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备考2024中考二轮数学《高频考点冲刺》（全国通用）
专题23 直线与圆的位置关系问题
考点扫描☆聚焦中考
直线与圆的位置关系问题在近几年中考考查的题型填空题、选择题、解答题三种形式都有所考查，多数题目较难，属于中、高档题；考查的内容主要涉及的有：直线与圆的位置关系，切线长定理，切线的性质与判定定理，三角形的内切圆和内心 ；考查的热点主要涉及的有：直线与圆的位置关系，切线的性质与判定定理，三角形的内切圆和内心。
考点剖析☆典型例题
例1（2021 浙江）已知平面内有⊙O和点A，B，若⊙O半径为2cm，线段OA＝3cm，OB＝2cm，则直线AB与⊙O的位置关系为（　　）
A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切
例2（2023 湖州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O在边AC上，以点O为圆心，OC为半径的半圆与斜边AB相切于点D，交OA于点E，连结OB．
（1）求证：BD＝BC．
（2）已知OC＝1，∠A＝30°，求AB的长．
例3（2023 张家界）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，F是AD延长线上一点，连接CD，CF，且∠DCF＝∠CAD．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若AD＝10，cosB＝，求FD的长．
例4（2022 德阳）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，与BC相交于点G，则下列结论：①∠BAD＝∠CAD；②若∠BAC＝60°，则∠BEC＝120°；③若点G为BC的中点，则∠BGD＝90°；④BD＝DE．其中一定正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
考点过关☆专项突破
类型一 直线与圆的位置关系
1．（2022 六盘水）如图是“光盘行动”的宣传海报，图中餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关系是（　　）
A．相切 B．相交 C．相离 D．平行
2．（2023 宿迁）在同一平面内，已知⊙O的半径为2，圆心O到直线l的距离为3，点P为圆上的一个动点，则点P到直线l的最大距离是（　　）
A．2 B．5 C．6 D．8
3．（2023 镇江）已知一次函数y＝kx+2的图象经过第一、二、四象限，以坐标原点O为圆心，r为半径作⊙O．若对于符合条件的任意实数k，一次函数y＝kx+2的图象与⊙O总有两个公共点，则r的最小值为 　　．
4．（2022 上海）定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为2的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，这个圆的半径为 　　．
5．（2023 扬州）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB上一点，且∠BCD＝∠A，点O在BC上，以点O为圆心的圆经过C、D两点．
（1）试判断直线AB与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若sinB＝，⊙O的半径为3，求AC的长．
8．（2023 盐城）如图，在△ABC中，O是AC上（异于点A，C）的一点，⊙O恰好经过点A，B，AD⊥CB于点D，且AB平分∠CAD．
（1）判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）若AC＝10，DC＝8，求⊙O的半径长．
类型二 切线的性质
1．（2023 眉山）如图，AB切⊙O于点B，连结OA交⊙O于点C，BD∥OA交⊙O于点D，连结CD，若∠OCD＝25°，则∠A的度数为（　　）
A．25° B．35° C．40° D．45°
2．（2023 重庆）如图，AC是⊙O的切线，B为切点，连接OA，OC．若∠A＝30°，AB＝2，BC＝3，则OC的长度是（　　）
A．3 B． C． D．6
3．（2023 无锡）如图，AB是⊙O的切线，B为切点，OA与BC交于点D，AB＝AD，若∠C＝20°，则∠OAB等于（　　）
A．20° B．30° C．40° D．50°
4．（2023 哈尔滨）如图，AB是⊙O的切线，A为切点，连接OA，点C在⊙O上，OC⊥OA，连接BC并延长，交⊙O于点D，连接OD，若∠B＝65°，则∠DOC的度数为（　　）
A．45° B．50° C．65° D．75°
5．（2023 湘西州）如图，AB为⊙O的直径，点P在AB的延长线上，PC，PD与⊙O相切，切点分别为C，D．若AB＝10，PC＝12，则sin∠CAD等于（　　）
A． B． C． D．
6．（2023 泸州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在斜边AB上，以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，与AC相交于点F，连接DE．若AC＝8，BC＝6，则DE的长是（　　）
A． B． C． D．
7．（2023 滨州）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，且∠APB＝56°，若点C是⊙O上异于点A，B的一点，则∠ACB的大小为 　　．
8．（2023 黑龙江）如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点C，连接BC，若∠P＝28°，则∠B＝　　°．
9．（2023 北京）如图，OA是⊙O的半径，BC是⊙O的弦，OA⊥BC于点D，AE是⊙O的切线，AE交OC的延长线于点E．若∠AOC＝45°，BC＝2，则线段AE的长为 　　．
10．（2023 福建）如图，已知△ABC内接于⊙O，CO的延长线交AB于点D，交⊙O于点E，交⊙O的切线AF于点F，且AF∥BC．
（1）求证：AO∥BE；
（2）求证：AO平分∠BAC．
11．（2023 甘孜州）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以BC为直径的⊙O交AC边于点D，过点C作⊙O的切线，交BD的延长线于点E．
（1）求证：∠DCE＝∠DBC；
（2）若AB＝2，CE＝3，求⊙O的半径．
12．（2023 宁夏）如图，已知AB是⊙O的直径，直线DC是⊙O的切线，切点为C，AE⊥DC，垂足为E．连接AC．
