资源简介 专题4 平面向量的数量积【必备知识】(1)平面向量数量积的定义已知两个非零向量与,我们把数量叫做与的数量积(或内积),记作,即=,规定:零向量与任一向量的数量积为0(2)平面向量数量积的几何意义①向量的投影:叫做向量在方向上的投影数量,当为锐角时,它是正数;当为钝角时,它是负数;当为直角时,它是0.②的几何意义:数量积等于的长度与在方向上射影的乘积.2.数量积的运算律已知向量、、和实数,则:①;②;③.3.数量积的性质设、都是非零向量,是与方向相同的单位向量,是与的夹角,则①.②.③当与同向时,;当与反向时,.特别地,或.④.⑤.4.数量积的坐标运算已知非零向量,,为向量、的夹角.结论 几何表示 坐标表示模数量积夹角的充要条件的充要条件与的关系 (当且仅当时等号成立)【必备技能】(1)在上的投影是一个数量,它可以为正,可以为负,也可以等于0.(2)数量积的运算要注意时,,但时不能得到或,因为时,也有.(3)根据平面向量数量积的性质:,,等,所以平面向量数量积可以用来解决有关长度、角度、垂直的问题.(4)若、、是实数,则();但对于向量,就没有这样的性质,即若向量、、满足(),则不一定有,即等式两边不能同时约去一个向量,但可以同时乘以一个向量.(5)数量积运算不适合结合律,即,这是由于表示一个与共线的向量,表示一个与共线的向量,而与不一定共线,因此与不一定相等【考向总览】考向一:利用定义及坐标运算求平面向量数量积(★★★★)考向二:计算投影向量(★★★★)考向三:平面向量数量积的范围与最值(★★★★)【考向归类】考向一利用定义及坐标运算求平面向量数量积(22-23高一下·天津滨海新·期中)【典例1-1】已知,其中.满足,则 .【答案】22【分析】由,求得,再利用平面向量的数量积运算求解.【详解】解:因为,且,所以,解得,所以,所以,故答案为:22(2024高一·江苏·专题练习)【典例1-2】(1)已知,与的夹角为60°,求.(2)如图,在 ABCD中,,,,求:①;②.【答案】(1)192 ;(2)①9 ;②-6 .【分析】(1)根据数量积的运算律,结合数量积公式,即可求解;(2)①先求出与的夹角,再由数量积公式,即可求解;②先求出与的夹角,再由数量积公式,即可求解.【详解】(1).(2)①因为,且方向相同,所以与的夹角是0°,为相等向量.所以.②因为与的夹角为60°,所以与的夹角为120°.所以.【备考提醒】1.求平面向量的数量积是较为常规的题型,最重要的方法是紧扣数量积的定义找到解题思路.2.平面向量数量积的几何意义及坐标表示,分别突出了它的几何特征和代数特征,因而平面向量数量积是中学数学较多知识的交汇处,因此它的应用也就十分广泛.【举一反三】(22-23高一下·江苏泰州·期中)1.如图,在四边形ABCD中,AD=3,BC=4,E,F分别是AB,CD的中点,P,Q分别是AC,BD的中点,则 . (23-24高一下·江苏苏州·阶段练习)2.如图,在中,已知是的中点,,设与相交于点P,若,则 , .考向二:计算投影向量(22-23高一下·辽宁沈阳·期中)【典例2-1】已知,,且则在上的投影数量为( )A. B. C. D.【答案】D【分析】由得,从而求得,再由投影数量的定义直接计算即可.【详解】,,,即,,在上的投影数量为.故选:D.(22-23高一下·黑龙江哈尔滨·期中)【典例2-2】在平面直角坐标系中,,,,则在上的投影向量的坐标为( )A. B. C. D.【答案】C【分析】根据在上的投影向量为可求出结果.【详解】因为,,,所以,,所以在上的投影为,所以在上的投影向量为.故选:C【备考提醒】平面向量的投影问题,是近几年的高考热点问题,应熟练掌握其公式:向量在向量方向上的投影为.【举一反三】(22-23高一下·四川凉山·期中)3.已知是的外心,外接圆半径为2,且满足,若在上的投影向量为,则( )A.4 B. C. D.2(23-24高二上·甘肃白银·期中)4.设向量在向量上的投影向量为,则的最小值为( )A. B. C. D.