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第五单元 三角形
（考点归纳+题型精讲+通关题组）
考点一：三角形的特性
1、由3条线段围成的图形(每相邻两条线段的端点相连)叫做三角形。
2、三角形的各部分的名称。
三角形有3条边，3个顶点，3个角。
3、三角形的表示方法。
为了表达方便，可以用字母A.B.C分别表示三角形的3个顶点，下面的三角形可以表示成三角形ABC。
4、三角形的高。
定义：从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。
5、三角形的特性。
三角形具有稳定性。
6、三角形3条边的关系。
三角形任意两边之和大于第三边。
考点二：三角形的分类
1、用集合圈表示三角形的分类。
2、特殊三角形的特点。
（1）等腰三角形：相等的两条边叫做三角形的腰，两腰与底边的夹角叫做底角。等腰三角形的两腰相等，两个底角也相等。
（2）等边三角形：等边三角形也叫做正三角形。3条边都相等，3个角也相等，都是60°。
（3）直角三角形：直角三角形中相互垂直的两条边叫做直角边，直角所对的边叫做斜边，斜边大于任意一条直角边。
考点三：三角形的内角和
1、三角形的内角和是180°。
2、三角形内角和的应用：在一个三角形中，已知两个角的度数，可以根据“三角形的内角和是180°”求出第三个角的度数。
3、四边形的内角和是360°。
4、多边形的内角和=(边数-2)×180°。
题型一：三角形的特性
【精讲一】王伯伯给花园围竹篱笆，（ ）方法更牢固。
A． B． C．
【分析】
根据四边形具有易变性，三角形具有稳定性的性质，即可选择正确答案。
【解答】
A．王伯伯给花园围成竹篱笆是四边形，四边形具有易变性。
B．王伯伯给花园围成竹篱笆是四边形，四边形具有易变性。
C．王伯伯给花园围成竹篱笆是三角形，三角形具有稳定性。
由三角形的特性可知：C种方法最牢固；因为三角形具有稳定性。
故选：C
【分析】
此题考查了三角形的稳定性，要注意三角形的稳定性在实际生活中的应用。
【精讲二】现有长6cm、10cm的小棒各一根。要搭成一个三角形，第三根小棒（长度为整厘米数）最长可以是( )cm，最短可以是( )cm。
【分析】
根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”进行分析即可。
【解答】
6＋10=16（厘米）；
第三条边要比16厘米小，比16小的最大整厘米数是15厘米；
10－6＝4（厘米）；
第三边要比4厘米大，比4大的最小整厘米数是5厘米。
【分析】
本题主要考查了三角形的三边关系。
【精讲三】从学校到少年宫有三条路可以走（图中①、②、③分别代表三条路），哪一条路最近？为什么？
【分析】从学校到少年宫有三条路可以走，只有中间的路线②最近，因为“两点间所有连线中线段最短”，据此解答即可。
【解答】从学校到少年宫，选择中间的那条路最近，也就是路②，因为两点间所有连线中线段最短。
【分析】此题为数学知识的应用，考查知识点是：两点之间线段最短。
【精讲四】三角形的周长是24cm，三边长是三个连续的自然数，则三边长为( ) 。
【分析】
用周长除以3得8cm，这个数就是三个连续的自然数最中间的那个，最短的边长是这个数减1，最长的边长是这个数加1，据此解答。
【解答】
根据分析中间的数为：24÷3＝8 cm；最短的边长为：8－1＝7 cm；最长的边长为：8＋1＝9 cm。
【分析】
此题考查了三角形的三边关系及灵活运用。
题型二：三角形的分类
【精讲一】在一张长方形纸上剪一刀，把它分成两部分，这两部分的形状不可能是（ ）。
A．直角三角形 B．等边三角形 C．正方形 D．直角梯形
【分析】
如图在一张长方形纸上剪一刀，把它分成两部分，这两部分的形状可能是直角三角形、正方形、直角梯形，不可能是等边三角形，据此分析。
