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2024年中考第三次模拟考试（河北卷）
数学·参考答案
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共16个小题，共38分，1～6小题各3分，7～16小题各2分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B C D D C D A C C C
11 12 13 14 15 16
A A B C C B
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共3个小题，共10分.17小题2分，18～19小题各4分，每空2分）
17．
18．（1）图① （2）
19．（1）6 ，（2）7
三、解答题（本大题共7个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（9分）（1）解：，
∴总进价是960元．
故答案为：960；（2分）
（2）解：①最低售价是：（元）；（4分）
②最高利润为：（元）；（6分）
故答案是：34；13；（3分）
（3）解：根据题意可得：
（元）．
（9分）
21．（9分）（1）由题意知第n个三角形数为，
第n个正方形数为；
故答案为：，．（4分）
（2）设任意两个三角形数为第k个数和第个数，
则（5分）
，（8分）
所以任意第k个数和第个三角形数之和恰等于第个正方形数；（8分）
即任意两个相邻三角形数之和是正方形数．（9分）
22．（9分）
（1）解：∵，
∴，
∵，
六年级参赛学生中成绩为良好的学生有人；
∵良好占，
∴合格占
补全条形图如下：
（3分）
（2）由个数据，第个，第个数据落在80分—90分这一组，故①正确；
众数是出现次数最多的数据，不一定落在80分—90分这一组内，故②不正确；
仍有不合格的学生，该校环保知识宣传需进一步加强；故③正确；
从这两个统计图中不能准确求出样本的平均数，故④不正确；
∴上述结论中错误的是②④；（5分）
（3）由（1）得：，样本容量为，（6分）
∴，（7分）
整理得：，
解得：，，（8分）
∵得分60分以下的学生有，
∴合理；（9分）
23．（10分）
（1）解：①观察表格数据，可知当和 时，函数值相等，
对称轴为直线，顶点坐标为，
抛物线开口向下，
最高点时，乒乓球与球台之间的距离是，
当时，，
乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是；
故答案为：49；230；（2分）
②设抛物线解析式为，
将代入得，，
解得：，
抛物线解析式为；（5分）
（2）解：∵运行轨迹形状不变，最高点与球台之间的距离不变
∴可设平移后的抛物线的解析式为，（6分）
依题意，当时，，
即，（7分）
解得：，（不合题意，舍去）．（8分）
当时．（9分）
答：乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值为cm（10分）
24．（10分）
（1）解：如图，连接，
由题意知，筒车每秒旋转，
在中，，
，
盛水筒P首次到达最高点的时间：（秒）；（3分）
（2）解：如图，
盛水筒P浮出水面秒后，，
，
过点P作于D，
在中，
（米），
盛水筒P距离水面距离为：（米）；（6分）
（3）解：如图，
点P在上，且与相切，
当点P在上时，此时点P是切点，连接，则，
在中，，
，
在中，，
，
，
（秒），
至少经过秒恰好在直线上．（10分）
25．（12分）解：任务一
任务：设场馆门票为元，场馆门票为元，
由题意，得，
解得，
答：场馆门票的单价为元，场馆门票的单价为元；（2分）
任务：设购买场馆门票张，则购买场馆门票张，
依题意，得，
解得，（3分）
设此次购买门票所需总金额为元，
则，
，
随的增大而减小，
，且为整数，
当时，取得最小值，最小值元，（5分）
答：此次购买门票所需总金额的最小值为元；
任务：设购买场馆门票张，场馆门票张，则购买场馆门票张，
依题意得，，
∴，
又∵均为正整数，
∴或或，
当，时， ，符合题意；
当时， ，符合题意.；
当时，，不合题意，舍去；
∴购买张场馆门票，张场馆门票，张场馆门票或购买张场馆门票，张场馆门票，张场馆门票；（9分）
任务二
（）由函数图象可得，为，
故答案为：；（10分）
（）由图象可得，第二组个小时步行了，
∴，
故答案为：；（11分）
（）第二组从场馆出发首次到达场馆所走的路程为，第二组的速度是，
第二组由场馆出发首次到达场馆所用的时间为．（12分）
26．（13分）（1）解：如图所示，过点F作交延长线于G，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；（2分）
（2）解：，理由如下：（3分）
如图所示，在上取一点M使得，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵，即，
，
∴，
∵，
∴，
∴，（6分）
∴；（7分）
（3）解：如图1所示，当点E在右侧时，过点F作交延长线于G，以B为原点，所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，设，
∴，
同理可证，
∴，
∴，
∴，
∴点F在直线上运动；
如图2所示，当点E在左侧时，
∴，
同理可证，
∴，
∴，
∴，
∴点F在直线上运动；
综上所述，点F的运动轨迹即为直线；（10分）
如图3所示，作点B关于直线的对称点H，连接，则，
∴，
∴，
∴当三点共线时，最小，即最小，（11分）
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为，（12分）
联立，解得，
∴，
∴．
（13分）
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2024年中考第三次模拟考试（河北卷）
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项: 1. 本试卷总分120分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置.
3.所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效.答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题.
4.答选择题时，用2B铅笔将答题卡.上对应题目的答案标号涂黑:答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题.
