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第7章 一元一次不等式与不等式组常考易错（7个考点40题专练）
一．不等式的性质（共5小题）
1．（2023春 蜀山区校级期中）已知，则下列不等式一定成立的是　　
A． B． C． D．
2．（2023春 天长市校级月考）已知，下列式子不成立的是　　
A． B．
C． D．
3．（2023春 霍山县校级期中）如图所示，，，，四人在公园玩跷跷板，根据图中的情况，这四人体重从小到大排列的顺序为　　
A． B． C． D．
4．（2023春 蜀山区校级月考）已知，且实数满足，请你写出一个符合题意的实数的值　　．
5．（2023春 霍邱县期中）根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法：若，则；若，则；若，则．反之也成立．这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”．请运用这种方法尝试解决下面的问题：
（1）比较与的大小；
（2）若，比较、的大小．
二．解一元一次不等式（共13小题）
6．（2023春 蜀山区校级期中）已知关于的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则的值为　　
A． B． C． D．
7．（2023春 安庆期末）不等式的解集是　　
A． B． C． D．
8．（2023春 霍邱县期末）解不等式的过程如下：
①去分母，得；
②去括号，得；
③移项，合并同类项，得；
④系数化为1，得．其中错误的一步是　　
A．① B．② C．③ D．④
9．（2023春 庐阳区校级期末）不等式的解集在数轴上表示正确的是　　
A．
B．
C．
D．
10．（2023春 瑶海区期末）已知不等式的解都是关于的不等式的解，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
11．（2023春 蚌山区期中）若不等式的解是，那么满足　　
A． B． C． D．
12．（2023春 固镇县期末）不等式的解集是 　　．
13．（2023春 谯城区期末）若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集为 　　．
14．（2023春 淮北月考）已知关于、的二元一次方程组的解满足，则的最大整数值为　　．
15．（2023春 阜南县校级期末）解不等式．
16．（2023春 花山区校级期中）解不等式，并把解集在数轴上表示出来．
17．（2023春 淮北月考）解不等式：．
18．（2023春 蜀山区校级期中）在实数范围内定义一种新运算“ ”其运算规则为： ，如1 ．
（1）若 ，则　　．
（2）若关于的方程 的解为非负数，求的取值范围．
三．一元一次不等式的整数解（共3小题）
19．（2023春 长丰县期末）若关于的不等式只有3个正整数解，则的取值范围为　　
A． B． C． D．
20．（2023春 金寨县期中）关于的不等式的最小整数解为2，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
21．（2023春 潜山市期中）若不等式的最小整数解是关于的方程的解，求式子的值．
四．一元一次不等式的应用（共5小题）
22．（2023春 芜湖月考）某种笔记本原售价是每本7元，凡一次购买3本或以上可享受优惠价格，第1种：3本按原价，其余按七折优惠；第2种：全部按原价的八折优惠，若想在购买相同数量的情况下，要使第1种比第2种更优惠，则至少购买笔记本是　　
A．7本 B．8本 C．9本 D．10本
23．（2023春 金安区校级期中）商店为了对某种商品促销，将定价为30元的商品，以下列方式优惠销售：若购买不超过5件，按原价付款；若一次性购买5件以上，超过部分打八折，现有270元，最多可以购买该商品的件数是　　
A．9件 B．10件 C．11件 D．12件
24．（2023春 包河区期中）2023年是农历癸卯年（兔年），兔子生肖挂件成了热销品．某商店准备购进，两种型号的兔子挂件．已知购进型号兔子挂件3件和型号兔子挂件4件共需220元，且型号兔子挂件比型号兔子挂件每件贵15元．
（1）该商店购进，两种型号的兔子挂件进价分别为多少元？
（2）该商店计划购进，两种型号的兔子挂件共50件，且，两种型号的兔子挂件每件售价分别定为48元，30元．假定购进的兔子挂件全部售出，若要商店获得的利润超过310元，则型号兔子挂件至少要购进多少件？
25．（2023春 芜湖月考）某水果店经销甲、乙两种优质水果，两次购进水果的情况如表所示：
进货批次 甲种水果质量（单位：千克） 乙种水果质量（单位：千克） 总费用（单位：元）
第一次 60 40 1520
第二次 30 50 1360
（1）求甲、乙两种水果的进价；
（2）销售完前两次购进的水果后，水果店决定第三次购进甲、乙两种水果共200千克，且投入的资金不超过3360元．那么至多可以购买乙种水果多少千克？
26．（2023春 天长市校级月考）某商店去厂家选购甲、乙两种商品，乙商品每件进价比甲商品每件进价多20元，若购进甲商品5件和乙商品4件共需要800元；
（1）求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？
