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第4章 因式分解易错（5个考点40题专练）
一．因式分解的意义（共4小题）
1．（2022秋 临县校级期末）若是多项式的一个因式，则等于　　
A． B．6 C． D．9
2．（2024春 金水区校级期中）下列各式从左到右的变形属于分解因式的是　　
A． B．
C． D．
3．（2024春 大渡口区校级月考）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是　　
A． B．
C． D．
4．（2023春 开江县校级期末）如果是多项式的一个因式．则的值为　　
A． B．1 C．4 D．8
二．因式分解-运用公式法（共4小题）
5．（2022春 新邵县期末）在下列各多项式中，不能用平方差公式因式分解的是　　
A． B． C． D．
6．（2023秋 内黄县校级期末）若能用完全平方公式因式分解，则的值为　　
A． B． C．或11 D．13或
7．（2023春 东莞市校级月考）分解因式的结果是 　　．
8．（2023春 龙岗区校级期中）若可以用完全平方式来分解因式，则的值为　 　．
三．提公因式法与公式法的综合运用（共13小题）
9．（2022春 西湖区校级月考）因式分解：　　
A． B． C． D．
10．（2023春 修水县期末）下列因式分解正确的是　　
A． B．
C． D．
11．（2024春 南宁月考）分解因式：　　．
12．（2023秋 东莞市期末）分解因式：　　．
13．（2023 凤城市模拟）分解因式：　　．
14．（2023春 开江县校级期末）已知、满足，则　　．
15．（2024春 沛县期中）分解因式：
（1）；
（2）．
16．（2023春 阎良区校级期中）因式分解：
（1）；
（2）．
17．（2023 阿荣旗开学）分解因式：
（1）．
（2）．
（3）．
18．（2023春 花溪区校级月考）把下列各式因式分解：
（1）；
（2）．
19．（2023春 定边县校级期末）因式分解：．
20．（2023春 青岛期末）把下列各式因式分解：
（1）；
（2）．
21．（2023春 临汾期末）（1）因式分解：；
（2）下面是小明同学对多项式进行因式分解的过程，请仔细阅读并完成相应的任务．
解：原式第一步
第二步
第三步
第四步
任务：
①在上述过程中，第一步依据的数学公式用字母表示为 　　；
②第四步因式分解的方法是提公因式法，其依据的运算律为 　　；
③第 　　步出现错误，错误的原因是 　　；
④因式分解正确的结果为 　　．
四．因式分解-十字相乘法等（共5小题）
22．（2023春 大竹县校级期末）若关于的二次三项式的因式是和，则的值是 　　．
23．（2023春 泾阳县期末）阅读材料，并解决问题：分解因式：，解：设，则原式；这样的解题方法叫做“换元法”，即当复杂的多项式中，某一部分重复出现时，我们用字母将其替换，从而简化这个多项式．换元法是一个重要的数学方法，不少问题能用换元法解决．请你用“换元法”对下列多项式进行因式分解：
（1）；
（2）．
24．（2023春 郑州期末）观察下列式子因式分解的方法：
①
②（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
（第五步）
③
（1）在②中，第三步到第四步用到的因式分解的方法是 　　；
（2）模仿以上方法，尝试对进行因式分解；
（3）观察以上结果，直接写出因式分解后的结果；
（4）根据以上结论，试求的值．
25．（2023春 高陵区期末）阅读下列材料：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成．
例如：①；
②．
根据材料，把下列式子进行因式分解．
（1）；
（2）；
（3）．
26．（2023春 砀山县期末）对于二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式，但对于二次三项式，就不能直接应用完全平方式了，我们可以在二次三项式中先加上一项9，使其成为完全平方式，再减去9这项，使整个式子的值保持不变，于是有：
请仿照上面的做法，将下列各式因式分解：
（1）；
（2）．
五．因式分解的应用（共14小题）
27．（2023春 柘城县期中）已知的三边长，，满足，则的形状是　　
A．等腰三角形或直角三角形 B．等腰直角三角形
C．等腰三角形 D．直角三角形
28．（2023秋 鹿邑县期末）已知、是的两边，且满足，则的形状是 　　．
29．（2023春 达川区校级期末）已知，则的值是 　　．
30．（2023春 汝州市期末）已知，．则代数式的值为 　　．
31．（2024 垫江县开学）若一个四位正整数，它的千位数字与个位数字相同，百位数字与十位数字相同，但四个数字不全相同且均不为0，则称这个四位数为“对称数”，则最小的对称数为 　　；若，均为“对称数”，且的前两位数字组成的两位数与后两位数字组成的两位数的平方差等于，则的最大值为 　　．
32．（2023春 无棣县期末）阅读材料：如果两个正数、，即，，则有下面的不等式，当且仅当时取到等号．我们把叫做正数、算术平均数，把叫做正数、的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小值问题的有力工具．根据上述材料，若，则最小值为 　　．
