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山东省济南市2024年中考数学模拟卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．如图所示，水平放置的几何体的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
2．中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划，“一带一路”地区覆盖总人口约为4500000000人，将这个数用科学计数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．已知直线，将一块含角的直角三角板按如图方式放置．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．有理数a，b在数轴上的对应位置如图所示，下列选项正确的是（　　）

A． B． C． D．
5．如图，在平面内将三角形标志绕其中心旋转后得到的图案（ ）
A． B． C． D．
6．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．已知反比例函数的图象上有点，则关于大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．某校开展“龙的传人”演讲比赛，每班选两名选手参加比赛，九（）班的小华，小丽，小军，小明积极报名参赛，从他们人中选名参赛，选中小华和小军的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，四边形是菱形，按以下步骤作图：①以顶点为圆心，长为半径作弧，交于点；②分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接，若，菱形的面积为，则（ ）
A． B． C． D．
10．定义：在平面直角坐标系中，点的横、纵坐标的绝对值之和叫做点的勾股值，记．若抛物线与直线只有一个交点，已知点在第一象限，且，令，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
11．因式分解：x2﹣3x= ．
12．如图，飞镖游戏板由含大小相等的等腰直角三角形格子构成，小东向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是 ．
13．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
14．如图，将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则阴影部分的面积为 ．
15．澄波湖公园有一条笔直的健身跑道，每天有很多市民在此晨练，成为济阳区一道靓丽的风景．每天早晨小红与父亲匀速跑步，已知父女俩起点、终点均相同，起点与终点间的距离为，约定先到终点的原地休息等待另一个人．已知小红先出发，如图两人之间的距离与父亲出发的时间的函数关系如图所示，父女两人之间的距离为时，父亲出发的时间x为 s．
16．如图，在矩形中，，，点、分别为、边上的点，且的长为2，点为的中点，点为上一动点，则的最小值为 ．
三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（6分）计算：．
18．（6分）解不等式组：，并写出它的所有整数解．
19．（6分）如图，在中，，点E，F在边上，，延长至点D，使．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
20．（8分）图1是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，已知，，，该车的高度．如图2，打开后备箱，车后盖落在处，与水平面的夹角．

(1)求打开后备箱后，车后盖最高点到地面的距离；
(2)若小琳爸爸的身高为，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险 请说明理由．
（结果精确到，参考数据：，，，）
21．（8分）某校劳动实践小组为了解全校1800名学生参与家务劳动的情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，形成了如下调查报告：
我市某校学生参与家务劳动情况调查报告
调查主题 学生参与家务劳动情况
调查方式 抽样调查 调查对象 学校学生
数据的收集、整理与描述 第一项 你日常家务劳动的参与程度是（单选） A．天天参与； B．经常参与； C．偶尔参与； D．几乎不参与．
第二项 你日常参与的家务劳动项目是（可多选） E．扫地抹桌； F．厨房帮厨； G．整理房间； H．洗晒衣服．
第三项 … …
调查结论 …
请根据以上调查报告，解答下列问题：
(1)参与本次抽样调查的学生有__________人；
(2)若将上述报告第一项的条形统计图转化为相对应的扇形统计图，求扇形统计图中选项“天天参与”对应扇形的圆心角度数；
(3)估计该校1800名学生中，参与家务劳动项目为“整理房间”的人数；
(4)如果你是该校学生，为鼓励同学们更加积极地参与家务劳动，请你面向全体同学写出一条倡议．
22．（8分）如图，是的直径，点是上的一点，与的延长线交于点，，．

