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备考2024中考二轮数学《高频考点冲刺》（全国通用）
专题24 圆锥和扇形问题
考点扫描☆聚焦中考
圆锥与扇形问题，在近几年各地中考试题中考主要以选择题、填空题的形式考查，个别地区有解答题出现，都比较容易，属于简单题；考查的知识点有弧长、扇形面积、圆柱与圆锥的侧面展开图等；考查的热点主要有弧长的计算、扇形面积的计算、圆锥的有关计算。
考点剖析☆典型例题
例1 （2023 张家界）“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边△ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”．若等边△ABC的边长为3，则该“莱洛三角形”的周长等于（　　）
A．π B．3π C．2π D．2π﹣
例2（2023 鄂州）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝4，点O为BC的中点，以O为圆心，OB长为半径作半圆，交AC于点D，则图中阴影部分的面积是（　　）
A．5π B．5﹣4π C．5﹣2π D．10﹣2π
例3（2023 无锡）若一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，则这个圆锥侧面展开图的圆心角等于（　　）
A．60° B．120° C．135° D．150°
考点过关☆专项突破
类型一 弧长的计算
1．（2023 大连）在半径为3的圆中，90°的圆心角所对的弧长是（　　）
A． B．9π C． D．
2．（2023 沈阳）如图，四边形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为3，∠D＝120°，则的长是（　　）
A．π B．π C．2π D．4π
3．（2023 青岛）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝58°，∠ACD＝40°．若⊙O的半径为5，则的长为（　　）
A． B． C．π D．
4．（2023 兰州）如图1是一段弯管，弯管的部分外轮廓线如图2所示是一条圆弧，圆弧的半径OA＝20cm，圆心角∠AOB＝90°，则＝（　　）
A．20πcm B．10πcm C．5πcm D．2πcm
5．（2023 宜宾）《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以点O为圆心、OA为半径的圆弧，N是AB的中点．MN⊥AB．“会圆术”给出的弧长l的近似值计算公式：l＝AB+．当OA＝4，∠AOB＝60°时，则l的值为（　　）
A．11﹣2 B．11﹣4 C．8﹣2 D．8﹣4
6．（2023 通辽）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝60°，OD平分∠AOB交于点D，点C是半径OB上一动点，若OA＝1，则阴影部分周长的最小值为（　　）
A． B． C． D．
7．（2023 哈尔滨）一个扇形的圆心角是150°，弧长是πcm，则扇形的半径是 　　cm．
8．（2023 金华）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6cm，∠BAC＝50°，以AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，则弧DE的长为 　　cm．
9．（2023 吉林）如图①，A，B表示某游乐场摩天轮上的两个轿厢．图②是其示意图，点O是圆心，半径r为15m，点A，B是圆上的两点，圆心角∠AOB＝120°，则的长为 　　m．（结果保留π）
10．（2023 张家界）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABOC是正方形，点A的坐标为（1，1），是以点B为圆心，BA为半径的圆弧；是以点O为圆心，OA1为半径的圆弧；是以点C为圆心，CA2为半径的圆弧；是以点A为圆心，AA3为半径的圆弧，继续以点B、O、C、A为圆心，按上述作法得到的曲线AA1A2A3A4A5…称为正方形的“渐开线”，则点A2023的坐标是 　 　．
11．（2023 镇江）如图，扇形OAB的半径为1，分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点P，∠BOP＝35°，则的长l＝　　（结果保留π）．
12．（2022 福建）如图，△ABC内接于⊙O，AD∥BC交⊙O于点D，DF∥AB交BC于点E，交⊙O于点F，连接AF，CF．
（1）求证：AC＝AF；
（2）若⊙O的半径为3，∠CAF＝30°，求的长（结果保留π）．
类型二 扇形面积的计算
1．（2023 锦州）如图，点A，B，C在⊙O上，∠ABC＝40°，连接OA，OC．若⊙O的半径为3，则扇形AOC（阴影部分）的面积为（　　）