（2）若甲种商品的售价为每件100元，乙种商品的售价为每件125元，该商店准备购进甲、乙两种商品共40件，且这两种商品全部售出后总利润不少于900元，则甲种商品最多可购进多少件？
五．解一元一次不等式组（共6小题）
27．（2023春 蜀山区校级月考）张叔在一段足够长的圩埂边上用网围成长方形状区域，用来养殖某种海鲜，该网总长为，长方形的宽为，长为，则的取值范围为　　
A． B． C． D．
28．（2023春 花山区校级期中）不等式组的解集是为 　　．
29．（2023春 瑶海区期末）解不等式组，并在数轴上表示它的解集．
30．（2023春 蜀山区校级月考）已知中的，满足，求的取值范围．
31．（2023春 金安区校级期中）解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 　　；
（Ⅱ）解不等式②，得 　　；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为 　　．
32．（2023春 蒙城县月考）已知方程组的解满足为非正数，为负数．
（1）求的取值范围．
（2）在的取值范围内，当为何整数时，不等式的解为．
六．一元一次不等式组的整数解（共4小题）
33．（2023春 合肥月考）若关于的一元一次方程有正整数解，且使关于的不等式组至少有4个整数解，则满足所有条件的整数的个数为　　
A．5 B．4 C．3 D．2
34．（2023春 无为市期末）对，定义一种新的运算，规定，，例如．
（1）　　；
（2）若关于正数的不等式组恰好有2个整数解，则的取值范围是 　　．
35．（2023春 蜀山区校级月考）对，定义一种新运算，规定：，（其中，均为非零常数）．
例如：．
已知，．
（1）求，的值；
（2）若关于的不等式组恰好有3个整数解，求的取值范围．
36．（2023春 庐阳区校级期中）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”．
（1）在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是 　　；（填序号）
（2）若关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围；
（3）若关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组有4个整数解，试求的取值范围．
七．一元一次不等式组的应用（共4小题）
37．（2023春 花山区校级期中）某商场在“双11”前准备从供货商家处新选购一批商品，已知按进价购进1件甲种商品和2件乙种商品共需320元，购进3件甲种商品和2件乙种商品共需520元．
（1）求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？
（2）若甲种商品的售价为每件120元，乙种商品的售价为每件140元，该商场准备购进甲、乙两种商品共50件，且这两种商品全部售出后总利润不少于1350元，不高于1375元．若购进甲种商品件，请问该商场共有哪几种进货方案？
（3）根据往年销售情况，商场计划在“双11”当天将现有的甲、乙两种商品共46件按（2）中的售价全部售完．但因受拉尼娜现象形成的冷空气持续影响，当天出现的雨雪天气使得46件商品没有全部售完，两种商品的实际销售利润总和为1220元．那么，“双11”当天商场至少卖出乙种商品多少件？
38．（2023春 青阳县期末）2020年4月，随着蔚来中国总部落户合肥，全国新能源汽车之都已成为合肥新的代名词．某汽车经销商销售，两种型号的新能源汽车，已知购进3台型新能源汽车和2台型新能源汽车需要85万元，购进2台型新能源汽车和1台型新能源汽车需要50万元．
（1）问型，型新能源汽车的单价分别是多少万元？
（2）若该经销商计划购进型和型两种新能源汽车共20辆，费用不超过365万元，且型新能源汽车的数量少于型新能源汽车的数量，请你给出费用最省的方案，并求出该方案所需费用．
39．（2023春 龙子湖区月考）某公司要将一批防疫物资运灾区，计划租用、两种型号的货车．在每辆货车都满载的情况下，若租用15辆型货车和25辆型货车可装载750箱防疫物资；若租用10辆型货车和30辆型货车可装载700箱防疫物资．
（1）、两种型号的货车每辆分别可装载多少箱防疫物资？
（2）初步估算，公司要运输的这批防疫物资不超过1245箱．计划租用、两种型号的货车共70辆，且型货车的数量不超过型货车数量的3倍，该公司一次性将这批防疫物资运往灾区共有几种租车方案？
40．（2023春 龙子湖区期中）“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机具．已知购进2件甲种农机具和1件乙种农机具共需3.5万元，购进1件甲种农机具和3件乙种农机具共需3万元．
（1）求购进1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？
（2）若该粮食生产基地计划购进甲、乙两农机具共10件，且投入资金不少于9.8万元又不超过12万元，设购进甲种农机具件，则有哪几种购买方案？哪种购买方案需要的资金最少，最少资金是多少？
（3）在（2）的方案下，由于国家对农业生产扶持力度加大，每件甲种农机具降价0.7万元，每件乙种农机具降价0.2万元，该粮食生产基地计划将节省的资金全部用于再次购买甲、乙两种农机具（可以只购买一种）请直接写出再次购买农机具的方案有哪几种？