(1)求证：是的切线；
(2)过点作于点，若的半径为，求图中阴影部分的面积．
23．（10分）某超市计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售．经了解，每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多2元，用1000元购进甲种粽子的个数与用1200元购进乙种粽子的个数相同．
(1)甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？
(2)该超市计划购进这两种粽子共200个（两种都有），其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，若甲、乙两种粽子的售价分别为12元/个、15元/个，设购进甲种粽子m个，两种粽子全部售完时获得的利润为W元．
①求W与m的函数关系式；
②超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？
24．（10分）探究：是否存在一个新矩形，使其周长和面积为原矩形的2倍、倍、k倍？
(1)若该矩形是边长为2的正方形，是否存在一个正方形，使其周长和面积都是它的2倍？___（填“存在”或“不存在”）．
(2)继续探究，若该矩形长为3，宽为2，是否存在一个矩形，使其周长和面积都为该矩形的2倍？小明同学有以下思路：设新矩形长和宽为x、y，则依题意，，联立得再探究根的情况：小慧同学认为：也可用反比例函数与一次函数图象证明，如图：则是否存在一个新矩形为原矩形周长和面积的2倍？请你结合小明和小慧的思路做出判断并说明理由．
(3)根据此方法，请你探究是否存在一个新矩形，使其周长和面积都为这个长为3，宽为2的矩形的倍？若存在，用图象表达；
(4)是否存在一个新矩形，使其周长和面积为长为3，宽为2的矩形的k倍？请写出当结论成立时k的取值范围．
25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x，y轴交于点A，B，抛物线恰好经过这两点．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)若点C的坐标是，将绕着点C逆时针旋转90°得到，点A的对应点是点E．
①写出点E的坐标，并判断点E是否在此抛物线上；
②若点P是y轴上的任一点，求取最小值时，点P的坐标．
26．（12分）如图1，将三角板放在正方形上，使三角板的直角顶点 E与正方形的顶点 A 重合，三角扳的一边交于点F，另一边交的延长线于点G．
(1)求证： ；
(2)如图2，移动三角板，使顶点 E始终在正方形的对角线上，其他条件不变，（1） 中的结论是否仍然成立？ 若成立，请给予证明：若不成立． 请说明理由：
(3)如图3， 将（2） 中的“正方形”改为“矩形”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若 求 的值．山东省济南市2024年中考数学模拟卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．如图所示，水平放置的几何体的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用空间思维结合几何体左视图的看法找出正确答案即可.
【详解】该几何体从左面看可得到一个带有虚线的矩形.
故选：D.
【点睛】此题考查了学生对几何体三视图的理解，掌握几何体三视图的画法是解题的关键.
2．中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划，“一带一路”地区覆盖总人口约为4500000000人，将这个数用科学计数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法求解即可．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．
【详解】．
故选：C．
3．已知直线，将一块含角的直角三角板按如图方式放置．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了平行线的性质，过点C作，则，根据两直线平行，同位角相等，得出，进而得出，最后根据两直线平行，内错角相等，得出．
【详解】解：过点C作，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
4．有理数a，b在数轴上的对应位置如图所示，下列选项正确的是（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据数轴上有理数的位置，计算判断即可．本题考查了数轴上表示有理数，借助数轴进行数或式子的大小比较，符号确定，熟练掌握数轴上大小比较的原则是解题的关键．
【详解】∵，，
∴，，，
故A，C，D都是错误的，B是正确的，
故选B．
5．如图，在平面内将三角形标志绕其中心旋转后得到的图案（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据旋转的性质可进行求解．
【详解】解：由旋转的性质可知只有D选项符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查旋转，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
