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浙教版八年级下册数学第五章练习卷
一、选择题
1．下列说法正确的是 （　　）
A．矩形的对角线相等且互相垂直 B．菱形的对角线相等
C．正方形的对角线相等 D．菱形的四个角都是直角
2．如图，四边形ABCD是平行四边形，下列说法不正确的是（　　）
A．当AC=BD时，四边形ABCD是矩形
B．当AB=BC时，四边形ABCD是菱形
C．当AC平分∠BAD时，四边形ABCD是菱形
D．当∠DAB= 90°时，四边形ABCD是正方形
3．矩形不一定具有的性质是（　　）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．对角相等
4．已知菱形的周长为20，其中一条对角线的长为8，则另一条对角线的长为（　　）
A．3 B．4 C．6 D．8
5．在中，，，，则以AB为边的正方形的周长是（　　）
A．12 B．16 C．20 D．25
6．如图，P为线段上任意一点，分别以、为边在同侧作正方形、，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在面积为S的菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F，G分别是BC，OB，OC的中点，则四边形EFOG的面积为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，为正方形对角线的中点，为等边三角形．若，则的长度为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在矩形ABCD中，O为对角线BD的中点，∠ABD=60°，动点E在线段OB上，动点F在线段OD上，点E，F同时从点O出发，分别向终点B，D运动，且始终保持OE=OF．点E关于AD ，AB的对称点为E1，E2；点F关于BC，CD的对称点为F1，F2，在整个过程中，四边形E1E2F1F2形状的变化依次是（　　）
A．菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形
B．菱形→正方形→平行四边形→菱形→平行四边形
C．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形
D．平行四边形→菱形→正方形→平行四边形→菱形
10．七巧板是我国祖先的一项卓越创造，如图1，正方形ABCD可以制作一副七巧板，现将这副七巧板拼成如图2所示的“风车”造型(内部有一处空缺)，连结最外围的风车顶点 M，N，P，Q得到一个四边形MNPQ，则正方形ABCD与四边形MNPQ的面积之比为 （　　）
A．5：8 B．3 ： 5 C．8： 13 D．25：49
二、填空题
11．如图，在菱形ABCD中，对角线 AC，BD相交于点O，不 添 加任何 辅 助线，请 添加一个条件：　 　，使得四边形ABCD 是正方形.
12．如图，在菱形ABCD中，若AC=12，BD=9，则菱形ABCD的面积是　 　.
13．矩形中，E是的中点，将折叠后得到，延长交于点F，，，则的长为　 　．
14．如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的动点，M，N分别是EF，AF的中点，则MN的最大值为　 　
15．如图①是一张等腰直角三角形纸片，，现要求按照图②的方法裁剪几条宽度都为的长方形纸条，用这些纸条为一幅正方形美术作品EFGH镶边(纸条不重叠)如图③，正方形美术作品的面积为　 　.
16． 年国际数学家大会在北京召开，大会的会标是由我国古代数学家赵爽的“弦图”演变而来，体现了数学研究中的继承和发展如图是用八个全等的直角三角形拼接而成的“弦图”记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为、、若正方形的边长为，则　 　．
三、解答题
17．如图，在正方形 ABCD中，点 E 在 BC 边的延长线上，点 F 在 CD 边的延长线上，且 CE=DF，连结 AE和BF.求证：AE=BF.