（1）求证：AC平分∠BAE；
（2）若AC＝5，tan∠ACE＝，求⊙O的半径．
类型三 切线的性质与判定综合
1．（2023 广西）如图，PO平分∠APD，PA与⊙O相切于点A，延长AO交PD于点C，过点O作OB⊥PD，垂足为B．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为4，OC＝5，求PA的长．
2．（2023 内蒙古）如图，AB是⊙O的直径，E为⊙O上的一点，点C是的中点，连接BC，过点C的直线垂直于BE的延长线于点D，交BA的延长线于点P．
（1）求证：PC为⊙O的切线；
（2）若PC＝2BO，PB＝10，求BE的长．
3．（2023 宜宾）如图，以AB为直径的⊙O上有两点E、F，＝，过点E作直线CD⊥AF交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C，过C作CM平分∠ACD交AE于点M，交BE于点N．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求证：EM＝EN；
（3）如果N是CM的中点，且AB＝9，求EN的长．
4．（2023 乐山）如图，已知⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB＝90°，D是圆上一点，E是DC延长线上一点，连接AD、AE，且AD＝AE，CA＝CE．
（1）求证：直线AE是⊙O的切线；
（2）若sinE＝，⊙O的半径为3，求AD的长．
5．（2023 常德）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是直径，C是的中点，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若BC＝6，AC＝8，求CE，DE的长．
类型四 三角形的内切圆和内心
1．（2023 聊城）如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA．若∠CAI＝35°，则∠OBC的度数为（　　）
A．15° B．17.5° C．20° D．25°
2．（2023 广州）如图，△ABC的内切圆⊙I与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，若⊙I的半径为r，∠A＝α，则（BF+CE﹣BC）的值和∠FDE的大小分别为（　　）
A．2r，90°﹣α B．0，90°﹣α C．2r， D．0，
3．（2023 威海）在△ABC中，BC＝3，AC＝4，下列说法错误的是（　　）
A．1＜AB＜7 B．S△ABC≤6
C．△ABC内切圆的半径r＜1 D．当AB＝时，△ABC是直角三角形
4．（2023 攀枝花）已知△ABC的周长为l，其内切圆的面积为πr2，则△ABC的面积为（　　）
A．rl B．πrl C．rl D．πrl
5．（2022 娄底）如图，等边△ABC内切的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边△ABC的内心成中心对称，则圆中的黑色部分的面积与△ABC的面积之比是（　　）
A． B． C． D．
6．（2023 镇江）《九章算术》中记载：“今有勾八步，股一十五步．问勾中容圆径几何？”译文：今有一个直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形内切圆的直径是多少？书中给出的算法译文如下：如图，根据勾、股，求得弦长．用勾、股、弦相加作为除数，用勾乘以股，再乘以2作为被除数，商即为该直角三角形内切圆的直径，求得该直径等于 　　步（注：“步”为长度单位）．
7．（2023 湖北）如图，在△ABC中，∠ACB＝70°，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC分别相切于点D，E，连接DE，AO的延长线交DE于点F，则∠AFD＝　　．
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备考2024中考二轮数学《高频考点冲刺》（全国通用）
专题23 直线与圆的位置关系问题
考点扫描☆聚焦中考
直线与圆的位置关系问题在近几年中考考查的题型填空题、选择题、解答题三种形式都有所考查，多数题目较难，属于中、高档题；考查的内容主要涉及的有：直线与圆的位置关系，切线长定理，切线的性质与判定定理，三角形的内切圆和内心 ；考查的热点主要涉及的有：直线与圆的位置关系，切线的性质与判定定理，三角形的内切圆和内心。
考点剖析☆典型例题
例1（2021 浙江）已知平面内有⊙O和点A，B，若⊙O半径为2cm，线段OA＝3cm，OB＝2cm，则直线AB与⊙O的位置关系为（　　）
A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切
【答案】D
【点拨】根据直线上点与圆的位置关系的判定得出直线与圆的位置关系．
【解析】解：⊙O的半径为2cm，线段OA＝3cm，OB＝2cm，
即点A到圆心O的距离大于圆的半径，点B到圆心O的距离等于圆的半径，
∴点A在⊙O外，点B在⊙O上，
∴直线AB与⊙O的位置关系为相交或相切，
故选：D．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，正确的理解题意是解题的关键．
例2（2023 湖州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O在边AC上，以点O为圆心，OC为半径的半圆与斜边AB相切于点D，交OA于点E，连结OB．
（1）求证：BD＝BC．
（2）已知OC＝1，∠A＝30°，求AB的长．
【答案】（1）见解答；
（2）．
【点拨】（1）根据切线性质得到∠ODB＝∠OCB＝90°，再根据HL证明Rt△ODB≌Rt△OCB，从而得到结论；
（2）分别在Rt△OBC中，利用三角函数求出BC的长，和在Rt△ABC中，利用三角函数求出即可求出AB的长．
【解析】（1）证明 如图，连结OD，
∵半圆O与AB相切于点D，
∴OD⊥AB，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ODB＝∠OCB＝90°，
在Rt△ODB和Rt△OCB中，
∴Rt△ODB≌Rt△OCB（HL），
∴BD＝BC；
（2）解 如图，∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝60°，
∵Rt△ODB≌Rt△OCB，
∴，
在Rt△OBC中，
∵OC＝1，
∴，
在Rt△ABC中，
．
