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专题5-6. 分式方程中的参数问题与分式方程实际应用问题
模块1：模型简介
分式方程含参问题的解题步骤：
①参数当成“常数”解出分式方程；
②根据“分式方程有增根”、“分式方程有解与无解”、“分式方程的解为正或负数”、“分式方程有整数解”等类型，利用各条件自确定出参数的取值范围；
注：分式方程含参问题特别注意要排除增根的情况。
模块2：核心模型点与典例
问题1:分式方程含参问题
考点1.根据分式方程解的情况求待定系数值或取值范围（一）有增根
解题技巧：含有参数的分式方程有增根求参数的一般方法：
①解含有参数的分式方程(用含有参数的代数式表示未知数的值)；
②确定增根(最简公分母为0)；③将增根的值代入整式方程的解，求出参数；
例1．（2023·陕西·八年级期末）已知关于x的分式方程的增根是，则m的值为________．
【答案】8
【分析】先将分式方程去分母求得，然后根据方程的增根为，最后代入求解即可．
【详解】解：方程去分母得：，∴解得，，
∵分式方程的增根为，∴，解得，故答案为：8．
【点睛】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程有增根的条件是解题的关键．
变式1．（2023·江苏九年级专题练习）关于x的分式方程(其中a为常数)有增根，则增根为_____．
【答案】．
【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母，得到或，然后代入化为整式方程的方程算出的值，检验是否符合题意即可．
【详解】分式方程的最简公分母为x(x﹣2)，
去分母得：，
令，得或，
把代入得：整式方程无解，即分式方程无解；把代入得：，
综上，分式方程的增根为．故答案为：．
【点睛】本题考查分式方程的增根的确定方法，确定增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定可能的增根；②化分式方程为整式方程；③把可能的增根代入整式方程，检验是否符合题意，将不合题意的舍去．
例2．（2023·上海八年级期中）已知关于x的分式方程有增根，则m＝_____．
【答案】
【分析】方程两边都乘x4，化为整式方程，解整式方程，根据方程有增根，可得，即可求得的值．
【详解】方程两边都乘x4，得m＝6x
∵原方程有增根，∴最简公分母x4＝0，解得x＝4，
当x＝4时，m＝10，故答案为：10．
【点睛】此题主要考查了分式方程的增根，解答此题的关键是要明确：（1）化分式方程为整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
变式2．（2023·湖南·月考）若解分式方程产生增根，则m的值为（ ）
A．1 B．-4 C．-5 D．-3
【答案】C
【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值．
【解析】方程两边都乘(x+4)，得x 1=m，
∵原方程增根为x= 4，∴把x= 4代入整式方程，得m= 5，故选：C．
【点睛】本题考查分式方程无解的情况，掌握分式方程增根产生的条件为解题关键．
例3．（2023·浙江东阳·七年级期末）关于x的分式方程：．
（1）当m＝3时，求此时方程的根；（2）若这个关于x的分式方程会产生增根，试求m的值．
【答案】（1）x=-5；（2）-4或6
【分析】（1）把m=3代入分式方程，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值．
【详解】解：（1）把m=3代入方程得：，
去分母得：3x+2x+4=3x-6，解得：x=-5，
检验：当x=-5时，（x+2）（x-2）≠0，∴分式方程的解为x=-5；
（2）去分母得：mx+2x+4=3x-6，
∵这个关于x的分式方程会产生增根，∴x=2或x=-2，
把x=2代入整式方程得：2m+4+4=0，解得：m=-4；
把x=-2代入整式方程得：-2m=-12，解得：m=6．
【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
变式3．（2023·江西九年级阶段练习）解关于x的方程不会产生增根，则k的值是（　　）
A．2 B．1 C．且 D．无法确定
【答案】C
【分析】先将分式方程化为整式方程，解得，根据题意可得，从而求出k的值．
【详解】解：去分母得，，解得，
∵方程不会产生增根，
∴，∴，即．故选：C．
【点睛】本题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
考点2.根据分式方程解的情况求待定系数值或取值范围（二）无解与有解
解题技巧：含有参数的分式方程无解求参数的一般方法：
①将分式方程转化为整式方程，并整理成一般形式(ax=b)；
②讨论整式方程无解的情况：1）当a=0时，方程满足无解；2）当a≠0时，整式方程有解，则讨论该解为增根的情况。
当分式方程无解时，既要考虑分式方程有增根的情形，又要考虑整式方程无解的情形．
分式方程有解，特别要注意考虑排除增根的情况。
例1．（2023·西安·陕西师大附中）若关于的分式方程无解，则的值是________．
【答案】
【分析】分式方程无解，即有增根，此时，解分式方程得，令得解．
【详解】解：将变形为： 即：
方程两边同时乘以得： 去括号得：
移项得： 合并同类项得： 解得：
∵分式方程无解∴，即 ∴ ∴ 故答案为：
【点睛】本题考查的是分式方程的求解以及增根问题，根据相关知识点化解求值即可．
变式1．（2023·江苏九年级专题练习）如果关于的分式方程无解，那么的值为（ ）
A．4 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】先解方程，去分母，移项合并得x=-2-m，利用分式方程无解得出x=2，构造m的方程，求之即可．
【详解】解关于的分式方程，去分母得m+2x=x-2，移项得x=-2-m，
分式方程无解，x=2，即-2-m=2，m=-4，故选择：B．
【点睛】本题考查分式方程无解问题，掌握分式方程的解法，会处理无解的问题，一是未知数系数有字母，让系数为0，一是分式方程由增根．
例2．（2023·日照市九年级）已知关于x的方程无解，则m的值是___．
【答案】或1
【分析】分方程有增根，增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母，得到，然后代入化为整式方程的方程算出m的值和方程没有增根两种情况进行讨论.
【详解】解：①当方程有增根时,方程两边都乘，得，
∴最简公分母，解得，当时，故m的值是1，
②当方程没有增根时, 方程两边都乘，得，解得，
当分母为0时，此时方程也无解，∴此时，解得，
∴综上所述，当或1时，方程无解.故答案为：或1.
【点睛】本题考查了分式方程的的无解问题．增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值④当方程吴增根时一定要考虑求得的方程的解分母为0的情况．
变式2．（2023·南通市八年级月考）若关于x的分式方程无解，求m 的值．
【答案】m的值是-0.5或-1.5．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，求出x的值，代入整式方程求出m的值或未知数的系数为0，求出m即可．
【详解】解：方程两边都乘x(x-3)，得，即，
当2m+1=0时，这个方程无解，此时m=-0.5，关于x的分式方程无解，
故x=0或x-3=0，即x=0或x=3，当x=0时，代入(2m+1)x=-6，得(2m+1)·0=-6，此方程无解，
当x=3时，代入(2m+1)x=-6，得(2m+1)·3=-6，解得m=-1.5，综上所述，m的值是-0.5或-1.5．
【点睛】本题考查了分式方程的无解，一种方程的系数为零，一种是增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
例3．（2023·石家庄市八年级期末）关于的分式方程有解，则字母的取值范围是（ ）
A．或 B． C． D．且
【答案】D
【分析】先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“关于x的分式方程有解”，即x≠0且x≠2建立不等式即可求a的取值范围．
【详解】解：，去分母得：5（x-2）=ax，去括号得：5x-10=ax，移项，合并同类项得：（5-a）x=10，
∵关于x的分式方程有解，∴5-a≠0，x≠0且x≠2，即a≠5，系数化为1得：，
∴且，即a≠5，a≠0，
综上所述：关于x的分式方程有解，则字母a的取值范围是a≠5，a≠0，故选：D．
