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构造函数利用单调性解题
田发胜
由函数单调性的定义容易知道：
（1）若函数在区间I上单调递增，且，则；
（2）若函数在区间I上单调递减，且，则；
（3）若函数在区间I上单调，且，则；
根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧。许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效。下面举例说明这一思想在解题中的若干应用。
一、求值
例1 设x，y为实数，且满足，则_______。
解：由已知条件，可得：
故若设，则上述条件即为：。
又易知函数在R上是单调增函数，所以由上式有：，即：。
二、解方程
例2 解方程。
解：原方程变为：
。
设，则原方程即为：，又，从而原方程即为：。
又易知函数在R上单调递增，所以有，解得原方程的解为：。
三、求最值
例3 已知点B（0，6），C（0，2），试在x轴正半轴上求一点A，使得∠BAC最大。
解：设A（a，0），则a>0，∠BAC=α，易知。
因为，所以。又因为a>0所以。
所以，当且仅当时有最大值为。
又函数在（0，）上是单调递增的，所以α的最大值为。即∠BAC的最大值为，此时A（，0）。
四、比较大小
例4 已知a>1，且，试比较的大小。
解：由条件得：。
引入函数，则上式即为：
。
易知函数在（0，+∞）上是增函数，所以。
五、证明不等式
例5 设a∈R，求证：。
证明：当或a=1时，不等式显然成立。
当a>1时，函数在R上是增函数，
所以，所以；
当时，函数在R上是减函数，
所以，又。
所以
故对一切a∈R，不等式成立。
六、求参数范围
例6 已知关于n的不等式对一切大于1的自然数都成立，试求实数a的取值范围。
解：设。
因为
所以是关于n的单调增函数且当时，，故而要使对一切，n∈N恒成立，则需且只需，即成立即可。
所以，解得：。
故所求a的取值范围为
。
例7 设函数
（a∈R，n∈N，n≥2），若当时，有意义，求a的取值范围。
解：要使原函数在上有意义，应有在时
，即成立。
所以， （*）
记，
因为每一个在上都是增函数，
所以在上是增函数，从而它在x=1时取得最大值
所以（*）式等价于
也就是a的取值范围是。

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