资源简介

第一章 集合与简易逻辑
一、集合知识
基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用.
集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法.
集合元素的特征：确定性、互异性、无序性.
集合运算：交、并、补.
主要性质和运算律
包含关系：
等价关系：
集合的运算律：
交换律：
结合律:
分配律:.
0-1律：
等幂律：
求补律：A∩CUA=φ A∪CUA=U CUU=φ CUφ=U CUU(CUA)=A
反演律：CU(A∩B)= (CUA)∪(CUB) CU(A∪B)= (CUA)∩(CUB)
有限集的元素个数
定义：有限集A的元素的个数叫做集合A的基数，记为card( A)规定 card(φ) =0.
基本公式：
(3) card(CUA)= card(U)- card(A)
（4）设有限集合A, card(A)=n,则
①A的子集个数为； ②A的真子集个数为；
③A的非空子集个数为；④A的非空真子集个数为.
（5）设有限集合A、B、C， card(A)=n，card(B)=m,m ① 若,则C的个数为；
② 若,则C的个数为；
③ 若,则C的个数为；
④ 若,则C的个数为.
二．含绝对值不等式、一元二次不等式的解法
1.整式不等式的解法
根轴法（零点分段法）
①将不等式化为a0(x-x1)(x-x2)…(x-xm)>0(<0)形式，并将各因式x的系数化“+”；(为了统一方便)
②求根，并在数轴上表示出来；
③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？）；
④若不等式（x的系数化“+”后）是“>0”,则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“<0”,则找“线”在x轴下方的区间.
（自右向左正负相间）
则不等式的解可以根据各区间的符号确定.
特例① 一元一次不等式ax>b解的讨论；
②一元二次不等式ax2+box>0(a>0)解的讨论.