【点睛】本题考查圆的切线性质，全等三角形判定和性质，解直角三角形，熟悉相关图形的性质是解题的关键．
例3（2023 张家界）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，F是AD延长线上一点，连接CD，CF，且∠DCF＝∠CAD．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若AD＝10，cosB＝，求FD的长．
【答案】（1）见解答；
（2）．
【点拨】（1）根据切线的判定，连接OC，证明出OC⊥FC即可，利用直径所得的圆周角为直角，三角形的内角和以及等腰三角形的性质可得答案；
（2）由cosB＝，根据锐角三角函数的意义和勾股定理可得CD：AC：AD＝3：4：5，再根据相似三角形的性质可求出答案．
【解析】（1）证明：连接OC，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°，
∴∠ADC+∠CAD＝90°，
又∵OC＝OD，
∴∠ADC＝∠OCD，
又∵∠DCF＝∠CAD．
∴∠DCF+∠OCD＝90°，
即OC⊥FC，
∴FC是⊙O的切线；
（2）解：∵∠B＝∠ADC，cosB＝，
∴cos∠ADC＝，
在Rt△ACD中，
∵cos∠ADC＝＝，AD＝10，
∴CD＝AD cos∠ADC＝10×＝6，
∴AC＝＝8，
∴＝，
∵∠FCD＝∠FAC，∠F＝∠F，
∴△FCD∽△FAC，
∴＝＝＝，
设FD＝3x，则FC＝4x，AF＝3x+10，
又∵FC2＝FD FA，
即（4x）2＝3x（3x+10），
解得x＝（取正值），
∴FD＝3x＝．
【点睛】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形的边角关系以及相似三角形，掌握切线的判定方法，直角三角形的边角关系以及相似三角形的性质是正确解答的前提．
例4（2022 德阳）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，与BC相交于点G，则下列结论：①∠BAD＝∠CAD；②若∠BAC＝60°，则∠BEC＝120°；③若点G为BC的中点，则∠BGD＝90°；④BD＝DE．其中一定正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【点拨】利用三角形内心的性质得到∠BAD＝∠CAD，则可对①进行判断；直接利用三角形内心的性质对②进行判断；根据垂径定理则可对③进行判断；通过证明∠DEB＝∠DBE得到DB＝DE，则可对④进行判断．
【解析】解：∵E是△ABC的内心，
∴AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，故①正确；
如图，连接BE，CE，
∵E是△ABC的内心，
∴∠EBC＝∠ABC，∠ECB＝ACB，
∵∠BAC＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝120°，
∴∠BEC＝180°﹣∠EBC﹣∠ECB＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝120°，故②正确；
∵∠BAD＝∠CAD，
∴＝，
∴OD⊥BC，
∵点G为BC的中点，
∴G一定在OD上，
∴∠BGD＝90°，故③正确；
如图，连接BE，
∴BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵∠DBC＝∠DAC＝∠BAD，
∴∠DBC+∠EBC＝∠EBA+∠EAB，
∴∠DBE＝∠DEB，
∴DB＝DE，故④正确．
∴一定正确的①②③④，共4个．
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，解决本题的关键是掌握三角形的内心与外心．
考点过关☆专项突破
类型一 直线与圆的位置关系
1．（2022 六盘水）如图是“光盘行动”的宣传海报，图中餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关系是（　　）
A．相切 B．相交 C．相离 D．平行
【答案】B
【点拨】直接利用直线与圆的位置关系的定义进行判断．
【解析】解：根据直线与圆的位置关系可得，图中餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关系相交，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，根据交点个数直接判断是解题的关键．
2．（2023 宿迁）在同一平面内，已知⊙O的半径为2，圆心O到直线l的距离为3，点P为圆上的一个动点，则点P到直线l的最大距离是（　　）
A．2 B．5 C．6 D．8
【答案】B
【点拨】根据圆心到直线l的距离为3，而圆的半径为2，此时直线与圆相离，当点P在⊙O上运动时，当点P在BO的延长线与⊙O的交点时，点P到直线l的距离最大，根据题意画出图形进行解答即可．
【解析】解：如图，由题意得，OA＝2，OB＝3，
当点P在BO的延长线与⊙O的交点时，点P到直线l的距离最大，
此时，点P到直线l的最大距离是3+2＝5，
故选：B．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，掌握直线与圆的位置与圆心到直线的距离之间的关系是解决问题的关键．
3．（2023 镇江）已知一次函数y＝kx+2的图象经过第一、二、四象限，以坐标原点O为圆心，r为半径作⊙O．若对于符合条件的任意实数k，一次函数y＝kx+2的图象与⊙O总有两个公共点，则r的最小值为 　2　．
【答案】2．
【点拨】在y＝kx+2中，令x＝0，则y＝2，于是得到一次函数y＝kx+2的图象与y轴交于（0，2），求得一次函数过定点（0，2），当⊙O过（0，2）时，两者至少有一个交点，根据一次函数经过一、二、四象限，得到直线与圆必有两个交点，而当⊙O半径小于2时，圆与直线存在相离可能，于是得到结论．
【解析】解：在y＝kx+2中，令x＝0，则y＝2，
∴一次函数y＝kx+2的图象与y轴交于（0，2），
∴一次函数过定点（0，2），
当⊙O过（0，2）时，两者至少有一个交点，
∵一次函数经过一、二、四象限，
∴直线与圆必有两个交点，
而当⊙O半径小于2时，圆与直线存在相离可能，
∴半径至少为2，
故r的最小值为2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关键．
4．（2022 上海）定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为2的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，这个圆的半径为 　2﹣　．