考向三:平面向量数量积的范围与最值(21-22高一下·甘肃白银·期中)【典例3-1】如图,点是半径为的扇形圆弧上一点,,若,则的最大值为( )A. B. C. D.【答案】B【分析】由向量数量积定义可求得,以为坐标原点建立平面直角坐标系,设,,将表示为关于的三角函数的形式,结合三角恒等变换知识可求得最大值.【详解】,,;以为坐标原点,可建立如图所示平面直角坐标系,则,,设,,由得:,,,其中,,,,当时,.故选:B.(23-24高三上·江苏南通·期中)【典例3-2】在四边形中,,,则的最大值为( )A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【分析】设结合图象,运用数量积运算将转化为,再利用倍角公式,辅助角公式转化为,根据正弦函数的性质求最大值即可.【详解】设,则,,因为,所以,故,所以,即的最大值为.故选:C【备考提醒】遇到最值问题时,往往利用坐标来建立函数,转化为函数的最值问题,遇到圆的时候最好使用三角换元.【举一反三】(22-23高一下·山东日照·期中)5.如图等腰直角三角形OAB,OB=1,以AB为直径作一半圆,点P为半圆上任意一点,则的最大值是( ) A.1 B. C. D.(23-24高一下·广东惠州·阶段练习)6.如图,在四边形ABCD中,,,,,.若P为线段AB上一动点,则的最小值为 . 【必备知识】已知非零向量,,为向量、的夹角.结论 几何表示 坐标表示模数量积夹角的充要条件的充要条件与的关系 (当且仅当时等号成立)【必备技能】1.求平面向量的模长方法①②若,则.2. 求平面向量的夹角的方法:①利用求解.②利用求解.3. 有关平平面向量的垂直的两类题型:(1)利用坐标运算证明或判断两个向量的垂直问题第一步:计算出这两个向量的坐标第二步:根据数量积的坐标运算公式,计算出这两个向量的数量积为0即可;(2)已知两个向量的垂直关系,求解相关参数的值(根据两个向量垂直的充要条件,列出相应的关系式,进而求解参数)【考向总览】考向一:平面向量的模(★★★★)考向二:平面向量的夹角(★★★★)考向三:平面向量的垂直(★★★★)【考向归类】考向一:平面向量的模(21-22高一下·湖南·期中)【典例1-1】已知向量,,,若,则 .【答案】【分析】利用向量垂直的坐标表示求出t,再利用模的坐标表示计算作答.【详解】向量,,而,则,解得,,则有,所以.故答案为:(23-24高一下·四川达州·期中)【典例1-2】若是边长为2的等边三角形,所在平面有一点C满足,且,则的最小值为 .【答案】3【分析】由向量等式两边平方整理为,利用消元,将其整理成二次函数,求其最值即可.【详解】由是边长为2的等边三角形可得:,因,两边取平方,(*),由可得代入(*)得,故当时,,即的最小值为3.故答案为:3.【备考提醒】求平面向量的模长方法①②若,则.【举一反三】(23-24高二上·湖南·期中)7.已知向量,满足,,且,则 .(22-23高三上·河南驻马店·期中)8.已知,,若向量满足,则的取值范围 .考向二:平面向量的夹角(22-23高三上·山东青岛·期中)【典例2-1】已知非零单位向量,满足,则与的夹角余弦值为 .【答案】/【分析】由已知两等式平方后可解得得,进而可求解.【详解】,,又,,,,设与的夹角为,则.故答案为:(22-23高一下·福建龙岩·期中)【典例2-2】如图,在中,已知,,,BC,AC边上的两条中线AM,BN相交于点P,则的余弦值为 .【答案】/【分析】根据题意建立直角坐标系,从而得到各点坐标,进而利用向量夹角余弦的坐标表示即可得解.【详解】依题意,以为原点,所在直线为轴,过作的垂线为轴,如图所示,因为,,,所以,则,,即为向量与的夹角,,,,.故答案为:.【备考提醒】求平面向量的夹角的方法:①利用求解.②利用求解.【举一反三】(22-23高一下·甘肃定西·阶段练习)9.设向量,,向量与的夹角为锐角,则x的范围为 .(22-23高一下·江西九江·期中)10.设为平面内两个不共线的非零向量,且,若对于任意实数,都有,则向量与的夹角为 .考向三:平面向量的垂直(22-23高一下·陕西延安·期中)【典例3-1】已知非零向量,满足,且,则向量与的夹角为 .