【解答】
在一张长方形纸上剪一刀，把它分成两部分，这两部分的形状不可能是等边三角形。
故答案为：B
【分析】
关键是熟悉平面图形的特点，可以画一画示意图。
【精讲二】把下列三角形的序号填在相应的圈里。
锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 等腰三角形 等边三角形
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
【分析】
锐角三角形：三个角都是锐角的三角形；直角三角形：有一个角是直角的三角形；钝角三角形：有一个角是钝角的三角形。等腰三角形：有两条边相等的三角形。等边三角形：三条边都相等的三角形。
【解答】
锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 等腰三角形 等边三角形
②⑤⑨ ①④⑦ ③⑥⑧ ②③⑤⑦⑨ ⑤
【分析】
熟练掌握三角形分类知识是解答本题的关键。
【精讲三】彩霞小区准备在花园（如图）上面架设一条从A地到B地的本栈道，花园是由3个大小不同的等边三角形组成的，如果你是设计师，从节约成本的角度，你会选择①、②、③号线路的哪一条，说说你的理由。
【分析】
分别将三条线路的长度算出来，选择最短的一条即可，注意等边三角形三边相等。
【解答】
①：（20＋40）×2＝60×2＝120（米）
②：20＋40＝60（米）
③：20×2＋40×2＝40＋80＝120（米）
选择路线②最短。
【分析】
本题也可以直接用两点之间线段最短来解答。
【精讲四】淘淘沿着公园的一个等边三角形花圃边缘跑步。这个等边三角形花圃的边长是多少米？
【分析】等边三角形的三条边都相等，因此淘淘跑5圈的总长度÷5＝等边三角形花圃的周长，等边三角形花圃的周长÷3＝等边三角形花圃的边长，依此计算。
【解答】1200÷5＝240（米）
240÷3＝80（米）
答：这个等边三角形花圃的边长是80米。
【分析】熟练掌握等边三角形的特点是解答此题的关键。
题型三：三角形的内角和
【精讲一】能组成三角形的三个角的是（ ）。
A．80°、20°、70° B．100°、20°、80° C．25°、65°、90°
【分析】
根据“三角形的内角和是180°”，分别求出各个选项中三个角的和，再找出判断选择即可。
【解答】
A．80°＋20＋70°＝170°，80°、20°、70°，不能组成一个三角形；
B．100°＋20°＋80°＝200°，100°、65°、90°，不能组成一个三角形；
C．25°＋65°＋90°＝180°，25°、65°、90°，能组成一个三角形。
故答案为：C
【分析】
熟记：三角形的内角和是180°，是解答此题的关键。
【精讲二】如下图，一块三角形纸片被撕去了一个角，原来这块纸片的形状是( )三角形。
【分析】
根据三角形内角和为180°，和图中的两个内角度数，即可求出撕去角的度数，再根据三角形的分类即可作出判断。
【解答】
因为三角形内角和为180°
所以撕去的角的度数＝180°－46°－67°
＝134°－67°
＝67°
又因为这三个角都是锐角，且有两个角相等，所以原来这块纸片的形状是锐角三角形，也是等腰三角形。
【分析】
此题考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°；同时考查了三角形的按角分类，关键明确：①有一个角是直角的三角形是直角三角形；②三个角都为锐角的三角形是锐角三角形；③有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。
【精讲三】张叔叔不小心把家里的一块玻璃摔成3块（如下图），可他只拿其中一块玻璃去玻璃店划了一块与原来一样大的玻璃，你知道他拿的是哪一块玻璃吗？动脑想一想吧！
【分析】
三角形的内角和为180° ，已知三角形中两个角的度数，即可求出第三个角的度数。据此解答即可。