5.考试结束时，请将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共16个小题，共38分，1～6小题各3分，7～16小题各2分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．有理数的相反数是（　　）
A． B． C． D．
2．下列选项中的两个相似图形，不是位似图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列各式计算结果为的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，河道的同侧有两地，现要铺设一条引水管道，从地把河水引向、两地．下列四种方案中，最节省材料的是（ ）
A． B．
C． D．
5．要求加工4个长为、宽为的矩形零件．陈师傅对4个零件进行了检测．根据零件的检测结果，图中不合格的零件是（ ）
A． B．
C． D．
6．下列算式中，与有理数 相等的是（ ）
A． B．
C． D．
7．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．图（1）是矗立千年而不倒的某木塔一角，全塔使用了54种形态各异的斗拱．斗拱是中国建筑特有的一种结构，位于柱与梁之间．斗拱由斗、升、拱、翘、昂组成，图（2）是其中一个组成部件的三视图，则这个部件是（ ）
A． B． C． D．
9．已知一个水分子的直径约为3.85×10﹣9米，某花粉的直径约为5×10﹣4米，用科学记数法表示一个水分子的直径是这种花粉直径的（ ）
A．0.77×10﹣5倍 B．77×10﹣4倍 C．7.7×10﹣6倍 D．7.7×10﹣5倍
10．已知两艘轮船以相同速度从港口同时出发，甲轮船航行的方向是北偏东，乙轮船航行的方向是南偏东，经过相同时间后，乙轮船行驶的路程为．关于甲、乙两轮船的位置，说法如下：
①甲轮船在乙轮船的东北方向；②甲轮船在乙轮船的正北方向；
③甲、乙两轮船之间的距离为；④甲、乙两轮船之间的距离大于．
其中判断正确的有

A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
11．阳阳同学在复习老师已经批阅的作业本时，发现有一道填空题破了一个洞（如图所示），■表示破损的部分，则破损部分的式子可能是（ ）
化简：
A． B． C． D．
12．如图，量筒的液面A－C－B呈凹形，近似看成圆弧，读数时视线要与液面相切于最低点C（即弧中点）．小温想探究仰视、俯视对读数的影响，当他俯视点C时，记录量筒上点D的高度为37mm；仰视点C（点E，C，B在同一直线），记录量筒上点E的高度为23mm，若点D在液面圆弧所在圆上，量筒直径为10mm，则平视点C，点C的高度为（ ）mm．
A． B． C． D．
13．定义新运算：，例如： ，则关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有实数根 D．没有实数根
14．如图，的半径为2，圆心O在坐标原点，正方形的边长为2，点A、B在第二象限，点C、D在上，且点D的坐标为，现将正方形绕点C 按逆时针方向旋转，点B动到了上点处，点A、D分别运动到了点、处，即得到正方形（点与C重合）；再将正方形绕点按逆时针方向旋转，点运动到了上点处，点、分别运动到了点、处，即得到正方形（点与重合），…，按上述方法旋转2024次后，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
15．2024年元旦期间，某超市为了增加销售额，举办了“购物抽奖”活动：凡购物达到200元即可抽奖1次，达到400元可抽奖2次，……，依次类推．抽奖方式为：在不透明的箱子中有四个形状相同的小球，四个小球上分别写有对应奖品的价值为10元、15元、20元和“谢谢惠顾”的字样；抽奖1次，随机从四个小球抽取一个；抽奖2次时，记录第1次抽奖的结果后放回箱子中再进行第2次抽取，……，依次类推．小明和妈妈一共购买了420元的物品，获得了两次抽奖机会，则小明和妈妈获得奖品总值不低于30元的概率为（ ）
A． B． C． D．
16．如图，在中，以A、B为圆心，、长为半径分别作弧交于点，连接、，在上截取点M，以点为圆心，长为半径作弧交于点N，以大于的长分别以点M、N为圆心作弧交于一点，点与这点连线的直线交于点P，交于I．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．10
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共3个小题，共10分.17小题2分，18～19小题各4分，每空2分）
17．若与最简二次根式可以合并，则 ．
18．如图，要设计一个装彩铅的圆柱体纸盒，已知每支铅笔大小相同，底面均为正六边形，边长记作．下面我们来探究纸盒底面半径的最小值：
（1）如果要装10支铅笔，小蓝画了图①、图②两种排列方式，请你通过计算，判断哪种方式更节省空间： ．（填①或②）
（2）如果要装24支铅笔，请你模仿以上两种方式，算出纸盒底面最小半径是 ．（用含a的代数式表示）
19．如图，直线分别与轴、轴交于点，，与反比例函数的图象交于点，，过点，分别作轴轴的垂线，垂足分别为，．

（1）若图中阴影部分的面积等于3，则 ；
（2）若，且，则 ．
三、解答题（本大题共7个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．某个体儿童服装店老板以每件32元的价格购进30件连衣裙，针对不同的顾客，30件连衣裙的售价不完全相同，若以40元为标准价，将超过的钱数记为正，不足的钱数记为负，则售价记录结果如表所示：
售出数量（件） 4 9 3 5 4 5
与标准价的差（元）
(1)总进价是________元．
(2)在销售过程中①最低售价为每件______元；②最高获利为每件_____元．
(3)该服装店在售完这30件连衣裙后，赚了多少钱？
21．【观察思考】
毕达哥拉斯常在沙滩上摆小石子表示数，产生了一系列的形数．如图1，当小石子的数是1，3，6，…时，小石子能摆成三角形，这些数叫三角形数．如图2，当小石子的数是1，4，9，…时，小石子能摆成正方形，这些数叫正方形数．
【规律发现】
（1）图1中，第个三角形数是______；图2中，第个正方形数是______；（请用含的式子表示）
【猜想验证】
（2）毕达哥拉斯进一步发现了三角形数和正方形数之间的内在联系：，，请证明：任意两个相邻三角形数之和是正方形数．
22．某校六年级200名学生参加了环保知识竞赛，已知竞赛得分都是整数，满分100分．随机抽取了部分学生的竞赛成绩作为一个样本，数据整理后分成6个小组，画出竞赛成绩的频数分布直方图，如图1所示（每个小组可包括最小值，不包括最大值），同时画出竞赛成绩等第的扇形统计图，如图2所示（设竞赛成绩为a分，为不合格、为合格，为良好，为优秀）．根据图中的信息回答下列问题：

(1)估计六年级参赛学生中成绩为良好的学生有________人；请把图1补画完整、补齐图2中缺失的数据；
(2)小明对统计图进行了研究，得出了如下结论：
①中位数一定落在80分—90分这一组内；
②众数一定落在80分—90分这一组内；
③仍有不合格的学生，该校环保知识宣传需进一步加强；
④从这两个统计图中能准确求出样本的平均数．
上述结论中错误的是________（填序号）．
(3)估计本次六年级参赛学生中荣获优秀的共有m人．学校“环保社团”决定：这m名学生都光荣的成为学校的小小环保“宣传员”，从中选派x人帮助本年级参赛得分60分以下的学生普及环保知识．经计算，x与的积恰好等于样本容量的15倍．你认为x的值取多少比较合理，为什么？