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第7章 一元一次不等式与不等式组常考易错（7个考点40题专练）
一．不等式的性质（共5小题）
1．（2023春 蜀山区校级期中）已知，则下列不等式一定成立的是　　
A． B． C． D．
【分析】根据，应用不等式的基本性质，逐项判断即可．
【解答】解：．，
，故本选项不合题意；
．，
，故本选项符合题意；
．当时，，故本选项不合题意；
．，
，故本选项不合题意．
故选：．
【点评】此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．
2．（2023春 天长市校级月考）已知，下列式子不成立的是　　
A． B．
C． D．
【分析】根据不等式的性质进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：、，
，
故不符合题意；
、，
，
故不符合题意；
、，
，
故符合题意；
、，
，
故不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
3．（2023春 霍山县校级期中）如图所示，，，，四人在公园玩跷跷板，根据图中的情况，这四人体重从小到大排列的顺序为　　
A． B． C． D．
【分析】根据不等式的性质，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
①，
②，
③，
由③得：
④，
把④代入②得：
，
，
，
，
由③得：
，
，
，
，
，
即，
故选：．
【点评】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
4．（2023春 蜀山区校级月考）已知，且实数满足，请你写出一个符合题意的实数的值　（答案不唯一）　．
【分析】根据不等式的性质：不等式的两边同时乘以一个负数，不等号方向改变，据此解答即可．
【解答】解：已知，且实数满足，
则，
可以是、、，
故答案为：（答案不唯一）．
【点评】本题考查了不等式的性质，熟练运用不等式的性质是解答本题的关键．
5．（2023春 霍邱县期中）根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法：若，则；若，则；若，则．反之也成立．这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”．请运用这种方法尝试解决下面的问题：
（1）比较与的大小；
（2）若，比较、的大小．
【分析】（1）利用求差法进行计算，即可解答；
（2）根据不等式的性质进行计算即可解答．
【解答】解：（1）
，
；
（2），
，
，
，
．
【点评】本题考查了不等式的性质，熟练掌握求差法比较大小是解题的关键．
二．解一元一次不等式（共13小题）
6．（2023春 蜀山区校级期中）已知关于的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则的值为　　
A． B． C． D．
【分析】先解不等式可得，再根据题意可得：不等式的解集为：，从而可得，然后进行计算即可解答．
【解答】解：，、
，
，
由题意得：不等式的解集为：，
，
，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次方程，在数轴上表示不等式的解集，准确熟练地进行计算是解题的关键．
7．（2023春 安庆期末）不等式的解集是　　
A． B． C． D．
【分析】按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解：，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
8．（2023春 霍邱县期末）解不等式的过程如下：
①去分母，得；
②去括号，得；
③移项，合并同类项，得；
④系数化为1，得．其中错误的一步是　　
A．① B．② C．③ D．④
【分析】按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解：解不等式的过程如下：
①去分母，得；
②去括号，得；
③移项，合并同类项，得；
④系数化为1，得，
其中错误的一步是④，
故选：．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
9．（2023春 庐阳区校级期末）不等式的解集在数轴上表示正确的是　　
A．
B．
C．
D．
【分析】按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答．
【解答】解：，
，
，
，
，
，
该不等式的解集在数轴上表示如图所示：
故选：．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
10．（2023春 瑶海区期末）已知不等式的解都是关于的不等式的解，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【分析】按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解：，
，
，
，
不等式的解都是关于的不等式的解，
，