【解答】
这三块玻璃中，只有3号玻璃中有原来三角形的两个角，可以用这块玻璃得到与原来一样大的玻璃。
【分析】
本题考查三角形的内角和，第三个角的度数为180°与另外两个角度数和的差。
【精讲四】
已知三角形的内角和是180°。求四边形ABCD的内角和多少度？
思考过程：连接AD，AD将四边形ABCD分成两个三角形，因为一个三角形的内角和是180°，所以四边形的内角和是180°×2＝360°。
已知一个三角形的内角和是180°。求：五边形的内角和是多少度？（请仿照方法，画图并将你的思考过程写下来。）
思考过程：
【分析】根据求四边形内角的度数，关键是从一个顶点出发将四边形分成多个三角形，三角形的内角和是180°，有几个三角形就有几个180°。
【解答】
思考过程：
连接AC，AD，将五边形分成三个三角形，因为一个三角形的内角和是180°，所以五边形的内角和是180°×3＝540°。
答：五边形的内角和是540度。
【分析】本题考查的是多边形内角和的探究，关键是将多边形转化为三角形来进行计算。
一．填空题（满分20分）
1．用一根48厘米长的铁丝，折成底边是16厘米的等腰三角形，则此三角形的顶角是 　　度。在一个直角三角形中，其中一个角是，则另外两个角分别是 　　度和 　　度。
2．如图，三角形被挡住的角是 　　；这个三角形按角分是 　　三角形，按边分是 　　三角形。
3．三角形中，，，　 　．这个三角形按边分是　 　三角形，按角分是　 　三角形．
4．在一个三角形中，最多 　　个锐角，最多 　　个直角。
5．明明用和的两根小棒摆三角形，那么第三根小棒最短是，最长是。（填整厘米数）
6．工人师傅安装空调，为了让空调外机稳固、安全，他们给空调外机装了 　　的支架，因为 　　。
7．丁丁要用三根木棍做一个等腰三角形，已经准备好了长和的两根木棍，那么第三根可以准备长 　　厘米的木棍。
8．如果直角三角形的两个锐角相等，那么其中一个锐角是 　　度，这个三角形按边分是 　　三角形。
9．一个三角形的两个内角分别是和，第三个内角是 　　，这个三角形按角分是 　　三角形，按边分是 　　三角形。
10．用三根长6厘米的小棒摆成一个三角形，这个三角形按边分类是 　　三角形，按角分类是 　　三角形。
二．选择题（满分10分）
11．小明是个善于思考的学生，他把一根长16厘米的吸管剪成三段（每段都是整厘米数），用线穿成一个三角形，有　　种不同的剪法。
A．2 B．3 C．4 D．5
12．一个三角形的两条边长分别是和，第三条边长是一个质数，那么第三条边长有　　种可能。
A．2 B．3 C．4 D．5
13．王伯伯要给菜园围上篱笆，选择下面　　的围法更牢固些。
A． B． C． D．
14．一个三角形中，最小的内角是45度，这个三角形不可能是　　三角形。
A．锐角 B．直角 C．钝角 D．等腰
15．芳芳要用三根小棒首尾相接摆出一个等腰三角形，应选取　　组小棒。
A．，， B．，， C．，， D．，，
三．判断题（满分10分）
16．等边三角形一定是锐角三角形。 　　
17．一个三角形中，有一个角是直角，这个三角形一定是直角三角形，有一个角是钝角，这个三角形一定是钝角三角形，有一个角是锐角，这个三角形一定是锐角三角形。 　　
18．在锐角三角形中，一个角是，其余两个角可以是。 　　
19．用，，这三样条线段可以围成一个钝角三角形。　　
20．如图三角形被遮住了一个角，这个三角形是钝角三角形。 　　
四．计算题（满分6分）
21．（6分）三角形是一个直角三角形，计算图中、、的度数。
五．操作题（满分6分）
22．（6分）在格子图上按要求画一画。
六．解答题（满分48分）
23．（6分）要用一根长的木条制作一个三角形，小明是这样想的：
①你同意小明的想法吗？说明你的理由。
②请你设计一种分割方案，使分割成的三段可以制作成一个三角形。写出你的思考过程。
