝8，
∵DA＞0，
∴DA＝2，
∵OA2+OD2＝2OA2＝DA2＝8，OA＞0，
∴OA＝2，
即⊙O的半径为2．
【点睛】本题考查圆与相似三角形的综合应用，（2）中利用相似三角形的判定及性质求得DA2＝DE DC＝8是解题的关键．
10．（2023 内蒙古）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是上一点，P是AB延长线上一点，连接AD，DC，CP．
（1）求证：∠ADC﹣∠BAC＝90°；（请用两种证法解答）
（2）若∠ACP＝∠ADC，⊙O的半径为3，CP＝4，求AP的长．
【答案】（1）证明见解析；
（2）8．
【点拨】（1）方法一：连接BD，利用圆周角定理及角的和差即可证得结论；
方法二：连接BC，利用圆周角定理求得∠ACB＝90°，再利用圆内接四边形的性质及三角形的外角性质即可证得结论；
（2）根据方法二中的图形易证得△PBC∽△PCA，结合已知条件，根据相似三角形的对应边成比例求得PB的长，继而求得AP的长．
【解析】（1）证明：方法一：如图，连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ADC﹣∠BDC＝∠ADB，∠BDC＝∠BAC，
∴∠ADC﹣∠BAC＝90°；
方法二：如图，连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠PBC＝∠BAC+∠ACB，
∴∠PBC﹣∠BAC＝90°，
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
∵∠PBC+∠ABC＝180°，
∴∠ADC＝∠PBC，
∴∠ADC﹣∠BAC＝90°；
（2）解：由图可得∠ADC＝∠PBC，
∵ACP＝∠ADC，
∴∠PBC＝∠ACP，即∠PBC＝∠PCA，
∵∠BPC＝∠CPA，
∴△PBC∽△PCA，
∴＝，
∴PC2＝PA PB，
∵⊙O的半径为3，
∴AB＝6，
∴PA＝PB+6，
∵CP＝4，
∴42＝（PB+6） PB，
解得：PB＝2或PB＝﹣8（舍去），
则AP＝2+6＝8．
【点睛】本题考查圆与相似三角形的综合应用，（2）中结合已知条件证得△PBC∽△PCA是解题的关键．
类型三 圆内接四边形
1．（2023 绍兴）如图，四边形ABCD内接于圆O，若∠D＝100°，则∠B的度数是 　80°　．
【答案】80°．
【点拨】由圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补，即可得到答案．
【解析】解：∵四边形ABCD内接于圆O，
∴∠B+∠D＝180°，
∵∠D＝100°，
∴∠B＝80°．
故答案为：80°．
【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，关键是掌握圆内接四边形的性质．
2．（2023 西藏）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点．若∠DCE＝65°，则∠BOD的度数是（　　）
A．65° B．115° C．130° D．140°
【答案】C
【点拨】根据邻补角互补求出∠DCB的度数，再根据圆内接四边形对角互补求出∠BAD的度数，最后根据圆周角定理即可求出∠BOD的度数．
【解析】解：∵∠DCE＝65°，
∴∠DCB＝180°﹣∠DCE＝180°﹣65°＝115°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BAD+∠DCB＝180°，
∴∠BAD＝65°，
∴∠BOD＝2∠BAD＝2×65°＝130°，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟练掌握这些定理和性质是解题的关键．
3．（2023 襄阳）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在CD的延长线上．若∠ADE＝70°，则∠AOC＝　140　度．
【答案】140
【点拨】首先根据圆内接四边形的性质得∠B＝∠ADE＝70°，再根据圆心角与圆周角的关系即可得出∠AOC的度数．
【解析】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ADE＝70°，
∴∠B＝∠ADE＝70°，
∴∠AOC＝2∠B＝140°．
故答案为：140．
【点睛】此题主要考查了圆内接四边形的性质，圆心角与圆周角之间的关系，熟练掌握圆内接四边形的一个外角等于它的内对角，理解圆心角与圆周角之间的关系是解答此题的关键．