A．π B．π C．π D．2π
2．（2023 雅安）如图，某小区要绿化一扇形OAB空地，准备在小扇形OCD内种花，在其余区域内（阴影部分）种草，测得∠AOB＝120°，OA＝15m，OC＝10m，则种草区域的面积为（　　）
A． B． C． D．
3．（2023 连云港）如图，矩形ABCD内接于⊙O，分别以AB、BC、CD、AD为直径向外作半圆．若AB＝4，BC＝5，则阴影部分的面积是（　　）
A．π﹣20 B．π﹣20 C．20π D．20
4．（2023 广元）如图，半径为5的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C是上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，若CD＝CE，则图中阴影部分面积为（　　）
A． B． C． D．
5．（2023 滨州）如图，某玩具品牌的标志由半径为1cm的三个等圆构成，且三个等圆⊙O1，⊙O2，⊙O3相互经过彼此的圆心，则图中三个阴影部分的面积之和为（　　）
A．πcm2 B．πcm2 C．πcm2 D．πcm2
6．（2023 永州）已知扇形的半径为6，面积为6π，则扇形圆心角的度数为 　　度．
7．（2023 重庆）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E为BC的中点，连接AE．DE．以E为圆心，EB长为半径画弧，分别与AE，DE交于点M，N．则图中阴影部分的面积为 　　（结果保留π）．
8．（2023 内蒙古）如图，正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD相交于点O，以点B为圆心，对角线BD的长为半径画弧，交BC的延长线于点E，则图中阴影部分的面积为 　　．
9．（2022 益阳）如图，C是圆O被直径AB分成的半圆上一点，过点C的圆O的切线交AB的延长线于点P，连接CA，CO，CB．
（1）求证：∠ACO＝∠BCP；
（2）若∠ABC＝2∠BCP，求∠P的度数；
（3）在（2）的条件下，若AB＝4，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．
类型三 圆锥的计算
1．（2023 牡丹江）用一个圆心角为90°，半径为8的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面直径是（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
2．（2023 东营）如果圆锥侧面展开图的面积是15π，母线长是5，则这个圆锥的底面半径是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．（2022 赤峰）如图所示，圆锥形烟囱帽的底面半径为12cm，侧面展开图为半圆形，则它的母线长为（　　）
A．10cm B．20cm C．5cm D．24cm
4．（2023 十堰）如图，已知点C为圆锥母线SB的中点，AB为底面圆的直径，SB＝6，AB＝4，一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从A点爬到C点，则蚂蚁爬行的最短路程为（　　）
A．5 B． C． D．
5．（2023 黑龙江）已知圆锥的母线长13cm，侧面积65πcm2，则这个圆锥的高是 　　cm．
6．（2023 徐州）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形．若母线长l为6cm，扇形的圆心角θ为120°，则圆锥的底面圆的半径r为 　　cm．
7．（2023 宁波）如图，圆锥形烟囱帽的底面半径为30cm，母线长为50cm，则烟囱帽的侧面积
为 　　cm2．（结果保留π）
8．（2023 苏州）如图，在 ABCD中，AB＝+1，BC＝2，AH⊥CD，垂足为H，AH＝．以点A为圆心，AH长为半径画弧，与AB，AC，AD分别交于点E，F，G．若用扇形AEF围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为r1；用扇形AHG围成另一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为r2，则r1﹣r2＝　　．（结果保留根号）
9．（2023 呼和浩特）圆锥的高为，母线长为3，沿一条母线将其侧面展开，展开图（扇形）的圆心角是 　　度，该圆锥的侧面积是 　　（结果用含π的式子表示）．
10．（2023 娄底）如图，在△ABC中，AC＝3，AB＝4，BC边上的高AD＝2，将△ABC绕着BC所在的直线旋转一周得到的几何体的表面积为 　　．
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备考2024中考二轮数学《高频考点冲刺》（全国通用）