【点睛】此题考查了求分式方程的解，由于我们的目的是求a的取值范围，根据方程的解列出关于a的不等式．另外，解答本题时，容易漏掉5-a≠0，这应引起同学们的足够重视．
变式3．（2023·山东）当k取何值时，分式方程有解？
【答案】且
【分析】先解分式方程，然后根据分式方程有解进行求解即可得到答案．
【详解】解：∵∴，∴，
∵分式方程要有解，∴即且，∴，解得且，
故答案为：且．
【点睛】本题主要考查了根据分式方程的解的情况求解参数，解题的关键在于能够熟练掌握分式方程有解的条件．
考点3. 根据分式方程解的情况求待定系数值或取值范围（四）整数解问题
解题技巧：先解分式方程，得到方程的解为某分式值，再根据分式值为整数的条件和试值法逐一检验即可。
例1．（2023·四川达州市·中考真题）若分式方程的解为整数，则整数___________．
【答案】
【分析】直接移项后通分合并同类项，化简、用来表示，再根据解为整数来确定的值．
【详解】解：，
整理得：
若分式方程的解为整数，
为整数，当时，解得：，经检验：成立；
当时，解得：，经检验：分母为0没有意义，故舍去；
综上:，故答案是：．
【点睛】本题考查了分式方程，解题的关键是：化简分式方程，最终用来表示，再根据解为整数来确定的值，易错点，容易忽略对根的检验．
变式1．（2023·山东枣庄二模）若整数a使关于x的分式方程﹣2＝有整数解，则符合条件的所有a之和为（　　）
A．7 B．11 C．12 D．13
【答案】D
【分析】根据分式方程的解为整数解，即可得出a＝﹣1，1，2，4，7，据此计算即可．
【详解】解：解分式方程﹣2＝，得：x＝，
∵分式方程的解为整数，且x≠2，
∴当a＝﹣1时，x＝-1；
当a＝1时，x＝-2；
当a＝2时，x＝-4；
当a＝4时，x＝4；
当a＝5时，x＝2（不符合题意，故舍去）；
当a＝7时，x＝1；
故符合条件的所有a之和为：﹣1+1+2+4+7＝13．故选：D．
【点睛】本题考查了分式方程的解，注意分式方程中的解要满足分母不为0的情况．
例2．（2023·河南南阳·八年级阶段练习）若实数使得关于的分式方程有正整数解，则所有满足条件的的值之和是（ ）
A．20 B．17 C．15 D．12
【答案】C
【分析】根据分式方程有正整数解，可得的值，即可得到答案．
【详解】解：分式方程，
去分母得：，
去括号合并得：，
∴，由题意得：，即且是正整数，
∴或或，∴或或，
∴所有满足条件的的值之和为3+4+8=15，故选：C．
【点睛】本题考查了分式方程的正整数解等知识，解题的关键是求出的范围，容易忽略的条件．
变式2．（2020·黑龙江穆棱·中考真题）若关于x的分式方程有正整数解，则整数m的值是（ ）
A．3 B．5 C．3或5 D．3或4
【答案】D
【分析】解带参数m的分式方程，得到，即可求得整数m的值．
【解析】解：，两边同时乘以得：，
去括号得：，移项得：，合并同类项得：，
系数化为1得：，
若m为整数，且分式方程有正整数解，则或，
当时，是原分式方程的解；当时，是原分式方程的解；故选：D．
【点睛】本题考查分式方程的解，始终注意分式方程的分母不为0这个条件．
问题2：分式方程的应用题
考点1、工程问题
解题技巧：工程问题，常设工程总量为单位“1”，然后利用公式：工作效率×工作时间=工作总量来列写等量方程。
例1．（2023·广东·深圳市二模）某工程队经过招标，中标2500米的人才公园跑道翻修任务，但在实际开工时．……，求实际每天修路多少米？在这个题目中，若设实际每天翻修跑道x米，可得方程．则题目中用“……”表示的条件应是（ ）
A．每天比原计划多修50米的跑道，结果延期10天完成
B．每天比原计划少修50米的跑道，结果提前10天完成
C．每天比原计划少修50米的跑道，结果延期10天完成
D．每天比原计划多修50米的跑道，结果提前10天完成
【答案】D
【分析】根据分式方程以及题意，求解即可．
【详解】解：由题意可得，实际每天修路x米，x 50表示计划每天修路的长，则实际每天比原计划多修50米的路，
表示计划工期，表示实际工期
则表示实际工期比计划工期少10天，即结果提前10天完成，故选：D
【点睛】此题考查了分式方程的应用，解题的关键是理解分式方程中每个式子的含义是解题的关键．
变式1．（2023·湖南·岳阳市第十九中学八年级阶段练习）为落实党中央“长江大保护”新发展理念，我市持续推进长江岸线保护，还洞庭湖和长江水清岸绿的自然生态原貌.某工程队负责对一面积为33000平方米的非法砂石码头进行拆除，回填土方和复绿施工，为了缩短工期，该工程队增加了人力和设备，实际工作效率比原计划每天提高了，结果提前11天完成任务，求实际平均每天施工多少平方米？设实际平均每天施工x平方米，则可列出方程为_______________________________
【答案】11
【分析】设实际每天施工x平方米，则原计划平均每天施工平方米，根据时间=工作总量÷工作效率，结合提前11天完成任务，即可得出关于x的分式方程．
【详解】解：设实际平均每天施工x平方米，则原计划平均每天施工平方米，
根据题意得：11，即 故答案为：11．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，弄清题意，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
例2．（2023·吉林铁西·八年级期末）某危险品工厂采用甲型、乙型两种机器人代替人力搬运产品．甲型机器人比乙型机器人每小时多搬运10kg，甲型机器人搬运800kg所用时间与乙型机器人搬运600kg所用时间相等．问乙型机器人每小时搬运多少kg产品？根据以上信息，解答下列问题．（1）小华同学设乙型机器人每小时搬运kg产品，可列方程为______．小惠同学设甲型机器人搬运800kg所用时间为小时，可列方程为______．（2）请你按照（1）中小华同学的解题思路，写出完整的解答过程．
【答案】（1）；；（2）乙型机器人每小时搬运30kg产品，见解析．
【分析】（1）设乙型机器人每小时搬运xkg产品，则甲型机器人每小时搬运（x＋10）kg产品，根据甲型机器人搬运800kg所用时间与乙型机器人搬运600kg所用时间相等，即可得出关于x的分式方程；设甲型机器人搬运800kg所用时间为y小时，根据甲型机器人比乙型机器人每小时多搬运10kg，即可得出关于y的分式方程；（2）根据小华同学的解题思路，解分式方程即可得出结论．
【详解】解：（1）设乙型机器人每小时搬运xkg产品，则甲型机器人每小时搬运（x＋10）kg产品，
依题意得：；设甲型机器人搬运800kg所用时间为y小时，依题意得：．
故答案为：；；
（2）设乙型机器人每小时搬运kg产品，根据题意可得：，解得：，
经检验得：是原方程的解，且符合题意，答：乙型机器人每小时搬运30kg产品．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
变式2.（2023·湖北武汉·八年级期末）现有甲、乙两个搬运工作小组来完成一种特殊材料的搬运工作．甲组比乙组每小时多搬运30 kg，甲组搬运900 kg所用时间与乙组搬运600 kg所用时间相等．
（1）求甲组每小时可搬运多少这种材料？（2）若甲组搬运900 kg与乙组搬运300 kg所需的搬运费和为10500元；甲组搬运540 kg与乙组搬运600 kg所需搬运费和为9800元，求甲、乙两个小组每小时的搬运费分别为多少元？（3）在（2）的条件下若甲组搬运 m kg这种材料与乙组搬运 n kg 这种材料所需的搬运费和不超过1 万元，请直接写出m与n满足的关系式．
【答案】（1）90 kg；（2）甲组每小时的搬运费为800元，乙组每小时的搬运费为500元；（3）16m +15n ≤ 18000
【分析】（1）设乙组每小时搬运x kg这种材料，则甲组每小时搬运（x+30）kg，利用甲组搬运900 kg所用时间与乙组搬运600 kg所用时间相等列分式方程即可解答；（2）甲组每小时的搬运费为 a 元，乙组每小时的搬运费为 b 元，依题意列二元一次方程组即可解答；（3）根据题意列出不等式整理即可．
【详解】解：（1）设乙组每小时搬运x kg这种材料，则依题意可得，解得x=60，
经检验，x=60是原分式方程的解． ∴x+30=90, 即甲每小时可搬运这种材料 90 kg．
（2）由（1）可知甲组搬运900 kg与乙组搬运300 kg所需的搬运费和为10500元；甲组搬运540 kg与乙组搬运600 kg所需搬运费和为9800元，
即甲组搬运10小时与乙组搬运5小时所需的搬运费和为10500元；甲组搬运540 kg与乙组搬运600 kg所需搬运费为9800元，设甲组每小时的搬运费为 a 元，乙组每小时的搬运费为 b 元，则
依题意可得， 解得
∴甲组每小时的搬运费为800元，乙组每小时的搬运费为500元．
（3）若甲组搬运 m kg这种材料与乙组搬运 n kg 这种材料所需的搬运费不超过1 万元，