4．（2023 淮安）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC是⊙O的直径，BC＝2CD，则∠BAD的度数是 　120　°．
【答案】120．
【点拨】连接OD，根据等边三角形的性质得到∠C＝60°，再根据圆内接四边形的性质计算，得到答案．
【解析】解：如图，连接OD，
∵BC是⊙O的直径，BC＝2CD，
∴OC＝OD＝CD，
∴△COD为等边三角形，
∴∠C＝60°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BAD+∠C＝180°，
∴∠BAD＝120°，
故答案为：120．
【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、等边三角形的判定和性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
5．（2023 宁夏）如图，四边形ABCD内接于⊙O，延长AD至点E，已知∠AOC＝140° 那么∠CDE＝　70　°．
【答案】70．
【点拨】由圆内接四边形的性质，得到∠B+∠ADC＝180°，由邻补角的性质得到∠CDE+∠ADC＝180°，因此∠CDE＝∠B，由圆周角定理求出∠B＝70°，得到∠CDE＝70°．
【解析】解：∵∠CDE+∠ADC＝180°，∠B+∠ADC＝180°，
∴∠CDE＝∠B，
∵∠B＝∠AOC＝×140°＝70°，
∴∠CDE＝70°．
故答案为：70．
【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，关键是由圆内接四边形的性质推出∠CDE＝∠B．
6．（2023 北京）如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADB．
（1）求证DB平分∠ADC，并求∠BAD的大小；
（2）过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F，若AC＝AD，BF＝2，求此圆半径的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）4．
【点拨】（1）由圆周角定理得到∠BAC＝∠CDB，而∠BAC＝∠ADB，因此∠ADB＝∠CDB，得到BD平分∠ADC，由圆内接四边形的性质得到∠ABD+∠ADB＝90°，即可求出∠BAD＝90°；
（2）由垂径定理推出△ACD是等边三角形，得到∠ADC＝60°由BD⊥AC，得到∠BDC＝∠ADC＝30°，由平行线的性质求出∠F＝90°，由圆内接四边形的性质求出∠FBC＝∠ADC＝60°，得到BC＝2BF＝4，由直角三角形的性质得到BC＝BD，因为BD是圆的直径，即可得到圆半径的长是4．
【解析】（1）证明：∵∠BAC＝∠ADB，∠BAC＝∠CDB，
∴∠ADB＝∠CDB，
∴BD平分∠ADC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ABD+∠CBD+∠ADB+∠CDB＝180°，
∴2（∠ABD+∠ADB）＝180°，
∴∠ABD+∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝180°﹣90°＝90°；
（2）解：∵∠BAE+∠DAE＝90°，∠BAE＝∠ADE，
∴∠ADE+∠DAE＝90°，
∴∠AED＝90°，
∵∠BAD＝90°，
∴BD是圆的直径，
∴BD垂直平分AC，
∴AD＝CD，
∵AC＝AD，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ADC＝60°
∵BD⊥AC，
∴∠BDC＝∠ADC＝30°，
∵CF∥AD，
∴∠F+∠BAD＝180°，
∴∠F＝90°，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
∵∠FBC+∠ABC＝180°，
∴∠FBC＝∠ADC＝60°，
∴BC＝2BF＝4，
∵∠BCD＝90°，∠BDC＝30°，
∴BC＝BD，
∵BD是圆的直径，
∴圆的半径长是4．
【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，平行线的性质，等边三角形的判定和性质，关键是由圆内接四边形的性质得到∠ABD+∠ADB＝90°，由垂径定理推出△ACD是等边三角形．
类型四 三角形的外接圆与外心
1．（2023 陕西）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝72°．过点O作BC的垂线交于点D，连接BD，则∠D的度数为（　　）