【答案】2﹣．
【点拨】根据题意画出相应的图形，利用圆周角定理、直角三角形的边角关系以及三角形的面积公式进行计算即可．
【解析】解：如图，∵圆与三角形的三条边都有两个交点，截得的三条弦相等，
∴圆心O就是三角形的内心，
∴当⊙O过点C时，且在等腰直角三角形ABC的三边上截得的弦相等，即CG＝CF＝DE，此时⊙O最大，
过点O分别作弦CG、CF、DE的垂线，垂足分别为P、N、M，连接OC、OA、OB，
∵CG＝CF＝DE，
∴OP＝OM＝ON，
∵∠C＝90°，AB＝2，AC＝BC，
∴AC＝BC＝×2＝，
由S△AOC+S△BOC+S△AOB＝S△ABC，
∴AC OP+BC ON+AB OM＝S△ABC＝AC BC，
设OM＝x，则OP＝ON＝x，
∴x+x+2x＝×，
解得x＝﹣1，
即OP＝ON＝﹣1，
在Rt△CON中，OC＝ON＝2﹣，
故答案为：2﹣．
【点睛】本题考查直角三角形的边角关系以及三角形面积的计算，掌握直角三角形的边角关系以及三角形面积的计算方法是正确解答的前提，画出符合题意的图形是正确解答的关键．
5．（2023 扬州）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB上一点，且∠BCD＝∠A，点O在BC上，以点O为圆心的圆经过C、D两点．
（1）试判断直线AB与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若sinB＝，⊙O的半径为3，求AC的长．
【答案】（1）直线AB与⊙O相切，理由见解析；（2）6．
【点拨】（1）连接OD，根据等腰三角形的性质得到∠OCD＝∠ODC，求得∠DOB＝∠OCD+∠ODC＝2∠BCD，等量代换得到∠BOD＝∠A，求得∠BDO＝90°，根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）根据三角函数的定义得到OB＝5，求得BC＝OB+OC＝8，设AC＝3x，AB＝5x，根据勾股定理得到BC＝＝4x＝8，于是得到结论．
【解析】解：（1）直线AB与⊙O相切，
理由：连接OD，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
∴∠DOB＝∠OCD+∠ODC＝2∠BCD，
∴，
∵∠BCD＝∠A，
∴∠BOD＝∠A，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠BOD+∠B＝90°，
∴∠BDO＝90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴直线AB与⊙O相切；
（2）∵sinB＝＝，OD＝3，
∴OB＝5，
∴BC＝OB+OC＝8，
在Rt△ACB中，sinB＝＝，
∴设AC＝3x，AB＝5x，
∴BC＝＝4x＝8，
∴x＝2，
∴AC＝3x＝6．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，切线的判定，解直角三角形，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
8．（2023 盐城）如图，在△ABC中，O是AC上（异于点A，C）的一点，⊙O恰好经过点A，B，AD⊥CB于点D，且AB平分∠CAD．
（1）判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）若AC＝10，DC＝8，求⊙O的半径长．
【答案】见解析
【点拨】（1）连接OB，证明AD∥OB，进而可以解决问题；
（2）利用勾股定理求出AD，然后根据平行线分线段成比例定理即可求出半径．
【解析】解：（1）BC与⊙O相切，理由如下：
如图，连接OB，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵AB平分∠CAD，
∴∠DAB＝∠CAB，
∴∠DAB＝∠OBA，
∴AD∥OB，
∵AD⊥CB，
∴OB⊥CB，
∵OB是⊙O的半径，
∴BC与⊙O相切；
（2）∵∠D＝90°，AC＝10，DC＝8，
∴AD＝＝6，
∵AD∥OB，
∴＝，
∴＝，
∵OA＝OB，
∴OB＝，
∴⊙O的半径长为．
【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，勾股定理，平行线分线段成比例定理，切线的判定，平行线的性质，解决本题的关键是掌握切线的判定方法．
类型二 切线的性质
1．（2023 眉山）如图，AB切⊙O于点B，连结OA交⊙O于点C，BD∥OA交⊙O于点D，连结CD，若∠OCD＝25°，则∠A的度数为（　　）
A．25° B．35° C．40° D．45°
【答案】C
【点拨】连接OB，由切线的性质得到∠ABO＝90°，由平行线的性质得到∠D＝∠OCD＝25°，由圆周角定理得出∠O＝2∠D＝50°，因此∠A＝90°﹣∠O＝40°．
【解析】解：连接OB，
∵AB切⊙O于B，
∴半径OB⊥AB，
∴∠ABO＝90°，
∵BD∥OA，
∴∠D＝∠OCD＝25°，
∴∠O＝2∠D＝50°，
∴∠A＝90°﹣∠O＝40°．
故选：C．
【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理，关键是由圆周角定理得到∠O＝2∠D，由切线的性质定理得到∠ABO＝90°，由直角三角形的性质即可求出∠A的度数．
2．（2023 重庆）如图，AC是⊙O的切线，B为切点，连接OA，OC．若∠A＝30°，AB＝2，BC＝3，则OC的长度是（　　）
A．3 B． C． D．6
【答案】C
【点拨】根据切线的性质得到OB⊥AC，求得∠ABO＝∠CBO＝90°，得到OB＝AB＝2，根据勾股定理即可得到结论．
【解析】解：连接OB，
∵AC是⊙O的切线，
∴OB⊥AC，
∴∠ABO＝∠CBO＝90°，
∵∠A＝30°，AB＝2，
∴OB＝AB＝2，
∵BC＝3，
∴OC＝＝＝，
故选：C．
【点睛】本题考查了切线的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
3．（2023 无锡）如图，AB是⊙O的切线，B为切点，OA与BC交于点D，AB＝AD，若∠C＝20°，则∠OAB等于（　　）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【答案】C
【点拨】由AB与⊙O相切于点B，证明∠OBA＝90°，由OB＝OC，得∠OBC＝∠C＝20°，求得∠ABD＝∠OBA﹣∠OBC＝70°，因为AB＝AD，所以∠ADB＝∠ABD＝70°，则∠OAB＝40°，于是得到问题的答案．
【解析】解：∵AB与⊙O相切于点B，
∴AB⊥OB，