即，整理得：．
【点睛】本题主要考查了分式方程、二元一次方程组的应用、不等式的应用，理解题意根据题目中数量关系列出方程（不等式）是解题关键．
例3．（2023·河南安阳·八年级期末）某一工程，在工程招标时，接到甲乙两个工程队的投标书．施工一天需付甲工程队工程款1.5万元，付乙工程队工程款1.1万元．工程领导们根据甲乙两队的投标书测算，可有三种施工方案：
方案：甲队单独完成这项工程刚好如期完成；
方案：乙队单独完成这项工程比规定日期多用5天；
方案：若甲乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成．
在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？
【答案】选择方案，理由见解析
【分析】设甲单独完成这一工程需天，则乙单独完成这一工程需天．根据方案，可列方程得，解方程即可解决问题．
【详解】解：设甲单独完成这一工程需天，则乙单独完成这一工程需天．
根据方案，可列方程得，
解这个方程得，经检验：是所列方程的根．
即甲单独完成这一工程需20天，乙单独完成这项工程需25天．
所以方案的工程款为（万元），
方案的工程款为（万元），
但乙单独做超过了日期，因此不能选．
方案的工程款为（万元），所以选择方案．
【点睛】本题考查分式方程的应用，列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．解题的关键是熟练掌握路程＝速度×时间的关系，正确寻找等量关系构建方程解决问题．
变式3．（2023·甘肃天水·八年级期末）在社会主义新农村建设中，某乡镇决定对一段公路进行改造．已知这项改造工程由甲工程队单独做需要40天完成；如果由乙工程队先单独做10天，那么剩下的工程还需要两队合做20天才能完成．(1)求乙工程队单独完成这项工程所需的天数；(2)若两队合做这项工程，求完成工程所需的天数．(3)若甲队的费用每天1200元，乙队每天850元，可以有哪些施工方案？怎样施工费用最低？
【答案】(1)60天 (2)24天 (3)施工方案见解析，甲单独完成施工费用最低
【分析】（1）首先设乙工程队单独完成这项工程需要x天，根据等量关系为：工作效率=工作总量工作时间，可得甲乙的效率，根据题意可得出：甲队的总工作量+乙队的总工作量=1，由此列出方程求解；
（2）根据工作时间=工作总量工作效率，即可得出甲乙合作所需要的天数；
（3）由甲队单独完成，由乙队单独完成，或者由甲乙合作完成，分别求出施工费用比较即可．
【详解】（1）设乙单独完成该工程需要x天，
依题意得：，解得：x=60，
经检验得，x=60是原方程的解，答：乙单独完成该工程需要60天；
（2）两队合作需要时间：，即两队合作需要24天；
（3）共有三种施工方案：①由甲单独完成，需40天，施工费用：40×1200=48000元；
②由乙单独完成，需60天，施工费用：60×850=51000元；
③由甲乙合作完成，需24天，施工费用：24×（1200+850）=49200元；
∴由甲单独完成施工费用最低．
【点睛】本题考查分式方程的应用，根据题意找到合适的等量关系是解题的关键．
考点2、行程问题
解题技巧：行程问题需要注意是相遇问题还是追击问题
相遇问题：（甲速度+乙速度）×时间=总路程 追击问题：（快－慢）×时间=距离
例1．（2023·广东·佛山市华英学校三模），两地相距千米，一辆大汽车从地开出小时后，又从地开出另一辆小汽车，已知小汽车的速度是大汽车速度的倍，结果小汽车比大汽车早分钟到达地，求两种汽车每小时各走多少千米．设大汽车的速度为，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设大汽车的速度为，则小汽车的速度为，根据题意可得，同样走千米，小汽车比大汽车少用小时，据此列方程．
【详解】解：设大汽车的速度为，则小汽车的速度为，
由题意得，．故选C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
变式1．（2023·山东·八年级期末）小李和小刚同时从学校出发去距离20千米的青少年素质训基地，小张比小王每小时多行1千米，结果比小王早到半小时，设小王每小时走千米，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】解：设小王每小时走x千米，分别表示出二人所用时间，根据“小张比小王早到半小时” ，列出分式方程即可
【详解】解：设小王每小时走x千米，则小张每小时走千米，根据题意得，
，故选A．
【点睛】本题考查了列分式方程，理解题意，找到等量关系列出方程是解题的关键．
例2．（2023·新疆·八年级期中）一艘轮船在静水中的最大航速为千米/时，它沿江以最大航速顺流航行千米所用时间，与以最大航速逆流航行千米所用时间相等．求江水的流速为多少千米/时．
【答案】16千米/时
【分析】设江水的流速为千米/时，根据题意列出方程，解方程即可求解．
【详解】设江水的流速为千米/时，根据题意得，
，解得，经检验，是原方程的解，
答：江水的流速为16千米/时．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
变式2．（2023·河北张家口·初三二模）甲、乙两船从相距300km的A、B两地同时出发相向而行，甲船从A地顺流航行180km时与从B地逆流航行的乙船相遇，水流的速度为6km/h，若甲、乙两船在静水中的速度均为xkm/h，则求两船在静水中的速度可列方程为（　　）
A．= B．= C．= D．=
【答案】A
分析：直接利用两船的行驶距离除以速度=时间，得出等式求出答案．
【解析】设甲、乙两船在静水中的速度均为xkm/h，则求两船在静水中的速度可列方程为：=．
故选A．
点睛：此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确表示出行驶的时间和速度是解题关键．
例3．（2023·河南汝州·）为了响应打赢“蓝天保卫战”的号召，张老师上下班的交通方式由驾车改为骑自行车，张老师的家距学校的路程是8千米；在相同的路线上，驾车的平均速度是骑自行车平均速度的3倍，这样，张老师每天上班要比开车早出发一小时，才能按原驾车时间到达学校．（1）求张老师骑自行车的平均速度；（2）据测算，张老师的汽车在上下班行驶过程中平均每小时碳排放量约为12千克，这样张老师一天（按一个往返计算）可以减少碳排放量多少千克？
【答案】（1）千米/时； （2）12．
【分析】（1）设张老师骑自行车的平均速度为x千米/时，则张老师驾车的平均速度为3x千米/时，根据“张老师每天上班要比开车早出发一小时，才能按原驾车时间到达学校．”可列出方程，解出即可；
（2）由（1）得到张老师驾车的平均速度为千米/时，即可求出张老师一天（按一个往返计算）可以减少碳排放量．
【详解】解：（1）设张老师骑自行车的平均速度为x千米/时，则张老师驾车的平均速度为3x千米/时，根据题意得： ，解得： ，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
答：张老师骑自行车的平均速度为千米/时；
（2）由（1）得张老师驾车的平均速度为千米/时，∴ （千克），
即张老师一天（按一个往返计算）可以减少碳排放量12千克．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
变式3．（2023·山西中考真题）太原武宿国际机场简称“太原机场”，是山西省开通的首条定期国际客运航线．游客从太原某景区乘车到太原机场，有两条路线可供选择，路线一：走迎宾路经太输路全程是25千米，但交通比较拥堵；路线二：走太原环城高速全程是30千米，平均速度是路线一的倍，因此到达太原机场的时间比走路线一少用7分钟，求走路线一到达太原机场需要多长时间．
【答案】25分钟
【分析】设走路线一到达太原机场需要分钟，用含x的式子表示路线一、二的速度，再根据路线二平均速度是路线一的倍列等式计算即可．
【详解】解：设走路线一到达太原机场需要分钟．
根据题意，得．解得：．经检验，是原方程的解．
答：走路线一到达太原机场需要25分钟．
【点睛】本题考查分式方程应用，根据题意找出等量关系是解决本题的关键，注意分式方程需要验根．
考点3、销售问题
解题技巧：销售问题需要抓住的等量关系式为：利润=售价－进价 利润率=
例1．（2020·辽宁朝阳市·中考真题）某体育用品商店出售毽球，有批发和零售两种售卖方式，小明打算为班级购买键球，如果给每个人买一个毽球，就只能按零售价付款，共需80元；如果小明多购买5个毽球，就可以享受批发价，总价是72元．已知按零售价购买40个毽球与按批发价购买50个毽球付款相同，则小明班级共有多少名学生？设班级共有x名学生，依据题意列方程得（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据“按零售价购买40个毽球与按批发价购买50个毽球付款相同”建立等量关系，分别找到零售价与批发价即可列出方程．