24．（6分）一个三角形三条边的长度都是整厘米数，其中一条边的长度是6厘米，另一条边的长度是9厘米，那么第三条边可能是多长呢？
提示：回答出第三条边的长度范围，并说出理由。
25．（6分）盖房子时，在窗框未安装好之前，为了防止窗框变形，木工师傅常在窗框上斜钉一根木条，如果你是木工师傅，这根木条该怎样钉？在图中画出来并说明理由。
26．（6分）下面是两块三角形塑料板碎片，你能判断它们原来各是什么三角形吗？为什么？
27．（6分）如图三张纸把是三个三角形分别遮住了一部分．猜一猜，这三个三角形由可能是什么三角形．
28．（6分）在一个等腰三角形中，一个角的度数是另一个角的2倍，求这个三角形的顶角和底角各是多少度。
29．（6分）调皮的小兔子把三角形其中的一个角遮住了，你知道被遮住的角各是多少度吗？请列式算一算。
30．（6分）有一块等腰三角形的菜地，它的底角是，它的顶角是多少度？
参考答案
一．填空题（满分20分）
1．【分析】根据等边三角形的每个内角都是和直角三角形的两个锐角相加等于90度解答即可。
【解答】解：
（厘米）
这个三角形的三条边相等，所以是等边三角形，它的每个角是；
则另外两个角分别是、。
故答案为：60，90，62。
【分析】熟练掌握等边三角形和直角三角形的性质。
2．【分析】根据三角形的内角和等于和三角形的分类，解答此题即可。
【解答】解：
答：三角形被挡住的角是；这个三角形按角分是锐角三角形，按边分是等腰三角形。
故答案为：67；锐角；等腰。
【分析】熟练掌握三角形的内角和知识和三角形的分类，是解答此题的关键。
3．【分析】此题先要根据三角形内角和求出第三个角的度数，然后再根据三角形按边分和按角分的定义，进行分类．
【解答】解：因为三角形内角和是
所以第三个角的度数是：，
因为在这个三角形中有两个角的度数是，
所以这个三角形是等腰三角形，
又因为这个三角形三个角都是锐角，
所以它是一个锐角三角形，
答：这个三角形按边分是等腰三角形，按角分是锐角三角形，
故答案为：，等腰，锐角．
【分析】此题要明确三角形按边分和按角分的方法．
4．【分析】在锐角三角形中，有3个锐角；在直角三角形中，有1个直角和2个锐角；在钝角三角形中，有1个钝角2个锐角，据此解答。
【解答】解：在一个三角形中，最多3个锐角，最多1直角。
故答案为：3；1。
【分析】掌握三角形的分类是解答本题的关键。
5．【分析】任意三角形的两边之和必须大于第三边，任意两边的差必须小于第三边，据此解答。
【解答】解：（厘米）
最短：（厘米）
（厘米）
最长：（厘米）
答：第三根小棒最短是，最长是。
故答案为：3，9。
【分析】本题考查了三角形的三边关系的应用。
6．【分析】三角形不容易变形，具有稳定性；只要三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定了，这个性质就叫做三角形的稳定性；依此填空。
【解答】解：工人师傅安装空调，为了让空调外机稳固、安全，他们给空调外机装了三角形的支架，因为三角形具有稳定性。
故答案为：三角形，三角形具有稳定性。
【分析】熟练掌握三角形的稳定性及应用，是解答本题的关键。
7．【分析】根据三角形三条边的关系：两边之和大于第三边进行判定即可。
【解答】解：
所以腰长7厘米不能围成三角形。
所以等腰三角形的第三边长15厘米。
答：第三根可以准备15厘米的木棍。
故答案为：15。
【分析】本题主要考查了学生对三角形三条边的关系的掌握。
8．【分析】直角三角形的内角和是180度，利用180度减去90度求出两个锐角的和，因为两个锐角相等，再除以2求出一个锐角，两个底角相等的三角形是等腰三角形。
【解答】解：
有两个角相等的三角形是等腰三角形。
故答案为：45，等腰。
【分析】本题考查了三角形按角分类的方法。
9．【分析】根据“三角形内角和是”可知，第三个角的度数是：；再根据三角形的分类标准进行填空即可。
【解答】解：