∴∠OBA＝90°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠C＝20°，
∴∠ABD＝∠OBA﹣∠OBC＝90°﹣20°＝70°，
∵AB＝AD，
∴∠ADB＝∠ABD＝70°，
∴∠OAB＝180°﹣∠ADB﹣∠ABD＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
故选：C．
【点睛】此题重点考查切线的性质定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，求得∠ABD＝70°是解题的关键．
4．（2023 哈尔滨）如图，AB是⊙O的切线，A为切点，连接OA，点C在⊙O上，OC⊥OA，连接BC并延长，交⊙O于点D，连接OD，若∠B＝65°，则∠DOC的度数为（　　）
A．45° B．50° C．65° D．75°
【答案】B
【点拨】根据切线的性质证明AB∥OC，得∠OCD＝∠B＝65°，然后再根据等腰三角形的性质即可解决问题．
【解析】解：∵AB是⊙O的切线，A为切点，
∴OA⊥AB，
∵OC⊥OA，
∴AB∥OC，
∴∠OCD＝∠B＝65°，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC＝65°，
∴∠DOC＝180°﹣65°﹣65°＝50°，
故选：B．
【点睛】本题考查了切线的性质，解决本题的关键是掌握圆的切线垂直于经过切点的半径．
5．（2023 湘西州）如图，AB为⊙O的直径，点P在AB的延长线上，PC，PD与⊙O相切，切点分别为C，D．若AB＝10，PC＝12，则sin∠CAD等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【点拨】连接OC、OD、CD，CD交PA于E，如图，利用切线的性质和切线长定理得到OC⊥CP，PC＝PD，OP平分∠CPD，根据等腰三角形的性质得到OP⊥CD，则∠COB＝∠DOB，根据圆周角定理得到，所以∠COB＝∠CAD，然后求出sin∠COP即可．
【解析】解：连接OC、OD、CD，CD交PA于E，如图，
∵PC，PD与⊙O相切，切点分别为C，D，
∴OC⊥CP，PC＝PD，OP平分∠CPD，
∴OP⊥CD，
∴＝，
∴∠COB＝∠DOB，
∵，
∴∠COB＝∠CAD，
∵AB＝10，
∴AO＝OC＝OB＝5，
∵OC＝5，PC＝12，
在Rt△OCP中，
，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和解直角三角形．
6．（2023 泸州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在斜边AB上，以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，与AC相交于点F，连接DE．若AC＝8，BC＝6，则DE的长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【点拨】首先求出AB＝10，先证△BOE和△BAC相似，由相似三角形的性质可求出OE，BE的长，进而可求出CE的长和AE的长，然后再证△BDE和△BEA相似，最后利用相似三角形的性质即可求出DE．
【解析】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
由勾股定理得：，
连接AE，OE，
设⊙O的半径为r，则OA＝OE＝r，
∴OB＝AB﹣OA＝10﹣r，
∵BC与半圆相切，
∴OE⊥BC，
∵∠C＝90°，即AC⊥BC，
∴OE∥AC，
∴△BOE∽△BAC，
∴，
即：，
由得：，
由得：，
∴，
在Rt△ACE中，AC＝8，，
由勾股定理得：，
∵BE为半圆的切线，
∴∠BED＝∠BAE，
又∠DBE＝∠EBA，
∴△BDE∽△BEA，
∴，
∴DE AB＝BE AE，
即：，
∴．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，弦切角定理，勾股定理等知识点，解答此题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，灵活运用相似三角形的性质和勾股定理进行计算．
7．（2023 滨州）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，且∠APB＝56°，若点C是⊙O上异于点A，B的一点，则∠ACB的大小为 　62°或118°　．
【答案】62°或118°．
【点拨】由切线的性质求得∠PAO＝∠PBO＝90°，由多边形内角和定理求得∠AOB＝124°，根据圆周角定理即可求得答案．
【解析】解：如图，连接CA，BC，
∵PA、PB切⊙O于点A、B，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
∵∠AOB+∠PAO+∠PBO+∠APB＝360°，
∴∠AOB＝360°﹣∠PAO﹣∠PBO﹣∠APB＝360°﹣90°﹣90°﹣56°＝124°，
由圆周角定理知，∠ACB＝∠AOB＝62°．
当点C在劣弧AB上时，
由圆内接四边形的性质得∠ACB＝118°，
故答案为：62°或118°．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，熟练掌握相关定理是解决问题的关键．
8．（2023 黑龙江）如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点C，连接BC，若∠P＝28°，则∠B＝　31　°．
【答案】31．
【点拨】利用圆的切线的性质定理得到∠OAP＝90°，利用直角三角形的性质得到∠AOP＝90°﹣∠P＝62°，再利用圆周角定理解答即可得出结论．
【解析】解：∵PA切⊙O于点A，
∴OA⊥PA，
∴∠OAP＝90°．
∵∠P＝28°，
∴∠AOP＝90°﹣∠P＝62°，
∴∠B＝∠AOP＝31°．
故答案为：31．
【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆的切线的性质定理，直角三角形的性质，圆周角定理，熟练掌握上述定理与性质是解题的关键．
9．（2023 北京）如图，OA是⊙O的半径，BC是⊙O的弦，OA⊥BC于点D，AE是⊙O的切线，AE交OC的延长线于点E．若∠AOC＝45°，BC＝2，则线段AE的长为 　　．
【答案】见解析
【点拨】根据切线的性质得到∠A＝90°，根据等腰直角三角形的性质得到OD＝CD，OA＝AE，根据垂径定理得到CD＝，于是得到结论．
【解析】解：∵OA是⊙O的半径，AE是⊙O的切线，
∴∠A＝90°，
∵∠AOC＝45°，OA⊥BC，
