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专题3 向量数量积的范围问题
【典例1-1】（四川省巴中市2022-2023学年高一下学期期末）
1．折扇又名“纸扇”是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子.某折扇如图1所示，其平面图为如图2所示的扇形AOB，其半径为3，，点E，F分别在，上，且，则的取值范围是（ ）

A． B．
C． D．
【典例1-2】（2023春·江苏盐城·高一统考期中）
2．如图所示，在边长为3的等边三角形ABC中，，且点P在以AD的中点O为圆心，OA为半径的半圆上，若，则（ ）
A． B．
C．最大值为8 D．的最大值为
【题后反思】
关于向量问题，除利用基底法外，常常利用坐标法处理，即建立适当的直角坐标系，将向量用坐标的形式表示出来，用函数与方程的思想求解，，坐标法有时更能解决较为复杂的问题.
【举一反三】
3．在矩形中，.若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知点是以为直径的圆上任意一点，且，则的取值范围是 ．
【必备知识】
【典例2-1】（2023春·江苏南通·高二海门中学校考阶段练习）
5．点P是正八边形ABCDEFGH内一点(包括边界)，且＝1，则的最大值为（ ）

A．1 B． C． D．
【典例2-2】（2023春·湖北武汉·高一湖北省武昌实验中学校联考期中）
6．在边长为4的正方形中，动圆Q的半径为1、圆心在线段（含端点）上运动，点P是圆Q上及其内部的动点，则的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【题后反思】
根据数量积的几何意义，结合图形特征，分析探求解题途径.定义法是解决相关问题的最基本的方法，对向量来说，知道了“模”和“夹角”，内积就知道了.
【举一反三】
（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）
7．在边长为2的菱形中，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
（2023春·上海浦东新·高一华师大二附中校考期中）
8．北京冬奥会开幕式上的“雪花”元素惊艳了全世界（如图②），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形ABCDEF（如图①）．已知这个正六边形的边长为1，且P是其内部一点（包含边界），则的最大值是 ．

【典例3-1】
9．在中，，，点为的中点，点为的中点，若设，则可用表示为 ；若，则的最大值为 ．
【典例3-2】（河北省石家庄市2022-2023学年高一下学期期中）
10．已知中，，，点P是外接圆圆周上的一个动点，则取值范围是 ．
【题后反思】
当图形中包含三角形时，可利用正弦定理、余弦定理，建立向量的夹角、向量的模之间的关系，确定数量积的范围（最值）.
【举一反三】
（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）
11．如图，网格纸上小正方形的边长为1．从，，，四点中任取两个点作为向量的始点和终点，则的最大值为 ．

（2023春·吉林·高一吉林一中校考阶段练习）
12．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知角，若，且外接圆半径为2，圆心为O，P为上的一动点，试求的最大值为 .
【典例4-1】（2023春·四川成都·高一四川省成都市新都一中校联考期末）
13．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，M，N分别是AB，AD边上的动点，下列命题中正确的有（ ）