所以，一个三角形的两个内角分别是和，第三个内角是，这个三角形按角分是钝角三角形，按边分是等腰三角形。
故答案为：，钝角，等腰。
【分析】熟记：三角形的内角和是，是解答此题的关键。
10．【分析】根据等边三角形的三条边都相等，三个角都是，解答此题即可。
【解答】解：这个三角形按边分类是等边三角形，按角分类是锐角三角形。
故答案为：等边；锐角。
【分析】熟练掌握等边三角形的特征，是解答此题的关键。
二．选择题（满分10分）
11．【分析】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；进行解答即可。
【解答】解：三边分别为：①2、7、7；②3、6、7；③4、5、7；④5、5、6；⑤4、6、6共5种方案．
答：可以组成5种不同的三角形．
故选：。
【分析】围成三角形中任意两条边的和大于第三边，即最长边要小于总长度的一半，是判断三条线段能否围成一个三角形的关键。
12．【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，解答此题即可。
【解答】解：（厘米）
（厘米）
3厘米第三边厘米
第三条边长是一个质数，所以第三边可能是5厘米、7厘米、11厘米，共有3种可能。
故选：。
【分析】熟练掌握三角形的三边关系，是解答此题的关键。
13．【分析】三角形稳定性是指三角形具有稳定性，有着稳固、坚定、耐压的特点。而四边形具有不稳定性；据此进行判断。
【解答】解：的围法更牢固。
故选：。
【分析】解答本题的关键是要掌握三角形的特征是具有稳定性，在实际生活中经常用到。
14．【分析】根据三角形的内角和等于，解答此题即可。
【解答】解：一个三角形中，最小的内角是45度，这个三角形不可能是钝角三角形。
故选：。
【分析】熟练掌握三角形的内角和，是解答此题的关键。
15．【分析】根据三角形的特性：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可判断。
【解答】解：，但两条边的长度不相等，围成的是等腰三角形；
，不能围成三角形；
，不能围成等腰三角形；
，不能围成三角形。
故选：。
【分析】此题关键是根据三角形的特性进行分析、解答。
三．判断题（满分10分）
16．【分析】等边三角形的3个角都是60度，锐角小于90度，因此60度的角是锐角，所以三角形是锐角三角形。
【解答】解：等边三角形一定是锐角三角形。说法正确。
故答案为：。
【分析】本题考查了锐角三角形的特征。
17．【分析】锐角三角形：三个角都小于，都是锐角。
【解答】解：一个三角形中，有一个角是直角，这个三角形一定是直角三角形，有一个角是钝角，这个三角形一定是钝角三角形，有一个角是锐角，这个三角形可能是锐角三角形，原题说法错误。
故答案为：。
【分析】本题考查了三角形按角分类的方法。
18．【分析】依据三角形的内角和是180度，将三个角的度数相加，若等于180度，则正确，否则，不正确．但是，还应满足每个角都是锐角。
【解答】解：三角形内角和是，
将三个内角相加，，
所以，不符合三角形的内角和。
原题干说法错误。
故答案为：。
【分析】此题主要考查三角形的内角和定理以及锐角三角形的定义。
19．【分析】根据三角形的任意两边的和都大于第三边，据此解答。
【解答】解：（厘米），9厘米与三角形的第三边相等，因此用，，这三样条线段不能组成一个三角形。原题说法错误。
故答案为：。
【分析】本题考查了三角形的三边关系。
20．【分析】根据三角形内角和是，连续减去两个已知角的度数，求出盖住的角的大小，再根据三角形的分类，进行判断即可。
【解答】解：
答：这个三角形是直角三角形，原题说法错误。
故答案为：。
【分析】本题考查三角形内角和的应用以及三角形的分类。
四．计算题（满分6分）
21．【分析】根据三角形的内角和等于，解答此题即可。
【解答】解：
【分析】熟练掌握三角形内角和定理，是解答此题的关键。