【详解】设班级共有x名学生，依据题意列方程得，故选：B．
【点睛】本题主要考查列分式方程，读懂题意找到等量关系是解题的关键．
变式1．（2023·山东滨州·八年级期末）2020年初，湖北武汉出现了“新型冠状病毒感染肺炎”疫情，面对突如其来的疫情，全国人民众志成城，携手抗疫．甲、乙两单位为“新冠疫情”分别捐款4800元、6000元，已知甲单位捐款人数比乙单位少50人，而甲单位人均捐款数比乙单位多1元，若设甲单位有x人捐款，则所列方程是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设甲单位有x人捐款，则乙单位有（x+50）人捐款．根据甲单位人均捐款数比乙单位多1元，列方程即可．
【详解】解：设甲单位有x人捐款，则乙单位有（x+50）人捐款．
依题意得：．故选：A．
【点睛】本题考查列分式方程解应用题，掌握列分式方程解应用题的方法与步骤，抓住甲单位人均捐款数比乙单位多1元列方程是解题关键．
例2．（2023·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级期中）某学校计划从商店购买测温枪和洗手液，已知购买一个测温枪比购买一瓶洗手液多用20元，若用400元购买测温枪和用160元购买洗手液，则购买测温枪的数量是购买洗手液数量的一半．（1）求购买一个测温枪、一瓶洗手液各需多少元；（2）经商谈，商店给予该学校购买一个测温枪赠送一瓶洗手液的优惠，如果该学校需要洗手液的数量是测温枪数量的2倍还多8个，且该学校购买测温枪和洗手液的总费用不超过1540元，那么该学校最多可购买多少个测温枪？
【答案】（1）购买一个测温枪需要25元，购买一瓶洗手液需要5元；（2）该学校最多可购买50个测温枪．
【分析】（1）设购买一瓶洗手液需要元，则购买一个测温枪需要元，根据“用400元购买测温枪和用160元购买洗手液，则购买测温枪的数量是购买洗手液数量的一半．”，可列出方程，解出即可；（2）设该学校购买个测温枪，则购买瓶洗手液，根据“购买测温枪和洗手液的总费用不超过1540元，”可列出不等式，即可求解．
【详解】（1）设购买一瓶洗手液需要元，则购买一个测温枪需要元，
依题意，得：，解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，．
答：购买一个测温枪需要25元，购买一瓶洗手液需要5元．
（2）设该学校购买个测温枪，则购买瓶洗手液，
依题意，得：，解得：．
答：该学校最多可购买50个测温枪．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键．
变式2．（2023·河南汝阳·八年级期末）某文具店第一次用元购进某款书包，很快卖完．临近开学，又用元购进该款书包，但这次每个书包的进价是第一次进价的倍，数量比第一次少了个．（1）第一次每个书包的进价是多少元？（2）若第二次进货后该款书包按元/个的价格销售，恰好销售完一半时，根据市场情况，文具店决定对剩余的书包按同一标准一次性打折销售，但要求第二次购进的书包的利润不少于元，问最低打几折？
【答案】（1）第一次每个书包的进价是元；（2）9折
【分析】（1）设第一次每个书包的进价是元，根据题意列出分式方程，故可求解；
（2）设打折，先求出第二次购进该款书包数，再根据题意列出不等式，故可求解．
【详解】（1）设第一次每个书包的进价是元
依题意，得，解得，检验，是原分式方程的解，且符合题意．
答：第一次每个书包的进价是元．
（2）设打折，由（1）知第二次购进该款书包（个）．
由，解得所以最低打折．
【点睛】此题主要考查分式方程与不等式的实际应用，解题的关键是根据题意找到数量关系列式求解．
例3．（2023·重庆一中九年级阶段练习）“遥知涟水蟹，九月已经霜，巨实黄金重，舒肥白玉香”，金秋时节，是吃螃蟹的最佳季节．某螃蟹经销商出售梭子蟹、青蟹、大闸蟹三种产品．10月1日，梭子蟹、青蟹的销量之比为，青蟹、大闸蟹的销量之比为，梭子蟹、青蟹的单价之比为，大闸蟹的单价比青餐高．10月8日，随着假期结束，梭子蟹、青蟹的购买热度与10月1日相比有所下降，单价也有所变化，梭子蟹下降的销量占当天三种螃蟹总销量的，梭子蟹、青蟹的销量之比为．10月8日，大闸蟹因为单价降低50%，销量反而有所增长，结果发现，10月8日大闸蟹的销售额恰好等于10月1日大闸蟹的销售额，梭子蟹和青蟹在10月8日的总销售额之比为，梭子蟹两天的总销售额与青蟹两天的总销售额之比为，则10月8日，梭子蟹与大闸蟹的单价之比为___________．
【答案】
【分析】设10月1日，大闸蟹的销量为，则青蟹的销量为，梭子蟹的销量为，设梭子蟹的单价为，则青蟹的单价为，大闸蟹的单价为，则10月1日，大闸蟹的销售额为，青蟹的销售额为，梭子蟹的销售额为，由题意得：10月8日，大闸蟹单价降低50%，即，设10月8日，大闸蟹的销量为m，可得在10月8日，大闸蟹的销量为，设10月8日，青蟹的销量为，则梭子蟹的销量为，即10月8日，青蟹的销量为，梭子蟹的销量为，设10月8日，梭子蟹的单价为M，青蟹的单价为N，由题意得：，即10月8日，梭子蟹与大闸蟹的单价之比为，则问题随之得解．
【详解】∵10月1日，梭子蟹、青蟹的销量之比为，青蟹、大闸蟹的销量之比为，
∴10月1日，梭子蟹、青蟹、大闸蟹的销量之比为，
∵10月1日，梭子蟹、青蟹的单价之比为，大闸蟹的单价比青餐高，
∴10月1日，梭子蟹、青蟹、大闸蟹的单价之比为，
设10月1日，大闸蟹的销量为，则青蟹的销量为，梭子蟹的销量为，
设梭子蟹的单价为，则青蟹的单价为，大闸蟹的单价为，
则10月1日，大闸蟹的销售额为，青蟹的销售额为，梭子蟹的销售额为，
由题意得：10月8日，大闸蟹单价降低50%，即，
设10月8日，大闸蟹的销量为m，
由题意得：，解得，即在10月8日，大闸蟹的销量为，
设10月8日，青蟹的销量为，则梭子蟹的销量为，
由题意得：，解得，则，
即10月8日，青蟹的销量为，梭子蟹的销量为，
设10月8日，梭子蟹的单价为M，青蟹的单价为N，
则在10月8日梭子蟹的总销售额为，青蟹的总销售额为，由题意得：，解得：，
即10月8日，梭子蟹与大闸蟹的单价之比为，故答案为：．
【点睛】本题考查应用类问题，重点是假设未知数，解题的关键是厘清题中给出的众多的量之间的关系．
变式3．（2023·黑龙江·阶段练习）宁宁的妈妈在市场卖服装，平均每天进货费用为390元，在扣除每天的成本(进货和租摊位等费用)后，宁宁的妈妈把利润(剩余的钱)存入银行，根据图示回答下面的问题：
(1)宁宁的妈妈每天卖服装的成本是多少元钱；
(2)如果按下来平均每天都能有同样多的利润，宁宁的妈妈将在一个月(31天)中获得的总利润的捐献给爱心基金会，那么宁宁的妈妈这次捐献了多少元钱；
(3)在(2)的条件下，宁宁的妈妈在月末还要把存入银行的钱(捐款之后剩余的钱)全部转到新开设的账户上(账户里只有这一笔钱)，由于疫情原因，宁宁居家上网课，为保证网课的效果，妈妈用这笔钱为宁宁购买了学习用品，已知购买打印机花了帐户里的，购买摄像头291.3元，网络安装560元，比购买电脑少花，此时账户里还有多少钱．
【答案】(1)520元(2)806元(3)3800元
【分析】（1）平均每天进货费为390元，占平均每天总收入的，摊位费占平均每天总收入的，每天成本包括进货费和摊位费，为元；
（2）每天的总收入为元，每天的利润为每天总收入减去成本元，宁宁的妈妈把在一个月(31天)中获得的总利润的捐献给爱心基金会，这次捐献的钱为元；（3）新账户上的钱为月总利润减去捐献的款元，设电脑为x元，，解得，验根是所列方程的解，买电脑花掉2240元，安装网络花掉560元，买摄像头花掉291.3元，买打印机花掉了帐户里的，账户里还剩元．
（1）解：每天成本：(元)；
（2）解：每天总收入：(元)，
每天总利润： (元)，
月捐献的款： (元)；
（3）解：设电脑为x元，，，
检验：是原方程的解，
新账户里的款： (元)，
新账户里剩余的款： (元)．
【点睛】本题主要考查了扇形统计图和有理数的四则运算的应用，解决问题的关键是熟练掌握扇形统计图的意义，按收支的加减关系列出算式进行计算．
模块3：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023·山东青州·初二期末）已知关于的分式方程无解，则的值为（ ）
A． B．或 C． D．或或
【答案】D
【分析】先求出分式方程的解，无解时，解中的分母为0或解等于±2即可.
【解析】解：由得x=
∵分式方程无解 ∴=±2或m+4=0∴m=0或m=-8或∴或或故答案为D.
【点睛】本题考查了分式的解和分式方程的解法，解答的关键在于解分式方程和分式无解的条件.另外，让分式的解有意义是本题的易错点.
