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02讲 幂的乘方与积的乘方(5类热点题型讲练)
1.理解并掌握幂的乘方法则；
2.掌握幂的乘方法则的推导过程并能灵活运用.
3.理解并掌握积的乘方的运算法则；
4.掌握积的乘方的推导过程，并能灵活运用.
知识点01 幂的乘方法则
幂的乘方法则： (其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.
要点诠释：公式的推广： (，均为正整数)
知识点02 幂的乘方法则逆用公式
幂的乘方法则逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，
从而解决问题.
知识点03 积的乘方法则
积的乘方法则： (其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
要点诠释：公式的推广： (为正整数).
知识点04 积的乘方法则逆用公式
积的乘方法则逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，
计算更简便.如：
题型01 幂的乘方运算
【例题】（2023下·广东茂名·七年级统考期末）
1．计算：______．
【变式训练】
（2023下·江苏连云港·七年级校考阶段练习）
2．计算的结果是 ．
（2023上·福建福州·八年级校考期末）
3．若，则x的值为 ．
题型02 幂的乘方的逆用
【例题】（2023下·安徽蚌埠·七年级校考阶段练习）
4．已知：，求的值．
【变式训练】
（2023下·江苏泰州·七年级校考阶段练习）
5．已知，求：
(1)；
(2)．
（2023下·江苏苏州·七年级校考阶段练习）
6．已知．求：
(1)的值；
(2)的值：
(3)的值．
题型03 利用幂的乘方比较大小
【例题】（2023上·八年级课时练习）
7．已知，，试比较a，b的大小．
【变式训练】
（2023下·陕西西安·七年级校考阶段练习）
8．比较，，这三个数的大小，并用“”将它们连接起来．
（2023上·八年级课时练习）【阅读理解】
9．【阅读理解】特殊数大小的比较
问题：比较，，的大小．
解：，，，．
【问题解决】
学习以上解题思路和方法，然后完成下题：
比较，，的大小．
题型04 积的乘方运算
【例题】（2023上·上海奉贤·七年级校联考期中）
10．计算： ．
【变式训练】
（2023上·广东珠海·八年级校考阶段练习）
11．计算： ．
（2023上·广东惠州·八年级统考期中）
12．计算： .
题型05 积的乘方的逆用
【例题】（2023上·福建泉州·七年级校联考期中）
13．计算并认真观察：
(1)计算：
①___________；___________；②___________；___________．
(2)根据以上两组计算结果的规律，猜想：___________（是正整数）；
(3)根据你发现的规律与猜想，简便计算：．
【变式训练】
（2023下·江苏·七年级专题练习）
14．（1）若，，求的值；
（2）已知，求的值；
（3）已知，，求的值．
（2023上·广东深圳·七年级校考期中）
15．阅读下列各式：．
解答下列问题：
(1)猜想： ．
(2)计算：；
(3)计算：．
一、单选题
（2024下·全国·七年级假期作业）
16．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
（2023上·辽宁大连·八年级校联考阶段练习）
17．下列各式计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
（2022上·广东肇庆·八年级统考期末）
18．已知，则的值为（ ）
A．75 B．45 C．30 D．15
（2023上·河北廊坊·八年级校考阶段练习）
19．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
（2023上·河北沧州·八年级校联考阶段练习）
20．已知，下列结论①；②；③中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题
（2023上·新疆直辖县级单位·八年级校考阶段练习）
21．计算：（1） ；（2）= ；（3）= ．
（2023上·福建泉州·八年级校联考期中）
22． ．
（2024下·全国·七年级假期作业）
23．已知，则的值为 ．
（2023上·浙江·七年级周测）
24．已知多项式的值是7，则多项式的值是 ．
（2023上·福建莆田·八年级校考期中）
25．如果，那么我们规定．例如：因为，所以．根据上述规定，若记，，．则a、b、c的数量关系为 ．
三、解答题
（2023上·八年级课时练习）
26．计算：
(1)；
(2)．
（2024下·全国·七年级假期作业）
27．计算：
(1)；
(2)．
（2022上·上海闵行·七年级校考周测）
28．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
（2023上·山东德州·八年级校联考期中）
29．先化简再求值其中，．
（2023上·上海奉贤·七年级统考期中）
30．先化简，再求值：，其中，．
（2023上·河北石家庄·八年级统考阶段练习）
