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8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
班级 姓名
学习目标
1．通过对圆柱、圆锥、圆台的研究，掌握圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积的求法．
2．会求与圆柱、圆锥、圆台有关的组合体的表面积与体积．
学习过程
自学指导 自学检测及课堂展示
阅读教材，完成右边的内容 一、圆柱、圆锥、圆台的表面积几何体圆柱(底面半径为r，母线长为l)圆锥(底面半径为r，母线长为l)圆台(上、下底面半径分别为r′，r，母线长为l)侧面展开图底面面积S底＝ S底＝ S上底＝ S下底＝ 侧面面积S侧＝ S侧＝ S侧＝ 表面积S＝ S＝ S＝ 【即时训练1】(1)已知圆柱 OO′的母线 l＝4 cm，表面积为 42π cm2，则圆柱 OO′的底面半径 r＝______cm.(2)表面积为 3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆面，则该圆锥的底面直径为________．(3)一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为________．
阅读教材，完成右边的内容 二、圆柱、圆锥、圆台的体积几何体体积柱体V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)，V圆柱＝ (r为底面半径，h为高)锥体V锥体＝Sh(S为底面面积，h为高)，V圆锥＝ (r为底面半径，h为高)台体V台体＝(S′＋＋S)h(S′，S分别为上、下底面面积，h为高)，V圆台＝ (r′，r分别是上、下底面半径，h是高)．【即时训练2】(1)已知圆锥的母线长是8，底面周长为6π，则它的体积是________．(2)圆台的上、下底面面积分别是2,4，高为3，则圆台的体积是________．
阅读教材，完成右边的内容 三、球的表面积和体积(1)球的表面积设球的半径为R，则球的表面积S＝ ，即球的表面积等于它的大圆面积的 倍．(2)球的体积设球的半径为R，则球的体积V＝ ．【即时训练3】(1)已知球的表面积为64π，则它的体积是________．(2)已知球的体积为π，则它的表面积是________．
变式1、轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的______倍．
圆柱、圆锥、圆台的体积 例2、(1)过圆锥的高的中点且与底面平行的截面把圆锥分成两部分的体积之比是________．(2)圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的体积比是______．变式2、圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm，它的侧面展开图扇环的圆心角是180°(如图)，那么圆台的体积是 ．
组合体的表面积与体积 例3、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD内过点C作l⊥CB，以l为轴旋转一周，求旋转体的表面积和体积．变式3、如图，已知等腰梯形ABCD的上底AD＝2，下底BC＝10，底角∠ABC＝60°，现绕腰AB所在的直线旋转一周，求所得的旋转体的体积．
课后作业
一、基础训练题
1．若一圆锥的底面半径为1，其侧面积是底面积的3倍，则该圆锥的体积为(　　)
A．8π　　 B．4π　 　
C．4π　 　 D．π
2．一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为(　　)
A．2 B．2
C．4 D．8
3．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为(　　)
A．7 B．6
C．5 D．3
4．已知某圆柱的底面周长为12，高为2，矩形ABCD是该圆柱的轴截面，则在此圆柱侧面上，从A到C的路径中，最短路径的长度为(　　)
A．2 B．2
C．3 D．2
5．用平行于圆锥底面的平面截圆锥，所得截面面积与底面面积的比是1∶3，这截面把圆锥母线分为两段的比是(　　)
A．1∶3 B．1∶ (－1)
C．1∶9 D．∶2
6．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为________．
7．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是________寸．(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸)
8．圆柱形容器内盛有高为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________ cm．
9．圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm，它的侧面展开图扇环的圆心角是180°(如图)，那么圆台的体积是________．
10．若圆锥的表面积是15π，侧面展开图的圆心角是60°，求圆锥的体积．
11．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5, CD＝2，AD＝2，求四边形ABCD绕AD边所在的直线旋转一周所成几何体的表面积和体积．
二、综合训练题
12．(多选题)如图，△ABC的三边长分别是AC＝3，BC＝4，AB＝5，过点C作CD⊥AB，垂足为D，下列说法正确的是(　　)
A．以BC所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为15π
B．以BC所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为36π
C．以AC所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为25π
D．以AC所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为16π
13．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为________.
