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2024届初三毕业班综合测试数学
本试卷共三大越25小题，共4页，满分120分．考试时间120分钟
注意事项：
1.答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、姓名、班级、座位号和考生号填写在答题卡相应的位置上，再用2B铅笔把考号的对应数字涂黑．
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上．
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔或涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4.考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，满分30分，每小题给出的四个选项中．只有一个是正确的）
1. 如图，数轴上点A所表示的数的相反数为（ ）
A. B. 3 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】通过识图可得点A所表示的数为3，然后结合相反数的概念求解．
解：由图可得，点A所表示的数为3，
∴数轴上点A所表示的数的相反数为-3，
故选：A．
【点睛】本题考查了数轴上的点击相反数的概念，准确识图，理解相反数的定义是解题关键．
2. 据国家统计局公布，2023年第一季度，全国居民人均可支配收入10870元．数据10870用科学记数法表示为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】用科学记数法表示较大的数的一般形式为，其中，n等于原数的整数位数减1，即可得到答案．
解：用科学记数法表示较大的数的一般形式为，其中，n等于原数的整数位数减1，
∴，
故答案选：A．
【点睛】本题考查了科学记数法，掌握科学记数法的表示方法是解题的关键．
3. 下列几何体中，各自的三视图完全一样的是（）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了常见的几何体的三视图，熟知常见几何体的三视图是解题的关键．
解：A、俯视图是三角形，主视图是长方形，左视图是长方形，中间有一条竖直实线，不符合题意；
B、俯视图是一个圆，左视图和主视图都是等腰三角形，不符合题意；
C、俯视图是一个圆，左视图和主视图都是长方形，不符合题意；
D、主视图，俯视图，左视图都是圆，符合题意；
故选：D．
4. 下列运算正确的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据幂的运算法则，完全平方公式处理．
解：A. ，原运算错误，本选项不合题意；
B. ，原运算错误，本选项不合题意；
C. ，符合运算法则，本选项符合题意；
D. ，不能进一步运算化简，原运算错误，本选项不合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查乘法公式在整式乘法中的运用，幂的运算法则，掌握相关法则和公式是解题的关键．
5. 一组数据：3，4，4，4，5，若去掉一个数据4，则下列统计量中发生变化的是（）
A. 众数 B. 中位数 C. 平均数 D. 方差
【答案】D
【解析】
【分析】根据众数、中位数、平均数及方差可直接进行排除选项．
解：由题意得：
原中位数为4，原众数为4，原平均数为，原方差为；
去掉一个数据4后的中位数为，众数为4，平均数为，方差为；
∴统计量发生变化的是方差；
故选D．
【点睛】本题主要考查平均数、众数、众数及方差，熟练掌握求一组数据的平均数、众数、众数及方差是解题的关键．
6. 某运输公司运输一批货物，已知大货车比小货车每辆多运输5吨货物，且大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同，设有大货车每辆运输x吨，则所列方程正确的是（）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据“大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同”即可列出方程．
解：设有大货车每辆运输x吨，则小货车每辆运输吨，
则．
故选B
【点睛】本题考查分式方程应用，理解题意准确找到等量关系是解题的关键．
7. 下列四个函数图象中，当x<0时，函数值y随自变量x的增大而减小的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
A、根据函数的图象可知y随x的增大而增大，故本选项不符合题意；
B、根据函数的图象可知在第二象限内y随x的增大而减增大，故本选项不符合题意；
C、根据函数的图象可知，当x＜0时，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，故本选项不符合题意；
D、根据函数的图象可知，当x＜0时，y随x的增大而减小；故本选项符合题意．
故选 D．
【点睛】本题考查了函数的图象，函数的增减性，熟练掌握各函数的性质是解题的关键.