18．如图，中，，垂足为D，点E、F、G分别是中点，直线交点G．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求的度数．
19．如图，已知在正方形中，是的中点，在上，且．
（1）请你判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若此正方形的面积为16，求的长．
20．如图1，已知四边形四条边上的中点分别为、、、、依次连接、、、、得到四边形．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）连接与，当与满足什么条件时，四边形是矩形？
（3）如图2，若四边形是菱形，则四边形是什么图形，请说明理由．
21．如图，已知在正方形中，，点为线段上一点点不与、重合，连接，过点作交射线于点，以、为邻边作矩形．
（1）求证：；
（2）连接，设，的面积为求关于的函数关系式并写出自变量的取值范围；
（3）当时，求的度数．
22．如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动，当其中一点到达终点运动即停止．设运动时间为秒．
（1）在运动过程中，的长度能否为？若能，求出的值，若不能，请说明理由；
（2）在运动过程中，的面积能否为？若能，求出的值，若不能，请说明理由；
（3）取的中点，运动过程中，当时，求的值；
23．在中，B在C的左边，，将关于作轴对称，得四边形．P是对角线上的动点，E是直线上的动点，且．
（1）四边形如图1所示，四边形是　 　（填“矩形”或“菱形”或“正方形”）；　 　（填“”或“”）；
（2）四边形如图2所示，且，四边形是 ▲ （填“矩形”或“菱形”或“正方形”）；（1）中与之间的数量关系还成立吗 若成立，请说明理由．
（3）四边形如图3所示，若，，请直接写出的度数．（用含、的代数式表示）
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：A、矩形的对角线相等但不互相垂直，故此选项错误；
B、菱形的对角线相互垂直，故此选项错误；
C、正方形的对角线相等且垂直，故此选项正确；
D、菱形的四个角不一定都是直角，故此选项错误.
故答案为：C.
【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分；菱形的对角线互相平分且垂直；正方形的对角线相等、互相平分且垂直，即可逐项判断得出答案.
2．【答案】D
【解析】【解答】解：①对角线相等的平行四边形是矩形，故A正确；
②有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故B正确；
③∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠CAB，
∵CD∥AB，
∴∠DCA=∠CAB，
∴∠DAC=∠DCA，
∴DA=DC，
∴平行四边形ABCD是菱形，故C正确；
④当∠DAB=90°，平行四边形ABCD是矩形，不能判定其是正方形，故D错误；
故答案为：D．
【分析】通过矩形、菱形、矩形及正方形的判定方法一 一判断即可.
3．【答案】B
【解析】【解答】解：A、矩形的对角线互相平分，本项正确，不符合题意；
B、矩形的对角线不一定互相垂直，本项错误，符合题意；
C、矩形的对角线相等，本项正确，不符合题意；
D、矩形的对角相等，本项正确，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据矩形的性质：矩形对边相等且平行，矩形四个角都是直角，矩形的对角线相等且互相平分，逐项判断即可.
4．【答案】C
【解析】【解答】解：如图，
菱形的周长为20，则AB=5，
∵菱形的对角线互相垂直平分，
∴BO=4，AC=2OA，
由勾股定理得：，
∴AC=2OA=6，
故菱形另一条对角线的长为6.
故答案为：6.
【分析】根据菱形的周长得边长为5，根据菱形角线互相垂直平分，结合勾股定理可得，即可得菱形另一条对角线的长为6.
5．【答案】C
6．【答案】B
7．【答案】B
【解析】【解答】解：如图所示，连接OE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BOC＝90°，
又∵E是BC的中点，
∴OE＝BE＝CE，
又∵F，G分别是BO，CO的中点，
∴EF⊥OB，EG⊥OC，
∴四边形OGEF是矩形，
∵菱形ABCD的面积为S，
∴AC×BD＝S，即AC×BD＝2S，
∴四边形EFOG的面积＝OG×OF＝OC×OB＝AC×BD＝AC×BD＝×2S＝S．
故答案为：B．
【分析】连接OE，根据菱形的性质及等腰三角形的性质，即可得出EF⊥OB，EG⊥OC，推出四边形OGEF是矩形，再根据菱形的面积即可得出矩形的面积。
8．【答案】B
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是边长为2的正方形，
∴，
∵为等边三角形 ，
∴∠EAO=60°，
∵，
∴
在中，
∴
故答案为：B.
【分析】根据正方形的性质得：，再根据等边三角形的性质得∠EAO=60°，进而求得：，根据含30°角的直角三角形的性质得：，即可求解.