∴△CDO和△EAO是等腰直角三角形，
∴OD＝CD，OA＝AE，
∵OA⊥BC，
∴CD＝，
∴OD＝CD＝1，
∴OC＝OD＝，
∴AE＝OA＝OC＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了切线的性质，垂径定理，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质定理是解题的关键．
10．（2023 福建）如图，已知△ABC内接于⊙O，CO的延长线交AB于点D，交⊙O于点E，交⊙O的切线AF于点F，且AF∥BC．
（1）求证：AO∥BE；
（2）求证：AO平分∠BAC．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析．
【点拨】（1）根据切线的性质得到AF⊥OA，求得∠OAF＝90°，根据圆周角定理得到∠CBE＝90°，求得∠OAF＝∠CBE，根据平行线的性质得到∠BAF＝∠ABC，于是得到∠OAB＝∠ABE，根据平行线的判定定理即可得到AO∥BE；
（2）根据圆周角定理得到∠ABE＝∠ACE，根据等腰三角形的性质得到∠ACE＝∠OAC，等量代换得到∠ABE＝∠OAC，由（1）知，∠OAB＝∠ABE，根据角平分线的定义即可得到结论．
【解析】证明：（1）∵AF是⊙O的切线，
∴AF⊥OA，
即∠OAF＝90°，
∵CE是⊙O的直径，
∴∠CBE＝90°，
∴∠OAF＝∠CBE，
∵AF∥BC，
∴∠BAF＝∠ABC，
∴∠OAF﹣∠BAF＝∠CBE﹣∠ABC，
即∠OAB＝∠ABE，
∴AO∥BE；
（2）∵∠ABE 与∠ACE 都是所对的圆周角，
∴∠ABE＝∠ACE，
∵OA＝OC，
∴∠ACE＝∠OAC，
∴∠ABE＝∠OAC，
由（1）知，∠OAB＝∠ABE，
∴∠OAB＝∠OAC，
∴AO平分∠BAC．
【点睛】本题考查了切线的性质，角平分线的定义、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质、熟练掌握切线的性质是解题的关键．
11．（2023 甘孜州）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以BC为直径的⊙O交AC边于点D，过点C作⊙O的切线，交BD的延长线于点E．
（1）求证：∠DCE＝∠DBC；
（2）若AB＝2，CE＝3，求⊙O的半径．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【点拨】（1）先根据圆周角定理得到∠BDC＝90°．再根据切线的性质得到∠BCE＝90°．然后利用等角的余角相等得到∠DCE＝∠DBC；
（2）先证明AB∥CE得到∠A＝∠DCE，则可证明∠A＝∠DBC，利用正切的定义，在Rt△ABC中有anA＝，在Rt△BCE中有an∠EBC＝，所以＝，然后求出BC的长，从而得到⊙O的半径．
【解析】（1）证明：∵BC为⊙O的直径，
∴∠BDC＝90°．
∵CE为⊙O的切线，
∴CE⊥BC，
∴∠BCE＝90°．
∵∠DCE+∠BCD＝90°，∠DBC+∠BCD＝90°，
∴∠DCE＝∠DBC；
（2）解：∵∠ABC+∠BCE＝90°+90°＝180°，
∴AB∥CE，
∴∠A＝∠DCE，
∵∠DCE＝∠DBC，
∴∠A＝∠DBC，
在Rt△ABC中，tanA＝＝，
在Rt△BCE中，tan∠EBC＝＝，
即＝，
∴BC2＝2×3＝6，
∴BC＝，
∴⊙O的半径为．
【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和解直角三角形．
12．（2023 宁夏）如图，已知AB是⊙O的直径，直线DC是⊙O的切线，切点为C，AE⊥DC，垂足为E．连接AC．
（1）求证：AC平分∠BAE；
（2）若AC＝5，tan∠ACE＝，求⊙O的半径．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【点拨】（1）连接OC，由切线的性质得到OC⊥DC，进而得到OC∥AE，根据平行线的性质和等腰三角形的性质即可证得结论；
（2）连接DE，根据直径所对的圆周角是直角可得∠BDE＝90°，再利用（1）的结论可得tan∠ABC＝tan∠ACE＝，从而求出BC的长，然后再利用勾股定理求出AB的长，即可解答．
【解析】（1）证明：连接OC，
∵直线DC是⊙O的切线，切点为C，
∴OC⊥DC，
又∵AE⊥DC，垂足为E，
∴OC∥AE，
∴∠EAC＝∠ACO，
∵OC＝OA，
∴∠ACO＝∠OAC，
∴∠EAC＝∠OAC，
∴AC平分∠BAE；
（2）解：连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
又∵AE⊥DC，
由（1）得：∠EAC＝∠OAC，
∴∠ABC＝∠ACE，
在Rt△ABC中，tan∠ABC＝tan∠ACE＝，
∴＝＝，
∴BC＝，
在Rt△ABC中，AB＝＝，
∴OA＝．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
类型三 切线的性质与判定综合
1．（2023 广西）如图，PO平分∠APD，PA与⊙O相切于点A，延长AO交PD于点C，过点O作OB⊥PD，垂足为B．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为4，OC＝5，求PA的长．
【答案】见解析
【点拨】（1）由切线的性质得PA⊥OA，而PO平分∠APD，OB⊥PD，所以OB＝OA，则点B在⊙O上，即可证明PB是⊙O的切线；
（2）由OA＝OB＝4，OC＝5，得AC＝OA+OC＝9，BC＝＝3，由＝＝tan∠ACP＝，得PA＝AC＝12，所以PA的长是12．
【解析】（1）证明：∵PA与⊙O相切于点A，且OA是⊙O的半径，
∴PA⊥OA，
∵PO平分∠APD，OB⊥PD于点B，OA⊥PA于点A，
∴OB＝OA，
∴点B在⊙O上，
∵OB是⊙O的半径，且PB⊥OB，
∴PB是⊙O的切线．
（2）解：∵OA＝OB＝4，OC＝5，
∴AC＝OA+OC＝4+5＝9，
∵∠OBC＝90°，
∴BC＝＝＝3，
∵∠A＝90°，
∴＝＝tan∠ACP＝，
∴PA＝AC＝×9＝12，
∴PA的长是12．
【点睛】此题重点考查切线的性质定理、角平分线的性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，根据角平分线的性质证明OB＝OA是解题的关键．
2．（2023 内蒙古）如图，AB是⊙O的直径，E为⊙O上的一点，点C是的中点，连接BC，过点C的直线垂直于BE的延长线于点D，交BA的延长线于点P．
（1）求证：PC为⊙O的切线；
（2）若PC＝2BO，PB＝10，求BE的长．