23．乒乓球被誉为中国国球．2023年的世界乒乓球标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度为28.75cm的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．
乒乓球到球台的竖直高度记为y（单位：cm），乒乓球运行的水平距离记为x（单位：cm）．测得如下数据：
水平距离x/cm 0 10 50 90 130 170 230
竖直高度y/cm 28.75 33 45 49 45 33 0
(1)①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是________cm，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是________cm；
②求满足条件的抛物线解析式：
(2)技术分析：如果乒乓球的运行轨迹形状不变，最高点与球台之间的距离不变，只上下调整击球高度，确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出的取值范围，以利于有针对性的训练．如图②．乒乓球台长为274cm，球网高15.25cm．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球离度的值约为48cm．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点处时，击球高度的值（乒乓球大小忽略不计）．
24．筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋》中写道：“水能利物，轮乃曲成”．如图，半径为的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车与水面分别交于点A、B，筒车的轴心O距离水面的高度长为，筒车上均匀分布着若干个盛水筒．若以某个盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间．（参考数据：，，）
(1)经过多长时间，盛水筒P首次到达最高点？
(2)浮出水面3.4秒后，盛水筒P距离水面多高？
(3)若接水槽所在直线是的切线，且与直线交于点M，．求盛水筒P从最高点开始，至少经过多长时间恰好在直线上．
25．根据以下素材，探索完成任务一：
如何设计购买方案？
素材 某校名同学要去参观航天展览馆，已知展览馆分为三个场馆，且购买张场馆门票和张场馆门票共需元，购买张场馆门票和张场馆门票共需元．场馆门票为每张元
素材 由于场地原因，要求到场馆参观的人数要少于到B场馆参观的人数，且每位同学只能选择一个场馆参观．参观当天刚好有优惠活动：每购买张场馆门票就赠送张场馆门票．
问题解决
任务 确定场馆门票价格 求场馆和场馆的门票价格．
任务 探究经费的使用 若购买场馆门票赠送的场馆门票刚好够参观场馆的同学使用，求此次购买门票所需总金额的最小值．
任务 拟定购买方案 若参观场馆的同学除了使用掉赠送的门票外，还需购买部分门票，且让去场馆的人数尽量的多，最终购买三种门票共花费了元，请你直接写出购买方案．
探索完成任务二：
如图，在参观航天展览馆活动中，某班学生分成两组，第一组由场馆匀速步行到场馆后原路原速返回，第二组由场馆匀速步行到场馆继续前行到场馆后原路原速返回．两组同时出发，设步行的时间为（单位：），两组离场馆的距离为（单位：），图中折线分别表示两组学生与之间的函数关系．
（）两场馆之间的距离为______；
（）第二组步行的速度为______；
（）求第二组由场馆出发首次到达场馆所用的时间．
26．四边形是正方形，E是直线上一点，连接，在右侧，过点E作射线，F为上一点．
(1)如图1，若点E是边的中点，且，连接，则________；
(2)如图2，若点E是边上一点（不与B，C重合），，判断线段与的数量关系，并说明理由；
(3)若正方形边长为1，且，当取最小值时，求的面积．
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2024年中考第三次模拟考试（河北卷）
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项: 1. 本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置.
3.所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效.答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题.
4.答选择题时，用2B铅笔将答题卡.上对应题目的答案标号涂黑:答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题.
5.考试结束时，请将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共16个小题，共38分，1～6小题各3分，7～16小题各2分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．有理数的相反数是（　　）
A． B． C． D．
2．下列选项中的两个相似图形，不是位似图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列各式计算结果为的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，河道的同侧有两地，现要铺设一条引水管道，从地把河水引向、两地．下列四种方案中，最节省材料的是（ ）
A． B．C． D．
5．要求加工4个长为、宽为的矩形零件．陈师傅对4个零件进行了检测．根据零件的检测结果，图中不合格的零件是（ ）
A．B． C． D．
6．下列算式中，与有理数 相等的是（ ）
A． B．
C． D．
7．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．图（1）是矗立千年而不倒的某木塔一角，全塔使用了54种形态各异的斗拱．斗拱是中国建筑特有的一种结构，位于柱与梁之间．斗拱由斗、升、拱、翘、昂组成，图（2）是其中一个组成部件的三视图，则这个部件是（ ）
A． B． C． D．
9．已知一个水分子的直径约为3.85×10﹣9米，某花粉的直径约为5×10﹣4米，用科学记数法表示一个水分子的直径是这种花粉直径的（ ）
A．0.77×10﹣5倍 B．77×10﹣4倍 C．7.7×10﹣6倍 D．7.7×10﹣5倍
10．已知两艘轮船以相同速度从港口同时出发，甲轮船航行的方向是北偏东，乙轮船航行的方向是南偏东，经过相同时间后，乙轮船行驶的路程为．关于甲、乙两轮船的位置，说法如下：
①甲轮船在乙轮船的东北方向；②甲轮船在乙轮船的正北方向；
③甲、乙两轮船之间的距离为；④甲、乙两轮船之间的距离大于．
其中判断正确的有

A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
11．阳阳同学在复习老师已经批阅的作业本时，发现有一道填空题破了一个洞（如图所示），■表示破损的部分，则破损部分的式子可能是（ ）
化简：
A． B． C． D．
12．如图，量筒的液面A－C－B呈凹形，近似看成圆弧，读数时视线要与液面相切于最低点C（即弧中点）．小温想探究仰视、俯视对读数的影响，当他俯视点C时，记录量筒上点D的高度为37mm；仰视点C（点E，C，B在同一直线），记录量筒上点E的高度为23mm，若点D在液面圆弧所在圆上，量筒直径为10mm，则平视点C，点C的高度为（ ）mm．