故选：．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
11．（2023春 蚌山区期中）若不等式的解是，那么满足　　
A． B． C． D．
【分析】根据已知不等式的解集和不等式的性质得出，再求出即可．
【解答】解：不等式的解是，
，
解得：，
故选：．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，能得出关于的不等式是解此题的关键．
12．（2023春 固镇县期末）不等式的解集是 　　．
【分析】按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解：，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
13．（2023春 谯城区期末）若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集为 　　．
【分析】按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解：的解集是，
且，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
14．（2023春 淮北月考）已知关于、的二元一次方程组的解满足，则的最大整数值为　　．
【分析】②①，得，根据得出关于的不等式，求得最大整数解即可求解．
【解答】解：，
由②①得：，
，
，
，
的最大整数值为．
故答案为：．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，二元一次方程组的解，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
15．（2023春 阜南县校级期末）解不等式．
【分析】依据题意，根据解一元一次不等式的一般步骤与方法进行计算可以得解．
【解答】解：两边同时乘以6得，．
去括号得，．
移项得，．
．
【点评】本题主要考查了一元一次不等式的解法，解题时要熟练掌握并准确计算是关键．
16．（2023春 花山区校级期中）解不等式，并把解集在数轴上表示出来．
【分析】按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解：，
，
，
，
，
，
该不等式的解集在数轴上表示如图所示：
【点评】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
17．（2023春 淮北月考）解不等式：．
【分析】按照解一元一次不等式的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可解答．
【解答】解：，
，
，
，
，
．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
18．（2023春 蜀山区校级期中）在实数范围内定义一种新运算“ ”其运算规则为： ，如1 ．
（1）若 ，则　12　．
（2）若关于的方程 的解为非负数，求的取值范围．
【分析】（1）根据所给的运算列出关于的方程，解方程即可．
（2）根据所给的运算列出关于的一元一次方程，解方程后得到关于的不等式，求出的取值范围即可．
【解答】解：（1） ，
，
，
，
解得，
故答案为：12；
（2） ，
， ，
，
解得，
关于的方程 的解为非负数，
，
，
的取值范围为．
【点评】本题考查的是解一元一次方程，解一元一次不等式，根据所给的新运算列出关于的一元一次方程是解答此题的关键．
三．一元一次不等式的整数解（共3小题）
19．（2023春 长丰县期末）若关于的不等式只有3个正整数解，则的取值范围为　　
A． B． C． D．
【分析】先解一元一次不等式，可得，然后根据不等式只有3个正整数解，可得，最后进行计算即可解答．
【解答】解：，
，
，
不等式只有3个正整数解，
，
解得：，
故选：．
【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
20．（2023春 金寨县期中）关于的不等式的最小整数解为2，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
【分析】解出不等式，然后根据不等式的最小整数解为2，即可列出关于的不等式，从而求出的取值范围．
【解答】解：，
，
，
不等式的最小整数解为2，
，
解得：，
故选：．
【点评】本题考查的是含参数的一元一次不等式，掌握根据不等式的最小整数解求参数的取值范围是解决此题的关键．
21．（2023春 潜山市期中）若不等式的最小整数解是关于的方程的解，求式子的值．
【分析】求出不等式的解集，在解集中找出最小的整数解，将最小的整数解代入方程中，得到关于的方程，求出方程的解得到的值，将的值代入所求代数式中计算，即可求出值．
【解答】解：不等式，
去括号得：，
移项合并得：，
解得：，
则不等式最小的整数解为，
又不等式最小整数解是方程的解，
将代入方程得：，
解得：，
则．
【点评】此题考查了一元一次不等式的整数解，代数式的求值，以及一元一次方程的解，找出不等式的最小整数解是解本题的关键．
四．一元一次不等式的应用（共5小题）