二次函数
（）的图象
一元二次方程
有两相异实根
有两相等实根
无实根

R



2.分式不等式的解法
（1）标准化：移项通分化为>0(或<0)； ≥0(或≤0)的形式，
（2）转化为整式不等式（组）
3.含绝对值不等式的解法
（1）公式法：,与型的不等式的解法.
（2）定义法：用“零点分区间法”分类讨论.
（3）几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题.
4.一元二次方程根的分布
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)
（1）根的“零分布”：根据判别式和韦达定理分析列式解之.
（2）根的“非零分布”：作二次函数图象，用数形结合思想分析列式解之.
三．简易逻辑
1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。
2、逻辑联结词、简单命题与复合命题：
“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。
构成复合命题的形式：p或q(记作“p∨q” )；p且q(记作“p∧q” )；非p(记作“┑q” ) 。
3、“或”、 “且”、 “非”的真值判断
（1）“非p”形式复合命题的真假与F的真假相反；
（2）“p且q”形式复合命题当P与q同为真时为真，其他情况时为假；
（3）“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况时为真．
4、四种命题的形式：
原命题：若P则q； 逆命题：若q则p；
否命题：若┑P则┑q；逆否命题：若┑q则┑p。
(1)交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题；
(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；
(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题．
5、四种命题之间的相互关系：
一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：(原命题逆否命题)
①、原命题为真，它的逆命题不一定为真。
②、原命题为真，它的否命题不一定为真。
③、原命题为真，它的逆否命题一定为真。
6、如果已知pq那么我们说，p是q的充分条件，q是p的必要条件。
若pq且qp,则称p是q的充要条件，记为p?q.
7、反证法：从命题结论的反面出发（假设），引出(与已知、公理、定理…)矛盾，从而否定假设证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。
第二章、函数
一、函数与映射的定义
①映射的定义：
设集合A,B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对应集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么，这样的对应（包括集合A,B，以及集合A到集合B的对应关系f）叫做集合A到集合B的映射，记作。
②函数的定义：设A,B是非空数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称 为从集合A到集合B的一个函数，记作： ，其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。
③函数的三要素：定义域，值域，对应法则。
二、函数的性质
（1）定义域：
（2）值域：
（3）奇偶性（在整个定义域内考虑）
①定义：
②判断方法：Ⅰ.定义法：步骤：a.求出定义域；
b.判断定义域是否关于原点对称； c.求；
d.比较或的关系。
Ⅱ图象法：即根据图象的对称性判别
③已知：
若非零函数的奇偶性相同，则在公共定义域内为偶函数
若非零函数的奇偶性相反，则在公共定义域内为奇函数
④常用的结论：若是奇函数，且，则；
若是偶函数，则；反之不然。
常见的奇函数：① ②
③④⑤⑥
非奇非偶函数f（x）=.
（4）单调性（在定义域的某一个子集内考虑）
①定义：
②证明函数单调性的方法：
Ⅰ.定义法 步骤： a.设；
b.作差；
（一般结果要分解为若干个因式的乘积，且每一个因式的正或负号能清楚地判断出）
c.判断正负号。
③求单调区间的方法：
a.定义法： b. 图象法： c.复合函数在公共定义域上的单调性：
若f与g的单调性相同，则为增函数；
若f与g的单调性相反，则为减函数。
注意：先求定义域，单调区间是定义域的子集。
④一些有用的结论：
a.奇函数在其对称区间上的单调性相同； b.偶函数在其对称区间上的单调性相反；
c.在公共定义域内
增函数增函数是增函数； 减函数减函数是减函数；
增函数减函数是增函数； 减函数增函数是减函数。
⑤掌握函数的图象和性质；
函
数
(b – ac≠0)
）
定义域
值域
奇偶性
非奇非偶函数
奇函数
单
调
性
当b-ac>0时:
分别在上单调递减；
当b-ac<0时:
分别在上单调递增；
在上单调递增；
在上单调递增；
图
象
（5）函数的周期性
定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使恒成立
则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
①y=f(x)对x∈R时，f(x +a)=f(x－a) 或f(x－2a )=f(x) (a>0)恒成立,则y=f(x)是周期为
2a的周期函数；
②若y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为2︱a︱的周期函数；
③若y=f(x)奇函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为4︱a︱的周期函数；
④若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称，则f(x)是周期为2的周期函数；
⑤y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a≠b)对称，则函数y=f(x)是周期为2的周期函数；
⑥y=f(x)对x∈R时，f(x+a)=－f(x)(或f(x+a)= ，则y=f(x)是周期为2的周期函数；
三、函数的图象
1、基本函数的图象：（1）一次函数、（2）二次函数、（3）反比例函数、（4）指数函数、（5）对数函数、（6）三角函数。
2、图象的变换
（1）平移变换
①函数y=f(x+a),(a>0)的图象是把函数y=f(x)的图象沿x轴 ；
②函数y=f(x+a),(a<0)的图象是把函数y=f(x)的图象沿x轴右平；
③函数y=f(x)+a,(a>0)的图象是把函数y=f(x)的图象沿y轴平；
④函数y=f(x)+a,(a<0)的图象是把函数y=f(x)的图象沿y轴平。
（2）对称变换
①函数与函数的图象关于直线x=0对称；
函数与函数的图象关于直线y=0对称；
函数与函数的图象关于坐标原点对称；
②如果函数y=f(x)对于一切都有f(x+a)=f(a-x)，那么y=f(x) 的图象关于直线对称。
如果函数y=f(x)对于一切都有f(x+a)=f(b-x)，那么y=f(x) 的图象关于直线对称。
③函数与函数的图象关于直线x=0对称。
函数与函数y=f(b-x)的图象关于直线x=对称
④

⑤

⑥与关于直线对称。
⑦证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；反之亦然；
⑧曲线C1：f(x,y)=0,关于y=x+a(y=－x+a)的对称曲线C2的方程为f(y－a,x+a)=0(或f(－y+a,－x+a)=0);
⑨曲线C1:f(x,y)=0关于点（a,b）的对称曲线C2方程为：f(2a－x,2b－y)=0;
（3）伸缩变换
①的图象，可将的图象上的每一点的纵坐标伸长或缩短到原来的倍。
②的图象，可将的图象上的每一点的横坐标伸长或缩短到原来的倍。
四、函数的反函数
1、求反函数的步骤：
求原函数，的值域B ②把看作方程，解出；
③x，y互换的的反函数为，。
2、注意：（1）定义域上的单调函数必有反函数；（2）奇函数的反函数也是奇函数；（3）定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数;（4）周期函数不存在反函数；（5）互为反函数的两个函数具有相同的单调性；(5) y=f(x)与y=f-1(x)互为反函数，设f(x)的定义域为A，值域为B，则有f[f-1(x)]=x(x∈B),f-1[f(x)]=x(x∈A).
五、求函数的值域的常用解题方法：
配方法。如函数的值域，特点是可化为二次函数的形式；
②换元法：如y=
③单调性：如函数 x∈[1,2]
④利用反函数的思想：如函数y=
⑤利用函数的图像：如函数y=|x+3|+|x－2|
⑥判别式法（△法）　　　
⑦利用基本不等式：如函数y=
⑧利用表达式的几何意义：
如函数 y=+
=
⑨.方程k=f(x)有解k∈D(D为f(x)的值域)；
⑩.a≥f(x) a≥［f(x)］max,; a≤f(x) a≤［f(x)］min;
六、函数、方程与不等式
1、（1） (a>0,a≠1,b>0,n∈R+);
(2) l og a N=( a>0,a≠1,b>0,b≠1);
(3) l og a b的符号由口诀“同正异负”记忆;
(4) a log a N= N ( a>0,a≠1,N>0 );
2、“实系数一元二次方程有实数解”转化为“”，你是否注意到必须；当=0时，“方程有解”不能转化为。若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，你是否考虑到二次项系数可能为零的情形？
3、利用二次函数的图象和性质，讨论一元二次方
程实根的分布。
设为方程的两个实根。
①若则；
②当在区间内有且只有一个实根时，
③当在区间内有且只有两个实根时，
④若时
注意：①根据要求先画出抛物线，然后写出图象成立的充要条件。
②注意端点，验证端点。