A． B． C． D．
13．定义新运算：，例如： ，则关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有实数根 D．没有实数根
14．如图，的半径为2，圆心O在坐标原点，正方形的边长为2，点A、B在第二象限，点C、D在上，且点D的坐标为，现将正方形绕点C 按逆时针方向旋转，点B动到了上点处，点A、D分别运动到了点、处，即得到正方形（点与C重合）；再将正方形绕点按逆时针方向旋转，点运动到了上点处，点、分别运动到了点、处，即得到正方形（点与重合），…，按上述方法旋转2024次后，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
15．2024年元旦期间，某超市为了增加销售额，举办了“购物抽奖”活动：凡购物达到200元即可抽奖1次，达到400元可抽奖2次，……，依次类推．抽奖方式为：在不透明的箱子中有四个形状相同的小球，四个小球上分别写有对应奖品的价值为10元、15元、20元和“谢谢惠顾”的字样；抽奖1次，随机从四个小球抽取一个；抽奖2次时，记录第1次抽奖的结果后放回箱子中再进行第2次抽取，……，依次类推．小明和妈妈一共购买了420元的物品，获得了两次抽奖机会，则小明和妈妈获得奖品总值不低于30元的概率为（ ）
A． B． C． D．
16．如图，在中，以A、B为圆心，、长为半径分别作弧交于点，连接、，在上截取点M，以点为圆心，长为半径作弧交于点N，以大于的长分别以点M、N为圆心作弧交于一点，点与这点连线的直线交于点P，交于I．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．10
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共3个小题，共10分.17小题2分，18～19小题各4分，每空2分）
17．若与最简二次根式可以合并，则 ．
18．如图，要设计一个装彩铅的圆柱体纸盒，已知每支铅笔大小相同，底面均为正六边形，边长记作．下面我们来探究纸盒底面半径的最小值：
（1）如果要装10支铅笔，小蓝画了图①、图②两种排列方式，请你通过计算，判断哪种方式更节省空间： ．（填①或②）
（2）如果要装24支铅笔，请你模仿以上两种方式，算出纸盒底面最小半径是 ．（用含a的代数式表示）
19．如图，直线分别与轴、轴交于点，，与反比例函数的图象交于点，，过点，分别作轴轴的垂线，垂足分别为，．

（1）若图中阴影部分的面积等于3，则 ；
（2）若，且，则 ．
三、解答题（本大题共7个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．某个体儿童服装店老板以每件32元的价格购进30件连衣裙，针对不同的顾客，30件连衣裙的售价不完全相同，若以40元为标准价，将超过的钱数记为正，不足的钱数记为负，则售价记录结果如表所示：
售出数量（件） 4 9 3 5 4 5
与标准价的差（元）
(1)总进价是________元．
(2)在销售过程中①最低售价为每件______元；②最高获利为每件_____元．
(3)该服装店在售完这30件连衣裙后，赚了多少钱？
21．【观察思考】
毕达哥拉斯常在沙滩上摆小石子表示数，产生了一系列的形数．如图1，当小石子的数是1，3，6，…时，小石子能摆成三角形，这些数叫三角形数．如图2，当小石子的数是1，4，9，…时，小石子能摆成正方形，这些数叫正方形数．
【规律发现】
（1）图1中，第个三角形数是______；图2中，第个正方形数是______；（请用含的式子表示）
【猜想验证】
（2）毕达哥拉斯进一步发现了三角形数和正方形数之间的内在联系：，，请证明：任意两个相邻三角形数之和是正方形数．
22．某校六年级200名学生参加了环保知识竞赛，已知竞赛得分都是整数，满分100分．随机抽取了部分学生的竞赛成绩作为一个样本，数据整理后分成6个小组，画出竞赛成绩的频数分布直方图，如图1所示（每个小组可包括最小值，不包括最大值），同时画出竞赛成绩等第的扇形统计图，如图2所示（设竞赛成绩为a分，为不合格、为合格，为良好，为优秀）．根据图中的信息回答下列问题：

(1)估计六年级参赛学生中成绩为良好的学生有________人；请把图1补画完整、补齐图2中缺失的数据；
(2)小明对统计图进行了研究，得出了如下结论：
①中位数一定落在80分—90分这一组内；
②众数一定落在80分—90分这一组内；
③仍有不合格的学生，该校环保知识宣传需进一步加强；
④从这两个统计图中能准确求出样本的平均数．
上述结论中错误的是________（填序号）．
(3)估计本次六年级参赛学生中荣获优秀的共有m人．学校“环保社团”决定：这m名学生都光荣的成为学校的小小环保“宣传员”，从中选派x人帮助本年级参赛得分60分以下的学生普及环保知识．经计算，x与的积恰好等于样本容量的15倍．你认为x的值取多少比较合理，为什么？
23．乒乓球被誉为中国国球．2023年的世界乒乓球标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度为28.75cm的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．
乒乓球到球台的竖直高度记为y（单位：cm），乒乓球运行的水平距离记为x（单位：cm）．测得如下数据：
水平距离x/cm 0 10 50 90 130 170 230
竖直高度y/cm 28.75 33 45 49 45 33 0
(1)①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是________cm，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是________cm；
②求满足条件的抛物线解析式：
(2)技术分析：如果乒乓球的运行轨迹形状不变，最高点与球台之间的距离不变，只上下调整击球高度，确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出的取值范围，以利于有针对性的训练．如图②．乒乓球台长为274cm，球网高15.25cm．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球离度的值约为48cm．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点处时，击球高度的值（乒乓球大小忽略不计）．
24．筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋》中写道：“水能利物，轮乃曲成”．如图，半径为的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车与水面分别交于点A、B，筒车的轴心O距离水面的高度长为，筒车上均匀分布着若干个盛水筒．若以某个盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间．（参考数据：，，）
(1)经过多长时间，盛水筒P首次到达最高点？
(2)浮出水面3.4秒后，盛水筒P距离水面多高？
(3)若接水槽所在直线是的切线，且与直线交于点M，．求盛水筒P从最高点开始，至少经过多长时间恰好在直线上．
25．根据以下素材，探索完成任务一：
如何设计购买方案？
素材 某校名同学要去参观航天展览馆，已知展览馆分为三个场馆，且购买张场馆门票和张场馆门票共需元，购买张场馆门票和张场馆门票共需元．场馆门票为每张元
素材 由于场地原因，要求到场馆参观的人数要少于到B场馆参观的人数，且每位同学只能选择一个场馆参观．参观当天刚好有优惠活动：每购买张场馆门票就赠送张场馆门票．