6．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据幂的乘方法、同底数幂的除法法则、同底数幂的乘法以及合并同类项逐项判断即可．
【详解】解：A．，故A选项计算正确，符合题意；
B．，故B选项计算错误，不合题意；
C．，故C选项计算错误，不合题意；
D．与不是同类项，所以不能合并，故D选项计算错误，不合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查同底数幂的乘除运算、幂的乘方运算以及整式的加减运算等知识点，同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减；幂的乘方，底数不变，指数相乘．
7．已知反比例函数的图象上有点，则关于大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，画出函数图象，即可求解．
【详解】解：函数图象如下：
点、在轴右侧且随的增大而增大，
故；
点在轴的左侧，函数值为正，
故，
故选：D．
8．某校开展“龙的传人”演讲比赛，每班选两名选手参加比赛，九（）班的小华，小丽，小军，小明积极报名参赛，从他们人中选名参赛，选中小华和小军的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率，画出树状图，根据树状图即可求解，掌握树状图或列表法是解题的关键．
【详解】解：设小华、小丽、小军、小明分别用表示，
画树状图如下：
由树状图可得，共有种等结果，其中选中小华和小军的有种，
∴选中小华和小军的概率是，
故选：．
9．如图，四边形是菱形，按以下步骤作图：①以顶点为圆心，长为半径作弧，交于点；②分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接，若，菱形的面积为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查尺规作图作高线、菱形性质及面积公式以及三角函数，解题的关键是过点作交于点，根据矩形的判定和性质，则四边形是矩形，则，；根据菱形的性质，则，根据，求出，；根据勾股定理求出，推出，根据，即可．
【详解】由作图可知，，，，
过点作交于点，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
10．定义：在平面直角坐标系中，点的横、纵坐标的绝对值之和叫做点的勾股值，记．若抛物线与直线只有一个交点，已知点在第一象限，且，令，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二次函数综合题，解题的关键是理解题意，学会把问题转化为方程或方程组解决，学会构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题．
先联立并转化为一元二次方程，利用根的判别式得到，再表示交点的坐标，利用确定，最后把转化为，求解即可．
【详解】由题意得方程组只有一组实数解，
消去y得，
由题意，
∴，
∴，
∴用方程可以化为，
∴，
∴，
∵且，
∴或，
解得：或，
∵点C在第一象限，
∴，
∵
∵
∴．
故选：D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
11．因式分解：x2﹣3x= ．
【答案】x（x﹣3）
【详解】试题分析：提取公因式x即可，即x2﹣3x=x（x﹣3）．
考点：因式分解.
12．如图，飞镖游戏板由含大小相等的等腰直角三角形格子构成，小东向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是 ．
【答案】/
【分析】本题考查了几何概率，熟练掌握概率的计算公式是解题的关键，注意数量之比就是几何概率，因此求出黑色三角形的数量与三角形的总数量之比即可．
【详解】因为飞镖游戏板由大小相等的等腰直角三角形格子构成．
所以黑色三角形有个，总三角形有个．
则黑色三角形的数量与三角形的总数量之比为：．
即小东向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是：．
故答案为：．
13．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个不相等的实数根，得到，列出不等式进行求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴；
故答案为：．
14．如图，将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查图形的平移，掌握图形平移求线段长度的方法是解题的关键．
根据图形移动可求出，的长，根据几何图形面积的计算方法即可求解．
【详解】解：由题意可得，阴影部分是矩形，长，宽，
∴阴影部分的面积，
故答案为：．
15．澄波湖公园有一条笔直的健身跑道，每天有很多市民在此晨练，成为济阳区一道靓丽的风景．每天早晨小红与父亲匀速跑步，已知父女俩起点、终点均相同，起点与终点间的距离为，约定先到终点的原地休息等待另一个人．已知小红先出发，如图两人之间的距离与父亲出发的时间的函数关系如图所示，父女两人之间的距离为时，父亲出发的时间x为 s．
【答案】120或240