9．【答案】A
【解析】【解答】解：如图1：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∠BAD=∠ABC=90°，
∴∠BDC=∠ABD=60°，∠ADB=∠CBD=90°-60°=30°，
∵OE=OF，OB=OD，
∴DF=EB，
∵点E关于AD ，AB的对称点为E1，E2；点F关于BC，CD的对称点为F1，F2 ，
∴DF=DF2，BF=BF1，BE=BE2，DE=DE1，E1F2=E2F1．
∴∠F2DC=∠BDC=60°，∠E1DA=∠ADB=30°，
∴∠E1DB=60°，
同理∠F1BD=60°，
∴DE1∥BF1，
∴四边形 E1E2F1F2 是平行四边形，
如图2所示，当E，F，O三点重合时，DO=OB，
∴DE1=DF2=AE1=AE2，即E1E2=E1F2，
∴四边形E1E2F1F2 是菱形．
如图3所示，当E，F分别为OD，OB的中点时，设DB=4，则 DF2=DF=1，DE1=DE=3，
在Rt△ABD中，AB=2，AD=，连接AE，AO，
∵∠ABO=60°，BO=2=AB，
∴△ABO是等边三角形，
∵E为OB中点，
∴AE⊥OB，BE=1，
∴∠E1=90°，
即四边形E1E2F1F2 是矩形．
当F，E分别与D，B重合时，△BE1D，△BDF1 都是等边三角形，则四边形E1E2F1F2 是菱形，
∴在整个过程中，四边形 E1E2F1F2 形状的变化依次是菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形，
故答案为：A．
【分析】E、F在特殊点时需分析四边形E1E2F1F2 的形状，而在一般点时均是平行四边形，根据对称的形式，菱形、平行四边形和矩形的判定方法判断即可.
10．【答案】C
【解析】【解答】解：如图1，设AC=4a，则AB=BC=AC=a，
∴正方形ABCD的面积为AB2=8a2，
由图1可得ME=QF=PG=NH，QE=PF=NG=MH，∠QFP=∠PGN=∠NHM=∠MEQ=135°，
∴△QFP≌△PGN≌△NHM≌△MEQ（SAS）
∴QM=QP=PN=MN，∠PQF=∠GPN，
∴∠NPQ=∠GPN+∠FPQ+∠FPG=∠PQF+∠FPQ+∠FPG=45°+45°=90°，
∴四边形MNPQ为正方形，
由AC=4a，则图2中MH=3a，QH=2a
∴MQ2=MH2+QH2=（3a）2+（2a）2=13a2，
∴ 四边形MNPQ的面积= MQ2=13a2，
∴ 正方形ABCD与四边形MNPQ的面积之比=8a2：13a2=8∶13.
故答案为：C.
【分析】设AC=4a，则AB=BC=AC=a，图2中MH=3a，QH=2a，由勾股定理求出MQ2，分别求出两正方形的面积公式，继而求出比值.
11．【答案】∠BAD=90°(答案不唯一)
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴当∠BAD=90°或BD=AC时， 四边形ABCD是正方形.
故答案为：∠BAD=90°(答案不唯一).
【分析】有一个角是直角的菱形是正方形，对角线相等的菱形是正方形，据此解答即可.
12．【答案】54
【解析】【解答】解：S菱形ABCD=×12×9=54
故答案为：54.
【分析】根据菱形的面积等于乘以两个对角线的长，计算即可.
13．【答案】
【解析】【解答】解：如图，连接EF，
∵点E是AD的中点，
∴AE=DE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=CF+FD=3，∠A=∠C=∠D=90°，
由折叠得∠A=∠BGE=90°，AE=EG，BG=AB=3，
∴ED=EG，∠D=∠EGF=90°，
在Rt△DEF与Rt△GEF中，
∵ED=EG，EF=EF，
∴Rt△DEF≌Rt△GEF（HL），
∴DF=GF=2，
∴BF=BG+GF=5，
在Rt△BCF中，.
故答案为：.
【分析】连接EF，根据线段中点定义得AE=DE，由矩形的性质得AB=CD=CF+FD=3，∠A=∠C=∠D=90°，由折叠得性质得∠A=∠BGE=90°，AE=EG，BG=AB=3，则ED=EG，∠D=∠EGF=90°，从而可用HL判断出Rt△DEF≌Rt△GEF，由全等三角形对应边相等得DF=GF=2，进而在Rt△BCF中，利用勾股定理可算出BC的长.
14．【答案】
【解析】【解答】解：如图，连接、，
点、分别是、的中点，
，
正方形的边长为2，
，
点是边长的动点，
，
，
的最大值为.
故答案为：.
【分析】由点E是BC边长的动点可得，利用正方形的性质求得AC的边长，进而得到AE的取值范围，再通过三角形的中位线定理求得MN的最大值.