22．（2023春 芜湖月考）某种笔记本原售价是每本7元，凡一次购买3本或以上可享受优惠价格，第1种：3本按原价，其余按七折优惠；第2种：全部按原价的八折优惠，若想在购买相同数量的情况下，要使第1种比第2种更优惠，则至少购买笔记本是　　
A．7本 B．8本 C．9本 D．10本
【分析】设购买本笔记本，根据两种优惠方案结合第1种比第2种更优惠，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其内的最小正整数即可．
【解答】解：设购买本笔记本，
根据题意得：，
解得，
为正整数，
最少购买10本笔记本．
故选：．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
23．（2023春 金安区校级期中）商店为了对某种商品促销，将定价为30元的商品，以下列方式优惠销售：若购买不超过5件，按原价付款；若一次性购买5件以上，超过部分打八折，现有270元，最多可以购买该商品的件数是　　
A．9件 B．10件 C．11件 D．12件
【分析】由购买5件商品只需150元可设可以购买该商品件，根据超出5件部分，列出关于的一元一次不等式，解之取其最大的正整数即可．
【解答】解：设可以购买该商品件，
根据题意得：，
解得：，
即最多可以购买该商品10件，
故选：．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
24．（2023春 包河区期中）2023年是农历癸卯年（兔年），兔子生肖挂件成了热销品．某商店准备购进，两种型号的兔子挂件．已知购进型号兔子挂件3件和型号兔子挂件4件共需220元，且型号兔子挂件比型号兔子挂件每件贵15元．
（1）该商店购进，两种型号的兔子挂件进价分别为多少元？
（2）该商店计划购进，两种型号的兔子挂件共50件，且，两种型号的兔子挂件每件售价分别定为48元，30元．假定购进的兔子挂件全部售出，若要商店获得的利润超过310元，则型号兔子挂件至少要购进多少件？
【分析】（1）设型号兔子挂件每件进价元，则型号兔子挂件每件进价元，根据购进型号兔子挂件3件和型号兔子挂件4件共需220元列出方程，解方程即可；
（2）设购进型号兔子挂件件，则购进型号的兔子挂件件，根据两种挂件利润之和大于310列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）设型号兔子挂件每件进价元，则型号兔子挂件每件进价元，
根据题意得：，
解得，
，
答：型号兔子挂件每件进价40元，则型号兔子挂件每件进价25元；
（2）设购进型号兔子挂件件，则购进型号的兔子挂件件，
则，
解得，
答：型号兔子挂件至少要购进21件．
【点评】本题考查一元一次不等式和一元一次方程的应用，关键是找到数量关系列出不等式和方程．
25．（2023春 芜湖月考）某水果店经销甲、乙两种优质水果，两次购进水果的情况如表所示：
进货批次 甲种水果质量（单位：千克） 乙种水果质量（单位：千克） 总费用（单位：元）
第一次 60 40 1520
第二次 30 50 1360
（1）求甲、乙两种水果的进价；
（2）销售完前两次购进的水果后，水果店决定第三次购进甲、乙两种水果共200千克，且投入的资金不超过3360元．那么至多可以购买乙种水果多少千克？
【分析】（1）根据已知条件，列出方程组，即可求解．
（2）设购买乙种水果千克，则购买甲种水果千克，根据投入的资金不超过3360元，列不等式求解即可．
【解答】解：（1）设甲、乙两种水果的进价分别为每千克元、元．
依题意可得：，
解得：，
答：甲、乙两种水果的进价分别为每千克12元、20元．
（2）设购买乙种水果千克，则购买甲种水果千克．
依题意可得：，
解得：．
答：至多可以购买乙种水果120千克．
【点评】本题考查二元一次方程组与一元一次不等式的应用，理解题意，列出列出方程组与列不等式是解题的关键．
26．（2023春 天长市校级月考）某商店去厂家选购甲、乙两种商品，乙商品每件进价比甲商品每件进价多20元，若购进甲商品5件和乙商品4件共需要800元；
（1）求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？
（2）若甲种商品的售价为每件100元，乙种商品的售价为每件125元，该商店准备购进甲、乙两种商品共40件，且这两种商品全部售出后总利润不少于900元，则甲种商品最多可购进多少件？
【分析】设甲种商品每件进价是元，乙种商品每件进价是元，根据“乙商品每件进价比甲商品每件进价多20元，若购进甲商品5件和乙商品4件共需要800元”列出方程组解答即可；
（2）设购进甲种商品件，则乙种商品件，根据“全部售出后总利润（利润售价进价）不少于900元”列出不等式解答即可．
【解答】解：（1）设甲商品进价每件元，乙商品进价每件元，
解得，
答：甲商品进价每件80元，乙商品进价每件100元．
（2）设甲商品购进件，则乙商品购进件
，
为整数，
最多为20．
答：甲商品最多购进20件．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到所求量的等量关系及符合题意的不等关系式．
五．解一元一次不等式组（共6小题）
27．（2023春 蜀山区校级月考）张叔在一段足够长的圩埂边上用网围成长方形状区域，用来养殖某种海鲜，该网总长为，长方形的宽为，长为，则的取值范围为　　
A． B． C． D．