七、复合函数的性质
复合函数y=f[g(x)]是由函数u=g(x)和y=f(u)构成的，因变量y通过中间变量u与自变量x建立起函数关系，函数u=g(x)的值域是y=f(u)定义域的子集．
复合函数的性质由构成它的函数性质所决定，具备如下规律：
(1)单调性规律
如果函数u=g(x)在区间［m，n］上是单调函数，且函数y=f(u)在区间[g(m)，g(n)] (或[g(n)，g(m)])上也是单调函数，那么
若u=g(x)，y=f(u)增减性相同，则复合函数y=f[g(x)]为增函数；若u=g(x)，y= f(u)增减性不同，则y=f[g(x)]为减函数．
(2)奇偶性规律
若函数g(x)，f(x)，f[g(x)]的定义域都是关于原点对称的，则u=g(x)，y=f(u)都是奇函数时，y=f[g(x)]是奇函数；u=g(x)，y=f(u)都是偶函数，或者一奇一偶时，y= f[g(x)]是偶函数．
第三章 数列
一．数列及数列的通项公式
1.数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列

2.数列的前n项和：
3.数列的通项公式：
4.递推公式：已知数列的第一项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式。
二．等差数列
1.定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。
即：
2.等差数列的判定方法：
①定义法：对于数列，若(常数)，则数列是等差数列。
②等差中项法：对于数列，若，则数列是等差数列。
3.等差数列的通项公式：
如果等差数列的首项是，公差是，则等差数列的通项为。
[说明]：该公式整理后是关于n的一次函数。
4.等差数列的前n项和：
① ②
[说明]对于公式2整理后是关于n的没有常数项的二次函数。
5.等差中项：
如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项。即：或
[说明]：在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。
6.等差数列的性质：
①．等差数列任意两项间的关系：如果是等差数列的第项，是等差数列的第项，且，公差为，则有
②.对于等差数列，若，则。
也就是：，如图所示：
③．若数列是等差数列，是其前n项的和，，那么，，成等差数列。如下图所示：
④．设数列是等差数列，是奇数项的和，是偶数项项的和，是前n项的和，则有如下性质：(i)奇数项
(ii)偶数项
(iii)
所以有 ；


所以有
⑤．若等差数列的前项的和为，等差数列的前项的和为，则。
三．等比数列
1．定义：
2.等比中项：
如果在与之间插入一个数，使，，成等比数列，那么叫做与的等比中项。也就是，如果是的等比中项，那么，即。
3.等比数列的判定方法：
⑴定义法：对于数列，若，则数列是等比数列。
⑵等比中项：对于数列，若，则数列是等比数列。
4.等比数列的通项公式：
如果等比数列的首项是，公比是，则等比数列的通项为。
5.等比数列的前n项和：
6.等比数列的性质：
⑴．等比数列任意两项间的关系：如果是等比数列的第项，是等差数列的第项，且，公比为，则有
⑵.对于等比数列，若，则
也就是：。如图所示：
⑶．若数列是等比数列，是其前n项的和，，那么，，成等比数列。如下图所示：
四．数列的通项求法：
(1)等差，等比数列的通项
(2)
(3)迭加累加 ，迭乘累乘
，
，
，
………， ………，
，
，
注：
五．数列的求和方法：
(1)等差与等比数列
(2)裂项相消法： 如：an=1/n(n+1)
(3)错位相减法：,