专题24 圆锥和扇形问题
考点扫描☆聚焦中考
圆锥与扇形问题，在近几年各地中考试题中考主要以选择题、填空题的形式考查，个别地区有解答题出现，都比较容易，属于简单题；考查的知识点有弧长、扇形面积、圆柱与圆锥的侧面展开图等；考查的热点主要有弧长的计算、扇形面积的计算、圆锥的有关计算。
考点剖析☆典型例题
例1 （2023 张家界）“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边△ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”．若等边△ABC的边长为3，则该“莱洛三角形”的周长等于（　　）
A．π B．3π C．2π D．2π﹣
【答案】B
【点拨】由等边三角形的性质得到＝＝，由弧长公式求出的长＝π，即可求出“莱洛三角形”的周长．
【解析】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝3，∠A＝∠B＝∠C＝60°，
∴＝＝，
∵的长＝＝π，
∴该“莱洛三角形”的周长是3π．
故选：B．
【点睛】本题考查弧长的计算，等边三角形的性质，关键是由弧长公式求出的长．
例2（2023 鄂州）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝4，点O为BC的中点，以O为圆心，OB长为半径作半圆，交AC于点D，则图中阴影部分的面积是（　　）
A．5π B．5﹣4π C．5﹣2π D．10﹣2π
【答案】C
【点拨】连接OD．解直角三角形求出∠DOB＝60°，BC＝4，再根据S阴＝S△ACB﹣S△COD﹣S扇形ODB，求解即可．
【解析】解：连接OD．
在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝4，
∴BC＝AB＝4，
∴OC＝OD＝OB＝2，
∴∠DOB＝2∠C＝60°，
∴S阴＝S△ACB﹣S△COD﹣S扇形ODB＝×4×4﹣﹣
＝8﹣3﹣2π
＝5﹣2π．
故选：C．
【点睛】本题考查扇形的面积，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用分割法求阴影部分的面积．
例3（2023 无锡）若一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，则这个圆锥侧面展开图的圆心角等于（　　）
A．60° B．120° C．135° D．150°
【答案】B
【点拨】设圆锥的母线长为R，底面圆的半径为r，这个圆锥侧面展开图的圆心角为n°，先利用扇形的面积公式表示出圆锥的侧面积，则×2πr×l＝3πr2，所以l＝3r，然后利用弧长公式得到2πr＝，然后解n的方程即可．
【解析】解：设圆锥的母线长为R，底面圆的半径为r，这个圆锥侧面展开图的圆心角为n°，
∵圆锥的侧面积是底面积的3倍，
∴×2πr×l＝3πr2，
∴l＝3r，
∵2πr＝，
即2πr＝
∴n＝120，
即这个圆锥侧面展开图的圆心角等于120°．
故选：B．
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
考点过关☆专项突破
类型一 弧长的计算
1．（2023 大连）在半径为3的圆中，90°的圆心角所对的弧长是（　　）
A． B．9π C． D．
【答案】C
【点拨】根据弧长的公式l＝，直接求值即可．
【解析】解：根据弧长的公式，该弧长为：＝．
故选：C．
【点睛】本题考查有关扇形弧长的计算．正确地记准公式l＝是解题的关键．
2．（2023 沈阳）如图，四边形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为3，∠D＝120°，则的长是（　　）
A．π B．π C．2π D．4π
【答案】C
【点拨】根据圆内接四边形的性质得到∠B＝60°，由圆周角定理得到∠AOC＝120°，根据弧长的公式即可得到结论．
【解析】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠D＝120°，
∴∠B＝60°，
∴∠AOC＝2∠B＝120°，
∴的长＝＝2π．
故选：C．
【点睛】本题考查的是弧长的计算，圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
3．（2023 青岛）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝58°，∠ACD＝40°．若⊙O的半径为5，则的长为（　　）
A． B． C．π D．
【答案】C
【点拨】根据圆周角的性质，计算出弧DC所对的圆心角度数，按照公式求出弧长即可．
【解析】解：连接OA、OD、OC，
∵∠B＝58°，∠ACD＝40°．
∴∠AOC＝2∠B＝116°，∠AOD＝2∠ACD＝80°，