【分析】根据题意可得：，从而可得，然后根据，可得，从而进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：，
，
，
，
解得：，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，不等式的性质，准确熟练地进行计算是解题的关键．
28．（2023春 花山区校级期中）不等式组的解集是为 　　．
【分析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解：，
解不等式①得：；
解不等式②得：，
原不等式组的解集为：，
故答案为：．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
29．（2023春 瑶海区期末）解不等式组，并在数轴上表示它的解集．
【分析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
原不等式组的解集为：，
该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
30．（2023春 蜀山区校级月考）已知中的，满足，求的取值范围．
【分析】方程组两方程相减表示出，代入不等式计算即可求出的范围．
【解答】解：，
①②得：，
代入不等式得：，
解得：．
【点评】此题考查了解一元一次不等式组，以及解二元一次方程组，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
31．（2023春 金安区校级期中）解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 　　；
（Ⅱ）解不等式②，得 　　；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为 　　．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：（Ⅰ）解不等式①，得；
（Ⅱ）解不等式②，得；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为．
故答案为：，，．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
32．（2023春 蒙城县月考）已知方程组的解满足为非正数，为负数．
（1）求的取值范围．
（2）在的取值范围内，当为何整数时，不等式的解为．
【分析】（1）解方程组得出、，由为非正数，为负数列出不等式组，解之可得；
（2）由不等式的性质求出的范围，结合（1）中所求范围可得答案．
【解答】解：（1）解方程组，得：，
根据题意，得：，
解得；
（2）由的解为知，
解得，
则在中整数符合题意．
【点评】本题主要考查解二元一次方程组和一元一次不等式组的能力，熟练掌握加减消元法和解不等式组的能力是解题的关键．
六．一元一次不等式组的整数解（共4小题）
33．（2023春 合肥月考）若关于的一元一次方程有正整数解，且使关于的不等式组至少有4个整数解，则满足所有条件的整数的个数为　　
A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】解不等式组中两个不等式结合其整数解的情况可得，再解方程得，由其解为正整数解得出，最后根据方程的解必须为正整数解得的取值情况．
【解答】解：解不等式，得，
解不等式，得，
不等式组至少有4个整数解，
，
解得，
解关于的一元一次方程，得，
方程有正整数解，
，
则，
，
其中能使为正整数的值有1，3，5，15共4个，
故选：．
【点评】本题主要考查一元一次不等式组的整数解，解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
34．（2023春 无为市期末）对，定义一种新的运算，规定，，例如．
（1）　1　；
（2）若关于正数的不等式组恰好有2个整数解，则的取值范围是 　　．
【分析】（1）依据题意，根据所给关系代入计算即可得解；
（2）依据题意，根据题目所给关系代入建立关于的不等式组，再由不等式组恰好由2个整数解，进而可以求出的取值范围．
【解答】解：（1）由题意，，
．
故答案为：1．
（2）由题意，，，
．
．
，，
．
．
，．
原不等式组可以化为．
原不等式组的解集为．
原不等式组恰好有2个整数解，
．
．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式这组的整数解，能根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集是解此题的关键．
35．（2023春 蜀山区校级月考）对，定义一种新运算，规定：，（其中，均为非零常数）．
例如：．
已知，．
（1）求，的值；
（2）若关于的不等式组恰好有3个整数解，求的取值范围．
【分析】（1）已知两对值代入中计算求出与的值；
（2）根据题中新定义化简已知不等式，根据不等式组恰好有3个整数解，求出的范围即可．
【解答】解：（1）由题意，得，
；
（2）由题意，得，
解不等式①，得．
解不等式②，得．
．
恰好有3个整数解，
．
．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，以及一元一次不等式组的整数解，弄清题中的新定义是解本题的关键．