【答案】/【分析】由已知得,再利用数量积公式化简即得解.【详解】因为,所以,所以,所以.因为.故答案为:(22-23高一下·安徽·期中)【典例3-2】中,,点P为所在平面内一点且,则C= ,若,则的最大值为 .【答案】【分析】由得,从而得到,由可得,从而得到是等腰直接三角形,建立直角坐标系,令,设,由得到点的轨迹是以为直径的圆,从而得到,由圆方程确定,从而求解.【详解】因为,所以,即,所以,即,又因为,所以,由正弦定理可得,所以,所以是等腰直角三角形,令,则,如图,以点为原点,以为轴,轴建立直角坐标系,设,则,,,,因为,所以,即.因为,则点的轨迹是以为直径的圆,所以点的轨迹方程为所以,即,所以当时,有最大值,最大值为.故答案为:;【备考提醒】有关平平面向量的垂直的两类题型:(1)利用坐标运算证明或判断两个向量的垂直问题第一步:计算出这两个向量的坐标第二步:根据数量积的坐标运算公式,计算出这两个向量的数量积为0即可;(2)已知两个向量的垂直关系,求解相关参数的值(根据两个向量垂直的充要条件,列出相应的关系式,进而求解参数)【举一反三】(22-23高一下·河南·期中)11.已知向量,,,若,则( )A. B. C. D.(22-23高一下·辽宁铁岭·期中)12.已知非零向量满足,则与的夹角为 .试卷第1页,共3页试卷第1页,共3页参考答案:1.##1.75【分析】可连接,根据题意即可得出四边形为平行四边形,从而可得出,然后进行数量积的运算即可.【详解】如图,连接, ∵为的中点,为对角线的中点,,,∴四边形为平行四边形,,,,,故答案为:2. ## ##【分析】由向量的线性运算可得,再由三点共线即可得出答案;用和表示和,根据平面向量的数量积运算律可求出结果.【详解】因为,所以因为三点共线,所以,解得:.所以,因为是的中点,所以,所以.故答案为:;.3.A【分析】根据题意,由条件可得,然后结合图形,由平面向量数量积的几何意义即可得到结果.【详解】∵,∴为中点,则为直径,∴,又∵在上的投影向量为,如图: 过作,垂足为点,∴,∴为中点,则,∴.故选:A4.C【分析】利用向量在向量上的投影向量得到,再利用基本不等式求解.【详解】解:向量在向量上的投影向量为,则,当且仅当,即时,等号成立,所以的最小值为.故选:C5.D【分析】建立直角坐标,应用圆上点的坐标及向量数量积的坐标运算计算即可.【详解】 如图以 OA , OB 所在直线分别为轴,轴建系.则以AB为直径作一半圆,点P为半圆上任意一点,半圆为,设,则..故选:D.6.【分析】以点为原点建立直角坐标系,设,再根据向量数量积的坐标公式结合二次函数的性质即可得解.【详解】如图,以点为原点建立直角坐标系,则,设,故,所以,则当时,取得最小值. 故答案为:.7.【分析】根据数量积的运算性质求解,再由数量积求解模长即可.【详解】因为,所以,则所以.故答案为:.8.【分析】由题,模长都为3,且相互垂直,设 ,,,由模长关系可得坐标满足的方程,将看作动点到原点的距离,数形结合,求出的取值范围.【详解】,设,,,因为,得,即点在以为圆心,3为半径的的圆上,,即动点到原点的距离,圆心到原点距离为,故,.故答案为:.9.且【分析】根据已知可得,且不共线,求解即可.【详解】向量,,由得,,所以.由已知得,,所以,即,且不共线.则,所以.又不共线,则.所以x的取值范围为且.故答案为:且.10.##【分析】将题设不等式两边平方并展开整理得对任意实数恒成立,结合即可求向量的夹角.【详解】令,则,所以,即,所以对任意实数恒成立,故成立,所以,即,而,所以.故答案为:11.D【分析】求出的坐标,根据向量的垂直的坐标表示列式计算,可得答案.【详解】由题意得,,且,所以,所以,故选:D12.【分析】由已知可得:,并且,整理可得,进而可得,即可得到,即,再根据向量的夹角公式可求答案.【详解】因为,所以,因为,所以,两式相减得,所以,将代入第一个式子可得:,所以,即.设向量与的夹角为,则,因为,所以向量与的夹角大小为.故答案为:.答案第1页,共2页答案第1页,共2页 展开更多...... 收起↑ 资源预览