A．64° B．54° C．46° D．36°
【答案】B
【点拨】连接CD，根据圆内接四边形的性质得到∠BDC＝180°﹣∠A＝108°，根据垂径定理得到E是边BC的中点，得到BD＝CD，根据等腰三角形的性质得到∠ODB＝∠ODC＝∠BDC，即可求出∠ODB的度数．
【解析】解：连接CD，
∵四边形ABDC是圆内接四边形，∠A＝72°，
∴∠CDB+∠A＝180°，
∴∠BDC＝180°﹣∠A＝108°，
∵OD⊥BC，
∴E是边BC的中点，
∴BD＝CD，
∴∠ODB＝∠ODC＝∠BDC＝54°．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆内接四边形的性质，垂径定理，等腰三角形的性质，根据垂径定理证得E是边BC的中点，圆周角定理求出∠BDC的度数是解决问题的关键．
2．（2023 自贡）如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，连接BD，∠DCA＝41°，则∠ABC的度数是（　　）
A．41° B．45° C．49° D．59°
【答案】C
【点拨】由直径所对的圆周角是直角可得∠DBC＝90°，由同弧所对的圆周角相等可得∠DBA＝∠DCA，进而可计算∠ABC．
【解析】解：∵CD是⊙O的直径，
∴∠DBC＝90°，
∵∠DBA＝∠DCA＝41°，
∴∠ABC＝90°﹣∠DBA＝49°，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角、同弧所对的圆周角相等，解决本题的关键是熟练掌握相关知识点，难度不大．
3．（2023 巴中）如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠C＝25°，则∠BAO＝（　　）
A．25° B．50° C．60° D．65°
【答案】D
【点拨】由圆周角定理求得∠AOB的度数，再根据等腰三角形的两个底角相等和三角形的内角和定理可得结论．
【解析】解：连接OB，
∵∠C＝25°，
∴∠AOB＝2∠C＝50°，
∵OA＝OB，
∴∠BAO＝∠ABO＝＝65°．
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理：同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半．解题时，借用了等腰三角形的两个底角相等和三角形的内角和定理．
4．（2023 内蒙古）如图，⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC．垂足分别为D，E，F，连接DE，EF，FD．若DE+DF＝6.5，△ABC的周长为21，则EF的长为（　　）
A．8 B．4 C．3.5 D．3
【答案】B
【点拨】根据垂径定理得到AD＝BD，AF＝CF，BE＝CE，根据三角形的中位线定理得到DE+DF+EF＝（AB+BC+AC）＝＝10.5，于是得到结论．
【解析】解：∵OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，
∴AD＝BD，AF＝CF，BE＝CE，
∴DE，DF，EF是△ABC的中位线，
∴DE＝，
∴DE+DF+EF＝（AB+BC+AC）＝＝10.5，
∵DE+DF＝6.5，
∴EF＝10.5﹣6.5＝4，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形外接圆与外心，三角形中位线定理，垂径定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
5．（2023 湖北）如图，在3×3的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中的圆弧为格点△ABC外接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部分的面积为（　　）
A．π﹣ B．π﹣ C．π﹣ D．π﹣
【答案】D
【点拨】作AB的垂直平分线MN，作BC的垂直平分线PQ，设MN与PQ相交于点O，连接OA，OB，OC，则点O是△ABC外接圆的圆心，先根据勾股定理的逆定理证明△AOC是直角三角形，从而可得∠AOC＝90°，然后根据图中阴影部分的面积＝扇形AOC的面积﹣△AOC的面积﹣△ABC的面积，进行计算即可解答．
【解析】解：如图：作AB的垂直平分线MN，作BC的垂直平分线PQ，设MN与PQ相交于点O，连接OA，OB，OC，则点O是△ABC外接圆的圆心，