2．（2023·江苏九年级专题练习）方程的增根为（ ）
A．1 B．1和 C． D．0
【答案】A
【分析】由分式方程产生増根，即分母等于0的x的值，然后解分式方程，即可得到答案．
【详解】解：∵增根就是分式方程无解时，未知数的值．
∴将原方程化为整式方程为，解得：．故选：A．
【点睛】本题考查解分式方程，以及分式方程増根的意义，解题的关键是掌握解分式方程的方法进行解题．
3．（2023秋·广东湛江·八年级统考期末）已知关于的分式方程的解为整数，则符合条件的整数可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
【答案】B
【分析】解该分式方程得，结合该分式方程的解为整数和分式有意义的条件，即得出为2的倍数且，即选B．
【详解】解：，
方程两边同时乘，得：，解得：，
∵该分式方程的解为整数，∴为2的倍数，∴为2的倍数．
∵，∴，∴，∴，
综上可知为2的倍数且．∴只有B选项符合题意．故选B．
【点睛】本题考查解分式方程，分式方程有意义的条件．掌握解分式方程的步骤和注意分式的分母不能为0是解题关键．
4．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）已知一艘轮船顺水航行50千米和逆水航行30千米共用的时间，正好等于船在静水中航行80千米所用的时间，并且水流的速度是3千米／小时，设轮船在静水中的速度为x千米／小时，则下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设轮船在静水中的速度为x千米/小时，根据“轮船顺水航行50千米和逆水航行30千米共用的时间，正好等于船在静水中航行80千米所用的时间”，列出方程，即可求解．
【详解】解：设轮船在静水中的速度为x千米／小时，列方程为：，故选C．
5．（23-24八年级下·山西临汾·阶段练习）近年来，我市大力发展交通，建成多条快速通道，小张开车从家到单位有两条路线可选择，路线为全程30千米的普通道路，路线包含快速通道，全程25千米．走路线比路线的平均速度提高，时间节省20分钟，问走路线和路线的平均速度分别是多少？设走路线的平均速度为千米/小时．根据题意，可列方程（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了分式方程的应用，根据题意列方式方程是解题的关键；根据走两条路线速度间的关系，可得出走路线b的平均速度为千米/小时，利用时间=路程速度，结合走路线b比路线a时间节省20分钟，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【详解】解：设走路线a的平均速度为x千米/小时，则走路线b的平均速度为千米/小时，
由题意得，，故选：．
6．（2023·陕西金台·）某公司为尽快给医院供应一批医用防护服，原计划x天生产1200防护服，由于采用新技术，每天增加生产30套，因此提前2天完成任务，列出方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据工作效率=工作总量÷时间结合采用新技术后每天多生产30套，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【详解】解：依题意，得：，故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
7．（2023·山东临沂市·中考真题）某工厂生产、两种型号的扫地机器人．型机器人比型机器人每小时的清扫面积多50%；清扫所用的时间型机器人比型机器人多用40分钟． 两种型号扫地机器人每小时分别清扫多少面积？若设型扫地机器人每小时清扫，根据题意可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据清扫100m2所用的时间A型机器人比B型机器人多用40分钟列出方程即可．
【详解】解：设A型扫地机器人每小时清扫xm2，由题意可得：，故选D．
【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系．
8．（2023·禹城市八年级期中）2013年9月，北京到大连的高铁开通运营，高铁列车的运行时间比原动车组的运行时间还要快2小时，已知北京到大连的铁路长约为910千米，原动车组列车的平均速度为千米/时，高铁列车的平均速度比原动车组列车增加了52千米/时．依题意，下面所列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分别求出乘坐动车和高铁所用的时间，然后根据题意高铁列车的运行时间比原动车组的运行时间还要快2小时，列出方程即可．
【解析】解：乘坐动车所用的时间为：，乘坐高铁所用的时间为：，
则列方程为：，故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是分别求出乘坐动车和高铁所用的时间，找出等量关系列方程．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
9．（2024·新疆昌吉·一模）某书店分别用400元和500元两次购进同一种书，第二次数量比第一次多10本，且两次进价相同．若设该书店第一次购进本，根据题意，列方程为 ．
【答案】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
根据“第一次购买的单价第二次购买的单价”可列方程；
【详解】解：∵第二次数量比第一次多10本，且该书店第一次购进x本，
∴第二次购进本，依题意得：，故答案为：．
10．（2023·山西晋城·统考一模）山西省宁武县被命名为“中国高原莜麦之乡”．莜麦是世界公认的营养价值很高的粮种之一，对预防和治疗高血压、糖尿病等多种疾病，促进新陈代谢有明显功效．某莜麦标准化种植基地在改良前种植总产量可以达到，经过改良后，平均每亩产量是原来的1．5倍．若改良后种植总产量不变，但种植亩数减少25亩，求改良前平均每亩的产量．若设改良前平均每亩的产量为，则可列方程为__________．
【答案】
【分析】根据改良后种植总产量不变，但种植亩数减少25亩，列出方程即可．
【详解】解：设改良前平均每亩的产量为，则，改良后平均每亩的产量为，
由题意，得：；故答案为：．
【点睛】本题考查分式方程的应用．找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键．
11．（2023·云南·八年级校考阶段练习）若关于x的分式方程无解，则_______．
【答案】或3或
【分析】分式方程无解分两种情况分析：（1）原方程存在增根；（2）原方程去掉分母后，整式方程无解．
【详解】解：方程两边都乘，得，
化简得，得：，
当时，方程无解；
当时，分母为零，分式方程无解，
把代入整式方程，；
把代入整式方程，得；
综上可得：或3或．
故答案是：或3或．
【点睛】本题考查了分式方程无解问题，解题关键是分情况分析：当分式方程有增根的情况和分式方程化简后的整式方程无解的情况．
12．（2022秋·云南昆明·八年级昆明市第三中学校考阶段练习）甲、乙两船从相距的A、B两地同时出发相向而行，甲船从A地顺流航行时与从B地逆流航行的乙船相遇，水流的速度为．若甲、乙两船在静水中的速度相同，则可求得两船在静水中的速度为___________．
【答案】30
【分析】设甲、乙两船在静水中的速度均为，则顺流速度为，逆流速度为，根据题意可得顺流行驶千米所用时间等于逆流所用时间，根据时间关系可得方程，即可求解．
【详解】解：设甲、乙两船在静水中的速度均为，根据题意得：
，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
答：两船在静水中的速度为．
故答案为：30．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
13．（2022·四川省乐至实验中学）若关于的分式方程有增根，则的值为________．
【答案】
【分析】把分式方程化为整式方程，进而把可能的增根代入，可得ｋ的值．
【详解】解：去分母得即 当增根为x=2时，
∴，∴故答案为：．
【点睛】考查分式方程的增根问题；增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
14．（2022·湖南·八年级阶段练习）若关于x的方程无解，则m的值是_________．
【答案】7
【分析】将分式方程化简，根据分式方程无解，得出，即可求出值．
【详解】解：去分母得：移项合并得：
因为原方程无解，即解得故答案为7．
【点睛】本题考查了分式方程，熟练掌握分式方程无解情况，即分式方程化为一元一次方程，唯一解为增根时无解，是解题关键．
15．（2023·江苏·八年级阶段练习）某中学组织学生去离学校的东山农场，先遣队与大队同时出发，先遣队的速度是大队的速度的1.2倍，若先遣队比大队早到了，设大队的速度为，可得方程为_____________．
【答案】
【分析】设大队的速度为xkm/h，则先遣队的速度为1.2xkm/h，根据先遣队比大队早到0.5h列出分式方程求解即可．
【详解】解：设大队的速度为xkm/h，则先遣队的速度为1.2xkm/h，
根据题意得：，故答案为：．
【点睛】本题考查分式方程的应用，理解题意，正确列出分式方程是解答的关键．
16．（2022·江苏常州·八年级期末）若关于的分式方程有正整数解，则整数的值是_________．
【答案】或
【分析】先解分式方程，当时，可得再根据为正整数，且 为整数，逐一分析可得答案.
【详解】解： ，
当时，
为正整数，且 为整数，是的因数，
当时，当时，，舍去，当时，
当时，，舍去，所以的值为：或，故答案为：或
【点睛】本题考查的是解分式方程，根据分式方程的解为正整数求解字母系数的值，正确分析各个限制性的条件，理解题意是解题的关键.