问题解决
任务 确定场馆门票价格 求场馆和场馆的门票价格．
任务 探究经费的使用 若购买场馆门票赠送的场馆门票刚好够参观场馆的同学使用，求此次购买门票所需总金额的最小值．
任务 拟定购买方案 若参观场馆的同学除了使用掉赠送的门票外，还需购买部分门票，且让去场馆的人数尽量的多，最终购买三种门票共花费了元，请你直接写出购买方案．
探索完成任务二：
如图，在参观航天展览馆活动中，某班学生分成两组，第一组由场馆匀速步行到场馆后原路原速返回，第二组由场馆匀速步行到场馆继续前行到场馆后原路原速返回．两组同时出发，设步行的时间为（单位：），两组离场馆的距离为（单位：），图中折线分别表示两组学生与之间的函数关系．
（）两场馆之间的距离为______；
（）第二组步行的速度为______；
（）求第二组由场馆出发首次到达场馆所用的时间．
26．四边形是正方形，E是直线上一点，连接，在右侧，过点E作射线，F为上一点．
(1)如图1，若点E是边的中点，且，连接，则________；
(2)如图2，若点E是边上一点（不与B，C重合），，判断线段与的数量关系，并说明理由；
(3)若正方形边长为1，且，当取最小值时，求的面积．
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2024年中考第三次模拟考试（河北卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共16个小题，共38分，1～6小题各3分，7～16小题各2分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．有理数的相反数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了相反数的定义，根据相反数的定义进行判断即可，解题的关键是熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数．
【详解】解：有理数的相反数是，
故选：．
2．下列选项中的两个相似图形，不是位似图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是位似变换，掌握两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形是解题的关键．根据位似图形的定义解答即可．
【详解】解：根据位似图图形的定义可知选项A、B、D中的两个图形都是位似图形，C中的两个图形不是位似图形，
故选：C．
3．下列各式计算结果为的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了幂的运算，同底数幂的乘法，幂的乘方，合并同类项，同底数幂的除法，熟练掌握各知识点是解决本题的关键．
依次根据定义化简每一项即可．
【详解】解：A、，故本选项不符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项符合题意．
故选：D．
4．如图，河道的同侧有两地，现要铺设一条引水管道，从地把河水引向、两地．下列四种方案中，最节省材料的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了垂线段最短的运用，实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．根据垂线段最短以及两点之间线段最短，求解即可．
【详解】解：依据垂线段最短，以及两点之间，线段最短，可得最节省材料的是：
故选：D．
5．要求加工4个长为、宽为的矩形零件．陈师傅对4个零件进行了检测．根据零件的检测结果，图中不合格的零件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是矩形的判定定理，根据矩形的判定定理：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形解答即可．熟练掌握矩形的判定方法是解答本题的关键．
【详解】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，能判定矩形，不符合题意；
B、其中四边形中三个角都为直角，能判定矩形，不符合题意；
C、对角相等的四边形不一定是矩形，不能判定形状，符合题意；
D、一组对边平行且相等，能判定平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，则能判定矩形，不符合题意．
故选：C．
6．下列算式中，与有理数 相等的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了有理数的乘法，加减运算．根据有理数的乘法，加减运算逐项判断即可求解．
【详解】解：A、，故本选项不符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项符合题意；
故选：D
7．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了解不等式组，在数轴上表示不等式的解集；分别解两个不等式，在数轴上表示不等式的解集，即可求解．
【详解】解：
解不等式①得：
解不等式②得：
在数轴上表示不等式的解集如图，
故选：A．
8．图（1）是矗立千年而不倒的某木塔一角，全塔使用了54种形态各异的斗拱．斗拱是中国建筑特有的一种结构，位于柱与梁之间．斗拱由斗、升、拱、翘、昂组成，图（2）是其中一个组成部件的三视图，则这个部件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是有较强的空间想象能力，难度不大．根据三视图结合四个选项找到正确的答案即可．
【详解】解：根据俯视图是一个正方形，只有选项C符合题意，其他选项均不符合题意，
故选：C．
9．已知一个水分子的直径约为3.85×10﹣9米，某花粉的直径约为5×10﹣4米，用科学记数法表示一个水分子的直径是这种花粉直径的（ ）
A．0.77×10﹣5倍 B．77×10﹣4倍 C．7.7×10﹣6倍 D．7.7×10﹣5倍
【答案】C
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10 n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】由题意得：(3.85×10﹣9)÷(5×10﹣4)= 7.7×10﹣6倍，
故选C．
【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10 n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
10．已知两艘轮船以相同速度从港口同时出发，甲轮船航行的方向是北偏东，乙轮船航行的方向是南偏东，经过相同时间后，乙轮船行驶的路程为．关于甲、乙两轮船的位置，说法如下：
①甲轮船在乙轮船的东北方向；②甲轮船在乙轮船的正北方向；
③甲、乙两轮船之间的距离为；④甲、乙两轮船之间的距离大于．
其中判断正确的有

A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】C
【分析】根据题意得出是等边三角形，即可求解．
【详解】解：如图所示，

依题意，
∵
∴是等边三角形，
∴，
∴
∴甲轮船在乙轮船的正北方向；甲、乙两轮船之间的距离为；
故②③正确，
故选：C．
【点睛】本题考查了方位角，等边三角形的性质与判定，熟练掌握方位角的定义是解题的关键．
11．阳阳同学在复习老师已经批阅的作业本时，发现有一道填空题破了一个洞（如图所示），■表示破损的部分，则破损部分的式子可能是（ ）