33．（2023春 太原期末）分解因式：
（1）；
（2）；
（3）利用因式分解计算：．
34．（2023春 鄄城县期末）（1）因式分解：；
（2）利用因式分解进行简便计算：．
35．（2023春 薛城区期末）阅读材料，要将多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，提出公因式，再把它的后两项分成一组，提出公因式，从而得到：，这时中又有公因式，于是可以提出，从而得到，因此有，这种方法称为分组法．请回答下列问题：
（1）尝试填空：　　；
（2）解决问题：因式分解；
（3）拓展应用：已知三角形的三边长分别是，，，且满足试判断这个三角形的形状，并说明理由．
36．（2023春 济南期末）定义：对任意一个两位数，如果满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“慧泉数”．将一个“慧泉数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为（a）．
例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为，和与11的商为，所以．
根据以上定义，回答下列问题：
（1）填空：下列两位数：40，51，66中，“慧泉数”为 　　；
（2）计算：
①；②；
（3）如果一个“慧泉数” 的十位数字是，个位数字是，另一个“慧泉数” 的十位数字是，个位数字是2，且满足，求．
37．（2023春 长寿区校级月考）材料一：若是正整数，除以3的余数为1，则称是“三拖一数”．例如：13是正整数，且，则13是“三拖一数”．
材料二：对于任意四位正整数，的千位数字为、百位数字为、十位数字为、个位数材字为，规定：．
请根据以上材料，解决下列问题：
（1）判断：124，1838是不是“三拖一数”？并说明理由；
（2）若四位正整数是“三拖一数”， 的千位数字的2倍与个位数字的和等于9，百位数字与十位数字的和等于8，是有理数，求所有满足条件的．
38．（2023春 南海区校级期中）“回文诗”即正念倒念都有意思，均成文章的诗，如：云边月影沙边雁，水外天光山外树．倒过来念即“树外山光天外水，雁边沙影月边云”，其意境与韵味读起来都是一种美的享受．在数学中也有这样一类数有这样的特征，即正读倒读都一样的自然数，我们称之为“回文数”．例如4，11，343等．
（1）请写出一个四位数的“回文数”　　；
（2）求证：任意四位数的“回文数”是11的倍数；
（3）如果一个“回文数” 是另外一个正整数的平方，则称为“平方回数”．若是一个千位数字为1的四位数的“回文数”，记．若是一个“平方回数”，求的值．
39．（2023春 禅城区月考）（1）【知识再现】在研究平方差公式时，我们在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形（如图，把余下的阴影部分再剪拼成一个长方形（如图，根据图1、图2阴影部分的面积关系，可以得到一个关于，的因式分解等式①　　．
（2）【知识迁移】在棱长为的正方体上挖去一个棱长为的小正方体后，余下的部分（如图再切割拼成一个几何体（如图．根据它们的体积关系得到关于，的等式为②　　．（结果写成整式的积的形式）
（3）【知识运用】已知，，求的值．
（4）若、、分别是一个三角形的三边长，且满足，请判断该三角形的形状，并说明理由．
40．（2023春 宜兴市校级期中）【阅读材料】
像，，，，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．
例如，与，与，与，，等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
【解决问题】
（1）的有理化因式为 　　；
（2）化简：；
（3）①如图1，中，，，，点到边的距离为 　　；
②如图2，中，与的角平分线相交于点，若的周长为，面积为3，则点到边的距离为 　　．
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第4章 因式分解易错（5个考点40题专练）
一．因式分解的意义（共4小题）
1．（2022秋 临县校级期末）若是多项式的一个因式，则等于　　
A． B．6 C． D．9
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，设，可得答案．
【解答】解：设，
则，，
解得：，，
故选：．
【点评】本题考查了因式分解的意义，由十字相乘法得因式分解，由因式分解得出的值．
2．（2024春 金水区校级期中）下列各式从左到右的变形属于分解因式的是　　
A． B．
C． D．
【分析】根据把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解判断即可．
【解答】解：．，是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
．，符合因式分解的定义，故此选项符合题意；