36．（2023春 庐阳区校级期中）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”．
（1）在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是 　①②　；（填序号）
（2）若关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围；
（3）若关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组有4个整数解，试求的取值范围．
【分析】（1）先求出方程的解和不等式组的解集，再判断即可；
（2）先求出不等式组的解集，然后再解方程求出，最后根据“关联方程”的定义列出关于的不等式组，进行计算即可；
（3）先求出不等式组的解集，不等式组有4个整数解，即可得出，然后求出方程的解为，根据“关联方程”的定义得出，即可得出．
【解答】解：（1）①，
解得：，
②，
解得：，
③，
解得：，
，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
原不等式组的解集为：，
不等式组的“关联方程”是：①②，
故答案为：①②；
（2），
解不等式①得：，
解不等式②得：，
原不等式组的解集为：，
，
解得：，
关于的方程是不等式组的“关联方程”，
，
解得：；
（3）关于的方程，
解得：，
，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
原不等式组的解集为：，
不等式组有4个整数解，
整数的值为1，2，3，4，
，
，
关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，
，
解得：．
的取值范围是．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解，理解材料中的不等式组的“关联方程”是解题的关键．
七．一元一次不等式组的应用（共4小题）
37．（2023春 花山区校级期中）某商场在“双11”前准备从供货商家处新选购一批商品，已知按进价购进1件甲种商品和2件乙种商品共需320元，购进3件甲种商品和2件乙种商品共需520元．
（1）求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？
（2）若甲种商品的售价为每件120元，乙种商品的售价为每件140元，该商场准备购进甲、乙两种商品共50件，且这两种商品全部售出后总利润不少于1350元，不高于1375元．若购进甲种商品件，请问该商场共有哪几种进货方案？
（3）根据往年销售情况，商场计划在“双11”当天将现有的甲、乙两种商品共46件按（2）中的售价全部售完．但因受拉尼娜现象形成的冷空气持续影响，当天出现的雨雪天气使得46件商品没有全部售完，两种商品的实际销售利润总和为1220元．那么，“双11”当天商场至少卖出乙种商品多少件？
【分析】（1）设甲商品的进价为每件元，乙商品的进价为每件元，根据题意得列出方程组，求解即可；
（2）由题意得：，解得：，因为为正整数，可得的取值，由此可得出方案；
（3）设“双11”当天商场卖出甲种商品件，乙种商品件，根据题意列出方程，可得出和的关系：，又因为，所以，即，结合，为正整数，可得出结论．
【解答】解：（1）设甲商品的进价为每件元，乙商品的进价为每件元，
根据题意得：解得：
答：甲商品的进价为每件100元，乙商品的进价为每件110元．
（2）由题意得：，
解得：，
为正整数，
、14、15，
共有三种方案：
方案①：购进甲种商品13件，乙种商品37件；方案②：购进甲种商品14件，乙种商品36件；
方案③：购进甲种商品15件，乙种商品35件．
（3）设“双11”当天商场卖出甲种商品件，乙种商品件，
，即，
，
又，
，即，
，为正整数，
当时，，不符合题意；
当时，，
“双11”当天商场至少卖出乙种商品32件．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用不等式的性质解答．
38．（2023春 青阳县期末）2020年4月，随着蔚来中国总部落户合肥，全国新能源汽车之都已成为合肥新的代名词．某汽车经销商销售，两种型号的新能源汽车，已知购进3台型新能源汽车和2台型新能源汽车需要85万元，购进2台型新能源汽车和1台型新能源汽车需要50万元．
（1）问型，型新能源汽车的单价分别是多少万元？
（2）若该经销商计划购进型和型两种新能源汽车共20辆，费用不超过365万元，且型新能源汽车的数量少于型新能源汽车的数量，请你给出费用最省的方案，并求出该方案所需费用．
【分析】（1）设型新能源汽车的单价为万元，型新能源汽车的单价为万元，根据“购进3台型新能源汽车和2台型新能源汽车需要85万元，购进2台型新能源汽车和1台型新能源汽车需要50万元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进型新能源汽车辆，则购进型新能源汽车辆，根据“购进型新能源汽车的数量少于型新能源汽车的数量，且购买费用不超过365万元”，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，结合为整数即可得出各进货方案，再利于总价单价数量，可分别求出各购进方案所需费用，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设型新能源汽车的单价为万元，型新能源汽车的单价为万元，