三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（23-24九年级下·广东佛山·阶段练习）“金山银山，不如绿水青山”．在今年植树节期间，某地“青年志愿团”决定义务植树120棵．开工后，附近居民主动参加到义务劳动中，使得植树的速度比原计划提高了，结果提前2小时完成了任务，求“青年志愿团”原计划每小时植树多少棵？
【答案】“青年志愿团”原计划每小时植树棵
【分析】本题主要考查分式方程的应用，设“青年志愿团”原计划每小时植树棵，根据“原计划时间实际时间”列分式方程求解可得．解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，并据此列出方程求解．
【详解】解：设“青年志愿团”原计划每小时植树棵，
根据题意得：，解得：，
经检验：是原方程的解，
答：“青年志愿团”原计划每小时植树棵．
18．（22-23八年级下·吉林长春·期中）为了让学生崇尚劳动，尊重劳动，在劳动中提升综合素质，甲班挖1500千克土豆与乙班挖1200千克土豆所用的时间相同．已知甲班平均每小时比乙班多挖100千克土豆，问乙班平均每小时挖多少千克土豆？
【答案】400千克
【分析】题目考查分式方程的应用，设乙班平均每小时挖x千克土豆，根据题意列出方程求解即可．
【详解】解：设乙班平均每小时挖x千克土豆，
根据题意，得，解得，
经检验，是原方程的根，且符合题意；
答：乙班平均每小时挖400千克土豆．
19.（23-24八年级下·福建福州·开学考试）为落实“全民健身国家战略，推动健康中国建设”，我市体育局组织了系列的体育赛事，其中半程马拉松（公里），他们约好一起去公园长跑训练，跑完后，发现小林用分钟跑的路程和小李用分钟跑的路程一样多，而小林的平均配速比小李的平均配速小分钟/公里，问这次训练小林和小李的平均配速各是多少分钟/公里．（说明：“配速”是速度的一种，指每公里所花的时间，它是长跑者关注的一项重要指标）
【答案】这次训练小林的平均配速为分钟/公里，小李的平均配速为分钟/公里．
【分析】本题考查分式方程解决应用问题，设这次训练小林的平均配速为x分钟/公里，根据路程一样多列式求解即可得到答案；
【详解】解：设这次训练小林的平均配速为x分钟/公里，则这次训练小李的平均配速为分钟/公里，由题意可得，依题意得：，解得：，
经检验，是原方程的解，∴，
答：这次训练小林的平均配速为分钟/公里，小李的平均配速为分钟/公里．
20．（2023·湖南·八年级阶段练习）若关于x的分式方程无解，求m的值？
【答案】或
【分析】将原分式方程化为整式方程，根据时方程无解，即可得出结果；再考虑增根情况，即时，将其代入整式方程即可．
【详解】解：去分母，得：，
移项合并，得：，
当时，即时，该方程无解；
当原方程有增根时，分母，增根，
将代入整式方程，
得：，解得，
即当时，原分式方程有增根，原方程也无解．
∴若原分式方程无解，则或．
【点睛】本题考查了分式方程无解问题，熟记分式方程无解的情况，把分式方程化为整式方程是解题关键．
21．（2023·南通市八年级月考）已知关于x的方程
（1）已知，求方程的解；（2）若该方程无解，试求m的值；
【答案】（1）；（2）或或1．
【分析】（1）把m=4代入解分式方程即可；
（2）化原方程为整式方程，然后据原方程无解，列出关于m的方程求解即可．
【详解】解：（1）把m=4代入原方程得
方程两边同时乘以，去分母并整理得，解得
经检验，是原方程的解；
（2）解：方程两边同时乘以，
去分母并整理得，
∵原分式方程有无解，∴或，
当时，得； 当时，解得：或，
当时，得；当时，得； 所以m的值可能为1、或6．
【点睛】此题考查解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
22．（2023·重庆·八年级期中）已知关于x的分式方程
(1)已知m=4，求方程的解；(2)若该分式方程无解，试求m的值．
【答案】(1)x＝ 1
(2)m＝ 1或 6或．
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，将m＝2代入计算即可求出x的值；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求解得到，由分式方程无解，得到m＋1＝0或（x＋2）（x 1）＝0，解m＋1＝0可求得一个m的值，将x＝ 2或x＝1代入整式方程即可求出另外两个m的值．
（1）解：分式方程去分母得：2（x＋2）＋mx＝x 1，
整理得：（m＋1）x＝ 5．
当m＝4时，（4＋1）x＝ 5，解得：x＝ 1
经检验：x＝ 1是原方程的解．
（2）解：分式方程去分母得：2（x＋2）＋mx＝x 1，
整理得：（m＋1）x＝ 5．
∴
∵分式方程无解，
∴m＋1＝0或（x＋2）（x 1）＝0，
当m＋1＝0时，m＝ 1；
当（x＋2）（x 1）＝0时，x＝ 2或x＝1．
当x＝ 2时m＝；
当x＝1时m＝ 6，
∴m＝ 1或 6或时该分式方程无解．
【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
23．（2023·内蒙古凉城·期末）为了支援青海省玉树地区人民抗震救灾，四川省某休闲用品有限公司主动承担了为灾区生产2万顶帐篷的任务，计划用10天完成．
（1）按此计划，该公司平均每天应生产帐篷 顶；（2）生产2天后，公司又从其他部门抽调了50名工人参加帐篷生产，同时通过技术革新等手段使每位工人的工作效率比原计划提高了25%，结果提前2天完成了生产任务．求该公司原计划安排多少名工人生产帐篷？
【答案】（1）2000；（2）该公司原计划安排750名工人生产帐篷．
分析：（1）直接利用20000÷10即可得到平均每天应生产帐篷多少顶；
（2）设该公司原计划安排x名工人生产帐篷，那么原计划每名工人每天生产帐篷顶，后来每名工人每天生产帐篷×（1+25%）顶，然后根据已知条件即可列出方程10-2-2=，解方程即可求出该公司原计划安排多少名工人生产帐篷．
【解析】（1）该公司平均每天应生产帐篷20000÷10=2000顶；
（2）设该公司原计划安排x名工人生产帐篷，
依题意得，（10-2-2）××1.25×（x+50）=20000-2×2000，即16000x=15000（x+50），
1000x=750000，解得x=750，经检验x=750是方程的解，
答：该公司原计划安排750名工人生产帐篷．
考点：分式方程的应用．
24．（2023·四川广元·八年级期末）倡导健康生活推进全民健身，某社区去年购进，两种健身器材若干件，经了解，种健身器材的单价是种健身器材单价的1.5倍，用7200元购买种健身器材比用5400元购买种健身器材多10件．(1)，两种健身器材的单价分别是多少元？
(2)若今年种健身器材的单价相较去年上涨了，种健身器材的单价相较去年下降了，这样用7200元购买种健身器材和用5400元购买种健身器材的数量就一样多，求的值．（保留一位小数）
【答案】(1)种健身器材的单价是360元，种健身器材的单价是540元 (2)33.3
【分析】（1）设种健身器材的单价为元，则种健身器材的单价为元，根据用7200元购买种健身器材数 用5400元购买种健身器材数=10，列分式方程求解即可；
（2）用7200元购买种健身器材的数量=用5400元购买种健身器材的数量，列分式方程求解即可．
【详解】（1）解：设种健身器材的单价为元，则种健身器材的单价为元．
根据题意，得，解得，
经检验，是原方程的解，（元）．
答：种健身器材的单价是360元，种健身器材的单价是540元；
（2）解：根据题意，得，解得，
经检验，是原方程的解，∴．
【点睛】本题主要考查了分式方程在生活中的应用，根据题意找出等量关系列分式方程是解题的关键，解分式方程时检验是解题的易错点．
25．（2024·重庆·一模）某商店直接从工厂购进，两款热水袋，已知老板购进个款热水袋与个款热水袋的费用相同，购进个款热水袋比个款热水袋的费用多元．
(1)求每个款热水袋与每个款热水袋的进价；(2)商店老板为了吸引顾客，决定对款热水袋进行打折销售，经计算，款热水袋降价后获得的销售额为元，比按照原价打九折销售要多卖个才能获得相同的销售额，则款热水袋降价前的售价为每个多少元？
【答案】(1)A款热水袋购进的个数为元/个款热水袋进价为元/个；(2)款热水袋降价以前的售价元．
【分析】本题考查了二元一次方程的应用，分式方程的应用，准确理解题意，列出相应的等量关系是解题的关键．（1）设款热水袋进价为元/个，款热水袋进价为元/个，根据购进个款热水袋与个款热水袋的费用相同，购进个款热水袋比个款热水袋的费用多元，可列二元一次方程组，即可解答；
（2）设款热水袋降价以前的售价为元，则可得降价后的售价为元，利用按照按照原价打九折销售的个数加上等于降价后销售的个数，可列分式方程，即可解答．
【详解】（1）解：设款热水袋进价为元/个，款热水袋进价为元/个，
根据题意可得，解得，
答：款热水袋购进的个数为元/个款热水袋进价为元/个；
（2）解：设款热水袋降价以前的售价为元，则可得降价后的售价为元，打九折销售的售价为元，
根据题意可得，解得，
经检验，为原方程的解，
答：款热水袋降价以前的售价元．
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专题5-6. 分式方程中的参数问题与分式方程实际应用问题
模块1：模型简介
分式方程含参问题的解题步骤：
①参数当成“常数”解出分式方程；
②根据“分式方程有增根”、“分式方程有解与无解”、“分式方程的解为正或负数”、“分式方程有整数解”等类型，利用各条件自确定出参数的取值范围；
注：分式方程含参问题特别注意要排除增根的情况。
模块2：核心模型点与典例
问题1:分式方程含参问题
考点1.根据分式方程解的情况求待定系数值或取值范围（一）有增根
解题技巧：含有参数的分式方程有增根求参数的一般方法：
①解含有参数的分式方程(用含有参数的代数式表示未知数的值)；
