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秘密★启用前
2024年增城区初中毕业生学业综合测试试题（一）
九年级数学
（本试卷共三大题25小题，共6页，满分120分．考试时间120分钟）
注意事项：
1．答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、姓名、班级、座位号和考生号填写在答题卡相应的位置上，再用2B铅笔把考号的对应数字涂黑．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上，涉及作图的题目，用于2B铅笔画图；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，改动后的答案也不能超出指定的区域；不准使用铅笔（作图除外）、涂改液和修改带．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
5．考试时不可使用计算器．
第一部分 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 在实数，，，中，无理数是（　　）
A. B. C. D. 3.14
【答案】B
【解析】
【分析】根据无理数的特征，即可解答．
【详解】解：在实数，，，中，无理数是，
故选：B．
【点睛】本题考查了无理数的特征，即为无限不循环小数，熟知该概念是解题的关键．
2. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的概念，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解： A，B，C选项中的图形都能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
D选项中的图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：D．
3. 已知水星的半径约为24400000米，用科学记数法表示为（ ）
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
【答案】C
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：将数24400000米用科学记数法表示是米．
故选：C．
4. 某校即将举行田径运动会，小明从“跳高”“跳远”“100米”“400米”四个项目中，随机选择一项参赛，则他选择“100米”项目的概率是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析】本题考查了根据概率公式求概率，根据题意直接根据概率公式，即可求解．
【详解】解：四个项目中，随机选择一项参赛，则他选择“100米”项目的概率是,
故选：B．
5. 下列运算正确的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了合并同类项法则，同底数幂乘法法则，积的乘方法则，二次根式的加减运算，根据以上运算法则进行运算即可求解．
【详解】解：A. ，故该选项正确，符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：A．
6. 如图，在中，为的中点，连接，交于点，则等于（ ）
A. 1︰3 B. 2︰3 C. 2︰5 D. 1︰2
【答案】D
【解析】
【分析】根据四边形ABCD是平行四边形，证出△AEF∽△CBF，然后利用其对应边成比例即可求得答案．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴AF：CF=AE：BC，
∵点E为AD的中点，
∴AE=AD=BC，
∴AF：CF=1：2；
故选D．
【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．
7. 已知关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据题意可得，解不等式，即可求解．
【详解】解：依题意得，
即
解得
故选：B．
8. 如图，在中，．在同一平面内，将绕点A旋转到的位置，使得，则等于（ ）
A. 30 B. 35° C. 40° D. 50°
【答案】C
【解析】
【分析】旋转中心为点A，B与，C与分别是对应点，根据旋转的性质可知，旋转角，，再利用平行线的性质得，把问题转化到等腰中，根据内角和定理求．
【详解】解：∵，，
∴，
又∵C、为对应点，点A为旋转中心，
∴，即为等腰三角形，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的基本性质，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线的夹角为旋转角．同时考查了等边对等角，平行线的性质．
9. 如图，是的直径，是的弦，，垂足为，连接并延长，与过点的切线相交于点，连接．若的半径为5，，则的长是（ ）．
A. B. 13 C. D. 14
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质，正切的定义，直径所对的圆周角是直角；连接，勾股定理求得，进而求得，根据切线的性质得出，根据同弧所对的圆周角相等，进而得出，根据正切的定义，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵是的直径，
∴
∵的半径为5，，则
∴
∴
∵是过点的切线，则
∵
∴
∴
∴，即
∴
故选：C．
10. 已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（ ）．
A. 或4 B. 或 C. 或4 D. 或4
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的性质，分两种情况讨论，并且利用二次函数的性质即可解答．
【详解】解：二次函数的对称轴为：直线，
（1）当时，当时，随的增大而减小，当，随的增大而增大，
当时，取得最小值，
，
；
（2）当时，当时，随的增大而增大，当，随的增大而减小，
当时，取得最小值，
，
．
故选：D．
第二部分 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）
11. 分解因式：_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，直接提公因式即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