31．（1）已知，求的值；
（2）已知，求的值．
（2023上·四川眉山·八年级校考阶段练习）
32．（1）已知n正整数，且，求的值．
（2）已知，求的值．
（3）已知，求n的值．
（2023上·河南周口·八年级统考阶段练习）
33．下图是小李同学完成的一道作业题，请你参考小李的方法解答下列问题．

(1)计算：
①；
②；
(2)若，请求出的值．
（2023下·福建三明·七年级校考阶段练习）
34．阅读理解：
若，，比较，的大小．
解：因为，且，所以，所以．类比阅，读材料的方法，解答下列问题：
(1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质_______________．
A.同底数幂的乘法 B.同底数幂的除法 C.幂的乘方 D.积的乘方
(2)若，，试比较与的大小．
(3)已知，，，比较，，的大小．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．
【分析】直接运用幂的乘方法则进行运算即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查的是幂的乘方法则知识内容，幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘．
2．
【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项法则进行计算即可．
【详解】
【点睛】本题考查了整式的混合运算，涉及同底数幂相乘、幂的乘方、合并同类项等运算法则，解题的关键是要分辨清这三种不同的运算规则：指数相加、指数相乘、系数相加．
3．
【分析】本题考查了主要考查了幂的乘方．利用幂的乘方化简，再得到，解方程即可求解．
【详解】解；∵，
∴，
∴，
解得，
故答案为：．
4．
【分析】根据幂的乘方和同底数幂的乘法的运算法则，原式可化为，代入已知量，即可求解．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查幂的运算，掌握同底数幂的乘方的逆运算法则是解题关键．
5．(1)8
(2)72
【分析】（1）利用积的乘方的法则运算即可；
（2）利用同底数幂的乘法与幂的乘方对式子进行运算即可．
【详解】（1）解：∵，
∴
（2）解：∵，
∴
【点睛】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
6．(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查幂的乘方、同底数幂的乘法的逆用，熟练掌握运算法则是解题的关键；
（1）利用同底数幂的乘法的法则进行运算即可；掌握同底数幂的乘法法则是解题的关键；
（2）利用幂的乘方的法则进行运算即可；掌握幂的乘方的法则是解题的关键；
（3）利用同底数幂的乘法的法则及幂的乘方的法则进行运算即可；掌握相关运算法则是解题的关键．
【详解】（1）解： ．
（2）解：．
（3）解：．
7．
【分析】根据幂的乘方运算法则把它们化为指数相同的幂，再比较大小即可．
【详解】解：∵，，，
∴．
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了幂的乘方以及有理数大小比较，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
8．
【分析】把它们化为指数相同的幂，再比较大小即可．
【详解】解：，
，
∵，
∴
【点睛】本题主要考查了幂的乘方的逆用：，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
9．
【分析】根据幂的乘方逆运算法则解答．
【详解】，，，且，
．
【点睛】本题考查了幂的乘方，正确理解题意、熟练掌握幂的乘方法则是解题关键．
10．
【分析】本题考查了积的乘方和幂的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
【详解】解：．
11．##
【分析】本题考查了积的乘方、幂的乘方，掌握积的乘方、幂的乘方法则是解题的关键．根据积的乘方、幂的乘方法则计算即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了积的乘方运算、幂的乘方运算，先进行积的乘方运算，再进行幂的乘方运算即可得到答案，掌握积的乘方运算法则和幂的乘方运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式
，
故答案为：．
13．(1)①；；②；
(2)
(3)
【分析】本题考查数与式的变化规律，
（1）①通过计算得出结论；②通过计算得出结论；
（2）根据（1）计算结果的规律猜想得出结论；
（3）根据发现的规律与猜想进行计算；
根据算式中数的变化找出变化规律是解题的关键．
【详解】（1）解：①；，
故答案为：；；
②；，
故答案为：；；
（2）根据以上两组计算结果的规律，猜想：，
故答案为：；
（3）
．
14．（1）；（2）8；（3）144
【分析】（1）将待求式转化为含有x3m，y3n的式子后整体代入计算；
（2）（3）利用积的乘方与幂的乘方的逆运算对所求式子化简，然后代入计算即可.