A．若的周长为2，则∠MCN的正切值等于1
B．若的面积为，则∠MCN正切值的最小值为
C．若的周长为2，则的最小值为
D．若的面积为，则的最大值为
【典例4-2】（2023春·浙江温州·高一统考期中）
14．平面向量，，满足，，与夹角为，且，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为 B．的最小值为
C．的最大值为 D．的最大值为
【题后反思】
通过建立平面直角坐标系，将数量积用坐标表示出来，应用二次函数的性质或均值不等式，是解答数量积范围（最值）问题的常用方法.
【举一反三】
（2023春·江苏南京·高一南京市江宁高级中学校联考期中）
15．在平行四边形ABCD中，，，则的最小值为（ ）
A．－10 B．－13
C． D．
（2023春·四川广元·高一广元中学校考期中）
16．在中，，，，AD是三角形的中线．E，F分别是AB，AC边上的动点，，（x，），线段EF与AD相交于点G．已知的面积是的面积的2倍，则（ ）
A． B．x＋y的取值范围为
C．若，则的取值范围为 D．的取值范围为
（2023春·江苏宿迁·高一统考期中）
17．向量与向量夹角为钝角，则实数的取值范围是（ ）
A． B．且
C． D．且
（2023春·浙江舟山·高一舟山中学校考阶段练习）
18．已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是　　
A． B． C． D．
19．已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
（2023春·山东滨州·高一山东省北镇中学校联考阶段练习）
20．已知梯形，且为平面内一点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．2
21．如图，在平面四边形ABCD中，
若点E为边CD上的动点，则的最小值为
A． B． C． D．
22．已知正三角形ABC的边长为2，点D为边BC的中点.若内一动点M满足.则下列说法中正确的有（ ）
A．线段BM长度的最大为 B．的最大值为
C．面积的最小值为 D．的最小值为
（2023春·四川成都·高一四川省成都市新都一中校联考期中）
23．已知是平面内一组基底，，，则与所成角的最大值为 ．
（2023春·四川广元·高一广元中学校考期中）
24．已知向量，，当取得最大值时， ．
（安徽省滁州市2022-2023学年高一下学期教学质量监测）
25．已知平面向量，满足，，记向量与的夹角为θ.
（1）若，则 ；
（2）的取值范围为 .
（2023春·江苏苏州·高一统考期中）
26．在钝角三角形中，，，，.
(1)求的值；
(2)已知，，三点共线，若恒成立，求实数的取值范围.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】利用向量的运算及数量积的定义求出数量积，结合余弦函数的值域即可求解范围.
【详解】设，则，因为，
所以，
又，所以，所以，
所以的取值范围是.
故选：D
2．AD
【分析】对于A：利用向量的线性运算求解即可；对于B：利用展开计算；对于C：以点为原点，所在直线为轴，过点且垂直的直线为轴建立平面直角坐标系，设，利用向量的坐标运算求解；对于D：利用向量相等列式计算.
【详解】对于A，因为，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，
所以，
则，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，如图，以点为原点，所在直线为轴，过点且垂直的直线为轴建立平面直角坐标系，
则，
因为点在以的中点为圆心，为半径的单位圆上，且在轴的下半部分，
设，
则，
所以，
因为，所以，
所以当，即时，取得最大值，故C错误；
对于D，因为，所以，
即，
所以，所以，
因为，所以当时，取得最大值，故D正确.
故选：AD.
3．B
【分析】根据向量的坐标运算计算数量积，由三角函数的有界性即可求解.
【详解】以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则
,设 ，
故
所以 其中，
由于，所以，
故选：B

4．
【分析】依题意建立直角坐标系，利用向量数量积的坐标表示，结合三角函数的值域即可得解.
【详解】依题意，以为轴，的中垂线为轴建立直角坐标系，如图，

则，
因为点是以为直径的圆上任意一点，故可设，
则，所以，
因为，所以，则，
故，即的取值范围为.
故答案为：.
5．C
【分析】以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，先求出在方向上的投影的取值范围，再由数量积的定义求出的最大值即可.
【详解】连接AF，因为，故，
因为，故，
故，
以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，

则
在方向上的投影的取值范围为，结合向量数量积的定义可知，
等于的模与在方向上的投影的乘积，
又，∴的最大值为，
故选：C ．
6．A
【分析】根据数量积的几何意义，结合图形关系即可求解最值.
【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，
由数量积的几何意义可知：等于与在上的投影的乘积，
故当在上的投影最大时，数量积最大，此时点在以为圆心的圆的最上端处，此时投影为，故数量积为，
故当在上的投影最小时，数量积最小，此时点在以为圆心的圆的最下端处，此时投影为，故数量积为,
故，
故选：A

