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关于函数的对称性和周期性
函数的对称性、周期性是函数的两个基本性质。在中学数学中，研究一个函数，首看定义域、值域，然后就要研究对称性（中心对称、轴对称）、周期性，并且在高考中也经常考察函数的对称性、周期性以及它们之间的联系，2005年，广东、福建两省的高考题均出现大题和小题。下面我们就一些常见的性质进行研究。
一、函数的对称性
1、函数满足时，函数的图象关于直线对称。
证明：在函数上任取一点（x1，y1），则，点（x1，y1）关于直线的对称点（，y1），当时，，故点（，y1）也在函数图象上。由于点（x1，y1）是图象上任意一点，因此，函数的图象关于直线对称。
（注：特别地，a=b=0时，该函数为偶函数。）
2、函数满足时，函数的图象关于点（，）对称。
证明：在函数上任取一点（x1，y1），则，点（x1，y1）关于点 （，）的对称点（，c－y1），当时， ，即点（，c－y1）在函数的图象上。由于点（x1，y1）为函数图象上的任意一点可知，函数的图象关于点（，）对称。
（注：当a=b=c=0时，函数为奇函数。）
3、函数的图象与的图象关于直线对称。
证明：在函数上任取一点（x1，y1），则，点（x1，y1）关于直线对称点（，y1）。由于，故点（，y1）在函数上。由点（x1，y1）是函数图象上任一点，因此与关于直线对称。
二、周期性
1、一般地，对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有，那么函数就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。
2、对于非零常数A，若函数满足，则函数必有一个周期为2A。
证明：
∴函数的一个周期为2A。
3、对于非零常数A，函数满足，则函数的一个周期为2A。
证明：略。
4、对于非零常数A，函数满足，则函数的一个周期为2A。
证明：略。
三、对称性和周期性之间的联系
1、函数有两根对称轴x=a，x=b时，那么该函数必是周期函数，且对称轴之间距离的两倍必是函数的一个周期。
已知：函数满足，（a≠b），求证：函数是周期函数。
证明：∵得
得
∴
∴
∴函数是周期函数，且是一个周期。
2、函数满足和（a≠b）时，函数是周期函数。
（函数图象有两个对称中心（a，）、（b，）时，函数是周期函数，且对称中心距离的两倍，是函数的一个周期。）
证明：由

得
得
∴函数是以2b－2a为周期的函数。
3、函数有一个对称中心（a，c）和一个对称轴）（a≠b）时，该函数也是周期函数，且一个周期是。
证明：略。
四、知识运用
2005高考中，福建、广东两省的试卷都出现了对这方面的知识的考查，并且福建卷的12题是一个错题。现一并录陈如下，供大家参考。
1、（2005·福建理）是定义在R上的以3为周期的奇函数，且，则方程在区间（0，6）内解的个数的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
解：是R上的奇函数，则，由得，
∴
∴x=1，2，3，4，5时，
这是答案中的五个解。
但是
又 知
而 知 也成立，可知：在（0，6）内的解的个数的最小值为7。
2、（2005·广东 19）设函数在（，）上满足，，且在闭区间[0，7]上，只有。
⑴试判断函数的奇偶性；
⑵试求方程在闭区间[－2005，2005]上的根的个数，并证明你的结论。
解：⑴由，得函数的对称轴为，。由前面的知识可知函数的一个周期为T=10。
因为函数在[0，7]上只有
可知 ，
又
∴
而 且，则，
因此，函数既不是奇函数，也不是偶函数。
⑵由，可得
故函数在[0，10]和[－10，0]上均有两个解，满足；从而可知函数在[0，2005]上有402个解，在[－2005，0]上有400个解。所以，函数在[－2005，2005]上共有802个解。
通联：江苏省阜宁中学数学组 张敬祝
邮编：224400
电活：0515—7988769

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