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专题4 平面向量的数量积
【必备知识】
（1）平面向量数量积的定义
已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（或内积），记作，即=，规定：零向量与任一向量的数量积为0
（2）平面向量数量积的几何意义
①向量的投影：叫做向量在方向上的投影数量，当为锐角时，它是正数；当为钝角时，它是负数；当为直角时，它是0．
②的几何意义：数量积等于的长度与在方向上射影的乘积．
2．数量积的运算律
已知向量、、和实数，则：
①；
②；
③．
3．数量积的性质
设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则
①．
②．
③当与同向时，；当与反向时，．
特别地，或．
④．⑤．
4．数量积的坐标运算
已知非零向量，，为向量、的夹角．
结论 几何表示 坐标表示
模
数量积
夹角
的充要条件
的充要条件
与的关系 （当且仅当时等号成立）
【必备技能】
（1）在上的投影是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以等于0．
（2）数量积的运算要注意时，，但时不能得到或，因为时，也有．
（3）根据平面向量数量积的性质：，，等，所以平面向量数量积可以用来解决有关长度、角度、垂直的问题．
（4）若、、是实数，则
（）；但对于向量，就没有这样的性质，即若向量、、满足（），则不一定有，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量．
（5）数量积运算不适合结合律，即，这是由于表示一个与共线的向量，表示一个与共线的向量，而与不一定共线，因此与不一定相等
【考向总览】
考向一：利用定义及坐标运算求平面向量数量积（★★★★）
考向二：计算投影向量（★★★★）
考向三：平面向量数量积的范围与最值（★★★★）
【考向归类】
考向一利用定义及坐标运算求平面向量数量积
（22-23高一下·天津滨海新·期中）
【典例1-1】已知，其中.满足，则 .
【答案】22
【分析】由，求得，再利用平面向量的数量积运算求解.
【详解】解：因为，且，
所以，
解得，
所以，
所以，
故答案为：22
（2024高一·江苏·专题练习）
【典例1-2】（1）已知，与的夹角为60°，求．
（2）如图，在 ABCD中，，，，求：
①；
②．
【答案】（1）192 ；（2）①9 ；②－6 ．
【分析】（1）根据数量积的运算律，结合数量积公式，即可求解；
（2）①先求出与的夹角，再由数量积公式，即可求解；②先求出与的夹角，再由数量积公式，即可求解.
【详解】（1）
．
（2）①因为，且方向相同，所以与的夹角是0°，为相等向量．
所以．
②因为与的夹角为60°，所以与的夹角为120°．
所以．
【备考提醒】
1．求平面向量的数量积是较为常规的题型，最重要的方法是紧扣数量积的定义找到解题思路．
2．平面向量数量积的几何意义及坐标表示，分别突出了它的几何特征和代数特征，因而平面向量数量积是中学数学较多知识的交汇处，因此它的应用也就十分广泛．
【举一反三】
（22-23高一下·江苏泰州·期中）
1．如图，在四边形ABCD中，AD=3，BC=4，E，F分别是AB，CD的中点，P，Q分别是AC，BD的中点，则 ．

（23-24高一下·江苏苏州·阶段练习）
2．如图，在中，已知是的中点，，设与相交于点P，若，则 ， ．
考向二：计算投影向量
（22-23高一下·辽宁沈阳·期中）
【典例2-1】已知，，且则在上的投影数量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由得，从而求得，再由投影数量的定义直接计算即可．
【详解】，
，
，即，
，
在上的投影数量为．
故选：D．
（22-23高一下·黑龙江哈尔滨·期中）
【典例2-2】在平面直角坐标系中，，，，则在上的投影向量的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据在上的投影向量为可求出结果.
【详解】因为，，，
所以，，
所以在上的投影为，
所以在上的投影向量为.
故选：C
【备考提醒】
平面向量的投影问题，是近几年的高考热点问题，应熟练掌握其公式：向量在向量方向上的投影为．
【举一反三】
（22-23高一下·四川凉山·期中）
3．已知是的外心，外接圆半径为2，且满足，若在上的投影向量为，则（ ）
A．4 B． C． D．2
（23-24高二上·甘肃白银·期中）
4．设向量在向量上的投影向量为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
考向三：平面向量数量积的范围与最值
（21-22高一下·甘肃白银·期中）
【典例3-1】如图，点是半径为的扇形圆弧上一点，，若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由向量数量积定义可求得，以为坐标原点建立平面直角坐标系，设，，将表示为关于的三角函数的形式，结合三角恒等变换知识可求得最大值.
【详解】，，
；
以为坐标原点，可建立如图所示平面直角坐标系，
则，，设，，
由得：，，
，其中，，
，，当时，.
故选：B.
（23-24高三上·江苏南通·期中）
【典例3-2】在四边形中，，，则的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】设结合图象，运用数量积运算将转化为，再利用倍角公式，辅助角公式转化为，根据正弦函数的性质求最大值即可.
【详解】
设，则，，
因为，所以，
故，所以，
即的最大值为.
故选：C
【备考提醒】
遇到最值问题时，往往利用坐标来建立函数，转化为函数的最值问题，遇到圆的时候最好使用三角换元．
【举一反三】
（22-23高一下·山东日照·期中）
5．如图等腰直角三角形OAB，OB＝1，以AB为直径作一半圆，点P为半圆上任意一点，则的最大值是（ ）

