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例说处理和（差）角范围问题的几点做法
倪步国
在三角解题中经常遇到确定和（差）角范围的问题，学生常因确定和（差）角范围的偏差导致解题失误。本文举例说明这类问题的处理方法。
一. 合理选用公式来确定
例1 已知α，β均为锐角， sinα=，求α+β的值。
解析：由已知条件有
cosα=，且0＜α+β＜π。
又cos(α+β)
=cosαcosβ-sinαsinβ
评注：若本题选择正弦的和角公式，会因为一、二象限角的正弦值均为正，而得出两个结果，导致解题失误，这就需要注意公式的合理选用，若将本例改为：设α是锐角，，且，求α+β的值，则选用正弦和角公式合理。
另外，四个象限角的正切值正负相间，故本例亦可选用正切和角公式。
二. 借用其他三角函数来确定
合理选用公式，仅对两角和（差）的范围在相邻两个象限时起作用，而对于其它情形，可通过两角和（差）的两个三角公式，来确定两角和（差）的范围。
例2 已知，且α，β都是第二象限角，试确定2α+β，2α-β所在象限。
解析：由条件α，β都是第二象限角，则有
因为2α+β，2α－β都可能落在三个象限，单独使用正（余）弦和差角公式，从值的符号都不能决定2α+β，2α－β的象限，但同时使用正弦、余弦的和差角公式，即可解决。
由cos(2α+β)
=cos2αcosβ－sin2αsinβ
知2α+β在一、四象限。
又sin(2α+β)
=sin2αcosβ+cos2αsinβ
知2α+β在一、二象限。
综上知2α+β在第一象限。
同理可确定2α-β在第三象限。
三. 挖掘隐含条件来确定
例3 已知cos(α－β)= 都是锐角，求cos(α+β)的值。
解析：由已知条件有
因为0＜sin2α=，
所以0＜2α＜，
所以0＜α＜。 ①
又因为0＜β＜，
所以＜-β＜0 。 ②
由①、②得＜α-β＜。
又因为cos（α-β）=，
所以。
=。
从而cos(α+β)
=cos[2α-(α-β)]
=cos2αcos(α-β)+sin2αsin(α-β)
评析：本例通过0＜sin2α= ，发现了隐含条件：0＜α＜，将α-β的范围缩小为，进而由cos(α-β)= ,将α-β的范围确定为，从而避免了增解。
例4 已知，且tanα,tnaβ是一元二次方程的两个根，求α+β的值。
解析：由已知条件得tanα+tanβ= ，
tanαtanβ=4＞0，
所以tnaα＜0，tanβ＜0。
又因为，
所以
所以-π＜α+β＜0。
又因为tan(α+β)=
=
所以α+β= 。
评析：本例根据韦达定理tanα+tanβ= ，tanαtanβ=4，挖掘出了隐含条件tanα＜0,tanβ＜0，知，，得出了α+β的确切范围，从而顺利求解。
总之，在处理两角和（差）范围问题时，要注意对题目条件加以研究，特别对隐含条件的挖掘，合理选用公式灵活处理。另外涉及多角和（差）的问题，亦可依照上面做法处理。

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