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函数应用问题中不容忽视的“四种错”
（浙江省绍兴县鲁迅中学柯桥校区 施建昌 312030）
函数的应用问题主要是指将实际问题转化为函数问题，就是“数学建模”，它是解决数学应用题的重要方法.在建模时常会因出现“忽视从实际出发”、“理解不全面”、“与事实不符”和“时间间隔计算出错”四种解题误区，下面就函数应用问题中的这四个误区进行举行分析：
一、忽视从实际出发确定函数的定义域致错
例1、某工厂拟建一座平面图（如图）为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16米，如果池外壁建造单价为每米400元，中间两条隔壁建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元（池壁的厚度忽略不计，且池无盖）（1）、写出总造价（元）与污水处理池长（米）的函数关系式，并指出其定义域.
（2）求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价.
错解：（1）污水处理池的长为米，则宽为米，总造价
=
（2），当且仅当，即
最低造价为44800元.
错因分析：上述解法中的思路是正确的，第（1）问列的式子也正确，但是定义域是不严格的，应由已知条件进一步缩小范围：.第（2）问中应用不等式解最值时忽视等号成立的条件为，但在定义域内取不到18，所以应根据函数的单调性进行分析求解.
正解：（1），则定义域为
（2）长和宽分别为16米，米时，总造价最低且为45000元.
二、由于对实际问题理解不全面而致错
例2、在一个交通拥挤及事故易发路段，为了确保交通安全，交通部门规定，在此路段内的车速（单位：）的平方和车身长（单位：）的乘积与车距成正比，且最小车距不得少于半个车身长.假定车身长为（单位：），且当车速为时，车距恰为车身长，问交通繁忙时应规定怎样的车速，才能在此路段的车流量最大？
错解：，将代入得，，又将代入得，由题意得，
将，
综上所知：取最大值.
错因分析：上述解法中的结果虽然正确，但解题过程中是错误的，即虽然车速要求不低于，所以在求解过程中应分此两种情况分类求解，得到分段函数.
正解：依题意，得，
则，显然，当时，是的增函数，时，，
当时，，当且仅当时，，综上所述，当时车流量Q取到最大值.
三、结果与事实不符而致错
例3、WAP手机上网每月使用量在500分钟以下（包括500分钟），按30元计费；超过500分钟的部分按0.15/分钟计费。假如上网时间过短（小于60分钟的），使用量在1分钟以下不计费，在1分钟以上（包括1分钟）按0.5元/分钟计费。WAP手机上网不收通话费和漫游费。
（1）写出上网时间x分钟与所付费用y元之间的函数关系式；
（2）12月小王WAP上网使用量为20小时，要付多少钱？
（3）小王10月份付了90元的WAP上网费，那么他上网的时间是多少？
错解：1）设上网时间为分钟，由已知条件所付费用关于的函数关系式为
（2）当分钟，，应付元，
（3）90元已超过30元，所以上网时间超过500分钟，由解析式可得上网时间为600分钟。
错解分析：此题错解主要是对“超过500分钟的部分按0.15/分钟计费”中的“超过部分”理解出错，产生了与事实相违的结论，如第（2）小题上了1200分钟的网，要180元，是30元包月用500分钟的6倍，而时间上才2倍多，与事实不符；又如第（3）小题，用了90元，几乎是30元的3倍，而可上网时间才多了100分钟，与事实不符.
正解：（1）设上网时间为分钟，由已知条件所付费用关于的函数关系式为
（2）当分钟，，应付元，
（3）90元已超过30元，所以上网时间超过500分钟，由解析式可得上网时间为900分钟。
四、时间间隔计算出错
例4、某工厂转换机制，在两年内生产值的月增长率都是，则这两年内第二年某月的产值比第一年相应月产值的增长率是多少？
错解：设第一年某月的产值为，则第二年相应月的产值是，依题意所求增长率是.
错解分析：对于增长率问题，主要是应用公式，对于往往指基数所在时间后跨过时间的间隔数.
正解：不妨设第一年2月份的产值为，则3月份的产值为，4月份的产值为，依次类推，到第二年2月份是第一年2月份后的第12个月，即一个时间间隔是一个月，这里跨过了12个月，故第二年2月份产值是，又由增长率的概念知，这两年内的第二年某月的产值比第一年相应月的增长率为：.
函数应用问题解题时要掌握好函数应用问题解题的一般步骤，注意避免进入以上两个误区.具体的解题步骤一般有“审题”、“建模”、“求模”、“还原”四步，审题：弄清题意，分清条件结论，理顺数量关系；建模：将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；求模：求解数学模型，得到数学结论；还原：将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义.
变式练习题
1、已知A、B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A到达B地，在B地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A地，把汽车离开A地的距离表示为时间的函数，表达式为
解析：由A到B共用时，停留1小时距离不变，由B返回时距离逐渐减小，
2、某种产品每件80元可售出30件，如果每件定价120元，则每天可售出20件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为
解析：设售出件数为件，定价为元，则有或，设一次函数为，则有，因此一次函数为.另因，则，又，因此可得，即有，.
3、某人骑车沿直线旅行，先前进了a千米，休息了一段时间，又原路返回b千米(0再前进c千米，则此人离起点的距离y与时间x的关系示意图是( )．
解析：观察排除法.因“前进了a千米后休息了一段时间”， 排除A；接着“又原路返回b千米(04、开始时水桶甲中有升水，水通过水桶甲的底部小孔流入水桶乙中，分钟后剩余的水符合指数衰减曲线（是正常数），假设经过分钟时水桶甲和水桶乙的水量相等，那么经过多少分钟时水桶甲的水剩余2升？
解析：由题意，当时，，即，故，
设经过分钟时水桶甲的水剩余2升，则，，，
答：经过6分钟时水桶甲的水剩余2升

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