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浅谈“构造法”解题
余国清
一. 构造函数解题
例1. （1）在实数范围内解。
（2）解不等式
方程与不等式都是高次的，展开求解是不现实的。根据其自身特点，分别作适当的变形，然后构造函数，再利用函数的有关性质求解。
（1）原方程变形为。
设函数，上述方程即为。
由于在上是单调增函数，故若，则必有成立。因此，即，故原方程有唯一解。
（2）设，，易证f(x)在区间上为增函数。
，
为奇函数，从而f(x)在区间上为增函数，
原不等式可化为，即，即。
点评：函数的单调性和奇偶性是函数的两个十分重要的性质，要熟练掌握函数的图象的几何特征和代数含义，它们在研究方程、不等式中经常用到。
二. 构造一元二次方程解题
例2. 已知三内角A、B、C的大小成等差数列，且，求A、B、C的大小。
由题知，联想到，由A、B、C成等差数列，得，故。
是方程的两根，得。当A点评：由根与系数的关系来构造一元二次方程是最常见的思路，不可忽视。
三. 构造数列解题
例3. 已知，求满足的正整数n的取值范围。
解析：
因此可知数列是以为首项，以为公比的等比数列。
。
，得。所求n的取值范围是。
点评：有一些与数列有关的问题或看似无关的问题（变量为正整数的函数），通过巧妙地构造出一个数列，其问题的本质能更好地凸显出来，并能用数列的有关知识较简捷地解答。
四. 构造几何图形解题
例4. 试证：对任何，都有
，当有仅当时等号成立。
观察题目特点，从联想到余弦定理，可以构造三角形，同理，另两个根式也可构造三角形，利用几何图形进行证明。
根据题意构造图形（如上图），其中AB=a，BC=c，BD=b，，由余弦定理得：
在中，，则。但当A、D、C三点共线时等号成立，此时，，即。
，即
点评：本题若不构造一个三角形，而是运用三角知识解题，直接将两边平方，则无论是用综合法还是分析法，不仅计算过程十分复杂，而且很不容易说明。
例5. 设关于的方程在区间（0，）内有相异的两个实根。求实数a的取值范围。
设，则由题设知，直线与圆有两个不同的交点A（）和B（）。
即原点O到直线的距离小于1，即。
解得：。
又因为、，且，直线不过点（1，0），即。
所以，即
点评：将代数问题构造平面图形后，用平面解析几何的有关知识解题，实际上是数形结合思想的灵活应用。

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