②确定增根(最简公分母为0)；③将增根的值代入整式方程的解，求出参数；
例1．（2023·陕西·八年级期末）已知关于x的分式方程的增根是，则m的值为________．
变式1．（2023·江苏九年级专题练习）关于x的分式方程(其中a为常数)有增根，则增根为_____．
例2．（2023·上海八年级期中）已知关于x的分式方程有增根，则m＝_____．
变式2．（2023·湖南·月考）若解分式方程产生增根，则m的值为（ ）
A．1 B．-4 C．-5 D．-3
例3．（2023·浙江东阳·七年级期末）关于x的分式方程：．
（1）当m＝3时，求此时方程的根；（2）若这个关于x的分式方程会产生增根，试求m的值．
变式3．（2023·江西九年级阶段练习）解关于x的方程不会产生增根，则k的值是（　　）
A．2 B．1 C．且 D．无法确定
考点2.根据分式方程解的情况求待定系数值或取值范围（二）无解与有解
解题技巧：含有参数的分式方程无解求参数的一般方法：
①将分式方程转化为整式方程，并整理成一般形式(ax=b)；
②讨论整式方程无解的情况：1）当a=0时，方程满足无解；2）当a≠0时，整式方程有解，则讨论该解为增根的情况。
当分式方程无解时，既要考虑分式方程有增根的情形，又要考虑整式方程无解的情形．
分式方程有解，特别要注意考虑排除增根的情况。
例1．（2023·西安·陕西师大附中）若关于的分式方程无解，则的值是________．
变式1．（2023·江苏九年级专题练习）如果关于的分式方程无解，那么的值为（ ）
A．4 B． C．2 D．
例2．（2023·日照市九年级）已知关于x的方程无解，则m的值是___．
变式2．（2023·南通市八年级月考）若关于x的分式方程无解，求m 的值．
例3．（2023·石家庄市八年级期末）关于的分式方程有解，则字母的取值范围是（ ）
A．或 B． C． D．且
变式3．（2023·山东）当k取何值时，分式方程有解？
考点3. 根据分式方程解的情况求待定系数值或取值范围（四）整数解问题
解题技巧：先解分式方程，得到方程的解为某分式值，再根据分式值为整数的条件和试值法逐一检验即可。
例1．（2023·四川达州市·中考真题）若分式方程的解为整数，则整数___________．
变式1．（2023·山东枣庄二模）若整数a使关于x的分式方程﹣2＝有整数解，则符合条件的所有a之和为（　　）
A．7 B．11 C．12 D．13
例2．（2023·河南南阳·八年级阶段练习）若实数使得关于的分式方程有正整数解，则所有满足条件的的值之和是（ ）
A．20 B．17 C．15 D．12
变式2．（2020·黑龙江穆棱·中考真题）若关于x的分式方程有正整数解，则整数m的值是（ ）
A．3 B．5 C．3或5 D．3或4
问题2：分式方程的应用题
考点1、工程问题
解题技巧：工程问题，常设工程总量为单位“1”，然后利用公式：工作效率×工作时间=工作总量来列写等量方程。
例1．（2023·广东·深圳市二模）某工程队经过招标，中标2500米的人才公园跑道翻修任务，但在实际开工时．……，求实际每天修路多少米？在这个题目中，若设实际每天翻修跑道x米，可得方程．则题目中用“……”表示的条件应是（ ）
A．每天比原计划多修50米的跑道，结果延期10天完成
B．每天比原计划少修50米的跑道，结果提前10天完成
C．每天比原计划少修50米的跑道，结果延期10天完成
D．每天比原计划多修50米的跑道，结果提前10天完成
变式1．（2023·湖南·岳阳市第十九中学八年级阶段练习）为落实党中央“长江大保护”新发展理念，我市持续推进长江岸线保护，还洞庭湖和长江水清岸绿的自然生态原貌.某工程队负责对一面积为33000平方米的非法砂石码头进行拆除，回填土方和复绿施工，为了缩短工期，该工程队增加了人力和设备，实际工作效率比原计划每天提高了，结果提前11天完成任务，求实际平均每天施工多少平方米？设实际平均每天施工x平方米，则可列出方程为_______________________________
例2．（2023·吉林铁西·八年级期末）某危险品工厂采用甲型、乙型两种机器人代替人力搬运产品．甲型机器人比乙型机器人每小时多搬运10kg，甲型机器人搬运800kg所用时间与乙型机器人搬运600kg所用时间相等．问乙型机器人每小时搬运多少kg产品？根据以上信息，解答下列问题．（1）小华同学设乙型机器人每小时搬运kg产品，可列方程为______．小惠同学设甲型机器人搬运800kg所用时间为小时，可列方程为______．（2）请你按照（1）中小华同学的解题思路，写出完整的解答过程．
变式2.（2023·湖北武汉·八年级期末）现有甲、乙两个搬运工作小组来完成一种特殊材料的搬运工作．甲组比乙组每小时多搬运30 kg，甲组搬运900 kg所用时间与乙组搬运600 kg所用时间相等．
（1）求甲组每小时可搬运多少这种材料？（2）若甲组搬运900 kg与乙组搬运300 kg所需的搬运费和为10500元；甲组搬运540 kg与乙组搬运600 kg所需搬运费和为9800元，求甲、乙两个小组每小时的搬运费分别为多少元？（3）在（2）的条件下若甲组搬运 m kg这种材料与乙组搬运 n kg 这种材料所需的搬运费和不超过1 万元，请直接写出m与n满足的关系式．
例3．（2023·河南安阳·八年级期末）某一工程，在工程招标时，接到甲乙两个工程队的投标书．施工一天需付甲工程队工程款1.5万元，付乙工程队工程款1.1万元．工程领导们根据甲乙两队的投标书测算，可有三种施工方案：
方案：甲队单独完成这项工程刚好如期完成；
方案：乙队单独完成这项工程比规定日期多用5天；
方案：若甲乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成．
在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？
变式3．（2023·甘肃天水·八年级期末）在社会主义新农村建设中，某乡镇决定对一段公路进行改造．已知这项改造工程由甲工程队单独做需要40天完成；如果由乙工程队先单独做10天，那么剩下的工程还需要两队合做20天才能完成．(1)求乙工程队单独完成这项工程所需的天数；(2)若两队合做这项工程，求完成工程所需的天数．(3)若甲队的费用每天1200元，乙队每天850元，可以有哪些施工方案？怎样施工费用最低？
考点2、行程问题
解题技巧：行程问题需要注意是相遇问题还是追击问题
相遇问题：（甲速度+乙速度）×时间=总路程 追击问题：（快－慢）×时间=距离
例1．（2023·广东·佛山市华英学校三模），两地相距千米，一辆大汽车从地开出小时后，又从地开出另一辆小汽车，已知小汽车的速度是大汽车速度的倍，结果小汽车比大汽车早分钟到达地，求两种汽车每小时各走多少千米．设大汽车的速度为，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2023·山东·八年级期末）小李和小刚同时从学校出发去距离20千米的青少年素质训基地，小张比小王每小时多行1千米，结果比小王早到半小时，设小王每小时走千米，则（　　）
A． B． C． D．
例2．（2023·新疆·八年级期中）一艘轮船在静水中的最大航速为千米/时，它沿江以最大航速顺流航行千米所用时间，与以最大航速逆流航行千米所用时间相等．求江水的流速为多少千米/时．
变式2．（2023·河北张家口·初三二模）甲、乙两船从相距300km的A、B两地同时出发相向而行，甲船从A地顺流航行180km时与从B地逆流航行的乙船相遇，水流的速度为6km/h，若甲、乙两船在静水中的速度均为xkm/h，则求两船在静水中的速度可列方程为（　　）A．= B．= C．= D．=
例3．（2023·河南汝州·）为了响应打赢“蓝天保卫战”的号召，张老师上下班的交通方式由驾车改为骑自行车，张老师的家距学校的路程是8千米；在相同的路线上，驾车的平均速度是骑自行车平均速度的3倍，这样，张老师每天上班要比开车早出发一小时，才能按原驾车时间到达学校．（1）求张老师骑自行车的平均速度；（2）据测算，张老师的汽车在上下班行驶过程中平均每小时碳排放量约为12千克，这样张老师一天（按一个往返计算）可以减少碳排放量多少千克？
变式3．（2023·山西中考真题）太原武宿国际机场简称“太原机场”，是山西省开通的首条定期国际客运航线．游客从太原某景区乘车到太原机场，有两条路线可供选择，路线一：走迎宾路经太输路全程是25千米，但交通比较拥堵；路线二：走太原环城高速全程是30千米，平均速度是路线一的倍，因此到达太原机场的时间比走路线一少用7分钟，求走路线一到达太原机场需要多长时间．
考点3、销售问题
解题技巧：销售问题需要抓住的等量关系式为：利润=售价－进价 利润率=
例1．（2020·辽宁朝阳市·中考真题）某体育用品商店出售毽球，有批发和零售两种售卖方式，小明打算为班级购买键球，如果给每个人买一个毽球，就只能按零售价付款，共需80元；如果小明多购买5个毽球，就可以享受批发价，总价是72元．已知按零售价购买40个毽球与按批发价购买50个毽球付款相同，则小明班级共有多少名学生？设班级共有x名学生，依据题意列方程得（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2023·山东滨州·八年级期末）2020年初，湖北武汉出现了“新型冠状病毒感染肺炎”疫情，面对突如其来的疫情，全国人民众志成城，携手抗疫．甲、乙两单位为“新冠疫情”分别捐款4800元、6000元，已知甲单位捐款人数比乙单位少50人，而甲单位人均捐款数比乙单位多1元，若设甲单位有x人捐款，则所列方程是（　　）
A． B． C． D．