【分析】本题考查一次函数的实际应用，通读题干看清楚两个变量分别代表的实际意义，理解图中所给的关键点代表的实际意义，结合问题及图象用一次函数表达式或线段图列式计算．考查一次函数的应用及分类讨论的数学思想方法．由路程除以时间可得小红的速度为，父亲的速度为；父亲追上小红所需时间为，即得的坐标为，求出坐标是，的坐标为，用待定系数法可得所在直线的解析式为；求出直线解析式为，分别令，算出的值即可作答．
【详解】解：由函数图象可得：小红的速度为，父亲的速度为，
∵父亲追上小红所需时间为，
的坐标为，
当父亲出发的时间时，
两人之间的距离，
坐标是，
小红到达终点所需时间为，，
的坐标为，
设所在直线的解析式为，把，代入得：
，
解得，
所在直线的解析式为；
设直线解析式为
由，可得
解得
∴直线解析式为，
如图：
把代入，得出；
把代入，得出，解得
故答案为：120或240
16．如图，在矩形中，，，点、分别为、边上的点，且的长为2，点为的中点，点为上一动点，则的最小值为 ．
【答案】/
【分析】作点A关于的对称点H，连接，，，，，可知当H、P、G、D共线时，最小，求出、长即可．
【详解】解：作点A关于的对称点H，连接，，，，，，
∵，
∴当H、P、G、D共线时，最小，
∵，，
∴，，
∵的长为2，点为的中点，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了利用轴对称求最短路径，解题关键利用轴对称和直角三角形的性质确定最短路径．
三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：．
【答案】．
【分析】本题考查了化简绝对值，负整数指数幂的运算，零指数幂运算和三角函数值的运算，先化简绝对值，负整数指数幂的运算，零指数幂运算和三角函数值的运算，再进行实数的运用即可，熟练掌握运用法则是解题的关键．
【详解】
解：原式，
．
18．（6分）解不等式组：，并写出它的所有整数解．
【答案】，整数解为0，1，2
【分析】分别求解两个不等式，再写出解集，最后求出满足条件的整数解即可．
【详解】解：解不等式①，得，
解不等式②，得，
在同一条数轴上表示不等式①②的解集，

原不等式组的解集是，
∴整数解为0，1，2．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式组的方法和步骤，以及写出不等式组解集的口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”．
19．（6分）如图，在中，，点E，F在边上，，延长至点D，使．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据等边对等角可得，，即可证明结论；
（2）根据全等三角形的性质可得，再根据即可求解．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，，
∴，
∴
（2）解：∵，由（1）得：
∴，
∵，
∴
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定、等边对等角、三角形外角性质，三角形内角和定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
20．（8分）图1是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，已知，，，该车的高度．如图2，打开后备箱，车后盖落在处，与水平面的夹角．

(1)求打开后备箱后，车后盖最高点到地面的距离；
(2)若小琳爸爸的身高为，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险 请说明理由．
（结果精确到，参考数据：，，，）
【答案】(1)车后盖最高点到地面的距离为
(2)没有危险,详见解析
【分析】（1）作，垂足为点，先求出的长，再求出的长即可；
（2）过作，垂足为点，先求得，再得到，再求得，从而得出到地面的距离为，最后比较即可．
【详解】（1）如图，作，垂足为点

在中
∵，
∴
∴
∵平行线间的距离处处相等
∴
答：车后盖最高点到地面的距离为．
（2）没有危险，理由如下：
过作，垂足为点

∵，
∴
∵
∴
在中，
∴．
∵平行线间的距离处处相等
∴到地面的距离为．
∵
∴没有危险．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是解题的关键．
21．（8分）某校劳动实践小组为了解全校1800名学生参与家务劳动的情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，形成了如下调查报告：
我市某校学生参与家务劳动情况调查报告
调查主题 学生参与家务劳动情况
调查方式 抽样调查 调查对象 学校学生
数据的收集、整理与描述 第一项 你日常家务劳动的参与程度是（单选） A．天天参与； B．经常参与； C．偶尔参与； D．几乎不参与．
第二项 你日常参与的家务劳动项目是（可多选） E．扫地抹桌； F．厨房帮厨； G．整理房间； H．洗晒衣服．
第三项 … …
调查结论 …
请根据以上调查报告，解答下列问题：
(1)参与本次抽样调查的学生有__________人；
(2)若将上述报告第一项的条形统计图转化为相对应的扇形统计图，求扇形统计图中选项“天天参与”对应扇形的圆心角度数；