A．1 B． C． D．
（23-24高一下·广东惠州·阶段练习）
6．如图，在四边形ABCD中，，，，，．若P为线段AB上一动点，则的最小值为 ．

【必备知识】
已知非零向量，，为向量、的夹角．
结论 几何表示 坐标表示
模
数量积
夹角
的充要条件
的充要条件
与的关系 （当且仅当时等号成立）
【必备技能】
1.求平面向量的模长方法
①
②若，则.
2. 求平面向量的夹角的方法：
①利用求解.
②利用求解.
3. 有关平平面向量的垂直的两类题型：
（1）利用坐标运算证明或判断两个向量的垂直问题
第一步:计算出这两个向量的坐标
第二步：根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可；
（2）已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值（根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数）
【考向总览】
考向一：平面向量的模（★★★★）
考向二：平面向量的夹角（★★★★）
考向三：平面向量的垂直（★★★★）
【考向归类】
考向一：平面向量的模
（21-22高一下·湖南·期中）
【典例1-1】已知向量，，，若，则 .
【答案】
【分析】利用向量垂直的坐标表示求出t，再利用模的坐标表示计算作答.
【详解】向量，，而，则，解得，，
则有，
所以.
故答案为：
（23-24高一下·四川达州·期中）
【典例1-2】若是边长为2的等边三角形，所在平面有一点C满足，且，则的最小值为 ．
【答案】3
【分析】由向量等式两边平方整理为，利用消元，将其整理成二次函数，求其最值即可.
【详解】由是边长为2的等边三角形可得：，
因，两边取平方，（*），
由可得代入（*）得，
故当时，，即的最小值为3.
故答案为：3.
【备考提醒】
求平面向量的模长方法
①
②若，则.
【举一反三】
（23-24高二上·湖南·期中）
7．已知向量，满足，，且，则 .
（22-23高三上·河南驻马店·期中）
8．已知，，若向量满足，则的取值范围 .
考向二：平面向量的夹角
（22-23高三上·山东青岛·期中）
【典例2-1】已知非零单位向量，满足，则与的夹角余弦值为 .
【答案】/
【分析】由已知两等式平方后可解得得，进而可求解.
【详解】，，
又，，，
，
设与的夹角为，则
.
故答案为：
（22-23高一下·福建龙岩·期中）
【典例2-2】如图，在中，已知，，，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，则的余弦值为 ．
【答案】/
【分析】
根据题意建立直角坐标系，从而得到各点坐标，进而利用向量夹角余弦的坐标表示即可得解.
【详解】依题意，以为原点，所在直线为轴，过作的垂线为轴，如图所示，
因为，，，
所以，则，
，
即为向量与的夹角，
，
，，
.
故答案为：.
【备考提醒】
求平面向量的夹角的方法：
①利用求解.
②利用求解.
【举一反三】
（22-23高一下·甘肃定西·阶段练习）
9．设向量，，向量与的夹角为锐角，则x的范围为 .
（22-23高一下·江西九江·期中）
10．设为平面内两个不共线的非零向量，且，若对于任意实数，都有，则向量与的夹角为 .
考向三：平面向量的垂直
（22-23高一下·陕西延安·期中）
【典例3-1】已知非零向量，满足，且，则向量与的夹角为 .
【答案】/
【分析】由已知得，再利用数量积公式化简即得解.
【详解】因为，所以，
所以，所以.
因为.
故答案为：
（22-23高一下·安徽·期中）
【典例3-2】中，，点P为所在平面内一点且，则C= ，若，则的最大值为 .
【答案】
【分析】由得，从而得到，由可得，从而得到是等腰直接三角形，建立直角坐标系，令，设，由得到点的轨迹是以为直径的圆，从而得到，由圆方程确定，从而求解.
【详解】因为，所以，即，
所以，即，
又因为，所以，
由正弦定理可得，所以，
所以是等腰直角三角形，令，则，
如图，以点为原点，以为轴，轴建立直角坐标系，设，
则，
，，，
因为，所以，即.
因为，则点的轨迹是以为直径的圆，
所以点的轨迹方程为
所以，即，
所以当时，有最大值，最大值为.
故答案为：；
【备考提醒】
有关平平面向量的垂直的两类题型：
（1）利用坐标运算证明或判断两个向量的垂直问题
第一步:计算出这两个向量的坐标
第二步：根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可；
（2）已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值（根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数）
【举一反三】
（22-23高一下·河南·期中）
11．已知向量，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
（22-23高一下·辽宁铁岭·期中）
12．已知非零向量满足，则与的夹角为 .
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．##1.75
【分析】可连接，根据题意即可得出四边形为平行四边形，从而可得出，然后进行数量积的运算即可．
【详解】如图，连接，