化简：
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．根据题意残损部分的式子为，再计算即可．
【详解】解：残损部分的式子为
．
故选：A．
12．如图，量筒的液面A－C－B呈凹形，近似看成圆弧，读数时视线要与液面相切于最低点C（即弧中点）．小温想探究仰视、俯视对读数的影响，当他俯视点C时，记录量筒上点D的高度为37mm；仰视点C（点E，C，B在同一直线），记录量筒上点E的高度为23mm，若点D在液面圆弧所在圆上，量筒直径为10mm，则平视点C，点C的高度为（ ）mm．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了圆周角定理，三角形中位线定理和勾股定理．作出图形，证明是的直径，由垂径定理得，求得的直径为14，再根据三角形中位线定理结合勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，连接，交于点，
∵，
∴是的直径，
由垂径定理得，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的直径为14，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点F的高度即点C的高度为，
故选：A．
13．定义新运算：，例如： ，则关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有实数根 D．没有实数根
【答案】B
【分析】本题考查根的判别式，根据新运算的法则，列出一元二次方程，根据判别式的符号，进行判断即可．
【详解】解：由题意，得：，
整理，得：，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根；
故选B．
14．如图，的半径为2，圆心O在坐标原点，正方形的边长为2，点A、B在第二象限，点C、D在上，且点D的坐标为，现将正方形绕点C 按逆时针方向旋转，点B动到了上点处，点A、D分别运动到了点、处，即得到正方形（点与C重合）；再将正方形绕点按逆时针方向旋转，点运动到了上点处，点、分别运动到了点、处，即得到正方形（点与重合），…，按上述方法旋转2024次后，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查图形与旋转，根据题意找到规律，12次为一个循环，则的坐标与相同，求出的坐标即可解决本题．
【详解】解：如图，由图可知，每12次一个循环，
∵，
∴点的坐标与相同，
由图和题意，可知：；
∴点的坐标为；
故选C．
15．2024年元旦期间，某超市为了增加销售额，举办了“购物抽奖”活动：凡购物达到200元即可抽奖1次，达到400元可抽奖2次，……，依次类推．抽奖方式为：在不透明的箱子中有四个形状相同的小球，四个小球上分别写有对应奖品的价值为10元、15元、20元和“谢谢惠顾”的字样；抽奖1次，随机从四个小球抽取一个；抽奖2次时，记录第1次抽奖的结果后放回箱子中再进行第2次抽取，……，依次类推．小明和妈妈一共购买了420元的物品，获得了两次抽奖机会，则小明和妈妈获得奖品总值不低于30元的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可．
【详解】解：列表得：
10 15 20 谢谢惠顾
10 20 25 30 10
15 25 30 35 15
20 30 35 40 20
谢谢惠顾 10 15 20 0
由表格可得，共有种等可能出现的结果，其中小明和妈妈获得奖品总值不低于30元的情况有种，
小明和妈妈获得奖品总值不低于30元的概率，
故选：C．
16．如图，在中，以A、B为圆心，、长为半径分别作弧交于点，连接、，在上截取点M，以点为圆心，长为半径作弧交于点N，以大于的长分别以点M、N为圆心作弧交于一点，点与这点连线的直线交于点P，交于I．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．10
【答案】B
【分析】通过作图痕迹推导出，为等腰三角形，为角平分线；通过三角形全等，证明，结合角平分线的性质，可得；在中用勾股定理，计算出；再由，推出，得出和的比，最后结合的长度得出的长度．
【详解】延长交于点O，作交的延长线于点H，
由题意可知，，，是的角平分线，
在和中
，
在和中
，，
又 ，
，
在中，，，
，
平分，过点I作交于K，
在和中
设为x，则，，
在中，，
即
可得，
即，
，
，，，，
，，
又 ，，
，
又 ，
，
不妨设，，，
，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查段已知线段及角平分线的作图，角平分线的性质，全等三角形的证明，勾股定理的应用，相似三角形的证明与应用，合理作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共3个小题，共10分.17小题2分，18～19小题各4分，每空2分）
17．若与最简二次根式可以合并，则 ．
【答案】
【分析】此题考查了最简二次根式和同类二次根式，根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数是整数，因式是整式，进行逐一判断即可，熟练掌握最简二次根式的定义和同类二次根式是解题的关键．
【详解】解：由，
∵与最简二次根式可以合并，
∴，解得：，
故答案为：．
18．如图，要设计一个装彩铅的圆柱体纸盒，已知每支铅笔大小相同，底面均为正六边形，边长记作．下面我们来探究纸盒底面半径的最小值：
（1）如果要装10支铅笔，小蓝画了图①、图②两种排列方式，请你通过计算，判断哪种方式更节省空间： ．（填①或②）
（2）如果要装24支铅笔，请你模仿以上两种方式，算出纸盒底面最小半径是 ．（用含a的代数式表示）
【答案】 图①
【分析】(1)图①由10个正六边形构成，图②由10个正六边形和4个正三角形构成，分别计算出其面积比较大小即可，
(2)要装24支铅笔，要使纸盒底面最小，按图①方式排每个正六边形相邻的空间最小计算出半径即可；
【详解】（1）∵一个正六边形可以分为6个全等的等边三角形，且边长为
∴小三角形的高=
∴ ，
图①由10个正六边形构成
，
图②由10个正六边形和4个正三角形构成
∵
∴图①更节省空间
故答案为：①
（2）由（1）可知，每个正六边形相邻空间最小，此时的盒地面半径最小，如图
以中点O为圆心，OA长为半径纸盒底面半径最小,过O点作OB⊥AB，由（1）可知，OB=
在Rt△AOB中，AB=a，OB
OA=
纸盒底面最小半径是
故答案为：
【点睛】此题主要考查了平面镶嵌，正多边形的面积，勾股定理，以及圆的知识，解题的关键要读懂题意画出示意图．
19．如图，直线分别与轴、轴交于点，，与反比例函数的图象交于点，，过点，分别作轴轴的垂线，垂足分别为，．

（1）若图中阴影部分的面积等于3，则 ；
（2）若，且，则 ．
【答案】 6 7
【分析】（1）连接．由图可知，再根据反比例函数k的几何意义即可解答；
（2）由（1）可知该反比例函数解析式为，设，，则，．利用待定系数法求直线的解析式为，直线的解析式为，则．即可证四边形和四边形都为平行四边形．连接，过点作于点G．由反比例函数k的几何意义可求出，从而可求出．又可求出，结合，且和等高，可求出，进而可求出．根据三角形面积公式可求出，最后根据梯形面积公式即可求出的长．
【详解】解：（1）如图，连接．

由图可知与同底等高，
∴．
∵点C在反比例函数上，且轴，
∴，即，
解得：．
∵该反比例函数位于第一象限，
∴．
故答案为：6；
（2）由（1）可知该反比例函数解析式为，
∴可设，，
∵轴，轴，
∴，．