．，是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
．，没把一个多项式转化成几个整式积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了因式分解的意义．解题的关键是掌握因式分解的意义，因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，注意因式分解与整式乘法的区别．
3．（2024春 大渡口区校级月考）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是　　
A． B．
C． D．
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，依据分解因式的定义进行判断即可．
【解答】解：．，从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
．，从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
．等式的右边不是几个整式的积的形式，即从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
．，故本选项不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了因式分解的定义，解题时注意因式分解与整式乘法是相反的过程，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．
4．（2023春 开江县校级期末）如果是多项式的一个因式．则的值为　　
A． B．1 C．4 D．8
【分析】设另一个因式是，根据多项式乘多项式法则求出，根据因式分解得出，，再求出答案即可．
【解答】解：设另一个因式是，
则
，
是多项式的一个因式，
，
解得：，
，
故选：．
【点评】本题考查了因式分解的定义和整式的乘法，能灵活运用多项式乘以多项式法则进行计算是解此题的关键．
二．因式分解-运用公式法（共4小题）
5．（2022春 新邵县期末）在下列各多项式中，不能用平方差公式因式分解的是　　
A． B． C． D．
【分析】根据平方差公式法分解因式，即可求解．
【解答】解：、不能用平方差公式分解，故符合题意；
、，故不符合题意；
、，故不符合题意；
、，故不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握平方差公式法分解因式是解题的关键．
6．（2023秋 内黄县校级期末）若能用完全平方公式因式分解，则的值为　　
A． B． C．或11 D．13或
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出的值．
【解答】解：能用完全平方公式因式分解，
，
解得：或11，
故选：．
【点评】此题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
7．（2023春 东莞市校级月考）分解因式的结果是 　　．
【分析】利用平方差公式进行分解，即可解答．
【解答】解：，
故答案为：．
【点评】本题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
8．（2023春 龙岗区校级期中）若可以用完全平方式来分解因式，则的值为　或8　．
【分析】利用完全平方公式的特征判断即可求出的值．
【解答】解：可以用完全平方式来分解因式，
解得：或8．
故答案为：或8．
【点评】此题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
三．提公因式法与公式法的综合运用（共13小题）
9．（2022春 西湖区校级月考）因式分解：　　
A． B． C． D．
【分析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
【解答】解：
，
故选：．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
10．（2023春 修水县期末）下列因式分解正确的是　　
A． B．
C． D．
【分析】利用提公因式法与公式法，进行分解逐一判断即可解答．
【解答】解：、，故不符合题意；
、，故符合题意；
、，故不符合题意；
、，故不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
11．（2024春 南宁月考）分解因式：　　．
【分析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
【解答】解：
，
故答案为：．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
12．（2023秋 东莞市期末）分解因式：　　．
【分析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
【解答】解：
，
故答案为：．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