由题意得：OA2＝12+22＝5，
OC2＝12+22＝5，
AC2＝12+32＝10，
∴OA2+OC2＝AC2，
∴△AOC是直角三角形，
∴∠AOC＝90°，
∵AO＝OC＝，
∴图中阴影部分的面积＝扇形AOC的面积﹣△AOC的面积﹣△ABC的面积
＝﹣OA OC﹣AB 1
＝﹣××﹣×2×1
＝﹣﹣1
＝﹣，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，扇形面积的计算，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
6．（2023 十堰）如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦BD交AC于点E，AE＝DE，BC＝CE，过点O作OF⊥AC于点F，延长FO交BE于点G，若DE＝3，EG＝2，则AB的长为（　　）
A．4 B．7 C．8 D．
【答案】B
【点拨】首先得出△AEB≌△DEC，进而得出△EBC为等边三角形，由已知得出EF，BC的长，进而得出CM，BM的长，再求出AM的长，再由勾股定理求出AB的长．
【解析】解：如图，连接CD，在△AEB和△DEC中，
，
∴△AEB≌△DEC（ASA），
∴EB＝EC，
∵BC＝CE，
∴BE＝CE＝BC，
∴△EBC为等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
如图，作BM⊥AC于点M，
∵OF⊥AC，
∴AF＝CF，
∵△EBC为等边三角形，
∴∠GEF＝60°，
∴∠EGF＝30°，
∵EG＝2，
∴EF＝1，
∵AE＝ED＝3，
∴CF＝AF＝4，
∴AC＝8，EC＝5，
∴BC＝5，
∵∠BCM＝60°，
∴∠MBC＝30°，
∴CM＝，BM＝CM＝，
∴AM＝AC﹣CM＝，
∴AB＝＝7．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了三角形的外接圆与外心，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形，垂径定理等知识，得出CM，BM的长是解题关键．
7．（2023 金昌）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D是⊙O上一点，∠CDB＝55°，则∠ABC＝　35　°．
【答案】35．
【点拨】根据圆周角定理和三角形的内角和定理即可得到结论．
【解析】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠A＝∠D＝55°，
∴∠ABC＝180°﹣∠ACB﹣∠A＝35°，
故答案为：35．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心：熟练掌握三角形的外心的定义与性质．也考查了圆周角定理．
8．（2023 呼和浩特）如图，△ABC内接于⊙O且∠ACB＝90°，弦CD平分∠ACB，连接AD，BD．若AB＝5，AC＝4，则BD＝　　，CD＝　　．
【答案】，．
【点拨】首先利用已知条件得到AB为直径，然后可以证明△ADB为等腰直角三角形，由此求出BD，接着把△ACD绕D逆时针旋转90°得到△DBE，证明△DCE为等腰直角三角形即可解决问题．
【解析】解：∵△ABC内接于⊙O且∠ACB＝90°，
∴AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAC+∠DBC＝180°，
∵弦CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD＝45°，
∴AD＝BD，
∵AB＝5，AC＝4，
∴CB＝3，AD＝BD＝，
∴如图把△ACD绕D逆时针旋转90°得到△DBE，
∴∠DBE＝∠DAC，BE＝AC，
∴∠DBC+∠DBE＝180°，
∴C、B、E三点共线，
∴△DCE为等腰直角三角形，
∴CE＝AC+BC＝7，
∴CD＝DE＝．
故答案为：，．
【点睛】此题分别考查了三角形的外接圆、圆周角定理及其推论、角平分线的性质及勾股定理，有一定的综合性．
9．（2023 南京）如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点O作AC的垂线，垂足为D，分别交直线BC，于点E，F，射线AF交直线BC于点G．
（1）求证AC＝CG．
（2）若点E在CB的延长线上，且EB＝CG，求∠BAC的度数．
（3）当BC＝6时，随着CG的长度的增大，EB的长度如何变化？请描述变化过程，并说明理由．