15．【答案】
【解析】【解答】解：如图，
∵△ABC是等腰直角三角形，且AC=BC，
∴∠B=∠C=45°，
∵四边形CDHG是矩形，且CD= ，
∴HG=CD= ，∠BGH=90°，
∴∠B=∠BHG=45°，
∴GB=GH=，
∴CG=DH=BC-BG=cm，
∵四边形CDHG是矩形，
∴DH∥BC，
∴∠B=∠DHN=45°，
∵四边形DENM是矩形，且DE=，
∴MN=ED= ，∠NMH=90°，
∴∠MNH=∠MHN=45°，
∴MN=MH=，
∴DM=EN=DN-MH=cm；
同理FQ=PE=，
∵AF=AC-CD-DE-EF=，
∴这样的长方形纸条只能裁出三条，
这三条的总长度为：CG+DM+EN=cm，
∴美术作品的边长为：cm，
∴这个美术作品的面积为：cm2.
故答案为：.
【分析】由等腰直角三角形的性质得∠B=∠C=45°，由矩形的性质得HG=CD= ，∠BGH=90°，从而可推出△BHG是等腰直角三角形，得GB=GH=，CG=DH=BC-BG=cm，同理可求出DM、PE得长，可得到裁剪出的矩形纸条的总长度，进而结合图③找出美术作品的边长，最后根据正方形面积计算方法计算可得答案.
16．【答案】30
【解析】【解答】解：在中，由勾股定理得：，
八个直角三角形全等，四边形，四边形，四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
正方形的边长为，
，
，
故答案为：30．
【分析】在Rt△CFG中，由勾股定理得CG2+CF2=GF2=10，由全等三角形的性质得CG=FM=NG，CF=FN=DG，由正方形面积公式得，，，然后结合GF的长度可求出S1+S2+S3.
17．【答案】证明：∵ 四边形ABCD为正方形，
∴ AB=BC=BC=CD，∠ABE=∠BCF=90°，
∵ CE=DF，
∴ BC+CE=CD+DF，即BE=CF，
∴ △ABE≌△BCF（SAS），
∴ AE=BF.
【解析】【分析】根据正方形的性质得AB=BC=BC=CD，∠ABE=∠BCF=90°，推出BE=CF，依据SAS判定△ABE≌△BCF，根据全等三角形的对应边相等即可求得.
18．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵点E、G分别是的中点，
∴，，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
19．【答案】（1）解：，
理由：设正方形的边长为，
四边形是正方形，
，，
是中点，
，
，
，，
在中，，
在中，，
在中，，
，
是直角三角形，
，
；
（2）解：正方形的面积为16，
，
，
，
，
的长为5．
【解析】【分析】（1），设正方形的边长为， 由是的中点，得出，再根据，得出，，在中和中和中，利用勾股定理分别得出，，，再利用，判断是直角三角形即可得到；
（2）根据正方形的面积为16以及（1）中即可求出DF的长.
20．【答案】（1）解：证明：连结，如图1所示：
、分别是、中点，
是的中位线，
，，
、分别是、中点，
是的中位线，
，，
，，
四边形是平行四边形；
（2）解：时，四边形是矩形．
理由如下：
连结、，如图2所示：
、、、分别为四边形四条边上的中点，
，，
，
，
又四边形是平行四边形，
平行四边形是矩形；
（3）解：四边形是矩形．
理由如下：
连结、，如图3所示：
、、、分别为四边形四条边上的中点，
，，，，，
，，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，
，，
，
平行四边形是矩形．
【解析】【分析】（1）连结，先证是的中位线，是的中位线，进而得到，，由此可得四边形是平行四边形；
（2）时，四边形是矩形， 连结、， 证明，再结合（1）中结论即可得证；
（3）连结、，先证四边形是平行四边形，再根据菱形的性质得出，进而可得四边形是矩形.
21．【答案】（1）证明：如图，作，．
，，
四边形是正方形，
，
四边形是矩形，
，
点是正方形对角线上的点，
，
四边形是矩形，
，
，
在和中，
，
≌，
；
（2）解：四边形是矩形，，
矩形是正方形，
，，
四边形是正方形，
，，，
，
≌，
，，
，
，
，，
，
的面积
（3）解：如图，当点在线段上时，
四边形是正方形，
，
，，
；
如图，当点在线段的延长线上时，
，，
，
综上，的度数为或．
【解析】【分析】本题主要考查正方形的基本性质、矩形的判定和性质、三角形全等的判定及性质.