13．（2023 凤城市模拟）分解因式：　　．
【分析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
【解答】解：
，
故答案为：，
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
14．（2023春 开江县校级期末）已知、满足，则　6　．
【分析】先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答．
【解答】解：，，
，
故答案为：6．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
15．（2024春 沛县期中）分解因式：
（1）；
（2）．
【分析】（1）利用平方差公式进行分解，即可解答；
（2）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答．
【解答】解：（1）；
（2）
．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
16．（2023春 阎良区校级期中）因式分解：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解，即可解答；
（2）先提公因式，再利用平方差公式继续分解，即可解答．
【解答】解：（1）
；
（2）
．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
17．（2023 阿荣旗开学）分解因式：
（1）．
（2）．
（3）．
【分析】（1）先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答；
（2）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答；
（3）利用完全平方公式进行分解，即可解答．
【解答】解：（1）
；
（2）
；
（3）．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
18．（2023春 花溪区校级月考）把下列各式因式分解：
（1）；
（2）．
【分析】（1）利用提公因式法进行分解，即可解答；
（2）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答．
【解答】解：（1）；
（2）
．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
19．（2023春 定边县校级期末）因式分解：．
【分析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
【解答】解：
．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
20．（2023春 青岛期末）把下列各式因式分解：
（1）；
（2）．
【分析】（1）利用提公因式法进行分解，即可解答；
（2）利用平方差公式进行分解，即可解答．
【解答】解：（1）；
（2）．
．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
21．（2023春 临汾期末）（1）因式分解：；
（2）下面是小明同学对多项式进行因式分解的过程，请仔细阅读并完成相应的任务．
解：原式第一步
第二步
第三步
第四步
任务：
①在上述过程中，第一步依据的数学公式用字母表示为 　　；
②第四步因式分解的方法是提公因式法，其依据的运算律为 　　；
③第 　　步出现错误，错误的原因是 　　；
④因式分解正确的结果为 　　．
【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答；
（2）①利用平方差公式，即可解答；
②根据乘法分配律，即可解答；
③先利用平方差公式，再利用提公因式继续分解，逐一判断即可解答；
④先利用平方差公式，再利用提公因式继续分解即可解答．
【解答】解：（1）
；
（2）①在上述过程中，第一步依据的数学公式用字母表示为，
故答案为：；
②第四步因式分解的方法是提公因式法，其依据的运算律为乘法分配律，
故答案为：乘法分配律；
③第二步出现错误，错误的原因是 括号前是“”号，把括号和它前面的“”号去掉后，原括号里的第二项没有变号，
故答案为：二；括号前是“”号，把括号和它前面的“”号去掉后，原括号里的第二项没有变号；
④
，
故答案为：．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
四．因式分解-十字相乘法等（共5小题）
22．（2023春 大竹县校级期末）若关于的二次三项式的因式是和，则的值是 　2　．
【分析】先利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出的值即可．
【解答】解：由题意得：，
．
故答案为：2．
【点评】此题考查了因式分解的意义，以及多项式相等的条件，熟练掌握因式分解的意义是解本题的关键．