【答案】（1）略；（2）．
【点拨】（1）连接OC，证PD⊥CO即可；（2）利用线段成比例列方程即可．
【解析】
（1）证明：连接OC，
∵点C是的中点，
∴∠ABC＝∠DBC，
∵OC＝OB，
∴∠ABC＝∠OCB，
∴∠DBC＝∠OCB，
∴OC∥DB，
∵PD⊥BD，
∴PD⊥CO，
∴PC为⊙O的切线；
（2）解：连接AE，设OB＝OC＝r，
∵PC＝2BO＝2r，
∴OP＝＝3r，
∵PB＝10，
∴3r+r＝10，即r＝．
∵OC∥DB，
∴△PCO∽△PDB，
∴，
∴，
∴BD＝，
∵AB是⊙O的直径，
∴AE⊥BD，
∴AE∥PD，
∴，
∴，
∴BE＝．
【点睛】本题主要考查了切线，相似三角形等相关知识，找准线段成比例列方程是关键．
3．（2023 宜宾）如图，以AB为直径的⊙O上有两点E、F，＝，过点E作直线CD⊥AF交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C，过C作CM平分∠ACD交AE于点M，交BE于点N．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求证：EM＝EN；
（3）如果N是CM的中点，且AB＝9，求EN的长．
【答案】（1）（2）证明见解析；
（3）EN的长为6．
【点拨】（1）连接OE，由＝，得∠FAE＝∠EAB，可得∠FAE＝∠AEO，AF∥OE，又CD⊥AF，故OE⊥CD，CD是⊙O的切线；
（2）由∠CEB＝∠EAC（弦切角定理），∠ECM＝∠ACM，可得∠ENM＝∠EMN，EM＝EN；
（3）证明△EMC∽△BNC，可得＝＝＝2，又△BEC∽△EAC，可得AE＝2BE，在Rt△ABE中，（2BE）2+BE2＝（9）2，求出BE＝9，故EN＝BE＝6．
【解析】（1）证明：连接OE，如图：
∵＝，
∴∠FAE＝∠EAB，
∵OA＝OE，
∴∠AEO＝∠EAB，
∴∠FAE＝∠AEO，
∴AF∥OE，
∵CD⊥AF，
∴OE⊥CD，
∵OE是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）证明：如图：
由（1）知CD是⊙O的切线，
∴∠CEB＝∠EAC（弦切角定理），
∵CM平分∠ACD，
∴∠ECM＝∠ACM，
∴∠CEB+∠ECM＝∠EAC+∠ACM，
∴∠ENM＝∠EMN，
∴EM＝EN；
（3）解：如图：
由（2）知EM＝EN，∠EMN＝∠ENM，
∴∠EMN＝∠BNC，
∵∠ECM＝∠BCN，
∴△EMC∽△BNC，
∴＝＝，
∵N是CM的中点，
∴＝＝＝2，
∴EM＝2BN，CE＝2BC，
∵∠BEC＝∠EAB，∠BCE＝∠ECA，
∴△BEC∽△EAC，
∴＝＝＝，
∴AE＝2BE，
在Rt△ABE中，AE2+BE2＝AB2，
∴（2BE）2+BE2＝（9）2，
∴BE＝9，
∵EN＝EM＝2BN，
∴EN＝BE＝6．
∴EN的长为6．
【点睛】本题考查切线的判定与性质，圆的性质及应用，涉及三角形相似的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理．
4．（2023 乐山）如图，已知⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB＝90°，D是圆上一点，E是DC延长线上一点，连接AD、AE，且AD＝AE，CA＝CE．
（1）求证：直线AE是⊙O的切线；
（2）若sinE＝，⊙O的半径为3，求AD的长．
【答案】（1）证明见解析；
（2）AD的长是．
【点拨】（1）先由∠ACB＝90°，证明AB是⊙O的直径，再证明∠CAE＝∠B，则∠OAE＝∠CAE+∠CAB＝∠B+∠CAB＝90°，即可证明直线AE是⊙O是的切线；
（2）由∠E＝∠CAE＝∠B，得＝sinB＝sinE＝＝，则CE＝CA＝AB＝×6＝4，CF＝CE＝×4＝，所以AF＝EF＝＝，则AD＝AE＝2AF＝．
【解析】（1）证明：∵∠ACB＝90°，
∴AB是⊙O的直径，
∵AD＝AE，
∴∠E＝∠D，
∵∠B＝∠D，
∴∠E＝∠B，
∵CA＝CE，
∴∠E＝∠CAE，
∴∠CAE＝∠B，
∴∠OAE＝∠CAE+∠CAB＝∠B+∠CAB＝90°，
∵OA是⊙O的半径，且AE⊥OA，
∴直线AE是⊙O的切线．
（2）解：作CF⊥AE于点F，则∠CFE＝90°，
∵∠E＝∠CAE＝∠B，
∴＝sinB＝sinE＝＝，
∵OA＝OB＝3，
∴AB＝6，
∴CE＝CA＝AB＝×6＝4，
∴CF＝CE＝×4＝，
∴AF＝EF＝＝＝，
∴AD＝AE＝2AF＝2×＝，
∴AD的长是．
【点睛】此题重点考查切线的判定、圆周角定理、等腰三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
5．（2023 常德）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是直径，C是的中点，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若BC＝6，AC＝8，求CE，DE的长．
【答案】（1）见解析；
（2）DE＝，EC＝．
【点拨】（1）根据等腰三角形的性质以及圆心角、弦、弧之间的关系可得∠CAE＝∠OCA，进而得到OC∥AE，再根据平行线的性质得出OC⊥EC即可；
（2）利用相似三角形的性质，勾股定理以及圆心角、弧、弦之间的关系进行计算即可．
【解析】（1）证明：如图，连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵点C是的中点，
∴∠OAC＝∠CAE，
∴∠CAE＝∠OCA，
∴OC∥AE，
∵AE⊥CE，
∴OC⊥CE，
∵OC是半径，
∴CE是⊙O的切线；
（2）解：∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB＝90°，
∵BC＝6，AC＝8，
∴AB＝＝10，
又∵∠BAC＝∠CAE，∠AEC＝∠ACB＝90°，
∴△AEC∽△ACB，
∴，
即，
∴，
∵点C是的中点，即＝，
∴CD＝BC＝6，
∴，
答：DE＝，EC＝．
【点睛】本题考查切线的判定与性质，圆周角定理，勾股定理以及圆心角、弦、弧之间的关系，掌握切线的判定方法，圆周角定理，勾股定理以及圆心角、弦、弧之间的关系是正确解答的前提．
类型四 三角形的内切圆和内心
1．（2023 聊城）如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA．若∠CAI＝35°，则∠OBC的度数为（　　）
A．15° B．17.5° C．20° D．25°
【答案】C