8. 如图，小亮为了测量校园里教学楼的高度，将测角仪竖直放置在与教学楼水平距离为的地面上，若测角仪的高度为，测得教学楼的顶部处的仰角为，则教学楼的高度是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】过作交于，得到DE，在中，，求出AE，从而求出AB
过作交于，
中，
故选C
【点睛】本题主要考查解直角三角形，能够构造出直角三角形是本题解题关键
9. 如图，是的外接圆，且，，在上取点D（不与点A，B重合），连接，，则的度数是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】连接，根据题意，得，结合，，得到，计算即可，本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理，等腰三角形的性质是解题的关键．
连接，根据题意，得，
∵，，
∴，
∴,
故选C．
．
10. 如图，是三条角平分线的交点，过作，分别交、于点、两点，设，，，关于的方程的根的情况是（）
A. 一定有两个相等的实数根 B. 一定有两个不相等的实数根
C. 有两个实数根，但无法确定是否相等 D. 没有实数根
【答案】B
【解析】
【分析】是三条角平分线的交点，过作，则得出，即可得出，再求出，，即可得出：，即可求解．
平分，，
，，
，
，
，
是的内角平分线的交点，
∴，
同理可得出：，
∴，
，
，
即：，
，
关于的方程的根的情况是：一定有两个不相等的实数根．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了根的判别式，相似三角形的判定与性质，根据已知得出是解题关键．
二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）
11. 方程的解为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据解方程的基本步骤解答即可，本题考查了解方程的基本步骤，熟练掌握步骤是解题的关键．
，
，
解得，
故答案为：．
12. 因式分解：x2﹣3x=_____．
【答案】x（x﹣3）
【解析】
试题分析：提取公因式x即可，即x2﹣3x=x（x﹣3）．
考点：因式分解.
13. 现有50张大小、质地及背面图案均相同的《西游记》人物卡片,正面朝下放置在桌面上,从中随机抽取一张并记下卡片正面所绘人物的名字后原样放回,洗匀后再抽.通过多次试验后,发现抽到绘有孙悟空这个人物卡片的频率约为0.3.估计这些卡片中绘有孙悟空这个人物的卡片张数约为____.
【答案】15
【解析】
因为通过多次试验后，发现抽到绘有孙悟空这个人物卡片的频率约为0.3，
则这些卡片中绘有孙悟空这个人物的卡片张数=0.3×50=15(张).
所以估计这些卡片中绘有孙悟空这个人物的卡片张数约为15张．
故答案为15.
14. 已知，两点都在抛物线上，那么________．
【答案】3
【解析】
【分析】根据题意可得点P和点Q关于抛物线的对称轴对称，求出函数的对称轴即可进行解答．
解：根据题意可得：抛物线的对称轴为直线：，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：3．
【点睛】此题考查了二次函数的性质，解题的关键是根据题意，找到P、Q两点关于对称轴对称求解．
15. 如图，平面直角坐标系中，与x轴相切于点B，作直径，函数的图象经过点C，D为y轴上任意一点，则的面积为_______．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，切线的性质；根据反比例函数系数k的几何意义可得，由切线的性质可得轴，再根据三角形的面积公式列式求解即可．
解：∵点C在函数的图象上，
∴，
∵与轴相切于点，
∴轴，
∴轴，
∴，
故答案为：5．
16. 如图，在矩形中，，，点E，F分别是边，上的动点，且．
（1）当时，______；
（2）当最大时，的长为_______．
【答案】 ①. ②. ##
【解析】
【分析】（1）证明，利用计算即可；
（2）当与相切时，的值最大，此时，也最大，利用三角形相似计算即可．
（1）∵矩形中，，，
∴
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）如图，取的中点O，连接．
∵矩形中，，，
∴，
∵，
∴A、D、E、F四点共圆，
∴，
∴当与相切时，的值最大，此时，也最大，
∴，
∵矩形中，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∵矩形中，，，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，正切函数，三角形相似的判定和性质，切线的性质，四点共圆，圆周角定理，熟练掌握正切函数，切线性质，四点共圆是解题的关键．