23．（2023春 泾阳县期末）阅读材料，并解决问题：分解因式：，解：设，则原式；这样的解题方法叫做“换元法”，即当复杂的多项式中，某一部分重复出现时，我们用字母将其替换，从而简化这个多项式．换元法是一个重要的数学方法，不少问题能用换元法解决．请你用“换元法”对下列多项式进行因式分解：
（1）；
（2）．
【分析】（1）设，则可用完全平方公式进行分解，之后再将换为即可；
（2）设，将原式展开，再用完全平方公式分解，然后将再换为，最后利用完全平方公式分解．
【解答】解：（1）设，则
．
（2）设，则
．
【点评】本题主要考查了利用提取公因式法、公式法及换元法进行因式分解及整数的整除性质，熟练掌握相关运算法则并会换元，是解题的关键．
24．（2023春 郑州期末）观察下列式子因式分解的方法：
①
②（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
（第五步）
③
（1）在②中，第三步到第四步用到的因式分解的方法是 　提公因式法　；
（2）模仿以上方法，尝试对进行因式分解；
（3）观察以上结果，直接写出因式分解后的结果；
（4）根据以上结论，试求的值．
【分析】（1）依据题意，由因式分解的方法有：提公因式法、公式法、分组分解法等，可以判断得解；
（2）仿照例子，即可变形得解；
（3）依据题意，根据前面所得结果即可得解；
（4）依据上述（3）结论，令，则可以得解．
【解答】解：（1）由题意得，第三步到第四步提取了公因式，故采用的提公因式法．
故答案为：提公因式法．
（2）
（3）由（1）、（2）可得，．
（4）由（3），，
当时，．
令，
．
．
【点评】本题主要考查了因式分解的应用，解题时要能读懂题意，学会转化．
25．（2023春 高陵区期末）阅读下列材料：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成．
例如：①；
②．
根据材料，把下列式子进行因式分解．
（1）；
（2）；
（3）．
【分析】根据进行解答即可．
【解答】解：（1）；
（2）；
（3）
．
【点评】本题考查了十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程，本题需要进行多次因式分解，分解因式一定要彻底．
26．（2023春 砀山县期末）对于二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式，但对于二次三项式，就不能直接应用完全平方式了，我们可以在二次三项式中先加上一项9，使其成为完全平方式，再减去9这项，使整个式子的值保持不变，于是有：
请仿照上面的做法，将下列各式因式分解：
（1）；
（2）．
【分析】根据完全平方公式的结构特征是两数的平方和加上或减去它们乘积的2倍，因此对一些不完全符合完全平方公式的代数式，可在保证代数式不变的情况下通过加项或减项的方法配成完全平方公式，据此解答即可．
【解答】解：（1）
；
（2）
．
【点评】本题考查了公式法因式分解，熟记完全平方公式和平方差公式，并能灵活运用是解题的关键．因此要牢记完全平方公式和平方差公式的结构特征．
五．因式分解的应用（共14小题）
27．（2023春 柘城县期中）已知的三边长，，满足，则的形状是　　
A．等腰三角形或直角三角形 B．等腰直角三角形
C．等腰三角形 D．直角三角形
【分析】根据得，或，求出、、之间的数量关系进行判断．
【解答】解：，
或，
或，
的形状是等腰三角形或直角三角形，
故选：．
【点评】本题考查因式分解的应用、勾股定理的逆定理，掌握这两个知识点的熟练应用，根据得，或，是解题关键．
28．（2023秋 鹿邑县期末）已知、是的两边，且满足，则的形状是 　等腰三角形　．
【分析】依据题意，由得，再进行适当变形得，结合三角形两边之和大于第三边，有，从而可以得解．
【解答】解：，
．
．
在中，，
．
，即．
是等腰三角形．
故答案为：等腰三角形．
【点评】本题主要考查了因式分解的应用，解题时要熟练掌握并灵活运用是关键．
29．（2023春 达川区校级期末）已知，则的值是 　　．
【分析】依据题意，由得，再代入进而可以得解．
【解答】解：，
．
．
【点评】本题主要考查了因式分解的应用，解题时要熟练掌握并理解．
30．（2023春 汝州市期末）已知，．则代数式的值为 　　．
【分析】依据题意，由因式分解的方法将变形得，再将已知条件代入即可得解．
【解答】解：由题意，，
，，
．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了因式分解的应用，解题时要能熟练掌握并理解．
31．（2024 垫江县开学）若一个四位正整数，它的千位数字与个位数字相同，百位数字与十位数字相同，但四个数字不全相同且均不为0，则称这个四位数为“对称数”，则最小的对称数为 　1221　；若，均为“对称数”，且的前两位数字组成的两位数与后两位数字组成的两位数的平方差等于，则的最大值为 　　．
【分析】求最小的对称数，那么千位数字应该最小，取数字1，个位数字也为1；那么百位数字可取比较小的数字2，十位数字也是2，可得最小的对称数1221；设的千位数字和百位数字，的千位数字和百位数字，根据的前两位数字组成的两位数与后两位数字组成的两位数的平方差等于列出相关等式，整理后判断即可．