五．操作题（满分6分）
22．【分析】根据三角形的分类，平行四边形的特征，梯形的特征，画出图形即可。
【解答】解：
（答案不唯一）
【分析】熟练掌握三角形的分类，平行四边形的特征，梯形的特征，是解答此题的关键。
六．解答题（满分48分）
23．【分析】根据三角形的特征：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；由此解答即可。
【解答】解：①不同意，因为三角形的两边之和大于第三条边。
②1米分米
（分米）
则最长的边只能是5分米，
所以把木条锯成三段，分别为4厘米、4厘米和2厘米。（答案不唯一）
【分析】此题关键是根据三角形的特性进行分析、解答。
24．【分析】任意三角形的两边之和必须大于第三边，任意两边的差必须小于第三边，据此解答。
【解答】解：（厘米）
第三边最长：（厘米）
（厘米）
第三边最短：（厘米）
因为任意三角形的两边之和必须大于第三边，任意两边的差必须小于第三边，所以第三边长度范围是4厘米厘米。
【分析】本题考查了三角形的三边关系的应用。
25．【分析】窗框为长方形，长方形容易变形，因此为了防止窗框变形，则应使窗框更加稳定，而三角形具有稳定性，依此画图并解答即可。
【解答】解：根据分析可知，如果我是木工师傅，这根木条应该这样钉：
理由：原来的窗框是长边形，容易变形，这样钉木条，利用了三角形不容易变形的特性（稳定性）。
【分析】熟练掌握三角形的稳定性及应用是解答此题的关键。
26．【分析】因为三角形的内角度数和是，根据图中的两个内角度数可求打碎的一个角的度数，再根据三角形的分类即可作出判断．
【解答】解：（1）因为，
所以这是一个钝角三角形；
（2）因为；
所以这是一个直角三角形．
【分析】考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和等于；同时考查了三角形的按角分类，关键明确：①有一个角是直角的三角形是直角三角形．②三个角都为锐角的三角形是锐角三角形．③有一个角是钝角的三角形是钝角三角形．
27．【分析】首先判断出三个三角形露出的角各是什么角；然后根据三个角都是锐角，这个三角形是锐角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形，判断出这三个三角形由可能是什么三角形即可．
【解答】解：因为第①个三角形露出的角是锐角，
所以第①个三角形可能是锐角三角形、直角三角形或是钝角三角形．
因为第②个三角形露出的角是钝角，
所以第②个三角形是钝角三角形．
因为第③个三角形露出的角是钝角，
所以第③个三角形是钝角三角形．
【分析】此题主要考查了三角形的分类，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三个角都是锐角，这个三角形是锐角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形．
28．【分析】根据三角形的内角和等于和等腰三角形的两个底角相等，解答此题即可。
【解答】解：当底角的度数是顶角度数的2倍时，顶角是
底角是。
当顶角的度数是底角度数的2倍时，底角是
顶角是。
答：这个三角形的顶角和底角分别是、或、。
【分析】熟练掌握三角形的内角和定理，是解答此题的关键。
29．【分析】根据三角形的内角和是180度，用180度减去各图形中已知的两个角的度数即可求解。
【解答】解：
答：被遮住的角分别是40度和35度。
【分析】熟练掌握三角形的内角和是是解题的关键。
30．【分析】根据三角形的内角和等于和等腰三角形的两个底角相等，解答此题即可。
【解答】解：
答：它的顶角是82度。
【分析】熟练掌握三角形的内角和和等腰三角形的特征，是解答此题的关键。

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