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平面向量的数量积典例精析
四川 谭森
例1 平面内有向量，点X为直线OP上的一个动点。
（1）当的坐标；
（2）当点X满足（1）的条件和结论时，求cosAXB的值。
分析：因为点X在直线OP上，向量共线，可以得到关于坐标的一个关系式；再根据的最小值，求得；而cosAXB是向量夹角的余弦，利用数量积的知识容易解决。
解：（1）设
又
于是
由二次函数的知识，可知当y＝2时，有最小值-8。此时；
（2）当，即y＝2时，有，，。
说明：由于X是OP上的动点，则向量均是不确定的，它们的模和方向均是变化的，于是它们的数量积也处在不确定的状态，这个数量积由的模及它们的夹角三个要素同时决定，由解题过程即可以看出它们都是变量y的函数。
另外，求出的坐标后，可直接用坐标公式求这两个向量夹角的余弦值。
例2 设平面内有两个向量。
（1）证明；
（2）若两个向量与的模相等，求。
分析：题目的条件及所求结论均非常明确，只要能得到，即可证明（1），再利用||与||相等，确定的值。
证明：（1）
（2）
由已知，可得到
注意到
于是（*）式化为。由于
说明：由解题过程可知a与b均是单位向量，由向量加法的平行四边形法则，可知是以a，b为邻边的平行四边形两条对角线，从（1）中，垂直，可知这个平行四边形是菱形，而由（2）知时，a与b的夹角为，因此。故，又，有（为a与b的夹角）。这时。此时由a及b为邻边组成的四边形是正方形。

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