【解答】解：求最小的对称数，
千位数字应该最小，取数字1，个位数字也为1．
百位数字可取比较小的数字2，十位数字也是2．
最小的对称数为；
设的千位数字和百位数字分别为和，的千位数字和百位数字分别是和．
的前两位数字组成的两位数与后两位数字组成的两位数的平方差等于，
．
．
．
．
．
和均为整数，
为9的倍数．
求的最大值，四个数字不全相同且均不为0，
①取8，那么．
．
，
．
解得：．不合题意，舍去．
②取7，那么．
．
不能继续分解，
不合题意，舍去．
③取6，那么．
．
．
．
解得：．
，
不合题意，舍去．
④取5，那么．
．
．
．
解得：．
．
故答案为：1221，5445．
【点评】本题考查新定义的应用．理解新定义的意义是解决本题的关键．难点是根据的前两位数字组成的两位数与后两位数字组成的两位数的平方差等于列出等式并进行合理整理．
32．（2023春 无棣县期末）阅读材料：如果两个正数、，即，，则有下面的不等式，当且仅当时取到等号．我们把叫做正数、算术平均数，把叫做正数、的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小值问题的有力工具．根据上述材料，若，则最小值为 　　．
【分析】依据题意，读懂题目然后由公式可以得，从而，进而可以得解．
【解答】解：由题意，，
．
，
，，
．
故答案为：．
【点评】本题主要考查新定义问题，解题时要能读懂题目找出其中蕴含关系是关键．
33．（2023春 太原期末）分解因式：
（1）；
（2）；
（3）利用因式分解计算：．
【分析】（1）依据题意，根据因式分解的方法，先提公因式再运用公式法即可得解；
（2）依据题意，根据因式分解的方法进行变形可以得解；
（3）依据题意，根据完全平方公式法进行计算可以得解．
【解答】解：（1）原式
．
（2）原式
．
（3）原式
．
【点评】本题主要考查了因式分解的应用，解题时需要熟练掌握并能准确计算是关键．
34．（2023春 鄄城县期末）（1）因式分解：；
（2）利用因式分解进行简便计算：．
【分析】（1）先提公因式，再用公式．
（2）用完全平方公式求值．
【解答】解：（1）原式
．
（2）原式
．
【点评】本题考查因式分解的应用，正确的因式分解是求解本题的关键．
35．（2023春 薛城区期末）阅读材料，要将多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，提出公因式，再把它的后两项分成一组，提出公因式，从而得到：，这时中又有公因式，于是可以提出，从而得到，因此有，这种方法称为分组法．请回答下列问题：
（1）尝试填空：　　；
（2）解决问题：因式分解；
（3）拓展应用：已知三角形的三边长分别是，，，且满足试判断这个三角形的形状，并说明理由．
【分析】（1）依据题意，通过分组分解后，再提公因式进行因式分解即可得解；
（2）依据题意，通过分组分解后，再提公因式进行因式分解，从而可以得解；
（3）依据题意，将进行适当变形变成两个非负数的和为0，进而可以判断得解．
【解答】解：（1）
．
故答案为：．
（2）
．
（3）由题意，，
．
．
，．
．
这个三角形是等边三角形．
【点评】本题主要考查因式分解的应用，解题时要熟练掌握因式分解的方法与步骤是关键．
36．（2023春 济南期末）定义：对任意一个两位数，如果满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“慧泉数”．将一个“慧泉数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为（a）．
例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为，和与11的商为，所以．
根据以上定义，回答下列问题：
（1）填空：下列两位数：40，51，66中，“慧泉数”为 　51　；
（2）计算：
①；②；
（3）如果一个“慧泉数” 的十位数字是，个位数字是，另一个“慧泉数” 的十位数字是，个位数字是2，且满足，求．
【分析】（1）根据“慧泉数”的定义判断；
（2）根据（a）及“慧泉数”的定义计算；
（3）根据（a）及“慧泉数”的定义，依题意推理即可．
【解答】解：（1）满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，
为“慧泉数”．
故答案为：51；
（2）①；
②；
（3）由（2）得：，，；
根据题意，得：
，解得：；
；
或8．
【点评】本题以新定义的形式考查了整式及不等式的基础知识．
37．（2023春 长寿区校级月考）材料一：若是正整数，除以3的余数为1，则称是“三拖一数”．例如：13是正整数，且，则13是“三拖一数”．
材料二：对于任意四位正整数，的千位数字为、百位数字为、十位数字为、个位数材字为，规定：．
请根据以上材料，解决下列问题：
（1）判断：124，1838是不是“三拖一数”？并说明理由；
（2）若四位正整数是“三拖一数”， 的千位数字的2倍与个位数字的和等于9，百位数字与十位数字的和等于8，是有理数，求所有满足条件的．
【分析】（1）根据“三拖一数”的定义即可一一判定；
