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巧构造 妙解题
高琴
1. 直接构造
例1. 求函数的值域。
分析：由于可以看作定点（2，3）与动点（-cosx，sinx）连线的斜率，故f(x)的值域即为斜率的最大、最小值。
解：令，则表示单位圆
表示连接定点P（2，3）与单位圆上任一点（，）所得直线的斜率。
显然该直线与圆相切时，k取得最值，此时，圆心（0，0）到这条直线的距离为1，即
所以
故
例2. 已知三条不同的直线，，共点，求的值。
分析：由条件知为某一元方程的根，于是想法构造出这个一元方程，然后用韦达定理求值。
解：设（m，n）是三条直线的交点，则可构造方程，即
（*）
由条件知，均为关于的一元三次方程（*）的根。
由韦达定理知
2. 由条件入手构造
例3. 已知实数x，y，z满足，求证：
分析：由已知得，以x，y为根构造一元二次方程，再由判别式非负证得结论。
解：构造一元二次方程
其中x，y为方程的两实根
所以
即
故△＝0，即
3. 由结论入手构造
例4. 求证：若，，则
分析：待证式的左边求和的分母是三次式，为降低分母次数，构造一个恒不等式。
所以左边
故原式得证。
例5. 已知实数x，y满足，求证：
分析：要证原式成立，即证
即证
由三角函数线知可构造下图，此时不等式右边为图中三个矩形的面积之和，而单位圆的面积为，所以
故结论成立。

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