7．B
【分析】以为基底，求，利用函数性质求最小值.
【详解】边长为2的菱形中，，如图所示，

则，，
，，
，
由于，所以当时，有最小值.
故选：B
8．##
【分析】由的几何意义表示向量在方向上的投影乘以，在借助图像可知当点在点处时，有最大值，由此即可求出答案.
【详解】,
几何意义表示向量在方向上的投影乘以，
由图可知：当点在点处时，有最大值，
此时，，
所以的最大值是.
故答案为：
9． ．
【分析】由，得到，设，再由余弦定理和基本不等式求得，得到，即可求解.
【详解】在中，，，点为的中点，点为的中点，
由，则，
设，
由余弦定理可得，
因为，可得，即，当且仅当时取等号，
又因为，则，
则
，
即的最大值为．
故答案为：；．
10．
【分析】根据正弦定理可知外接圆的半径，设为的中点，根据向量的线性表示及数量积的运算可得，然后根据圆的性质可得，进而即得.
【详解】设外接圆的半径为，由正弦定理可得，
所以，如图设外接圆的圆心为，为的中点，连接
则，
所以，
因为，
所以，
由圆的性质可知，即，
所以，即取值范围是.
故答案为：.
11．4
【分析】要使取到最大值，即要求向量在向量上的投影最大，然后再根据图形即可求出结果．
【详解】由题意可知：则，
所以要使取到最大值，即要求向量在向量上的投影最大，

由图形可知：当向量时，向量在向量上的投影最大，
,在中应用余弦定理，
即.
即的最大值为．
故答案为： ．
12．6
【分析】利用余弦定理可推出为等边三角形，设D为AB的中点，求出的值，利用向量的运算结合数量积的运算律可求得，结合三角函数的范围即可求得答案.
【详解】由题意知，，故由，
得，
即为等边三角形，设D为AB的中点，

故由题意得，
则，
所以
，
，
故的最大值为6，当，即P和C重合时，取得最大值，
故答案为：6
13．ABC
【分析】的周长为2时，求得∠MCN的正切值判断选项A；求得的最小值判断选项C；的面积为时，求得∠MCN的正切值的最小值判断选项B；求得的最大值判断选项D.
【详解】当的周长为2时，
延长至P，使，连接.
则，则，，
又,
则，则,
又由，可得，
则，则

选项A判断正确；
以A为原点，分别以所在直线为轴建立坐标系，
则，，
则,
当的周长为2时，，
由，
可得（当且仅当时等号成立）
则
则（当且仅当时等号成立），
则（当且仅当时等号成立），
故的周长为2，则的最小值为.选项C判断正确；
当的面积为时，，即，
则（当且仅当时等号成立），
则（当且仅当时等号成立）.
故的面积为时，则的最大值为1. 选项D判断错误；
由，可得
由，可得，，
则，
又，则
故的面积为时，∠MCN正切值的最小值为.选项B判断正确.

故选：ABC
14．AD
【分析】设，，，利用和与夹角为，求出，利用，求出，然后结合向量的坐标运算和平面直角坐标系即可逐个选项判断.
【详解】由题知，设，，，
因为，与夹角为，
所以，即，
解得或，
即或，
因为，
所以或，
即或，
则或，即或，
所以，A正确；
以的起点为原点，的方向为轴正向建立平面直角坐标系，
当时，

则的终点落在上，的终点落在上，
作点关于的对称点，
是指，即，
最小时，即的长度，
则，
当时，

则的终点落在上，的终点落在上，
作点关于的对称点，
是指，即，
最小时，即的长度，
则，B错；
如图，当时，点为的终点，

则是指与的长，即，
根据图像易知，没有最大值，故C错；
同理，当时，此时点为的终点，

则是指与的长，即，
根据图像易知，没有最大值，故C错；
当时，，
，
当时，上式有最大值，且为；
当时，，
，
当时，上式有最大值，且为，D正确.
故选：AD
15．B
【分析】设，求得，令，化简得到，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】如图所示，设，且，
在中，由余弦定理可得，
即，可得
可得，，
所以，
设，可得，
因为，当且仅当时，等号成立，
所以，
则，
当时，取得最小值，最小值为.
故选：B.
16．ACD
【分析】利用三角形面积公式即可得到，利用对勾函数的性质和基本不等式即可判断B，利用共线向量定理的推论即可判断C，利用转化法计算即可判断D.
【详解】对A，，
，
又因为，即，
解得，故A正确，