∴∠DOC＝36°，
∴＝＝π．
故选：C．
【点睛】本题考查了弧长的计算和圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半．
4．（2023 兰州）如图1是一段弯管，弯管的部分外轮廓线如图2所示是一条圆弧，圆弧的半径OA＝20cm，圆心角∠AOB＝90°，则＝（　　）
A．20πcm B．10πcm C．5πcm D．2πcm
【答案】B
【点拨】由弧长公式：l＝（n是弧的圆心角的度数，r是弧的半径长），即可计算．
【解析】解：∵圆弧的半径OA＝20cm，圆心角∠AOB＝90°，
∴的长＝＝10π（cm）．
故选：B．
【点睛】本题考查弧长的计算，关键是掌握弧长公式．
5．（2023 宜宾）《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以点O为圆心、OA为半径的圆弧，N是AB的中点．MN⊥AB．“会圆术”给出的弧长l的近似值计算公式：l＝AB+．当OA＝4，∠AOB＝60°时，则l的值为（　　）
A．11﹣2 B．11﹣4 C．8﹣2 D．8﹣4
【答案】B
【点拨】连接ON，根据是以O为圆心，OA为半径的圆弧，N是AB的中点，MN⊥AB，知ON⊥AB，M，N，O共线，由OA＝4，∠AOB＝60°，知△AOB是等边三角形，得ON＝OA sin60°＝2，即得MN＝OM﹣ON＝4﹣2，故l＝AB+＝4+＝11﹣4．
【解析】解：连接ON，如图：
∵是以O为圆心，OA为半径的圆弧，N是AB的中点，MN⊥AB，
∴ON⊥AB，
∴M，N，O共线，
∵OA＝4，∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝AB＝4，∠OAN＝60°，
∴ON＝OA sin60°＝2，
∴MN＝OM﹣ON＝4﹣2，
∴l＝AB+＝4+＝11﹣4；
故选：B．
【点睛】本题考查弧长的计算，解题的关键是读懂题意，作出辅助线求ON的长度．
6．（2023 通辽）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝60°，OD平分∠AOB交于点D，点C是半径OB上一动点，若OA＝1，则阴影部分周长的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【点拨】作D点关于直线OB的对称点E，连接AE，与OB的交点为C点，此时阴影部分周长最小，最小值为AE的长与弧AD的和．
【解析】解：作D点关于直线OB的对称点E，连接AE，与OB的交点为C点，此时阴影部分周长最小，
在扇形AOB中，∠AOB＝60°，OD平分∠AOB交于点D，
∴∠AOD＝∠BOD＝30°，
由轴对称的性质，∠EOB＝∠BOD＝30°，OE＝OD，
∴∠AOE＝90°，
∴△AOE是等腰直角三角形，
∵OA＝1，
∴AE＝，的长＝＝，
∴阴影部分周长的最小值为，
故选：A．
【点睛】本题考查了弧长的计算，勾股定理，轴对称﹣最短路线问题，证得△AOE为等腰直角三角形是解题的关键．
7．（2023 哈尔滨）一个扇形的圆心角是150°，弧长是πcm，则扇形的半径是 　3　cm．
【答案】3．
【点拨】直接利用弧长公式计算得出答案．
【解析】解：设扇形的半径是R cm，
则＝π，
解得：R＝3，
∴扇形的半径是3cm．
故答案为：3．
【点睛】此题主要考查了弧长公式的应用，正确记忆弧长公式是解题关键．
8．（2023 金华）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6cm，∠BAC＝50°，以AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，则弧DE的长为 　π　cm．
【答案】π．
【点拨】连接OE，OD，由等腰三角形的性质推出∠C＝∠ODB，得到OD∥AC，推出∠EOD＝∠AEO，由OE＝OA，∠OEA＝∠BAC＝50°，因此∠∠EOD＝∠BAC＝50°，由弧长公式即可求出的长．
【解析】解：连接OE，OD，
∵OD＝OB，
∴∠B＝∠ODB，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠C＝∠ODB，
∴OD∥AC，
∴∠EOD＝∠AEO，
∵OE＝OA，
∴∠OEA＝∠BAC＝50°，
∴∠EOD＝∠BAC＝50°，
∵OD＝AB＝×6＝3（cm），
∴的长＝＝π（cm）．
故答案为：π．
【点睛】本题考查弧长的计算，等腰三角形的性质，平行线的性质，关键是由等腰三角形的性质推出OD∥AC，从而求出∠EOD的度数．
9．（2023 吉林）如图①，A，B表示某游乐场摩天轮上的两个轿厢．图②是其示意图，点O是圆心，半径r为15m，点A，B是圆上的两点，圆心角∠AOB＝120°，则的长为 　10π　m．（结果保留π）
【答案】10π．
【点拨】由弧长公式：l＝（l是弧长，n是扇形圆心角的度数，r是扇形的半径长），由此即可计算．