【详解】解：（1）∵，，
∴
；
（2）∵，
∴，
∴
；
（3）∵，，
∴
．
【点睛】此题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，掌握其运算法则是解决此题的关键．
15．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查积的乘方，根据题干所给信息，得到，是关键．
（1）由题干例题即可求得答案；
（2）利用积的乘方法则计算即可；
（3）利用积的乘方法则计算即可．
【详解】（1）解：∵
∴；
故答案为：；
（2）；
（3）．
16．A
【分析】本题考查了幂的乘方和积的乘方，根据幂的乘方和积的乘方，即可解答，解决本题的关键是熟记幂的乘方和积的乘方法则．
【详解】，
故选：A．
17．A
【分析】本题考查了的乘方与积的乘方以及同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解：A、，所以A选项符合题意，
B、，所以B选项不符合题意，
C、，所以C选项不符合题意，
D、，所以D选项不符合题意．
故选：A．
18．B
【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法等知识点，能正确根据幂的乘方和同底数幂的乘法法则进行计算是解此题的关键，先根据同底数幂的乘法法则进行变形，再根据幂的乘方进行变形，最后代入求出答案即可．
【详解】解：，，
．
故选：B．
19．D
【分析】本题考查了同底数幂乘法运算，幂的乘方的逆运算，由得到，即可求解，掌握同底数幂乘法运算和幂的乘方的逆运算的运算法则是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
解得，
故选：．
20．D
【分析】本题考查了幂的运算，熟练掌握同底数幂的乘法公式，幂的乘方及其逆应用，积的乘方及其逆应用是解题的关键．
【详解】∵，
∴，
∴，
故①正确；
∵，，
∴，
故②正确；
∵，，
∴，
故③正确；
故选：D．
21． ## ##
【分析】（）利用积的乘法运算法则即可求解；
（）利用积的乘法运算法则和幂的乘方运算法则即可求解；
（）利用积的乘法运算法则即可求解；
本题考查了积的乘法运算和幂的乘方运算，掌握积的乘法运算法则和幂的乘方运算法则是解题的关键．
【详解】解：（），
故答案为：；
（），
故答案为：；
（），
故答案为：．
22．
【分析】本题考查了积的乘方运算，熟练掌握积的乘方法则是解答本题的关键．逆用积的乘方法则计算即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
23．81
【解析】略
24．
【分析】本题考查整体代入，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
25．
【分析】本题考查新定义运算，同底数幂的乘法和幂的乘方，根据新定义可知，，，根据同底数幂的乘法公式和幂的乘方公式，可知，即可知道、、的数量关系，解题的关键是掌握同底数幂公式和幂的乘方公式．
【详解】解：如果，那么，
∵，，，
∴，，，
则，
即，
故答案为：．
26．(1)；
(2)．
【分析】（1）先利用积的乘方运算法则求解，再加减求解即可；
（2）先利用同底数幂的乘法和积的乘方运算法则求解，再加减求解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题考查同底数幂的乘法、积的乘方、合并同类项，熟练掌握运算法则并正确求解是解答的关键．
27．(1)
(2)
【详解】解：（1）原式．
（2）原式
．
28．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题主要考查幂的运算法则和合并同类项，同底数幂相乘，底数不变，指数相加．幂的乘方，底数不变，指数相乘．
（1）根据同底数幂相乘的运算法则计算，后合并同类项即可；
（2）根据运算法则，先进行幂的乘方，后同底数幂相乘和合并同类项即可；
（3）根据运算法则，先进行幂的乘方，后同底数幂相乘和合并同类项即可；
（4）根据运算法则，先进行幂的乘方，后同底数幂相乘和合并同类项即可；
【详解】（1）解：
．
（2）
．
（3）
．
（4）
．
29．，
【分析】本题考查了整式化简求值，运用幂的公式进行运算，合并同类项，代值计算，即可求解；掌握幂的运算公式：，及其逆用是解题的关键．
【详解】解：原式
，
当，时，
原式
．
30．，
【分析】本题考查整式运算的化简求值，根据整式的运算法则，进行化简后， 代值计算即可．
【详解】原式
；
当时．
31．（1）8；（2）1025
【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，幂的乘方的逆运算和积的乘方计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
（1）根据同底数幂乘法的逆运算法则得到，据此代值计算即可；
（2）先根据积的乘方将所求式子变形为，再根据幂的乘方的逆运算法则进一步变形为，据此代值计算即可．
【详解】解：（1）∵，，
∴．
（2）∵，
∴
．
32．（1）56；（2）8；（3）1
【分析】（1）将所求式子变形为，代入计算即可；
（2）将已知等式化为，再将所求式子变形为，整体代入计算即可；
（3）先将等式左边的底数化为3，再提出，得，再约分，根据指数相等求出即可．
【详解】解：（1）∵，
∴
；
（2）∵，
∴，
∴；
（3），
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查幂的乘方以及同底数幂的乘法，掌握运算法则是解题的关键．
33．(1)①；②
(2)
【分析】（1）①根据积的乘方的逆运算进行计算；②将代数式变形为指数相同，再根据积的乘方的逆运算即可求解；
（2）将代数式变形为底数相同，再根据同底数幂的运算即可求解．
【详解】（1）解：①
；
②
．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查幂的运算，掌握其运算法则是解题的关键．
34．(1)C
(2)
(3)
【分析】（1）根据幂的乘方直接求解即可得到答案；
（2）将两个数的次方经过积的乘方变成相同的次方比较大小即可得到答案；
（3）根据积的乘方将指数化相同直接求解即可得到答案；
【详解】（1）解：由题意可得，
，是幂的乘方的逆运算，
故选：C；
（2）解：∵，，且，
∴，
∴；
（3）解：∵，，，
∴，
∴；
【点睛】本题考查幂的乘方的逆应用及应用，解题的关键是熟练掌握．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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