【点拨】连接IC，IB，OC，根据点I是△ABC的内心，得到AI平分∠BAC，根据角平分线的定义得到∠BAC＝2∠CAI＝70°，根据圆周角定理得到∠BOC＝2∠BAC＝140°，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【解析】解：连接OC，
∵点I是△ABC的内心，
∴AI平分∠BAC，
∵∠CAI＝35°，
∴∠BAC＝2∠CAI＝70°，
∵点O是△ABC外接圆的圆心，
∴∠BOC＝2∠BAC＝140°，
∵OB＝OC，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心，角平分线的定义，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
2．（2023 广州）如图，△ABC的内切圆⊙I与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，若⊙I的半径为r，∠A＝α，则（BF+CE﹣BC）的值和∠FDE的大小分别为（　　）
A．2r，90°﹣α B．0，90°﹣α C．2r， D．0，
【答案】D
【点拨】如图，连接IF，IE．利用切线长定理，圆周角定理，切线的性质解决问题即可．
【解析】解：如图，连接IF，IE．
∵△ABC的内切圆⊙I与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，
∴BF＝BD，CD＝CE，IF⊥AB，IE⊥AC，
∴BF+CE﹣BC＝BD+CD﹣BC＝BC﹣BC＝0，∠AFI＝∠AEI＝90°，
∴∠EIF＝180°﹣α，
∴∠EDF＝∠EIF＝90°﹣α．
故选：D．
【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心，圆周角定理，切线的性质等知识，解题的关键是掌握切线的性质，属于中考常考题型．
3．（2023 威海）在△ABC中，BC＝3，AC＝4，下列说法错误的是（　　）
A．1＜AB＜7 B．S△ABC≤6
C．△ABC内切圆的半径r＜1 D．当AB＝时，△ABC是直角三角形
【答案】C
【点拨】根据三角形的性质逐个判断即可．
【解析】解：A、由三角形三边关系得，4﹣3＜AB＜4+3，即1＜AB＜7，故A正确，不符合题意；
B、当BC⊥AC时，S△ABC最大，此时S△ABC＝×3×4＝6，故B正确，不符合题意；
C、三角形内切圆半径r＝，当S△ABC＝6时，则此时r＝＝1，所以r＜1错误，故C错误，符合题意；
D、当AB＝时，BC2＝AC2﹣AB2，所以△ABC时直角三角形，故D正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形相关知识点的应用，三角形面积、勾股定理、内切圆半径的求法是解题关键．
4．（2023 攀枝花）已知△ABC的周长为l，其内切圆的面积为πr2，则△ABC的面积为（　　）
A．rl B．πrl C．rl D．πrl
【答案】A
【点拨】由题意可得S△AOB＝AB×OE＝AB×r，S△BOC＝BC×r，S△AOC＝AC×r，由面积关系可求解．
【解析】解：如图，设内切圆O与△ABC相切于点D，点E，点F，连接OA，OB，OC，OE，OF，OD，
∵AB切⊙O于E，
∴OE⊥AB，OE＝r，
∴S△AOB＝AB×OE＝AB×r，
同理：S△BOC＝BC×r，
S△AOC＝AC×r，
∴S＝S△AOB+S△BOC+S△AOC＝AB×r+BC×r+AC×r＝（AB+BC+AC）×r，
∵l＝AB+BC+AC，
∴S＝lr，
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，掌握内切圆的性质是解题的关键．
5．（2022 娄底）如图，等边△ABC内切的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边△ABC的内心成中心对称，则圆中的黑色部分的面积与△ABC的面积之比是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【点拨】根据题意和图形，可知圆中的黑色部分的面积是圆的面积的一半，然后即可计算出圆中的黑色部分的面积与△ABC的面积之比．
【解析】解：作AD⊥BC于点D，作BE⊥AC于点E，AD和BE交于点O，如图所示，
设AB＝2a，则BD＝a，
∵∠ADB＝90°，
∴AD＝＝a，
∴OD＝AD＝a，
∴圆中的黑色部分的面积与△ABC的面积之比是：＝，
故选：A．
【点睛】本题考查等边三角形的性质、圆的面积、三角形的内切圆与内心，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
6．（2023 镇江）《九章算术》中记载：“今有勾八步，股一十五步．问勾中容圆径几何？”译文：今有一个直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形内切圆的直径是多少？书中给出的算法译文如下：如图，根据勾、股，求得弦长．用勾、股、弦相加作为除数，用勾乘以股，再乘以2作为被除数，商即为该直角三角形内切圆的直径，求得该直径等于 　6　步（注：“步”为长度单位）．
【答案】6．
【点拨】根据勾股定理求出直角三角形的斜边，根据直角三角形的内切圆的半径的求法确定出内切圆半径，得到直径．
【解析】解：根据勾股定理得：斜边为＝17，
则该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径为＝＝6步，
故答案为：6．
【点睛】此题考查了三角形的内切圆与内心，掌握Rt△ABC中，两直角边分别为a、b，斜边为c，其内切圆半径r＝是解题的关键．
7．（2023 湖北）如图，在△ABC中，∠ACB＝70°，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC分别相切于点D，E，连接DE，AO的延长线交DE于点F，则∠AFD＝　35°　．
【答案】35°．
【点拨】根据内切圆的定义和切线长定理，可以计算出∠AOB的度数和∠OGF的度数，然后即可计算出∠AFD的度数．
【解析】解：连接OD，OE，OB，OB交ED于点G，
∵∠ACB＝70°，
∴∠CAB+∠CBA＝110°，
∵点O为△ABC的内切圆的圆心，
∴∠OAB+∠OBA＝55°，
∴∠AOB＝125°，
∵OE＝OD，BD＝BE，
∴OB垂直平分DE，
∴∠OGE＝90°，
∴∠AFD＝∠AOB﹣∠OGF＝125°﹣90°＝35°，
故答案为：35°．
【点睛】本题考查三角形内切圆、切线长定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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