【解析】解：∵∠AOB＝120°，⊙O半径r为15m，
∴的长＝＝10π（m）．
故答案为：10π．
【点睛】本题考查弧长的计算，关键是掌握弧长公式．
10．（2023 张家界）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABOC是正方形，点A的坐标为（1，1），是以点B为圆心，BA为半径的圆弧；是以点O为圆心，OA1为半径的圆弧；是以点C为圆心，CA2为半径的圆弧；是以点A为圆心，AA3为半径的圆弧，继续以点B、O、C、A为圆心，按上述作法得到的曲线AA1A2A3A4A5…称为正方形的“渐开线”，则点A2023的坐标是 　（﹣2023，1）　．
【答案】（﹣2023，1）．
【点拨】将四分之一圆弧对应的A点坐标看作顺时针旋转90°，再根据A、A1、A2、A3、A4的坐标找到规律即可．
【解析】解：∵A点坐标为（1，1），且A1为A点绕B点顺时针旋转90°所得，
∴A1点坐标为（2，0），
又∵A2为A1点绕O点顺时针旋转90°所得，
∴A2点坐标为（0，﹣2），
又∵A3为A2点绕C点顺时针旋转90°所得，
∴A3点坐标为（﹣3，1），
又∵A4为A3点绕A点顺时针旋转90°所得，
∴A4点坐标为（1，5），
由此可得出规律：An为绕B、O、C、A四点作为圆心依次循环顺时针旋转90°，且半径为1、2、3、……、n，每次增加1．
∵2023÷4＝505……3，
故A2023为以点C为圆心，半径为2022的A2022顺时针旋转90°所得，
故A2023点坐标为（﹣2023，1）．
故答案为：（﹣2023，1）．
【点睛】本题考查了点坐标规律探索，通过点的变化探索出坐标变化的规律是解题的关键．
11．（2023 镇江）如图，扇形OAB的半径为1，分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点P，∠BOP＝35°，则的长l＝　π　（结果保留π）．
【答案】π．
【点拨】由等腰三角形的性质求出∠AOB的度数，由弧长公式即可计算．
【解析】解：由作图知：OP垂直平分AB，
∵OA＝OB，
∴∠AOB＝2∠BOP＝2×35°＝70°，
∵扇形的半径是1，
∴的长＝＝π．
故答案为：π．
【点睛】本题考查弧长的计算，关键是掌握弧长公式．
12．（2022 福建）如图，△ABC内接于⊙O，AD∥BC交⊙O于点D，DF∥AB交BC于点E，交⊙O于点F，连接AF，CF．
（1）求证：AC＝AF；
（2）若⊙O的半径为3，∠CAF＝30°，求的长（结果保留π）．
【答案】（1）证明过程见解析；
（2）．
【点拨】（1）根据已知条件可证明四边形ABED是平行四边形，由平行四边形的性质可得∠B＝∠D，等量代换可得∠AFC＝∠ACF，即可得出答案；
（2）连接AO，CO，由（1）中结论可计算出∠AFC的度数，根据圆周角定理可计算出∠AOC的度数，再根据弧长计算公式计算即可得出答案．
【解析】证明：（1）∵AD∥BC，DF∥AB，
∴四边形ABED为平行四边形，
∴∠B＝∠D，
∵∠AFC＝∠B，∠ACF＝∠D，
∴∠AFC＝∠ACF，
∴AC＝AF．
（2）连接AO，CO，如图，
由（1）得∠AFC＝∠ACF，
∵∠AFC＝＝75°，
∴∠AOC＝2∠AFC＝150°，
∴的长l＝＝．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，圆的性质与弧长公式，考查化归与转化思想，推理能力，几何直观等数学素养．
类型二 扇形面积的计算
1．（2023 锦州）如图，点A，B，C在⊙O上，∠ABC＝40°，连接OA，OC．若⊙O的半径为3，则扇形AOC（阴影部分）的面积为（　　）
A．π B．π C．π D．2π
【答案】D
【点拨】先由圆周角定理可得∠AOC的度数，再由扇形的面积公式求解即可．
【解析】解：∵∠ABC＝40°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝80°，
∴扇形AOC的面积为，
故选：D．
【点睛】此题主要是考查了扇形的面积公式，圆周角定理，能够求得∠AOC的度数是解答此题的关键．
2．（2023 雅安）如图，某小区要绿化一扇形OAB空地，准备在小扇形OCD内种花，在其余区域内（阴影部分）种草，测得∠AOB＝120°，OA＝15m，OC＝10m，则种草区域的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【点拨】大扇形面积减去小扇形面积得阴影部分的面积．
【解析】解：S阴影＝S扇形AOB﹣S扇形COD＝＝（m2）．
故选：B．
【点睛】本题考查了扇形面积公式，比较简单．
3．（2023 连云港）如图，矩形ABCD内接于⊙O，分别以AB、BC、CD、AD为直径向外作半圆．若AB＝4，BC＝5，则阴影部分的面积是（　　）
A．π﹣20 B．π﹣20 C．20π D．20
【答案】D