(3)估计该校1800名学生中，参与家务劳动项目为“整理房间”的人数；
(4)如果你是该校学生，为鼓励同学们更加积极地参与家务劳动，请你面向全体同学写出一条倡议．
【答案】(1)200
(2)
(3)1494人
(4)请各位同学们在家可以多帮助父母扫地抹桌和洗晾衣服等力家务事（合理即可）
【分析】本题考查了条形统计图，样本估计总体和扇形的圆心角度数．
（1）把第一项的条形统计图中各组数据相加得到调查的总人数；
（2）用乘以A组人数所占的百分比即可；
（3）用1800乘以“整理房间”的人数所占的百分比即可；
（4）可从日常参与的家务劳动项目少的方面倡议即可．
【详解】（1）解：
故参与本次抽样调查的学生有200人，
故答案为：200．
（2）
故扇形统计图中选项“天天参与”对应扇形的圆心角度数为．
（3）（人），
该校1800名学生中，参与家务劳动项目为“整理房间”的人数为1494人．
（4）请各位同学们在家可以多帮助父母扫地抹桌和洗晾衣服等力家务事（合理即可）
22．（8分）如图，是的直径，点是上的一点，与的延长线交于点，，．

(1)求证：是的切线；
(2)过点作于点，若的半径为，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（）连接，利用等边对等角求得，，利用三角形内角和定理求得，即可证明是的切线；
（）利用勾股定理和直角三角形的性质分别求出及，再根据即可求解；
此题考查了切线的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，不规则图形的面积计算，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】（1）证明：连接，

∵，
∴，
∵，
∴，
在中，由三角形内角和得，
，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
（2）解：由（）得，
∴为直角三角形，
∵，，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴
，
，
∴图中阴影部分的面积．
23．（10分）某超市计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售．经了解，每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多2元，用1000元购进甲种粽子的个数与用1200元购进乙种粽子的个数相同．
(1)甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？
(2)该超市计划购进这两种粽子共200个（两种都有），其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，若甲、乙两种粽子的售价分别为12元/个、15元/个，设购进甲种粽子m个，两种粽子全部售完时获得的利润为W元．
①求W与m的函数关系式；
②超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？
【答案】(1)每个甲种粽子的进价为10元，每个乙种粽子的进价为12元
(2)①；②购进甲种粽子134个，乙种粽子66个时利润最大，最大利润为466元
【分析】本题考查一次函数和分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式和分式方程．
（1）设每个甲种粽子的进价为x元，则每个乙种粽子的进价为（x+2）元，根据用1000元购进甲种粽子的个数与用1200元购进乙种粽子的个数相同，列出方程，解方程即可，注意验根；
（2）①设购进甲种粽子m个，则购进乙种粽子（200﹣m）个，全部售完获得利润为w元，根据总利润＝甲、乙两种粽子利润之和列出函数解析式；
②根据甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍求出m的取值范围，再根据函数的性质求最值，并求出相应的方案．
【详解】（1）解：设每个甲种粽子的进价为x元，则每个乙种粽子的进价为元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的根，
此时，
答：每个甲种粽子的进价为10元，每个乙种粽子的进价为12元；
（2）解：①设购进甲种粽子m个，则购进乙种粽子个，根据题意得：
，
∴W与m的函数关系式为；
②∵甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，
∴，
解得
∴（m为正整数）；
由①知，，
∵，
∴当时，W有最大值，最大值为466，
此时，
∴购进甲种粽子134个，乙种粽子66个时利润最大，最大利润为466元．
24．（10分）探究：是否存在一个新矩形，使其周长和面积为原矩形的2倍、倍、k倍？
(1)若该矩形是边长为2的正方形，是否存在一个正方形，使其周长和面积都是它的2倍？___（填“存在”或“不存在”）．
(2)继续探究，若该矩形长为3，宽为2，是否存在一个矩形，使其周长和面积都为该矩形的2倍？小明同学有以下思路：设新矩形长和宽为x、y，则依题意，，联立得再探究根的情况：小慧同学认为：也可用反比例函数与一次函数图象证明，如图：则是否存在一个新矩形为原矩形周长和面积的2倍？请你结合小明和小慧的思路做出判断并说明理由．