三、解答题（本大题有9小题，共7分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤）
17. 解不等式：．
【答案】
【解析】
【分析】按照解不等式的基本步骤解答即可．
本题考查了解不等式，熟练掌握解题的基本步骤是解题的关键．
，
移项，得
合并同类项，得，
系数化为1，得．
18. 如图，四边形中，，，E，F是对角线上两点，且．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形全等的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．
根据得，证明即可．
∵，
∴，
在和中
∴．
19. 为打造书香文化，培养阅读习惯，某中学计划在各班建设图书角，并开展主题为“我最喜欢阅读的书篇”的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：科技类，B：文学类，C：政史类，D：艺术类，E：其他类）．张老师组织数学兴趣小组对学校部分同学进行了问卷调查．根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）．
根据图中信息，请回答下列问题：
（1）填空：参与本次问卷调查活动的学生人数是______；
（2）甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，D三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率．
【答案】（1）50（2）
【解析】
【分析】（1）根据样本容量=频数÷所占百分数，求得样本容量后，计算解答．
（2）利用画树状图计算即可．本题考查了条形统计图、扇形统计图，画树状图求概率，熟练掌握统计图的意义，准确画树状图是解题的关键．
【小问1】
∵(人)，
故答案为：50．
【小问2】
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中抽到相同类有2种可能的结果，
相同的概率为：．
20. 已知关于x的函数图象经过点．
（1）用含m的代数式表示n；
（2）当时，若反比例函数的图象也经过点A，求k的值．
【答案】（1）
（2）4
【解析】
【分析】（1）把点的坐标代入解析式，化简计算即可；
（2）当时，点，代入解析式，计算即可．
本题本题考查了反比例函数与点的关系，熟练掌握这些知识是解题的关键．
【小问1】
解：根据题意，得．
【小问2】
解：当时，此时点，
故．
21. 如图，在中，，，．
（1）尺规作图：在上找一点P，作与，都相切，与的切点为Q；（保留作图痕迹）
（2）在（1）所作的图中，连接，求的值．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
【分析】（1）结合切线的判定与性质，作的平分线，交于点，以点为圆心，的长为半径画圆即可．
（2）由题意可得，则，可得为等边三角形，即，则，进而可得答案．
【小问1】
解：如图，作的平分线，交于点，以点为圆心，的长为半径画圆，交于点，
则即为所求．
；
【小问2】
解：由（1）可得，，，
，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
．
【点睛】本题考查作图—复杂作图、切线的判定与性质、等边三角形的性质、特殊角的三角函数值等知识点，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．
22. 如图是气象台某天发布的某地区气象信息，预报了次日0时至8时气温随着时间变化情况，其中0时至5时的图象满足一次函数关系式，5时至8时的图象满足函数关系式．请根据图中信息，解答下列问题：
（1）填空：次日0时到8时的最低气温是______；
（2）求一次函数解析式；
（3）某种植物在气温以下持续时间超过4小时，即遭到霜冻灾害，需采取预防措施．请判断次日是否需要采取防霜措施，并说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）需要采取防霜措施，见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意，当时，函数最小值，代入解析式计算即可．
（2）把分别代入中，计算即可；
（3）令，，计算交点坐标的横坐标的差，对照标准判断即可．
本题考查了待定系数法，图象信息识读，图象与x轴交点坐标的计算，熟练掌握待定系数法，交点坐标的计算是解题的关键．
【小问1】
根据题意，
当时，函数有最小值，代入解析式得，
，
故答案为：．
【小问2】
把分别代入中，
得，
解得，
∴．
【小问3】
令，
解得；
令，
解得（舍去），
故，
∵
∴遭到霜冻灾害，故需要采取防霜措施．
23. 在初中物理中我们学过凸透镜的成像规律．如图为一凸透镜，F是凸透镜的焦点．在焦点以外的主光轴上垂直放置一小蜡烛，透过透镜后呈的像为．光路图如图所示：经过焦点的光线，通过透镜折射后平行于主光轴，并与经过凸透镜光心的光线汇聚于C点．