12. 已知点，在直线上，且，则_______·（填“”“”或“”）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的性质，根据当时，y随x的增大而减小，即可求解．
【详解】解：∵，
∴y随x的增大而减小，
∵，
∴．
故答案为：．
13. 某公司在2024年1月份的营业额为25万，3月份的营业额为36万，设该公司营业额的月平均增长率为，则可列方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该公司营业额的月平均增长率为，根据题意列出一元二次方程，即可求解．
【详解】解：设该公司营业额的月平均增长率为，根据题意得，，
故答案为：．
14. 抛物线的部分图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为，对称轴为，则抛物线与x轴的另一个交点坐标为是______．
【答案】
【解析】
【分析】利用抛物线的对称性求解即可得到答案．
【详解】解：抛物线其与x轴的一个交点坐标为，对称轴为，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为 ，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了抛物线的对称性，解题的关键在于能够熟练掌握抛物线与x轴的两个交点关于抛物线对称轴对称．
15. 如图，数轴上点、表示的数分别为、，化简：_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质，化简绝对值；根据数轴可得，进而根据绝对值的意义，二次根式的性质化简，即可求解．
【详解】解：根据数轴可得，
∴，
故答案为：．
16. 如图，在平行四边形中，，，，点为线段的中点．动点从点开始沿边以的速度运动至点，动点从点开始沿边以的速度运动至点．点、同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．作点关于直线的对称点，在点从点运动到点的过程中，点的运动路径长为______．
【答案】
【解析】
【分析】连接，延长交于点，设交于点，证明得出，进而得出当点点运动到点时，点运动到点，此时与重合，则与点重合，则的运动轨迹为，根据弧长公式即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，延长交于点，设交于点
∵在平行四边形中，，，，点为线段的中点．
∴，，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴
∴是等边三角形，
∵动点从点开始沿边以的速度运动至点，动点从点开始沿边以的速度运动至点
∴
∵
∴
∴
∴
∵，
∴
∴
∴，过点O，
∴点是的外心，
∴，
∵点关于直线的对称点，
∴，
∴当点点运动到点时，点运动到点，此时与重合，则与点重合，则的运动轨迹为
∴点运动路径长为
故答案为：．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 解方程组： ．
【答案】．
【解析】
【分析】利用加减消元将方程组化简成一元一次方程，即可得解其一，再将其代入任意一个方程即可得解．
【详解】解：
上下两方程相加，得，解得．
把代入中，得．
．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组；关键在于能利用加减消元或者代入消元的方法将其转化成一元一次方程的形式．
18. 如图，已知，平分，
求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查对全等三角形的判定，三角形的角平分线定义；根据角平分线的定义得出，根据即可证出答案．
【详解】证明：平分，
，
在和中
，
．
19. 春节放假期间，兴趣小组到某景点随机调查了10位游客一天使用共享电动车的次数，统计得到该10位游客一天使用共享电动车的次数如下：
使用次数
人数
（1）在这次调查中，该10位游客一天使用共享电动车次数的中位数为 ，众数为 ，平均数为 ．
（2）若春节放假期间，每天约有1200位游客到此景点，试估计这些游客在春节放假期间每天使用共享电动车的总次数．
【答案】（1），，
（2）
【解析】
【分析】本题考查了中位数、众数、平均数的概念以及利用样本平均数估计总体．
（1）根据中位数、众数和平均数的定义求解即可；
（2）用总人数乘以游客1天内使用共享电动车的次数的平均数，即可．
【小问1详解】
解：这10位游客1天内使用共享电动车的次数的中位数是，众数是2，平均数是
故答案为：，，．
【小问2详解】
估计这些游客在春节期间每天使用共享电动车的总次数为（次）
20 已知．
（1）化简；
（2）若，是方程的两个根，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题考查了整式的化简求值，一元二次方程根与系数的关系；
（1）原式根据完全平方公式，单项式乘以单项式进行计算，然后合并同类项，即可得到结果；
（2）利用根与系数的关系求出的值，代入计算即可求出值．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：∵，是方程的两个根，
∴
∴
21. 在学校开展的“劳动创造美好生活”主题活动中，八（1）班负责校园某绿化角的设计、种植与养护，同学们计划购买绿萝和吊兰两种绿植，已知吊兰的单价比绿萝的单价多5元，且用200元购买绿萝的盆数与用300元购买吊兰的盆数相同．
（1）求购买绿萝和吊兰的单价各是多少元？
（2）若购买绿萝的数量是吊兰数量的两倍，且资金不超过600元，则购买吊兰的数量最多是多少盆？
【答案】（1）购买绿萝的单价为10元，购买吊兰的单价为元
（2）购买吊兰的数量最多为17盆
【解析】
【分析】（1）设购买绿萝的单价为x元，则购买吊兰的单价为元，然后可得方程为，进而求解即可；
（2）设购买吊兰的数量为m盆，则购买绿萝的数量为盆，然后可列不等式进行求解．
【小问1详解】
解：设购买绿萝的单价为x元，则购买吊兰的单价为元，由题意得：
，
解得：，
经检验：当时，则，
∴是原方程的解，
∴，
答：购买绿萝的单价为10元，购买吊兰的单价为元；
【小问2详解】
解：设购买吊兰的数量为m盆，则购买绿萝的数量为盆，由（1）及题意得：
，
解得：，
∵m是整数，
∴m取最大值为17；
答：购买吊兰的数量最多为17盆．
【点睛】本题主要考查分式方程及一元一次不等式的应用，熟练掌握分式方程及一元一次不等式的应用是解题的关键．
22. 如图，四边形为正方形，点在轴上，点在轴上，且，，反比例函数，在第一象限的图象经过正方形的顶点．
（1）求点的坐标和反比例函数的解析式：