(3)根据此方法，请你探究是否存在一个新矩形，使其周长和面积都为这个长为3，宽为2的矩形的倍？若存在，用图象表达；
(4)是否存在一个新矩形，使其周长和面积为长为3，宽为2的矩形的k倍？请写出当结论成立时k的取值范围．
【答案】(1)不存在
(2)存在，见详解
(3)不存在
(4)存在，
【分析】本题以求矩形的周长和面积为背景，考查了学生对二元方程组的解法掌握情况和一次函数与反比例函数图象的关系．在解方程组的时候选用消元法，借助根的判别式的值可以快速得到结果．
（1）由已知正方形得到周长和面积分别扩大2倍后的正方形边长，两边长不相等，故不存在；
（2）小明同学思路：设新矩形的长和宽，然后列出方程组，通过解方程组判断结果；小慧同学思路：根据图象得出结论；
（3）结合（1）中结果，画出图象表达；
（4）利用求的取值范围．
【详解】（1）由题意得，给定正方形的周长为8，面积为4，
若存在新正方形满足条件，则新正方形的周长为16，面积为8，
对应的边长为：4和，不符合题意，
∴不存在新正方形的周长和面积是边长为2的正方形的2倍．
故答案为：不存在．
（2）小明同学思路：
设新矩形长和宽为、，则依题意，
联立，得：，
∴
∴此方程有两个不相等的解，
∴存在新矩形使得其周长和面积为原矩形的2倍．
小慧同学思路：
从图象看来，函数和函数图象在第一象限有两个交点，
∴存在新矩形，使得周长和面积是原矩形的2倍．
故答案为：存在．
（3）设新矩形长和宽为、，则依题意，
从图象看来，函数和函数图象在第一象限没有交点，
∴不存在新矩形，使得周长和面积是原矩形的倍．
（4）设新矩形长和宽为、，则依题意，
联立，得：
设方程的两根为，
当时，，
解得：或 (舍)，
∴时，存在新矩形的周长和面积均为原矩形的倍．
25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x，y轴交于点A，B，抛物线恰好经过这两点．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)若点C的坐标是，将绕着点C逆时针旋转90°得到，点A的对应点是点E．
①写出点E的坐标，并判断点E是否在此抛物线上；
②若点P是y轴上的任一点，求取最小值时，点P的坐标．
【答案】(1)
(2)①点E在抛物线上；②P（0， ）
【分析】（1）先求出A、B坐标，然后根据待定系数法求解即可；
（2）①根据旋转的性质求出EF=AO=3，CF=CO=6，从而可求E的坐标，然后把E的坐标代入（1）的函数解析式中，从而判断出点E是否在抛物线上；
②过点E作EH⊥AB，交y轴于P，垂足为H，，则，得，可知HP＋PE的最小值为EH的长，从而解决问题．
【详解】（1）解：当x=0时，y=-4，
当y=0时，，
∴x=-3，
∴A（-3，0），B（0，-4），
把A、B代入抛物线，
得，
∴，
∴抛物线解析式为．
（2）解：①∵A（-3，0），C（0，6），
∴AO=3，CO=6，
由旋转知：EF=AO=3，CF=CO=6，∠FCO=90°
∴E到x轴的距离为6-3=3，
∴点E的坐标为（6，3），
当x=3时，，
∴点E在抛物线上；
②过点E作EH⊥AB，交y轴于P，垂足为H，
∵A（ 3，0），B（0， 4），
∴OA＝3，OB＝4，
∴AB＝5，
∵，
∴，
∴，
∴HP＋PE的最小值为EH的长，
作EG⊥y轴于G，
∵∠GEP＝∠ABO，
∴tan∠GEP＝tan∠ABO，
∴，
∴，
∴，
∴OP＝ 3＝，
∴P（0， ）．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，旋转的性质，三角函数，两点之间、线段最短等知识，利用三角函数将转化为HP的长是解题的关键．
26．（12分）如图1，将三角板放在正方形上，使三角板的直角顶点 E与正方形的顶点 A 重合，三角扳的一边交于点F，另一边交的延长线于点G．
(1)求证： ；
(2)如图2，移动三角板，使顶点 E始终在正方形的对角线上，其他条件不变，（1） 中的结论是否仍然成立？ 若成立，请给予证明：若不成立． 请说明理由：
(3)如图3， 将（2） 中的“正方形”改为“矩形”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若 求 的值．
【答案】(1)见解析
(2)成立，见解析
(3)2
【分析】此题考查了正方形，矩形的性质，以及全等三角形与相似三角形的判定与性质．此题综合性较强，注意数形结合思想的应用．
（1）由，，可得，又由正方形的性质，可利用证得，则问题得证；
（2）首先过点分别作、的垂线，垂足分别为、，然后利用证得，则问题得证；
（3）首先过点分别作、的垂线，垂足分别为、，易证得，，则可证得，，又由有两角对应相等的三角形相似，证得，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．
【详解】（1）证明：正方形中，
∵
，，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：成立．证明：
如图，过点作于，过点作于，
四边形为正方形，
平分，
又，，
，
四边形是正方形，
，
，，
，
，
；
（3）如图，过点作于，过点作于，垂足分别为、，
则，
，，
，，
，，
，即，
，
，
，
，
，
．

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