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浅谈动点的轨迹
关于点的轨迹求解问题,在高中数学中教学的内容不多，但非常重要，是高考命题的热点。这类问题也是高中数学里面的重点和难点，求解起来难度较大，涉及到的知识点也比较多。
重要性主要表现在，一方面综合性较强，要求知识点较多。在掌握了几何问题的基础上才能正确进行证明。另一方面轨迹的运用较广，有作图中常用的交轨法，解析几何中的曲线与方程等，都必须以平面几何的知识为基础。学生的轨迹这部分内容掌握的好坏，直接关系到后续有关内容的学习，是非常重要的。
一、一般地，轨迹命题包含三个重要部分：指定条件，轨迹形状，轨迹位置或大小。
通常有三类命题形式：
第一类，告诉轨迹的形状、大小、位置。
如：一动点距一定线段的两端等远,它的轨迹是一直线,这直线是定线段的垂直平分线.
第二类，指定条件，告诉形状（大小，位置怎样，隐藏在题目里）。
如：一动点距一定线段两端等远，它的轨迹是一条直线。
第三类，指定条件，其余隐藏。
如：求一动点距一线段的两端等远的轨迹。
二、在探究轨迹问题时，我们经常用一般的方法。
（1）、定形：掌握所求基本图形的特征。动点能否无穷远，有无端点否，
确定轨迹是否是直线，射线，圆，线段，孤立点等。
图形
直线
射线
线段
圆
孤立点
端点
无
有
有
无
有
可否无穷远
能
能
否
否
否

（2）、定位：第一单一轨迹，如直线，线段，射线，圆等。第二合成轨迹，由两个或两个以上的单一轨迹合成的轨迹。
轨迹
直线
射线
线段
圆
圆弧
定位条件
1、两点
2、一点及方向
1、端点及方向
2、端点及另一点
两端点
圆心及半径
直径，弦
三点
两端点及内接角
两端及另一点?

（3） 描迹法：按题目指定条件，作出相当数量的轨迹点，然后就其布列形势，用一条光滑的曲线连接而成。用此方法可以引导我们的思路，指出解决问题的途径。
例1、与一个角两边相切的圆，其圆心的轨迹是这个角的平分线。
作图：（1—1）
由此可知动点的轨迹是这个角的平分线（证明略） 。
例2，已知圆上的两切线交成定角，则交点的轨迹是这已知圆的一个同心圆。
作图1—2
由此可知动点的轨迹是已知圆的一个同心圆(证明略)。
（4）代入法：在研究轨迹中，除了描迹法用得最直接，最多外，还有常用的解析几何的方法，建立直角坐标系，求轨迹方程。
求解时，一般问什么，设什么（即：设动点的坐标为P（x,y），进而研究x,y与已知条件的关系。
例3，（定值），AP上的中线OB为定长b,求P点的轨迹。
解：建立直角坐标系（如图1—3）

设：延长OB到C，使
连PC，AC，则OACP为平行四边形，由平行四边形对角线与四边之间的关系得：
即：
化简得：
所以：P点的轨迹是以为圆心，2b为半径的圆。
（5）几何变换法：在轨迹探求过程中，根据题目的已知条件，如存在平行线，等边三角形，线段的中垂线，线段中点等几何条件时，有时使用变换法求轨迹，更易求解。
例4、过圆周上一定点，作动弦，求其中点的轨迹。
分析：作图1—4

在⊙O上，A为定点，∵⊙O为轴对称图形，其中为对称轴之一，则各个弦中点P的轨迹是以为对称轴的图形，而A、O为轨迹上的点，A、O以外的轨迹上的中点，有，又A、P、O不共线，故轨迹AO为直径的圆。（证明略）
因此，一个动点可以看成另一动点，在某种变换下可以对应，且另一个点的轨迹已知时，均可考虑变换法。
据于轨迹的抽象性，命题结构的复杂性，证明过程的严谨性，求解的灵活性等，在解题或授课过程中，都须全面考虑，全面计划，分散难点，各个击破。注意具体到抽象的思维，以实例说明抽象概念，学生应在理解的基础上记忆。

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