设直线的解析式为，
则，解得：，
∴直线的解析式为．
设直线的解析式为，
则，解得：，
∴直线的解析式为，
∴．
∵轴，轴，
∴，，
∴四边形和四边形都为平行四边形．
如图，连接，过点作于点G．

∵点D在反比例函数上，且轴，
∴．
∵与同底等高，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，且和等高，都为的长，
∴，
∴．
∵，，
∴，
解得：．
∵，
∴，
解得：．
故答案为：7．
【点睛】本题考查反比例函数k的几何意义，平行四边形的判定和性质，一次函数的应用，等积法的应用，三角形和梯形的面积公式等知识，较难．正确作出辅助线，并掌握反比例函数k的几何意义是解题关键．
三、解答题（本大题共7个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．某个体儿童服装店老板以每件32元的价格购进30件连衣裙，针对不同的顾客，30件连衣裙的售价不完全相同，若以40元为标准价，将超过的钱数记为正，不足的钱数记为负，则售价记录结果如表所示：
售出数量（件） 4 9 3 5 4 5
与标准价的差（元）
(1)总进价是________元．
(2)在销售过程中①最低售价为每件______元；②最高获利为每件_____元．
(3)该服装店在售完这30件连衣裙后，赚了多少钱？
【答案】(1)960(2)34；13(3)225元
【分析】（1）用件数乘以单件进价计算即可；
（2）用标准价减去6即可得出最低售价，算出最高售价再减去进价即可；
（3）算出总售价减去总进价计算即可；
【详解】（1）解：，
∴总进价是960元．
故答案为：960；
（2）解：①最低售价是：（元）；
②最高利润为：（元）；
故答案是：34；13；
（3）解：根据题意可得：
（元）．
【点睛】本题主要考查了正数和负数的实际应用，准确计算是解题的关键．
21．【观察思考】
毕达哥拉斯常在沙滩上摆小石子表示数，产生了一系列的形数．如图1，当小石子的数是1，3，6，…时，小石子能摆成三角形，这些数叫三角形数．如图2，当小石子的数是1，4，9，…时，小石子能摆成正方形，这些数叫正方形数．
【规律发现】
（1）图1中，第个三角形数是______；图2中，第个正方形数是______；（请用含的式子表示）
【猜想验证】
（2）毕达哥拉斯进一步发现了三角形数和正方形数之间的内在联系：，，请证明：任意两个相邻三角形数之和是正方形数．
【答案】（1），；（2）见解析
【分析】
本题主要考查图形的变化规律，整式的乘法，因式分解,正确找出图形的规律是解题的关键．
（1）根据题意得出第n个三角形数为，第n个正方形数为，据此可得答案；
（2）设任意两个三角形数为第k个数和第个数，列出代数式并应用因式分解，即得答案．
【详解】（1）由题意知第n个三角形数为，
第n个正方形数为；
故答案为：，．
（2）设任意两个三角形数为第k个数和第个数，
则
，
所以任意第k个数和第个三角形数之和恰等于第个正方形数；
即任意两个相邻三角形数之和是正方形数．
22．某校六年级200名学生参加了环保知识竞赛，已知竞赛得分都是整数，满分100分．随机抽取了部分学生的竞赛成绩作为一个样本，数据整理后分成6个小组，画出竞赛成绩的频数分布直方图，如图1所示（每个小组可包括最小值，不包括最大值），同时画出竞赛成绩等第的扇形统计图，如图2所示（设竞赛成绩为a分，为不合格、为合格，为良好，为优秀）．根据图中的信息回答下列问题：

(1)估计六年级参赛学生中成绩为良好的学生有________人；请把图1补画完整、补齐图2中缺失的数据；
(2)小明对统计图进行了研究，得出了如下结论：
①中位数一定落在80分—90分这一组内；
②众数一定落在80分—90分这一组内；
③仍有不合格的学生，该校环保知识宣传需进一步加强；
④从这两个统计图中能准确求出样本的平均数．
上述结论中错误的是________（填序号）．
(3)估计本次六年级参赛学生中荣获优秀的共有m人．学校“环保社团”决定：这m名学生都光荣的成为学校的小小环保“宣传员”，从中选派x人帮助本年级参赛得分60分以下的学生普及环保知识．经计算，x与的积恰好等于样本容量的15倍．你认为x的值取多少比较合理，为什么？
【答案】(1)人，补全图形见解析(2)②④(3)合理；
【分析】（1）由总人数乘以样本优秀率即可得到答案，再求解样本容量及的人数，再求解扇形图中的各百分比补全图形即可；
（2）根据中位数，众数，样本平均数的含义可得答案；
（3）根据x与的积恰好等于样本容量的15倍建立方程求解，结合得分60分以下的学生有可得答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
六年级参赛学生中成绩为良好的学生有人；
∵良好占，
∴合格占
补全条形图如下：

（2）由个数据，第个，第个数据落在80分—90分这一组，故①正确；
众数是出现次数最多的数据，不一定落在80分—90分这一组内，故②不正确；
仍有不合格的学生，该校环保知识宣传需进一步加强；故③正确；
从这两个统计图中不能准确求出样本的平均数，故④不正确；
∴上述结论中错误的是②④；
（3）由（1）得：，样本容量为，
∴，
整理得：，
解得：，，
∵得分60分以下的学生有，
∴合理；
【点睛】本题考查的是从扇形图与条形图中获取信息，中位数，众数的含义，样本容量的概念，一元二次方程的解法，掌握以上基础知识是解本题的关键；
23．乒乓球被誉为中国国球．2023年的世界乒乓球标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度为28.75cm的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．
乒乓球到球台的竖直高度记为y（单位：cm），乒乓球运行的水平距离记为x（单位：cm）．测得如下数据：
水平距离x/cm 0 10 50 90 130 170 230
竖直高度y/cm 28.75 33 45 49 45 33 0
(1)①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是________cm，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是________cm；
②求满足条件的抛物线解析式：
(2)技术分析：如果乒乓球的运行轨迹形状不变，最高点与球台之间的距离不变，只上下调整击球高度，确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出的取值范围，以利于有针对性的训练．如图②．乒乓球台长为274cm，球网高15.25cm．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球离度的值约为48cm．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点处时，击球高度的值（乒乓球大小忽略不计）．
【答案】(1)①49，230；②
(2)乒乓球恰好落在对面球台边缘点处时，击球高度的值为4.11cm
【分析】本题考查了二次函数的应用，画二次函数图象，二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
（1）①根据二次函数图象的对称性求得对称轴以及顶点，根据表格数据，可得当 时，；②待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据题意，设平移后的抛物线的解析式为，当时，，代入进行计算即可求解．
【详解】（1）解：①观察表格数据，可知当和 时，函数值相等，
对称轴为直线，顶点坐标为，
抛物线开口向下，