依题意得：，
解得：．
答：型新能源汽车的单价为15万元，型新能源汽车的单价为20万元．
（2）设购进型新能源汽车辆，则购进型新能源汽车辆，
依题意得：，
解得：．
又为整数，
可以取7，8，9，
共有3个进货方案，
方案1：购进7辆型新能源汽车，13辆型新能源汽车，该方案所需费用为（万元）；
方案2：购进8辆型新能源汽车，12辆型新能源汽车，该方案所需费用为（万元）；
方案3：购进9辆型新能源汽车，11辆型新能源汽车，该方案所需费用为（万元）．
，
费用最省的方案为购进9辆型新能源汽车，11辆型新能源汽车，该方案所需费用为355万元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
39．（2023春 龙子湖区月考）某公司要将一批防疫物资运灾区，计划租用、两种型号的货车．在每辆货车都满载的情况下，若租用15辆型货车和25辆型货车可装载750箱防疫物资；若租用10辆型货车和30辆型货车可装载700箱防疫物资．
（1）、两种型号的货车每辆分别可装载多少箱防疫物资？
（2）初步估算，公司要运输的这批防疫物资不超过1245箱．计划租用、两种型号的货车共70辆，且型货车的数量不超过型货车数量的3倍，该公司一次性将这批防疫物资运往灾区共有几种租车方案？
【分析】（1）设型号的货车每辆可装载箱防疫物资，型号的货车每辆可装载箱防疫物资，由题意：若租用15辆型货车和25辆型货车可装载750箱防疫物资；若租用10辆型货车和30辆型货车可装载700箱防疫物资．列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设租用辆型号的货车，则租用辆型号的货车，由题意：公司要运输的这批防疫物资不超过1245箱．且型货车的数量不超过型货车数量的3倍，列出一元一次不等式组，解不等式组，即可解决问题．
【解答】解：（1）设型号的货车每辆可装载箱防疫物资，型号的货车每辆可装载箱防疫物资，
由题意得：，
解得：，
答：型号的货车每辆可装载25箱防疫物资，型号的货车每辆可装载15箱防疫物资；
（2）设租用辆型号的货车，则租用辆型号的货车，
由题意得：，
解得：，
为正整数，
可以取18、19，
该公司共有2种租车方案：
①租用18辆型号的货车，租用52辆型号的货车；
②租用19辆型号的货车，租用51辆型号的货车（不符合题意，舍去），
该公司共有1种租车方案：
①租用18辆型号的货车，租用52辆型号的货车．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式组．
40．（2023春 龙子湖区期中）“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机具．已知购进2件甲种农机具和1件乙种农机具共需3.5万元，购进1件甲种农机具和3件乙种农机具共需3万元．
（1）求购进1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？
（2）若该粮食生产基地计划购进甲、乙两农机具共10件，且投入资金不少于9.8万元又不超过12万元，设购进甲种农机具件，则有哪几种购买方案？哪种购买方案需要的资金最少，最少资金是多少？
（3）在（2）的方案下，由于国家对农业生产扶持力度加大，每件甲种农机具降价0.7万元，每件乙种农机具降价0.2万元，该粮食生产基地计划将节省的资金全部用于再次购买甲、乙两种农机具（可以只购买一种）请直接写出再次购买农机具的方案有哪几种？
【分析】（1）设购进1件甲种农机具万元，乙种农机具万元．由题意：1件甲种农机具和1件乙种农机具共需3.5万元，1件甲种农机具和3件乙种农机具共需3万元，列出方程组求解即可．
（2）根据甲、乙两农机具共10件，且投入资金不少于9.8万元又不超过12万元，列出不等式组求解．总资金甲农机具的总费用乙农机具的总费用；
（3）设节省的资金用于再次购买甲种农机具件，乙种农机具件，由题意得，求出其整数解即可得出结果．
【解答】解：（1）设购进1件甲种农机具万元，1件乙种农机具万元．
根据题意得：，
解得：，
答：购进1件甲种农机具1.5万元，1件乙种农机具0.5万元．
（2）设购进甲种农机具件，购进乙种农机具件，
根据题意得：，
解得：．
为整数．
可取5、6、7．
有三种方案：
方案一：购买甲种农机具5件，乙种农机具5件．
方案二：购买甲种农机具6件，乙种农机具4件．
方案三：购买甲种农机具7件，乙种农机具3件．
设总资金为万元．
．
，
随着的减少而减少，
时，（万元）．
方案一需要资金最少，最少资金是10万元．
（3）设节省的资金用于再次购买甲种农机具件，乙种农机具件，
由题意得：，
其整数解：或，
节省的资金全部用于再次购买农机具的方案有两种：
方案一：购买甲种农机具0件，乙种农机具15件．
方案二：购买甲种农机具3件，乙种农机具7件．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出等式关系式即可求解．考察一元一次不等式组的应用，利用题目的已知条件列出不等式关系式．利用一次函数的性质解决最值问题．
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