（1）若焦距，物距．小蜡烛高度，求蜡烛的像的长度；
（2）设，，求y关于x的函数关系式，并通过计算说明当物距大于2倍焦距时，呈缩小的像．
【答案】（1）2米（2），说明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的实际应用，平行四边形的性质与判定；
（1）先证明，利用相似三角形的性质得到，再证明四边形是平行四边形，可得米；
（2）由（1）得，，则，据此可得，当，即时，，据此可得结论．
【小问1】
解：由题意得，，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴米，
∴蜡烛的像的长度为2米；
【小问2】
解：由（1）得，
∴，即，
∴，
当，即时，，
∴，即，
∴物高大于像高，即呈缩小的像．
24. 矩形中，，．
（1）如图1，矩形的对角线，相交于点O．
①求证：A，B，C，D四个点在以O为圆心的同一个圆上；
②在的劣弧上取一点E，使得，连接，求的面积．
（2）如图2，点P是该矩形的边上一动点，若四边形与四边形关于直线对称，连接，，求面积的最小值．
【答案】（1）①见解析；②
（2）8
【解析】
【分析】（1）①根据矩形的性质，得到，得到点A，B，C在以O为圆心，为半径的圆上，根据矩形的性质，得，判定点D在以O为圆心的同一个圆上，继而得到四点共圆；
②过点E作在于点D，根据，得到，结合，，得到，设，则，利用勾股定理计算x，利用面积公式解答即可．
（2）根据折叠的性质，得到，根据，得到，当点C，D，H三点共线时，最小，此时面积的为，最小．
【小问1】
①∵矩形，
∴，，
∴点A，B，C在以O为圆心，为半径的圆上，
∵，
∴点D在以O为圆心的同一个圆上，
故A，B，C，D四个点在以O为圆心的同一个圆上；
②如图，过点E作在于点D，
∵，
∴，
∵，，
∴，
设，则，
∴，
解得（舍去），
∴的面积．
【小问2】
根据折叠的性质，得到，
∵，
∴，
∴当点C，D，H三点共线时，最小，
此时面积的为，最小．
【点睛】本题考查了矩形的性质，构造辅助圆，正切函数，勾股定理，三角形不等式，熟练掌握正切函数，辅助圆，勾股定理，三角形不等式是解题的关键．
25. 已知抛物线，直线，其中，．
（1）求证：直线l与抛物线C至少有一个交点；
（2）若抛物线C与x轴交于，两点，其中，且，求当时，抛物线C存在两个横坐标为整数的顶点；
（3）若在直线l下方的抛物线C上至少存在两个横坐标为整数的点，求k的取值范围．
【答案】（1）见解析（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）联立，解方程，判断方程的解得个数即可解答；
（2）根据时，，结合抛物线C与x轴交于，两点，结合，则，且，求得，确定h的整数解有1,2两个，得证．
（3）根据题意，得当时，恒成立．建立不等式解答即可．
本题考查了抛物线与一次函数的综合，不等式组的解集与整数解，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．
【小问1】
联立，
解方程，得，
当时，
，
即直线与抛物线恒过点，
故直线l与抛物线C至少有一个交点．
【小问2】
当时，，
∵抛物线C与x轴交于，两点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
解得，
∵h时整数，
∴，
故抛物线C存在两个横坐标为整数的顶点，且顶点坐标为．
【小问3】
．∵如图所示：由（1）可知：抛物线C与直线都过点．
当，，在直线下方的抛物线C上至少存在两个横坐标为整数点，
即当时，恒成立．
故，
整理得：．
又∵，
∴，
∴．2024届初三毕业班综合测试数学
本试卷共三大越25小题，共4页，满分120分．考试时间120分钟
注意事项：
1.答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、姓名、班级、座位号和考生号填写在答题卡相应的位置上，再用2B铅笔把考号的对应数字涂黑．
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上．
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔或涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4.考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，满分30分，每小题给出的四个选项中．只有一个是正确的）
1. 如图，数轴上点A所表示的数的相反数为（ ）
A B. 3 C. D.
2. 据国家统计局公布，2023年第一季度，全国居民人均可支配收入10870元．数据10870用科学记数法表示为（）
A B. C. D.