（1）作，，结合题意可证得四边形是矩形，然后运用矩形和正方形的性质可得到≌，进而得到答案；
（2）根据矩形和正方形的性质运用等量代换的方法可证得：≌，得到，进而表示出的面积y的表达式;
（3）分点在线段上和点在线段的延长线上两种情况进行求解即可.
22．【答案】（1）解：PQ的长度能为，理由如下：
根据题意可知：，，，
∵四边形是矩形，
，
在中，，
，
解得：（舍去）或，
∴当t为或3时，PQ的长度为 ；
（2）解：△PDQ的面积不能为8cm2，理由如下：
设运动秒钟后△PDQ的面积为，
则，，，，
S△PDQ=S矩形ABCD-S△ADP-S△CDQ-S△BPQ
，
，
即，
，
方程无实数根，
的面积不能为；
（3）解：如图，以为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，
设，，
，
又，，
取的中点，连接，则，
，
，
，
解得：，．
【解析】【分析】（1）根据题意可得，，，再利用勾股定理构建方程求解即可；
（2）设运动x秒钟后△PDQ的面积为，利用S△PDQ=S矩形ABCD-S△ADP-S△CDQ-S△BPQ结合△PDQ的面积为构建关于的一元二次方程，再根据根的判别式的意义得出结论；
（3）以B点为坐标原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，设，，则，取的中点，连接，根据直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半求出，再利用两点间的距离公式构建方程，解方程可得答案．
23．【答案】（1）菱形；=
（2）解：同理可得，四边形ABCD是菱形，
∵∠ABC=90°，
∴菱形ABCD是正方形；
过点P作MN⊥BC交AD于点M，交BC于点N，如图所示：
∴AB//MN，
∴∠ABP=∠BPN，
∵PEPB，PN⊥BE，
∴PN平分∠BPE，
∴∠BPN=∠EPN，
∴∠ABP=∠EPN，
∴∠ABP=∠ADP，
∴∠EPN=∠ADP，
∵∠PMD=90°，
∴∠DPM+∠PDM=90°，
∴∠DPM+∠EPN=90°，
∴∠DPE=180°-（∠DPM+∠EPN）=180°-90°=90°，
∴∠DPE=∠ABC；
故答案为：正方形；∠DPE=∠ABC；
（3）解：
【解析】【解答】（1）设CD、PE相交于点F，如图所示：
根据轴对称的性质可得：AD=AB，BC=CD，PB=PD，
∵BA=BC，
∴AB=BC=CD=AD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AB//CD，
∴∠ABC=∠DCE，
在△BCP和△DCP中，
，
∴△BCP≌△DCP（SSS），
∴∠PBC=∠PDC，
∵PE=PB，
∴∠PBC=∠PEC，
∴PDC=∠PEC，
∵∠PFD=∠CFE，
∴∠DPE=∠DCE，
∴∠DPE=∠ABC，
故答案为：菱形；=；
（3）∵PE=PB，，
∴∠PBE=，
∵，
∴∠APB=∠ACB+∠PBE=，
同理可证：△BCP≌△DCP，
∴∠BPC=∠DPC，
∴∠APB=∠APD=，
∴∠DPB=∠APD+∠APB=2（）=，
故答案为：.
【分析】（1）利用轴对称的性质及等量代换可得AB=BC=CD=AD，即可证出四边形ABCD是菱形，再利用“SSS”证出△BCP≌△DCP可得∠PBC=∠PDC，再利用等量代换可得∠DPE=∠ABC；
（2）结合∠ABC=90°，可证出菱形ABCD是正方形；过点P作MN⊥BC交AD于点M，交BC于点N，再利用角的运算和等量代换可得∠DPE=180°-（∠DPM+∠EPN）=180°-90°=90°，即可证出∠DPE=∠ABC；
（3）先利用角的运算求出∠APB=∠ACB+∠PBE=，再结合∠APB=∠APD=，求出∠DPB=∠APD+∠APB=2（）=即可.
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