（2）若点为直线上的一动点（不与点重合），在轴上是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）点的坐标为；
（2）存在，或或
【解析】
【分析】（1）过点作轴于点，证明，根据全等三角形性质分别求出、，求出点的坐标，进而求出反比例函数解析式；
（2）过点作轴于点，同（1）得出点的坐标，进而求得的解析式，设，，又，，根据分别为对角线，根据中点坐标公式即可求解．
【小问1详解】
解：如图所示，过点作轴于点，
则，
四边形为正方形，
，，
，
，
，
在和中，
，，，
，
，，
，
点的坐标为，
将点的坐标为代入，
得，
∴反比例函数的关系式为；
【小问2详解】
解：如图所示，过点作轴于点，
同（1）可得，
∴
∴
设直线的解析式为，则
解得：，
∵点为直线上的一动点（不与点重合），点在轴
设，，又，
①当为对角线时，
解得：， 则
当为对角线时，
解得：， 则
当为对角线时，
解得：，则
综上所述：以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，或或．
【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
23. 如图，在中，是钝角．
（1）尺规作图：在上取一点，以为圆心，作出，使其过、两点，交于点，连接；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）所作的图中，若，，．
①求证：是的切线；
②求弦的长．
【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②
【解析】
【分析】（1）作出线段的垂直平分线确定圆心，再作出圆即可求解；
（2）①连接，得出，根据，结合已知条件得出，即可得证；
②先证明，得到，再利用勾股定理即可求解．
【小问1详解】
解：点D如图所示：
【小问2详解】
①证明：如图所示，连接，
∵是直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
又是半径，
∴是的切线；
②如图，
∵，，
∴，
∴，
∵直径，
∴
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∴．
【点睛】本题考查了作线段的垂直平分线，相似三角形的判定与性质，直径所对的圆周角是直角，勾股定理等知识，解题关键是正确作图并得出相似．
24. 在平面直角坐标系中，已知抛物线 （是常数），顶点为．
（1）用含的式子表示抛物线的对称轴；
（2）已知点，当点不在轴上时，点关于轴的对称点为点，分别过点、作轴的垂线，垂足分别为、，连接，得到矩形．
①当时，点到边所在直线的距离等于点到轴的距离，求的值；
②当时，抛物线的一部分经过矩形的内部，这部分抛物线上的点的纵坐标随着的增大而减小，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）①或；；②或
【解析】
【分析】此题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与矩形的综合应用；
（1）化为顶点式，求解即可；
（2）①分两种情况，顶点在上方或下方时，根据题意，列出关于的方程，求解即可；
②分为两种情况，当点分别在对称轴的左右两侧时，根据题意，列出不等式，求解即可．
【小问1详解】
解：
∴抛物线的对称轴为直线，
【小问2详解】
解：①
∴
到轴的距离为
点到边所在直线的距离
∵
∴，即
当时，
解得或（舍去）
当时，
解得或（舍去）
则或；；
②由题意可得：
当时，
当点分别在对称轴的左侧时，如下图：
此时需要满足的条件为：，解得
当点分别在对称轴的右侧时，如下图：
此时需要满足的条件为：，解得
综上：或
25. 如图，在等腰直角三角形中，，点在边的延长线上，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，为的中点．
（1）求的长；
（2）连接，请猜想与的数量和位置关系，并证明你的结论；
（3）在（2）的条件下，若点为中点，连接，，求的最小值．
【答案】（1）
（2），，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据勾股定理，即可求解；
（2）连接，，先证明三点共线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，进而证明四点共圆，根据圆周角定理，即可得出；
（3）过点作于点，先证明四点共圆，进而得出点的轨迹，得出，作点关于的对称点，连接，当点在上时，，此时取的最小值，进而勾股定理，即可求解．
【小问1详解】
解：∵在等腰直角三角形中，，
∴，
【小问2详解】
结论：，
证明：如图所示，连接，，
∵将线段绕点逆时针旋转得到线段，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴
又∵
∴三点共线，
∵为的中点．
∴，
∴
∵
∴四点共圆，
∵，
∴，
【小问3详解】
如图所示，过点作于点
∴
∴四点共圆，
∴
∴，
∴点在射线上运动，
∵
∴
作点关于的对称点，连接，当点在上时，，此时取的最小值，
∵是等腰直角三角形，是的中点，
∴，，
∴
在中，
即的最小值为．
【点睛】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，圆周角定理，直角所对的弦是直径，轴对称的性质求线段和的最值问题，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握以上知识是解题的关键．秘密★启用前
2024年增城区初中毕业生学业综合测试试题（一）
九年级数学
（本试卷共三大题25小题，共6页，满分120分．考试时间120分钟）
注意事项：
1．答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、姓名、班级、座位号和考生号填写在答题卡相应的位置上，再用2B铅笔把考号的对应数字涂黑．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上，涉及作图的题目，用于2B铅笔画图；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，改动后的答案也不能超出指定的区域；不准使用铅笔（作图除外）、涂改液和修改带．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保证答题卡整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