例2．（2023·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级期中）某学校计划从商店购买测温枪和洗手液，已知购买一个测温枪比购买一瓶洗手液多用20元，若用400元购买测温枪和用160元购买洗手液，则购买测温枪的数量是购买洗手液数量的一半．（1）求购买一个测温枪、一瓶洗手液各需多少元；（2）经商谈，商店给予该学校购买一个测温枪赠送一瓶洗手液的优惠，如果该学校需要洗手液的数量是测温枪数量的2倍还多8个，且该学校购买测温枪和洗手液的总费用不超过1540元，那么该学校最多可购买多少个测温枪？
变式2．（2023·河南汝阳·八年级期末）某文具店第一次用元购进某款书包，很快卖完．临近开学，又用元购进该款书包，但这次每个书包的进价是第一次进价的倍，数量比第一次少了个．（1）第一次每个书包的进价是多少元？（2）若第二次进货后该款书包按元/个的价格销售，恰好销售完一半时，根据市场情况，文具店决定对剩余的书包按同一标准一次性打折销售，但要求第二次购进的书包的利润不少于元，问最低打几折？例3．（2023·重庆一中九年级阶段练习）“遥知涟水蟹，九月已经霜，巨实黄金重，舒肥白玉香”，金秋时节，是吃螃蟹的最佳季节．某螃蟹经销商出售梭子蟹、青蟹、大闸蟹三种产品．10月1日，梭子蟹、青蟹的销量之比为，青蟹、大闸蟹的销量之比为，梭子蟹、青蟹的单价之比为，大闸蟹的单价比青餐高．10月8日，随着假期结束，梭子蟹、青蟹的购买热度与10月1日相比有所下降，单价也有所变化，梭子蟹下降的销量占当天三种螃蟹总销量的，梭子蟹、青蟹的销量之比为．10月8日，大闸蟹因为单价降低50%，销量反而有所增长，结果发现，10月8日大闸蟹的销售额恰好等于10月1日大闸蟹的销售额，梭子蟹和青蟹在10月8日的总销售额之比为，梭子蟹两天的总销售额与青蟹两天的总销售额之比为，则10月8日，梭子蟹与大闸蟹的单价之比为___________．
变式3．（2023·黑龙江·阶段练习）宁宁的妈妈在市场卖服装，平均每天进货费用为390元，在扣除每天的成本(进货和租摊位等费用)后，宁宁的妈妈把利润(剩余的钱)存入银行，根据图示回答下面的问题：
(1)宁宁的妈妈每天卖服装的成本是多少元钱；
(2)如果按下来平均每天都能有同样多的利润，宁宁的妈妈将在一个月(31天)中获得的总利润的捐献给爱心基金会，那么宁宁的妈妈这次捐献了多少元钱；
(3)在(2)的条件下，宁宁的妈妈在月末还要把存入银行的钱(捐款之后剩余的钱)全部转到新开设的账户上(账户里只有这一笔钱)，由于疫情原因，宁宁居家上网课，为保证网课的效果，妈妈用这笔钱为宁宁购买了学习用品，已知购买打印机花了帐户里的，购买摄像头291.3元，网络安装560元，比购买电脑少花，此时账户里还有多少钱．
模块3：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023·山东青州·初二期末）已知关于的分式方程无解，则的值为（ ）
A． B．或 C． D．或或
2．（2023·江苏九年级专题练习）方程的增根为（ ）
A．1 B．1和 C． D．0
3．（2023秋·广东湛江·八年级统考期末）已知关于的分式方程的解为整数，则符合条件的整数可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
4．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）已知一艘轮船顺水航行50千米和逆水航行30千米共用的时间，正好等于船在静水中航行80千米所用的时间，并且水流的速度是3千米／小时，设轮船在静水中的速度为x千米／小时，则下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24八年级下·山西临汾·阶段练习）近年来，我市大力发展交通，建成多条快速通道，小张开车从家到单位有两条路线可选择，路线为全程30千米的普通道路，路线包含快速通道，全程25千米．走路线比路线的平均速度提高，时间节省20分钟，问走路线和路线的平均速度分别是多少？设走路线的平均速度为千米/小时．根据题意，可列方程（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·陕西金台·）某公司为尽快给医院供应一批医用防护服，原计划x天生产1200防护服，由于采用新技术，每天增加生产30套，因此提前2天完成任务，列出方程为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·山东临沂市·中考真题）某工厂生产、两种型号的扫地机器人．型机器人比型机器人每小时的清扫面积多50%；清扫所用的时间型机器人比型机器人多用40分钟． 两种型号扫地机器人每小时分别清扫多少面积？若设型扫地机器人每小时清扫，根据题意可列方程为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·禹城市八年级期中）2013年9月，北京到大连的高铁开通运营，高铁列车的运行时间比原动车组的运行时间还要快2小时，已知北京到大连的铁路长约为910千米，原动车组列车的平均速度为千米/时，高铁列车的平均速度比原动车组列车增加了52千米/时．依题意，下面所列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
9．（2024·新疆昌吉·一模）某书店分别用400元和500元两次购进同一种书，第二次数量比第一次多10本，且两次进价相同．若设该书店第一次购进本，根据题意，列方程为 ．
10．（2023·山西晋城·统考一模）山西省宁武县被命名为“中国高原莜麦之乡”．莜麦是世界公认的营养价值很高的粮种之一，对预防和治疗高血压、糖尿病等多种疾病，促进新陈代谢有明显功效．某莜麦标准化种植基地在改良前种植总产量可以达到，经过改良后，平均每亩产量是原来的1．5倍．若改良后种植总产量不变，但种植亩数减少25亩，求改良前平均每亩的产量．若设改良前平均每亩的产量为，则可列方程为__________．
11．（2023·云南·八年级校考阶段练习）若关于x的分式方程无解，则_______．
12．（2022秋·云南昆明·八年级昆明市第三中学校考阶段练习）甲、乙两船从相距的A、B两地同时出发相向而行，甲船从A地顺流航行时与从B地逆流航行的乙船相遇，水流的速度为．若甲、乙两船在静水中的速度相同，则可求得两船在静水中的速度为___________．
13．（2022·四川省乐至实验中学）若关于的分式方程有增根，则的值为________．
14．（2022·湖南·八年级阶段练习）若关于x的方程无解，则m的值是_________．
15．（2023·江苏·八年级阶段练习）某中学组织学生去离学校的东山农场，先遣队与大队同时出发，先遣队的速度是大队的速度的1.2倍，若先遣队比大队早到了，设大队的速度为，可得方程为_____________．
16．（2022·江苏常州·八年级期末）若关于的分式方程有正整数解，则整数的值是_________．
三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（23-24九年级下·广东佛山·阶段练习）“金山银山，不如绿水青山”．在今年植树节期间，某地“青年志愿团”决定义务植树120棵．开工后，附近居民主动参加到义务劳动中，使得植树的速度比原计划提高了，结果提前2小时完成了任务，求“青年志愿团”原计划每小时植树多少棵？
18．（22-23八年级下·吉林长春·期中）为了让学生崇尚劳动，尊重劳动，在劳动中提升综合素质，甲班挖1500千克土豆与乙班挖1200千克土豆所用的时间相同．已知甲班平均每小时比乙班多挖100千克土豆，问乙班平均每小时挖多少千克土豆？
19.（23-24八年级下·福建福州·开学考试）为落实“全民健身国家战略，推动健康中国建设”，我市体育局组织了系列的体育赛事，其中半程马拉松（公里），他们约好一起去公园长跑训练，跑完后，发现小林用分钟跑的路程和小李用分钟跑的路程一样多，而小林的平均配速比小李的平均配速小分钟/公里，问这次训练小林和小李的平均配速各是多少分钟/公里．（说明：“配速”是速度的一种，指每公里所花的时间，它是长跑者关注的一项重要指标）
20．（2023·湖南·八年级阶段练习）若关于x的分式方程无解，求m的值？
21．（2023·南通市八年级月考）已知关于x的方程
（1）已知，求方程的解；（2）若该方程无解，试求m的值；
22．（2023·重庆·八年级期中）已知关于x的分式方程
(1)已知m=4，求方程的解；(2)若该分式方程无解，试求m的值．
23．（2023·内蒙古凉城·期末）为了支援青海省玉树地区人民抗震救灾，四川省某休闲用品有限公司主动承担了为灾区生产2万顶帐篷的任务，计划用10天完成．
（1）按此计划，该公司平均每天应生产帐篷 顶；（2）生产2天后，公司又从其他部门抽调了50名工人参加帐篷生产，同时通过技术革新等手段使每位工人的工作效率比原计划提高了25%，结果提前2天完成了生产任务．求该公司原计划安排多少名工人生产帐篷？
24．（2023·四川广元·八年级期末）倡导健康生活推进全民健身，某社区去年购进，两种健身器材若干件，经了解，种健身器材的单价是种健身器材单价的1.5倍，用7200元购买种健身器材比用5400元购买种健身器材多10件．(1)，两种健身器材的单价分别是多少元？
(2)若今年种健身器材的单价相较去年上涨了，种健身器材的单价相较去年下降了，这样用7200元购买种健身器材和用5400元购买种健身器材的数量就一样多，求的值．（保留一位小数）
25．（2024·重庆·一模）某商店直接从工厂购进，两款热水袋，已知老板购进个款热水袋与个款热水袋的费用相同，购进个款热水袋比个款热水袋的费用多元．
(1)求每个款热水袋与每个款热水袋的进价；(2)商店老板为了吸引顾客，决定对款热水袋进行打折销售，经计算，款热水袋降价后获得的销售额为元，比按照原价打九折销售要多卖个才能获得相同的销售额，则款热水袋降价前的售价为每个多少元？
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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