最高点时，乒乓球与球台之间的距离是，
当时，，
乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是；
故答案为：49；230；
②设抛物线解析式为，
将代入得，，
解得：，
抛物线解析式为；
（2）解：∵运行轨迹形状不变，最高点与球台之间的距离不变
∴可设平移后的抛物线的解析式为，
依题意，当时，，
即，
解得：，（不合题意，舍去）．
当时．
答：乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值为cm
24．筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋》中写道：“水能利物，轮乃曲成”．如图，半径为的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车与水面分别交于点A、B，筒车的轴心O距离水面的高度长为，筒车上均匀分布着若干个盛水筒．若以某个盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间．（参考数据：，，）
(1)经过多长时间，盛水筒P首次到达最高点？
(2)浮出水面3.4秒后，盛水筒P距离水面多高？
(3)若接水槽所在直线是的切线，且与直线交于点M，．求盛水筒P从最高点开始，至少经过多长时间恰好在直线上．
【答案】(1)1.5(2)0.7(3)至少经过7.6秒恰好在直线上
【分析】本题考查了切线的性质，解直角三角形的应用，找对相应直角三角形是解决问题的关键．
（1）连接，根据，得，可得答案；
（2）根据题意知，，得，过点P作于D，利用三角函数求出的长；
（3）由题意知，利用，得，在中，根据，得，从而得出答案．
【详解】（1）解：如图，连接，
由题意知，筒车每秒旋转，
在中，，
，
盛水筒P首次到达最高点的时间：（秒）；
（2）解：如图，
盛水筒P浮出水面秒后，，
，
过点P作于D，
在中，
（米），
盛水筒P距离水面距离为：（米）；
（3）解：如图，
点P在上，且与相切，
当点P在上时，此时点P是切点，连接，则，
在中，，
，
在中，，
，
，
（秒），
至少经过秒恰好在直线上．
25．根据以下素材，探索完成任务一：
如何设计购买方案？
素材 某校名同学要去参观航天展览馆，已知展览馆分为三个场馆，且购买张场馆门票和张场馆门票共需元，购买张场馆门票和张场馆门票共需元．场馆门票为每张元
素材 由于场地原因，要求到场馆参观的人数要少于到B场馆参观的人数，且每位同学只能选择一个场馆参观．参观当天刚好有优惠活动：每购买张场馆门票就赠送张场馆门票．
问题解决
任务 确定场馆门票价格 求场馆和场馆的门票价格．
任务 探究经费的使用 若购买场馆门票赠送的场馆门票刚好够参观场馆的同学使用，求此次购买门票所需总金额的最小值．
任务 拟定购买方案 若参观场馆的同学除了使用掉赠送的门票外，还需购买部分门票，且让去场馆的人数尽量的多，最终购买三种门票共花费了元，请你直接写出购买方案．
探索完成任务二：
如图，在参观航天展览馆活动中，某班学生分成两组，第一组由场馆匀速步行到场馆后原路原速返回，第二组由场馆匀速步行到场馆继续前行到场馆后原路原速返回．两组同时出发，设步行的时间为（单位：），两组离场馆的距离为（单位：），图中折线分别表示两组学生与之间的函数关系．
（）两场馆之间的距离为______；
（）第二组步行的速度为______；
（）求第二组由场馆出发首次到达场馆所用的时间．
【答案】任务一：任务：场馆门票的单价为元，场馆门票的单价为元；任务：元；任务：购买张场馆门票，张场馆门票，张场馆门票或购买张场馆门票，张场馆门票，张场馆门票；
任务二：（）；（）；（）．
【分析】任务一
任务：设场馆门票为元，场馆门票为元，根据题意列出一元二次方程组解答即可求解；
任务：设购买场馆门票张，购买门票所需总金额为元，求出与之间的函数解析式，根据一次函数的性质解答即可求解；
任务：设购买场馆门票张，场馆门票张，根据题意列出一元二次方程，得到，根据均为正整数，运用分类讨论思想解答即可求解；
任务二
（）根据函数图象即可求解；
（）根据函数图象得到第二组个小时步行了，据此即可求解；
（）利用（）中的结果即可求解；
本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，二元一次方程的应用，根据题意，正确得到方程（组）和函数解析式是解题的关键．
【详解】解：任务一
任务：设场馆门票为元，场馆门票为元，
由题意，得，
解得，
答：场馆门票的单价为元，场馆门票的单价为元；
任务：设购买场馆门票张，则购买场馆门票张，
依题意，得，
解得，
设此次购买门票所需总金额为元，
则，
，
随的增大而减小，
，且为整数，
当时，取得最小值，最小值元，
答：此次购买门票所需总金额的最小值为元；
任务：设购买场馆门票张，场馆门票张，则购买场馆门票张，
依题意得，，
∴，
又∵均为正整数，
∴或或，
当，时， ，符合题意；
当时， ，符合题意.；
当时，，不合题意，舍去；
∴购买张场馆门票，张场馆门票，张场馆门票或购买张场馆门票，张场馆门票，张场馆门票；
任务二
（）由函数图象可得，为，
故答案为：；
（）由图象可得，第二组个小时步行了，
∴，
故答案为：；
（）第二组从场馆出发首次到达场馆所走的路程为，第二组的速度是，
第二组由场馆出发首次到达场馆所用的时间为．
26．四边形是正方形，E是直线上一点，连接，在右侧，过点E作射线，F为上一点．
(1)如图1，若点E是边的中点，且，连接，则________；
(2)如图2，若点E是边上一点（不与B，C重合），，判断线段与的数量关系，并说明理由；
(3)若正方形边长为1，且，当取最小值时，求的面积．
【答案】(1)(2)，理由见解析(3)
【分析】（1）如图所示，过点F作交延长线于G，利用证明∴，得到，进而证明，得到，则；
（2）如图所示，在上取一点M使得，先证明，然后利用证明，即可证明；
（3）先利用一线三垂直模型分图1和图2两种情况，证明，推出，即点F在直线上运动；如图3所示，作点B关于直线的对称点H，连接，则，则当三点共线时，最小，即最小，求出直线解析式为，联立，求出，则．
【详解】（1）解：如图所示，过点F作交延长线于G，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：，理由如下：
如图所示，在上取一点M使得，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵，即，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图1所示，当点E在右侧时，过点F作交延长线于G，以B为原点，所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，设，
∴，
同理可证，
∴，
∴，
∴，
∴点F在直线上运动；
如图2所示，当点E在左侧时，
∴，
同理可证，
∴，
∴，
∴，
∴点F在直线上运动；
综上所述，点F的运动轨迹即为直线；
如图3所示，作点B关于直线的对称点H，连接，则，
∴，
∴，
∴当三点共线时，最小，即最小，
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
联立，解得，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，轴对称最短路径问题，一次函数与几何综合，等腰直角三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键．
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