3. 下列几何体中，各自的三视图完全一样的是（）．
A. B. C. D.
4. 下列运算正确的是（　　）
A. B. C. D.
5. 一组数据：3，4，4，4，5，若去掉一个数据4，则下列统计量中发生变化的是（）
A. 众数 B. 中位数 C. 平均数 D. 方差
6. 某运输公司运输一批货物，已知大货车比小货车每辆多运输5吨货物，且大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同，设有大货车每辆运输x吨，则所列方程正确的是（）
A. B. C. D.
7. 下列四个函数图象中，当x<0时，函数值y随自变量x的增大而减小的是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，小亮为了测量校园里教学楼的高度，将测角仪竖直放置在与教学楼水平距离为的地面上，若测角仪的高度为，测得教学楼的顶部处的仰角为，则教学楼的高度是( )
A. B. C. D.
9. 如图，是的外接圆，且，，在上取点D（不与点A，B重合），连接，，则的度数是（）
A. B. C. D.
10. 如图，是三条角平分线的交点，过作，分别交、于点、两点，设，，，关于的方程的根的情况是（）
A. 一定有两个相等的实数根 B. 一定有两个不相等的实数根
C. 有两个实数根，但无法确定是否相等 D. 没有实数根
二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）
11. 方程的解为______．
12. 因式分解：x2﹣3x=_____．
13. 现有50张大小、质地及背面图案均相同的《西游记》人物卡片,正面朝下放置在桌面上,从中随机抽取一张并记下卡片正面所绘人物的名字后原样放回,洗匀后再抽.通过多次试验后,发现抽到绘有孙悟空这个人物卡片的频率约为0.3.估计这些卡片中绘有孙悟空这个人物的卡片张数约为____.
14. 已知，两点都在抛物线上，那么________．
15. 如图，平面直角坐标系中，与x轴相切于点B，作直径，函数的图象经过点C，D为y轴上任意一点，则的面积为_______．
16. 如图，在矩形中，，，点E，F分别是边，上动点，且．
（1）当时，______；
（2）当最大时，的长为_______．
三、解答题（本大题有9小题，共7分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤）
17. 解不等式：．
18. 如图，四边形中，，，E，F是对角线上两点，且．求证：．
19. 为打造书香文化，培养阅读习惯，某中学计划在各班建设图书角，并开展主题为“我最喜欢阅读的书篇”的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：科技类，B：文学类，C：政史类，D：艺术类，E：其他类）．张老师组织数学兴趣小组对学校部分同学进行了问卷调查．根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）．
根据图中信息，请回答下列问题：
（1）填空：参与本次问卷调查活动的学生人数是______；
（2）甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，D三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率．
20. 已知关于x的函数图象经过点．
（1）用含m的代数式表示n；
（2）当时，若反比例函数的图象也经过点A，求k的值．
21. 如图，在中，，，．
（1）尺规作图：在上找一点P，作与，都相切，与的切点为Q；（保留作图痕迹）
（2）在（1）所作的图中，连接，求的值．
22. 如图是气象台某天发布的某地区气象信息，预报了次日0时至8时气温随着时间变化情况，其中0时至5时的图象满足一次函数关系式，5时至8时的图象满足函数关系式．请根据图中信息，解答下列问题：
（1）填空：次日0时到8时最低气温是______；
（2）求一次函数的解析式；
（3）某种植物在气温以下持续时间超过4小时，即遭到霜冻灾害，需采取预防措施．请判断次日是否需要采取防霜措施，并说明理由．
23. 在初中物理中我们学过凸透镜的成像规律．如图为一凸透镜，F是凸透镜的焦点．在焦点以外的主光轴上垂直放置一小蜡烛，透过透镜后呈的像为．光路图如图所示：经过焦点的光线，通过透镜折射后平行于主光轴，并与经过凸透镜光心的光线汇聚于C点．
（1）若焦距，物距．小蜡烛高度，求蜡烛的像的长度；
（2）设，，求y关于x的函数关系式，并通过计算说明当物距大于2倍焦距时，呈缩小的像．
24. 矩形中，，．
（1）如图1，矩形的对角线，相交于点O．
①求证：A，B，C，D四个点在以O为圆心的同一个圆上；
②在的劣弧上取一点E，使得，连接，求的面积．
（2）如图2，点P是该矩形的边上一动点，若四边形与四边形关于直线对称，连接，，求面积的最小值．
25. 已知抛物线，直线，其中，．
（1）求证：直线l与抛物线C至少有一个交点；
（2）若抛物线C与x轴交于，两点，其中，且，求当时，抛物线C存在两个横坐标为整数的顶点；
（3）若在直线l下方的抛物线C上至少存在两个横坐标为整数的点，求k的取值范围．

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