【点拨】根据矩形的性质可求出BD，再根据图形中各个部分面积之间的关系，即S阴影部分＝S以AD为直径的圆+S以AB为直径的圆+S矩形ABCD﹣S以BD为直径的圆进行计算即可．
【解析】解：如图，连接BD，则BD过点O，
在Rt△ABD中，AB＝4，BC＝5，
∴BD2＝AB2+AD2＝41，
S阴影部分＝S以AD为直径的圆+S以AB为直径的圆+S矩形ABCD﹣S以BD为直径的圆
＝π×（）2+π×（）2+4×5﹣π×（）2
＝+20﹣
＝20，
故选：D．
【点睛】本题考查勾股定理，矩形的性质以及扇形面积的计算，掌握矩形的性质、勾股定理以及扇形面积的计算方法是正确解答的前提．
4．（2023 广元）如图，半径为5的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C是上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，若CD＝CE，则图中阴影部分面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【点拨】先连接OC，然后根据正方形的性质和图形，可以得到阴影部分的面积等于扇形BOC的面积，然后代入数据计算即可．
【解析】解：连接OC，如图所示，
∵∠AOB＝90°，CD⊥OA，CE⊥OB，
∴∠AOB＝∠ODC＝∠OEC＝90°，
∴四边形OECD是矩形，
∵CD＝CE，
∴四边形OECD是正方形，
∴∠DCE＝90°，△DCE和△OEC全等，
∴S阴影＝S△DCE+S半弓形BCE
＝S△OCE+S半弓形BCE
＝S扇形COB
＝
＝，
故选：B．
【点睛】本题考查扇形面积的计算、正方形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
5．（2023 滨州）如图，某玩具品牌的标志由半径为1cm的三个等圆构成，且三个等圆⊙O1，⊙O2，⊙O3相互经过彼此的圆心，则图中三个阴影部分的面积之和为（　　）
A．πcm2 B．πcm2 C．πcm2 D．πcm2
【答案】C
【点拨】根据扇形面积的计算方法进行计算即可．
【解析】解：如图，连接O1A，O2A，O1B，O3B，O2C，O3C，O1O2，O1O3，O2O3，则△O1AO2，△O1BO3，△O2CO3，△O1O2O3是边长为1的正三角形，
所以，S阴影部分＝3
＝3×
＝（cm2），
故选：C．
【点睛】本题考查扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算方法是正确解答的前提．
6．（2023 永州）已知扇形的半径为6，面积为6π，则扇形圆心角的度数为 　60　度．
【答案】60
【点拨】设扇形圆心角的度数为n°，根据扇形面积公式列方程并解方程即可．
【解析】解：设扇形圆心角的度数为n°，
则＝6π，
解得：n＝60，
即扇形圆心角的度数为60°，
故答案为：60．
【点睛】本题考查扇形的面积公式，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
7．（2023 重庆）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E为BC的中点，连接AE．DE．以E为圆心，EB长为半径画弧，分别与AE，DE交于点M，N．则图中阴影部分的面积为 　4﹣π　（结果保留π）．
【答案】4﹣π．
【点拨】用三角形ADE的面积减去2个扇形的面积即可．
【解析】解：∵AD＝2AB＝4，E为BC的中点，
∴BE＝CE＝2，
∴∠BAE＝∠AEB＝∠CDE＝∠DEC＝45°，
∴阴影部分的面积为﹣2×＝4﹣π．
故答案为：4﹣π．
【点睛】此题主要考查了扇形面积求法以及等腰直角三角形的性质，应用扇形面积的计算方法进行求解是解决本题的关键．
8．（2023 内蒙古）如图，正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD相交于点O，以点B为圆心，对角线BD的长为半径画弧，交BC的延长线于点E，则图中阴影部分的面积为 　π　．
【答案】π．
【点拨】根据正方形的性质得出阴影部分的面积为扇形BED的面积，然后由勾股定理得出BD＝2，再由扇形面积公式求解即可．
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AO＝CO，BO＝DO，AD＝CD，∠DBE＝45°，
∴△AOD≌△COB（SSS），
∵正方形ABCD的边长为2，
∴BD＝＝2，
∴阴影部分的面积为扇形BED的面积，即，
故答案为：π．
【点睛】本题主要考查正方形的性质以及扇形的面积，能够理解题意，将阴影部分的面积转化为扇形BED的面积是解题的关键．
9．（2022 益阳）如图，C是圆O被直径AB分成的半圆上一点，过点C的圆O的切线交AB的延长线于点P，连接CA，CO，CB．
（1）求证：∠ACO＝∠BCP；