【答案】（1）见解析；
（2）36°；
（3）见解析．
【点拨】（1）作直径作AM，根据垂径定理得AC⊥EF，根据等腰三角形的性质和三角形的外角即可得到结论；
（2）连接AE，过A作AH⊥BC于H，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得到结论；
（3）分三种情况讨论：当CG＝6，当CG≥6，当3＜CG＜6，再根据相似证明即可．
【解析】（1）证明：过A作直径AM，
∵AB＝AC，
∴AM⊥BC，
∴∠E+∠EOM＝90°，
∵AC⊥EF，
∴∠OAD+∠AOD＝90°，
∴∠E＝∠OAD，
∵OA＝OF，
∴∠OAD+∠DAF＝∠AFO＝∠E+∠G，
∴∠DAF＝∠G，
AC＝CG；
（2）解：BAG＝∵AB＝AC，AM⊥BC，
∴∠BAM＝∠CAM，
设∠BAM＝∠CAM＝2α，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣∠BAC）＝90°﹣2α，
∵AC＝CG，
∴∠CAG＝∠CGA＝45°﹣α，
∴∠BAG＝2α+2α+45°﹣α＝45°+3α，
如图：连AE，
∵EF⊥AC，又EF过圆心，
∴EF垂直平分AC，
∴EC＝AE，
∵BH＝HC，又EB＝CG，
∴HE＝HG，
∴AM垂直平分EG，
∴AE＝AG，
∴EC＝AG，
∵EB＝CG，
∴EB+BC＝BC+CG，
∴EC＝BG，
∴AG＝BG，
∴∠BAG＝∠ABG，
∴45°+3α＝90°﹣2α，
∴α＝9°，
∴∠BAC＝4α＝36°；
（3）答：当CG＝6，BE＝0；
当CG≥6时，BE随CG的增大而增大；
当3＜CG＜6时，BE随CG的增大而减小．
说明：①当BE＝0时，即点E与B重合，
在△BOH和△AOD中，
，
∴△BOH≌△AOD（AAS），
∴AD＝BH＝3，
∴AC＝2AD＝6，
∴AB＝AC＝BC＝6，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝∠ACB＝60°，
∴∠CAG＝30°，∠CAG+∠G＝60°，
∴∠G＝30°＝∠CAG，
∴CA＝CG＝6；
②当CG≥6时，如图：
∵∠E＝∠CAH，∠EDC＝∠AHC＝90°，
∴△ACH～△ECD，
∴，
∴，
∴＝，
∴BE＝CG2﹣6，
∴BE随CG的增大而增大．
③当3＜CG＜6时，如图，
∵∠ACM＝∠DCE，∠EDC＝∠AMC＝90°，
∴△AMC～△EDC，
∴，
∴，
∴，
∴BE＝﹣CG2+6，
∴BE随CG的增大而减小．
综上所述：
当CG≥6时，BE随CG的增大而增大；
当3＜CG＜6时，BE随CG的增大而减小．
【点睛】本题考查了圆的性质，三角形的外接圆，等腰三角形的性质，垂径定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
10．（2023 陕西）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝45°，过点B作BC的垂线，交⊙O于点D，并与CA的延长线交于点E，作BF⊥AC，垂足为M，交⊙O于点F．
（1）求证：BD＝BC；
（2）若⊙O的半径r＝3，BE＝6，求线段BF的长．
【答案】（1）见解析；
（2）2+．
【点拨】（1）如图，连接DC，根据圆周角定理得到∠BDC＝∠BAC＝45°，求得∠BCD＝90°﹣∠BDC＝45°，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论；
（2）如图，根据圆周角定理得到CD为⊙O的直径，求得CD＝2r＝6．根据勾股定理得到EC＝＝＝3，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解析】（1）证明：如图，连接DC，
则∠BDC＝∠BAC＝45°，
∵BD⊥BC，
∴∠BCD＝90°﹣∠BDC＝45°，
∴∠BCD＝∠BDC．
∴BD＝BC；
（2）解：如图，∵∠DBC＝90°，
∴CD为⊙O的直径，
∴CD＝2r＝6．
∴BC＝CD sin＝3，
∴EC＝＝＝3，
∵BF⊥AC，
∴∠BMC＝∠EBC＝90°，∠BCM＝∠BCM，
∴△BCM∽△ECB．
∴，
∴BM＝＝＝2，CM＝，
连接CF，则∠F＝∠BDC＝45°，∠MCF＝45°，
∴MF＝MC＝，
∴BF＝BM+MF＝2+．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
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