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均值不等式求最值策略
陈本平 陈同量 米新生
应用平均值不等式求最值时，要把握平均值不等式成立的三个条件“一正二定三相等”。忽略了任何一个条件，就会导致解题失败，若出现问题，又怎样另辟蹊径，寻求新方法来求最值呢？本文提出一些思路。
1. 调整符号，化负为正，使之适合“一正”条件，过第一关
例1. 已知，求函数的最值。
解：因为
所以
故
所以
当且仅当，即或时，等号成立，但不合条件，舍去，故当时，
2. 拆添配凑，变动为定，使之适合“二定”条件，过第二关
利用均值不等式求最值，变形构造出“定值”是难点，其方法如下：
（1）变形法
例2. 求函数的最小值。
解：因为
所以
故
当且仅当，即时，
（2）配凑法
例3. 已知，求函数的最小值。
解：因为
则有
所以
当且仅当，即时，
3. 分离常数
（1）拆项法
例4. 当时，求的最小值。
解：因为
所以
所以
当且仅当，即取等号
另一解（舍去）
所以
（2）倒数法
例5. 若，求函数的最大值。
解：因为
所以
故
（3）平方法
例6. 已知，求函数的最大值。
解：
由于 所以
当且仅当时取等号，所以
4. 化归转化，寻求相等，过第三关
例7. 设，求的最小值。
解：因为
当且仅当，即时取等号
所以
点评：若与分别利用平均值不等式，再相乘求最值，问题出现在：前后取等条件不一致。
例8. 已知，且，求的最小值。
解：因为，且
所以
5. “三关”难过，前进受阻，应另辟蹊径
（1）利用代数、三角换元
例9. 若a，b为正实数，且，求的最小值。
解：因为，且
所以可设
则
当且仅当，即时取等号，这时，满足，所以
（2）引入参数，巧渡难关
例10. 已知，且，求P＝x＋y的最小值。
解：设，由已知有
所以
欲取等号，当且仅当时，有
代入中，此时
所以
说明：请读者用三角换元解此题，可令
（3）利用函数单调性
例11. 求的最小值。
解：设
则
易知
在上单调递增，所以时，
此时
即时，

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