（2）若∠ABC＝2∠BCP，求∠P的度数；
（3）在（2）的条件下，若AB＝4，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．
【答案】（1）证明见解析；
（2）∠P的度数是30°；
（3）阴影部分的面积是2π﹣2．
【点拨】（1）由AB是半圆O的直径，CP是半圆O的切线，可得∠ACB＝∠OCP，即得∠ACO＝∠BCP；
（2）由∠ABC＝2∠BCP，可得∠ABC＝2∠A，从而∠A＝30°，∠ABC＝60°，可得∠P的度数是30°；
（3）∠A＝30°，可得BC＝AB＝2，AC＝BC＝2，即得S△ABC＝BC AC＝2，故阴影部分的面积是π×（）2﹣2＝2π﹣2．
【解析】（1）证明：∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CP是半圆O的切线，
∴∠OCP＝90°，
∴∠ACB＝∠OCP，
∴∠ACO＝∠BCP；
（2）解：由（1）知∠ACO＝∠BCP，
∵∠ABC＝2∠BCP，
∴∠ABC＝2∠ACO，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠A，
∴∠ABC＝2∠A，
∵∠ABC+∠A＝90°，
∴∠A＝30°，∠ABC＝60°，
∴∠ACO＝∠BCP＝30°，
∴∠P＝∠ABC﹣∠BCP＝60°﹣30°＝30°，
答：∠P的度数是30°；
（3）解：由（2）知∠A＝30°，
∵∠ACB＝90°，
∴BC＝AB＝2，AC＝BC＝2，
∴S△ABC＝BC AC＝×2×2＝2，
∴阴影部分的面积是π×（）2﹣2＝2π﹣2，
答：阴影部分的面积是2π﹣2．
【点睛】本题考查圆的综合应用，涉及圆的切线性质，直角三角形性质及应用等知识，题目难度不大．
类型三 圆锥的计算
1．（2023 牡丹江）用一个圆心角为90°，半径为8的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面直径是（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】C
【点拨】根据弧长公式先计算出扇形的弧长，再利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长求解．
【解析】解：扇形的弧长＝＝4π，
设圆锥的底面直径为d，则πd＝4π，
所以d＝4．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
2．（2023 东营）如果圆锥侧面展开图的面积是15π，母线长是5，则这个圆锥的底面半径是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【点拨】根据圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2即可求出答案．
【解析】解：设底面半径为R，则底面周长＝2πR，圆锥的侧面展开图的面积＝×2πR×5＝15π，
∴R＝3．
故选：A．
【点睛】本题考查了圆锥的计算，利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解，牢记公式是解答本题的关键．
3．（2022 赤峰）如图所示，圆锥形烟囱帽的底面半径为12cm，侧面展开图为半圆形，则它的母线长为（　　）
A．10cm B．20cm C．5cm D．24cm
【答案】D
【点拨】根据弧长公式列方程求解即可．
【解析】解：设母线的长为R，
由题意得，πR＝2π×12，
解得R＝24，
∴母线的长为24cm，
故选：D．
【点睛】本题主要考查弧长的计算，根据展开后的半圆弧长等于圆锥形烟囱帽的底面周长列方程求解是解题的关键．
4．（2023 十堰）如图，已知点C为圆锥母线SB的中点，AB为底面圆的直径，SB＝6，AB＝4，一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从A点爬到C点，则蚂蚁爬行的最短路程为（　　）
A．5 B． C． D．
【答案】B
【点拨】要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．
【解析】解：由题意知，底面圆的直径AB＝4，
故底面周长等于4π，
设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°，
根据底面周长等于展开后扇形的弧长得4π＝，
解得n＝120°，
所以展开图中∠ASC＝120°÷2＝60°，
因为半径SA＝SB，∠ASB＝60°，
故三角形SAB为等边三角形，
又∵C为SB的中点，
所以AC⊥SB，在直角三角形SAC中，SA＝6，SC＝3，
根据勾股定理求得AC＝3，
所以蚂蚁爬行的最短距离为3．
故选：B．
【点睛】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．