（2）任意四位正整数，根据题意知：，，，化简整理可得，若为“三拖一数”，则必须为“三拖一数”，可设且为整数），则，分类讨论可确定、或、，再根据是有理数，则是有理数的完全平方数，列出情况分类讨论即可确定满足条件的．
【解答】解（1）124是“三拖一数”，1838不是“三拖一数”，
理由如下：，
是“三拖一数”，
，
不是“三拖一数”．
（2）任意四位正整数，设的千位数字为、百位数字为、十位数字为、个位数字为，则：
，
根据题意可知：，，
，
．
是“三拖一数”且能被3整除，
是“三拖一数”，
设且为整数），
，
当时，，，
当时，，（舍，
当时，，，
因为有理数，则是有理数的完全平方数，，
当，，根据，且，’都是自然数，分类讨论得：
，时，；符合题意，．
当，，根据，且，’都是自然数，分类讨论得：
，时，；符合题意，．
，时，；符合题意，．
综上，所有满足条件的的值为1717、4081、4531．
【点评】本题考查了新定义运算，列代数式，二次根式的求值问题，应用了分类讨论的思想，理解题意，逐条件分析是解决本题的关键．
38．（2023春 南海区校级期中）“回文诗”即正念倒念都有意思，均成文章的诗，如：云边月影沙边雁，水外天光山外树．倒过来念即“树外山光天外水，雁边沙影月边云”，其意境与韵味读起来都是一种美的享受．在数学中也有这样一类数有这样的特征，即正读倒读都一样的自然数，我们称之为“回文数”．例如4，11，343等．
（1）请写出一个四位数的“回文数”　7667　；
（2）求证：任意四位数的“回文数”是11的倍数；
（3）如果一个“回文数” 是另外一个正整数的平方，则称为“平方回数”．若是一个千位数字为1的四位数的“回文数”，记．若是一个“平方回数”，求的值．
【分析】（1）由“回文数”定义得7667；
（2）由“回文数”定义，数字与数的关系求得任意四位数的“回文数”是11的倍数；
（3）由“回文数”，平方回数”和不等式的知识求得的值为1331．
【解答】解：（1）7667；
故答案为：7667，本小题是一个开放性试题上，答案不唯一；
（2）设任意四位数的“回文数”千位，百位，十位和个位上的数字分别为、、、，则有：
，
是11的位数；
（3）若是一个千位数字为1的四位数的“回文数”，则有：
，
，
又，
，
又平方回数”，
，
解得：，
．
【点评】本题综合考查了因式分解的应用，新定义，不等式知识的应用等相关知识，重点掌握因式分解的应用，难点新定义和不等式知识综合应用求值．
39．（2023春 禅城区月考）（1）【知识再现】在研究平方差公式时，我们在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形（如图，把余下的阴影部分再剪拼成一个长方形（如图，根据图1、图2阴影部分的面积关系，可以得到一个关于，的因式分解等式①　　．
（2）【知识迁移】在棱长为的正方体上挖去一个棱长为的小正方体后，余下的部分（如图再切割拼成一个几何体（如图．根据它们的体积关系得到关于，的等式为②　　．（结果写成整式的积的形式）
（3）【知识运用】已知，，求的值．
（4）若、、分别是一个三角形的三边长，且满足，请判断该三角形的形状，并说明理由．
【分析】（1）图一由大正方形面积减去小正方形面积为阴影面积，图二长方形长为，宽为，即可求出阴影面积；
（2）该几何体由一个长为，宽为，高为的大长方体和一个长、宽、高为，，的小长方体组成，将它们体积相加即为组合体的体积；
（3）由先求出的值，结合（2）中结果，即可求出的值；
（4）由已知可得，结合完全平方式可得，即可判断三角形的形状．
【解答】解：（1）由图1可得阴影面积为，
由图2可得阴影面积为，
故答案为：．
（2）由图4可得几何体的体积为，
故答案为：．
（3），
则．
（4）这是一个等边三角形，证明如下，
，
．
，
即．
，，，
，，，
，
这是一个等边三角形．
【点评】本题主要考查了因式分解．本题的关键是结合整体的思想，对已知式子进行整理变形．
40．（2023春 宜兴市校级期中）【阅读材料】
像，，，，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．
例如，与，与，与，，等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
【解决问题】
（1）的有理化因式为 　　；
（2）化简：；
（3）①如图1，中，，，，点到边的距离为 　　；
②如图2，中，与的角平分线相交于点，若的周长为，面积为3，则点到边的距离为 　　．
【分析】（1）利用凑平方差公式的方法找根式的有理化式子；
（2）利用三角形面积求高即可；
（3）利用等面积求解即可．
【解答】解：（1）根据题意可知的有理化因式为；
故答案为：．
（2）
；
（3）①中，，，，
，
令点到边的距离为，
根据等面积列等式方程得：
，
解得；
②过点分别作边、、的垂线段、、，
中，与的角平分线相交于点，
线段，
，
的周长为，面积为3，
，
解得．
故答案为：①；
②．
【点评】本题考查了因式分解、分母有理化、二次根式的混合运算、角平分线的性质，做题关键要掌握因式分解、分母有理化、二次根式的混合运算、角平分线的性质．
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