∵为的中点，为对角线的中点，
，，
∴四边形为平行四边形，
，，
，，
故答案为：
2． ## ##
【分析】由向量的线性运算可得，再由三点共线即可得出答案；用和表示和，根据平面向量的数量积运算律可求出结果.
【详解】因为，
所以
因为三点共线，所以，解得：.
所以，
因为是的中点，所以，
所以.
故答案为：；.
3．A
【分析】根据题意，由条件可得，然后结合图形，由平面向量数量积的几何意义即可得到结果.
【详解】∵，∴为中点，则为直径，∴，
又∵在上的投影向量为，如图：

过作，垂足为点，∴，
∴为中点，则，
∴.
故选：A
4．C
【分析】利用向量在向量上的投影向量得到，再利用基本不等式求解.
【详解】解：向量在向量上的投影向量为，
则，当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为．
故选：C
5．D
【分析】建立直角坐标，应用圆上点的坐标及向量数量积的坐标运算计算即可.
【详解】

如图以 OA , OB 所在直线分别为轴，轴建系．则
以AB为直径作一半圆，点P为半圆上任意一点，
半圆为,
设，则.
．
故选：D．
6．
【分析】以点为原点建立直角坐标系，设，再根据向量数量积的坐标公式结合二次函数的性质即可得解.
【详解】如图，以点为原点建立直角坐标系，
则，设，
故，
所以，
则当时，取得最小值.

故答案为：.
7．
【分析】根据数量积的运算性质求解，再由数量积求解模长即可.
【详解】因为，所以，则
所以.
故答案为：.
8．
【分析】由题，模长都为3，且相互垂直，设 ，，，由模长关系可得坐标满足的方程，将看作动点到原点的距离，数形结合，求出的取值范围.
【详解】，设，，，因为，
得，即点在以为圆心，3为半径的的圆上，
，即动点到原点的距离，
圆心到原点距离为，故，.
故答案为：.
9．且
【分析】根据已知可得，且不共线，求解即可.
【详解】向量，，由得，，所以.
由已知得，，所以，即，且不共线.
则，所以.
又不共线，则.所以x的取值范围为且.
故答案为：且.
10．##
【分析】将题设不等式两边平方并展开整理得对任意实数恒成立，结合即可求向量的夹角.
【详解】令，则，
所以，即，
所以对任意实数恒成立，
故成立，
所以，即，而，
所以.
故答案为：
11．D
【分析】求出的坐标，根据向量的垂直的坐标表示列式计算，可得答案.
【详解】由题意得，，且，
所以，所以，
故选：D
12．
【分析】由已知可得：，并且，整理可得，进而可得，即可得到，即，再根据向量的夹角公式可求答案.
【详解】因为，所以，
因为，所以，
两式相减得，
所以，
将代入第一个式子可得：，
所以，即.
设向量与的夹角为，则，
因为，所以向量与的夹角大小为.
故答案为：.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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