5．（2023 黑龙江）已知圆锥的母线长13cm，侧面积65πcm2，则这个圆锥的高是 　12　cm．
【答案】12．
【点拨】设圆锥的底面圆的半径为r cm，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式得到 2π r 13＝65π，解得r＝5，然后利用勾股定理计算圆锥的高．
【解析】解：设圆锥的底面圆的半径为r cm，
根据题意得 2π r 13＝65π，
解得r＝5，
所以圆锥的高＝＝12（cm）．
故答案为：12．
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
6．（2023 徐州）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形．若母线长l为6cm，扇形的圆心角θ为120°，则圆锥的底面圆的半径r为 　2　cm．
【答案】2．
【点拨】首先求得展开之后扇形的弧长也就是圆锥的底面周长，进一步利用弧长计算公式求得圆锥的底面圆的半径r．
【解析】解：由题意得：母线l＝6，θ＝120°，
2πr＝，
∴r＝2（cm）．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了圆锥的计算及其应用问题，解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．
7．（2023 宁波）如图，圆锥形烟囱帽的底面半径为30cm，母线长为50cm，则烟囱帽的侧面积为 　1500π　cm2．（结果保留π）
【答案】1500π
【点拨】根据扇形面积公式计算即可．
【解析】解：烟囱帽的侧面积为：×2π×30×50＝1500π（cm2），
故答案为：1500π．
【点睛】本题考查的是圆锥的计算，熟记圆锥的侧面展开图是扇形以及扇形面积公式是解题的关键．
8．（2023 苏州）如图，在 ABCD中，AB＝+1，BC＝2，AH⊥CD，垂足为H，AH＝．以点A为圆心，AH长为半径画弧，与AB，AC，AD分别交于点E，F，G．若用扇形AEF围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为r1；用扇形AHG围成另一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为r2，则r1﹣r2＝　　．（结果保留根号）
【答案】．
【点拨】根据平行四边形的性质以及正弦函数的定义求出∠D＝60°，∠BAC＝45°，利用弧长公式以及圆的周长公式求出r1，r2即可．
【解析】解：在 ABCD中，AB＝+1，BC＝2，
∴AD＝BC＝2，CD＝AB＝+1，AB∥CD．
∵AH⊥CD，垂足为H，AH＝，
∴sinD＝＝，
∴∠D＝60°，
∴∠DAH＝90°﹣∠D＝30°，
∴DH＝AD＝1，
∴CH＝CD﹣DH＝+1﹣1＝，
∴CH＝AH，
∵AH⊥CD，
∴△ACH是等腰直角三角形，
∴∠ACH＝∠CAH＝45°，
∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACH＝45°，
∴＝2πr1，解得r1＝，
＝2πr2，解得r2＝，
∴r1﹣r2＝﹣＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆锥的计算，平行四边形的性质，解直角三角形，弧长公式，求出∠D＝60°，∠BAC＝45°是解决本题的关键．
9．（2023 呼和浩特）圆锥的高为，母线长为3，沿一条母线将其侧面展开，展开图（扇形）的圆心角是 　120　度，该圆锥的侧面积是 　3π　（结果用含π的式子表示）．
【答案】120，3π．
【点拨】首先求出圆锥底面半径，进而求出圆锥底面圆的周长，然后根据扇形的弧长公式可求出展开图（扇形）的圆心角，进而再求出扇形的面积即可．
【解析】解：∵圆锥的高为，母线长为3，
∴圆锥底面圆的半径为：，
∴圆锥底面圆的周长为：2π．
设展开图（扇形）的圆心角是n°，
依题意得：，
解得：n＝120°，
圆锥的侧面积是：．
故答案为：120，3π．
【点睛】此题主要考查了圆锥的侧面展开图，熟练掌握圆锥的高、母线长，底面圆半径之间的关系，扇形的面积公式，弧长公式是解答此题的关键．
10．（2023 娄底）如图，在△ABC中，AC＝3，AB＝4，BC边上的高AD＝2，将△ABC绕着BC所在的直线旋转一周得到的几何体的表面积为 　14π　．
【答案】14π．
【点拨】所得几何体为圆锥的组合图形，表面积为底面半径为2，母线长为3和4的两个圆锥的侧面积之和．
【解析】解：所得到的几何体的表面积为π×2×3+π×2×4＝14π．
故答案为：14π．
【点睛】本题考查圆锥的计算；得到几何体的形状是解决本题的突破点；需掌握圆锥侧面积的计算公式．
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