对B，因为，，则，解得，则，
则，
当且仅当时等号成立，
根据对勾函数的图象与性质可知当或1时，，则，故B错误，
对C，因为，，所以，
因为点三点共线，
则存在，使得
则有，则，，故C正确；
对D，，，
则
，
因为，则，则，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点睛：本题较难的CD选项的判定，需要利用共线向量定理的推论，从而得到，然后解出，从而得到其范围；对于D选项，则利用转化法来计算，最后得到，再进行消元转化为单变量表示即可得到其范围.
17．B
【分析】根据向量数量积小于0，以及不共线可解.
【详解】由题可知，即，
又向量不共线，所以，，
所以实数k的取值范围为且.
故选：B
18．B
【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可．
【详解】建立如图所示的坐标系，以中点为坐标原点，
则，，，
设，则，，，
则
当，时，取得最小值，
故选：．
19．A
【分析】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得，或然后结合三角函数的性质即可确定的最大值.
【详解】如图所示，，则由题意可知:，
由勾股定理可得

当点位于直线异侧时或PB为直径时，设，
则：
，则
当时，有最大值.

当点位于直线同侧时，设，
则：
，
，则
当时，有最大值.
综上可得，的最大值为.
故选：A.
【点睛】本题的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最值的问题，考查了学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力.
20．A
【分析】建立平面直角坐标系，求出和的坐标，再利用向量数量积的坐标运算即可求出结果.
【详解】如图，建立平面直角坐标系，因为，则，，设，
所以，，故，
所以，
又为平面内一点，故当时，取到最小值.

故选：A.
21．A
【详解】分析：由题意可得为等腰三角形，为等边三角形，把数量积分拆，设，数量积转化为关于t的函数，用函数可求得最小值。
详解：连接BD,取AD中点为O,可知为等腰三角形，而，所以为等边三角形，。设
=
所以当时，上式取最小值 ，选A.
点睛：本题考查的是平面向量基本定理与向量的拆分，需要选择合适的基底，再把其它向量都用基底表示。同时利用向量共线转化为函数求最值。
22．BD
【分析】以点为原点建立平面直角坐标系，求出动点的轨迹方程，再根据圆上得点到定点和定直线的距离的最值问题即可判断AC；由即可判断B；取最小值时，取最大值，也即与圆相切时，即可判断D.
【详解】如图，以点为原点建立平面直角坐标系，
则，设，
由，得，
化简得，
故动点的轨迹是一个以圆心为，半径的圆不含原点，
A项：，所以，故A错误；
B项：
，故B正确；
C项：直线，即，
圆心到直线的距离为，
则点到直线的距离的最小值为，
所以面积的最小值为，故C错误；
D项：由题意得为锐角，
则取最小值时，取最大值，
也即与圆相切时，
此时，
故，故D正确.
故选：BD.

【点睛】关键点点睛：以点为原点建立平面直角坐标系，求出动点的轨迹方程，是解决本题的关键.
23．##
【分析】利用换元结合数量积的运算以及夹角公式运算求解.
【详解】因为是平面内一组基底，即不共线，
设，显然、不共线，且均不为零向量，
设的夹角为，则，，
又因为，则，
即，整理得，
所以，
又因为，则，
所以与所成角的最大值为.
故答案为：.
24．
【分析】先利用向量数量积的坐标表示与辅助角公式，求得取得最大值时的值，从而求得，再利用向量模的运算公式即可得解.
【详解】因为，，
所以，
当且仅当，即时取最大值，
此时，
所以，
所以.
故答案为：.
25． ；
【分析】（1）先计算，，再根据向量夹角公式即可求解；
（2）令，则，根据向量夹角公式可得，令，可得，再根据函数的单调性即可求解.
【详解】（1）因为，
，
所以，
又因为，所以；
（2）令，则，
因为，
，
所以，
令，则，
，
即，
所以，
因为在 上单调递增，在上单调递减，
所以当时，有最大值，为，
又当时，，
当时，，
所以，即的取值范围为.
故答案为：；
26．(1)；
(2)的取值范围为.
【分析】（1）由条件结合三角形面积公式求，利用表示，结合数量积的运算律求的值；
（2）设，利用表示，结合数量积运算律求，再求其最小值，由此可得的取值范围.
【详解】（1）因为，，，
又，
所以，
所以，所以或，
若，则，
则，
为三角形最大内角，不合题意；
所以，则，
，
则；
（2）由已知，设，
则，
所以，
，，
当时，取最小值，最小值为，
由恒成立可得，.
所以的取值范围为，
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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