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14．如图，已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a，最小值为b．那么圆柱被截后剩下部分的体积是________．
三、能力提升题
15．圆柱内有一个内接长方体ABCD A1B1C1D1，长方体的体对角线长是10 cm，圆柱的侧面展开图为矩形，此矩形的面积是100π cm2，则圆柱的底面半径为________cm，高为________cm．
16．如图在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，求圆柱的表面积．
8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
参考答案
1、【答案】D　
【解析】设圆锥的高为h，母线为l，则侧面积为πrl，底面积为πr2，
由侧面积是底面积的3倍，得，π×1×l＝3π×12，
解得l＝3，h＝＝2，故该圆锥的体积为×π×12×2＝π．
2、【答案】C　
【解析】圆台的轴截面如图，　
由题意知，l＝(r＋R)，S圆台侧＝π(r＋R)·l＝π·2l·l＝32π，∴l＝4．
【答案】A　
【解析】设圆台较小底面半径为r，则另一底面半径为3r．由S＝π(r＋3r)·3＝84π，解得r＝7．
4、【答案】A　
【解析】圆柱的侧面展开图如图，圆柱的侧面展开图是矩形，且矩形的长为12，宽为2，则在此圆柱侧面上从A到C的最短路径为线段AC，AC＝＝2．故选A．
5、【答案】B　
【解析】由面积比为1∶3，知小圆锥母线与原圆锥母线长之比为1∶，
故截面把圆锥母线分为1∶(－1)两部分．
6、【答案】2　
【解析】设圆锥的母线为l，圆锥底面半径为r，由题意可知，πrl＋πr2＝3π，且πl＝2πr．
解得r＝1，即直径为2．
7、【答案】3　
【解析】圆台的轴截面是下底长为12寸，上底长为28寸，高为18寸的等腰梯形，雨水线恰为中位线，故雨水线直径是20寸，所以降水量为＝3(寸)．
8、【答案】4　
【解析】设球的半径为r cm，则3×πr3＋πr2×8＝πr2×6r，解得r＝4．
9、【答案】 cm3　
【解析】180°＝×360°，∴l＝20，h＝10，V＝π(r＋r＋r1r2)·h＝ (cm3)．
10、【解】设圆锥的底面半径为r，母线为l，则2πr＝πl，得l＝6r．
又S圆锥＝πr2＋πr·6r＝7πr2＝15π，得r＝，
圆锥的高h＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6×\r(\f(15,7))))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(15,7)))))＝5，
V＝πr2h＝π××5＝π．
11、【解】　
将四边形ABCD绕AD边所在的直线旋转一周形成一个被挖去一个圆锥的圆台，如图．
由题意可得CD＝2，AD＝2，CE＝ED＝2，AB＝5，AE＝4，BC＝5，
所以几何体的表面积为
S＝π·EC·DC＋π(EC＋AB)·BC＋π·AB2＝4π＋35π＋25π＝60π＋4π，
几何体的体积为V＝π·(CE2＋AB2＋CE·AB)·AE－π·CE2·DE＝52π－π＝.
12、【答案】AD
【解析】以BC所在直线为轴旋转时，所得旋转体为底面半径为3，母线长为5，高为4的圆锥，
∴侧面积为π×3×5＝15π，体积为×π×32×4＝12π，∴A正确、B错误；
以AC所在直线为轴旋转时，所得旋转体为底面半径为4，母线长为5，高为3的圆锥，
侧面积为π×4×5＝20π，体积为×π×42×3＝16π，∴C错误、D正确．
13、【答案】3∶1∶2
【解析】设球的半径为R，则V圆柱＝πR2·2R＝2πR3，V圆锥＝πR2·2R＝πR3，V球＝πR3，
故V圆柱∶V圆锥∶V球＝2πR3∶πR3∶πR3＝3∶1∶2.
14、【答案】　
【解析】采取补体方法，相当于一个母线长为a＋b的圆柱截成了两个体积相等的部分，
所以剩下部分的体积V＝．
15、【答案】5　10　
【解析】设圆柱底面半径为r cm，高为h cm，如图所示，则圆柱轴截面长方形的对角线长等于它的内接长方体的体对角线长，则：
所以
即圆柱的底面半径为5 cm，高为10 cm．
16、【解】设圆锥的底面半径为R，圆柱的底面半径为r，表面积为S．
则R＝OC＝2，AC＝4，AO＝＝2．
如图所示，易知△AEB∽△AOC，
所以＝，即＝，所以r＝1，
S底＝2πr2＝2π，S侧＝2πr·h＝2π．
所以S＝S底＋S侧＝2π＋2π＝(2＋2)π．
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8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
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