5．考试时不可使用计算器．
第一部分 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 在实数，，，中，无理数是（　　）
A B. C. D. 3.14
2. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）．
A. B. C. D.
3. 已知水星的半径约为24400000米，用科学记数法表示为（ ）
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
4. 某校即将举行田径运动会，小明从“跳高”“跳远”“100米”“400米”四个项目中，随机选择一项参赛，则他选择“100米”项目的概率是（ ）．
A. B. C. D.
5. 下列运算正确的是（ ）．
A. B. C. D.
6. 如图，在中，为的中点，连接，交于点，则等于（ ）
A 1︰3 B. 2︰3 C. 2︰5 D. 1︰2
7. 已知关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
8. 如图，在中，．在同一平面内，将绕点A旋转到的位置，使得，则等于（ ）
A 30 B. 35° C. 40° D. 50°
9. 如图，是的直径，是的弦，，垂足为，连接并延长，与过点的切线相交于点，连接．若的半径为5，，则的长是（ ）．
A. B. 13 C. D. 14
10. 已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（ ）．
A. 或4 B. 或 C. 或4 D. 或4
第二部分 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）
11. 分解因式：_______．
12. 已知点，在直线上，且，则_______·（填“”“”或“”）
13. 某公司在2024年1月份的营业额为25万，3月份的营业额为36万，设该公司营业额的月平均增长率为，则可列方程为______．
14. 抛物线的部分图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为，对称轴为，则抛物线与x轴的另一个交点坐标为是______．
15. 如图，数轴上点、表示的数分别为、，化简：_______．
16. 如图，在平行四边形中，，，，点为线段的中点．动点从点开始沿边以的速度运动至点，动点从点开始沿边以的速度运动至点．点、同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．作点关于直线的对称点，在点从点运动到点的过程中，点的运动路径长为______．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 解方程组： ．
18. 如图，已知，平分，
求证：．
19. 春节放假期间，兴趣小组到某景点随机调查了10位游客一天使用共享电动车的次数，统计得到该10位游客一天使用共享电动车的次数如下：
使用次数
人数
（1）在这次调查中，该10位游客一天使用共享电动车次数的中位数为 ，众数为 ，平均数为 ．
（2）若春节放假期间，每天约有1200位游客到此景点，试估计这些游客在春节放假期间每天使用共享电动车的总次数．
20. 已知．
（1）化简；
（2）若，是方程的两个根，求的值．
21. 在学校开展的“劳动创造美好生活”主题活动中，八（1）班负责校园某绿化角的设计、种植与养护，同学们计划购买绿萝和吊兰两种绿植，已知吊兰的单价比绿萝的单价多5元，且用200元购买绿萝的盆数与用300元购买吊兰的盆数相同．
（1）求购买绿萝和吊兰的单价各是多少元？
（2）若购买绿萝的数量是吊兰数量的两倍，且资金不超过600元，则购买吊兰的数量最多是多少盆？
22. 如图，四边形为正方形，点在轴上，点在轴上，且，，反比例函数，在第一象限的图象经过正方形的顶点．
（1）求点坐标和反比例函数的解析式：
（2）若点为直线上的一动点（不与点重合），在轴上是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
23. 如图，在中，是钝角．
（1）尺规作图：在上取一点，以为圆心，作出，使其过、两点，交于点，连接；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）所作的图中，若，，．
①求证：是的切线；
②求弦的长．
24. 在平面直角坐标系中，已知抛物线 （是常数），顶点为．
（1）用含的式子表示抛物线的对称轴；
（2）已知点，当点不在轴上时，点关于轴的对称点为点，分别过点、作轴的垂线，垂足分别为、，连接，得到矩形．
①当时，点到边所在直线的距离等于点到轴的距离，求的值；
②当时，抛物线的一部分经过矩形的内部，这部分抛物线上的点的纵坐标随着的增大而减小，求的取值范围．
25. 如图，在等腰直角三角形中，，点在边的延长线上，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，为的中点．
（1）求的长；
（2）连接，请猜想与的数量和位置关系，并证明你的结论；
（3）在（2）的条件下，若点为中点，连接，，求的最小值．

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