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函数解题中容易忽略的一些细节
张万库
函数是描述客观世界中量与量之间对应关系的一种重要数学模型，因而是中学数学主干知识之一。高一新生初学函数时，由于对函数的概念、性质理解不透，解题中往往忽略了一些细节，造成错解。本文就此谈几点，供大家参考。
一. 忽视定义域的存在与作用
例1. 求函数的单调区间。
错解：在上是减函数，在上是增函数。又是减函数，所以函数的递增区间是，递减区间是。
错因分析：上述错解忽略了函数的定义域是，而不是。
正解：函数的定义域是。在上是减函数，在上是增函数。
又上是减函数，所以根据复合函数的单调性，函数的递增区间是，递减区间是。
注：定义域是建立函数关系、研究函数性质的基础，忽略函数定义域的存在与作用，就有可能出现错解。
二. 忽略对应法则的意义与作用
例2. 要得到函数的图象，只需将函数的图象如何变换？
错解：把函数的图象上所有点向左平移1个单位长度，就得到函数的图象。
错因分析：函数图象左右平移变换有一定规律。把函数的图象上所有点向左或向右（）平移|h|个单位长度，就得到函数的图象。中的f是对应法则，是由x得到y的方法途径，作用对象是x。中的f与的f意义一样，只是作用对象是而不是x。上述错解中的与并不具有这里所说的关系，把看成，f的意义是“乘2，加1，取对数”，而并不是，需要进行等价变换。
正解：由
把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，就得到函数
即的图象。因此把函数的图象上所有点向右平移个单位长度，就得到函数的图象。
注：在研究函数图象变换时，必须弄清具体函数中的对应法则的意义及作用对象。
三. 忽略判别式的适用范围
例3. 求函数的值域。
错解：由
得 ①
因，所以
即
解得
故函数的值域为
错因分析：判别式的适用范围是针对一元二次方程的。当时，①式不是一元二次方程，则上述求解过程错误。
正解：由，得 ②
当即时
因所以
即
解得
当时，②式为，显然不成立，此时无实根，因此y=1不是此函数值。
综上所述，函数的值域为
四. 求反函数时，忽略原函数的值域
例4. 求函数的反函数。
错解：由，得，即，则
故函数的反函数是
错因分析：如果一个函数存在反函数，则原函数的定义域、值域与反函数的值域、定义域是互换的。因此反函数的定义域取决于原函数的值域而不是反函数本身。上述错解的原因就是在求反函数之前没有事先确定原函数的值域。
正解：函数的定义域是，值域是。
由，得
则
故函数的反函数是
注：本题恰恰说明了求函数的值域不宜提出反函数法，而要慎重。
五. 忽略复合函数构成的充要条件
例5. 已知，求函数。
错解：令，则
可得
故
错因分析：两个函数（定义域为A，值域为B）与（定义域为C，值域为D），能够复合成一个函数的充要条件是，而不是B=C。因此，已知复合函数和内层函数求外层函数时，如果不是特别需要或人为构造，外层函数的定义域应该由其自身来确定。上述错解就是把的值作为的定义域而造成的。
正解：令，则
代入
得
故
注：例5中涉及三角函数知识，同学们还没有接触到，本文旨在介绍解题方法。数学是思维严谨、逻辑性强的一门学科，数学问题的解决需要严肃认真的科学态度，稍不留心就会出错，正所谓“细节决定成败”。

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