所以有
如：an=(2n-1)2n
⑷倒序相加法：如an=;
又如一知函数
求：。
⑸通项分解法：如：an=2n+3n
六．数列的关系
(1)

(2)
七．递推数列
(1)能根据递推公式写出数列的前n项
(2)由 解题思路：利用
变化（1）已知 (2)已知
⑶.若一阶线性递归数列an=kan－1+b（k≠0,k≠1）,则总可以将其改写变形成如下形式:(n≥2)，于是可依据等比数列的定义求出其通项公式；
八．其它方面
1、在等差数列中,有关Sn 的最值问题——常用邻项变号法求解：??
(1)当,d<0时，满足 的项数m使得取最大值.
(2)当,d>0时，满足 的项数m使得取最小值。
在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。
2、三个数成等差的设法：a-d,a,a+d；四个数成等差的设法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d
3、三个数成等比的设法：a/q,a,aq；
四个数成等比的错误设法：a/q3,a/q,aq,aq3 (为什么？)
4、求数列{an}的最大、最小项的方法：
an+1-an=…… 如an= -2n2+29n-3
(an>0) 如an=
③ an=f(n) 研究函数f(n)的增减性 如an=
第四章 三角函数部分
一、基本概念和知识要点
以角的顶点为坐标原点，始边为x轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任
取一个异于原点的点，点P到原点的距离记为，则sin=，cos=，tg=，ctg=，sec=，csc=。
2、三角函数线：
同角三角函数的关系中，
平方关系是：，，；
倒数关系是：，，；
相除关系是：，。
诱导公式可用十个字概括为：奇变偶不变，符号看象限（的奇、偶数倍）。
如：，=，。
5、三角函数的图象：
y＝sinx
y＝cosx


函数的最大值是，最小值
，周期是，频率是，相位是，初相是；其图象的对称轴是直线，凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心（横坐标满足）。
三角函数的单调区间：
的递增区间是，递减区间是；的递增区间是，递减区间是，的递增区间是，的递减区间是。
8、y＝Asin(ωx＋ψ)五点法作图：依次取ωx＋ψ＝
9、三角变换： (A>0，ω>0)
①先平移变换，再伸缩变化：
将y＝sinx的图像　　　　　　　　得y＝sin(x＋ψ)的图象　　　　　　
得函数y＝sin(ωx＋ψ)的图象　　　　　　　　得函数y＝Asin(ωx＋ψ)的图象
②先伸缩变化，再平移变化。（注意：平移多少个单位，一定要把解析式中x的系数提出）
将y＝sinx的图像　　　　　　　　得y＝sin(ωx)的图象　　　　　　　　
得y＝sin(ωx＋ψ)的图象 　　　　　　　　得y＝Asin(ωx＋ψ)的图象。
注意逆向考虑问题：
如将函数的图象按照平移后得函数的图象，则＝　
10、两角和与差公式

11、二倍角公式是：sin2=
cos2===
2=。
12、三倍角公式是：sin3= cos3=
13、半角公式是：sin= cos=
tan===。
14、升幂公式是： 。
15、降幂公式是： 。
16、万能公式：sin= cos= tan=
17、特殊角的三角函数值：
0
sin
0
1
0
cos
1
0
0
tan
0
1
不存在
0
不存在
cot
不存在
1
0
不存在
0
18、正弦定理是（其中R表示三角形的外接圆半径）：
19、由余弦定理第一形式，=
由余弦定理第二形式，cosB=
20、△ABC的面积用S表示，外接圆半径用R表示，内切圆半径用r表示，半周长用p表示则：
①； ②；
③； ④；
⑤；⑥
21、三角学中的射影定理：在△ABC 中，，…
22、在△ABC 中，，…
23、锐角△ABC中
24、在△ABC 中：


25．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．解三角形的问题一般可分为下面两种情形：若给出的三角形是直角三角形，则称为解直角三角形；若给出的三角形是斜三角形，则称为解斜三角形．
㈠解斜三角形的主要依据是：
设△ABC的三边为a、b、c，对应的三个角为A、B、C．
（1）角与角关系：A+B+C = π，
（2）边与边关系：a + b > c，b + c > a，c + a > b，a－b < c，b－c < a，c－a > b．
（3）边与角关系：
正弦定理 （R为外接圆半径）．
余弦定理 c2 = a2+b2－2bccosC，b2 = a2+c2－2accosB，a2 = b2+c2－2bccosA．
它们的变形形式有：a = 2R sinA，，．
（4）面积公式：
．
㈡解斜三角形的常规思维方法是：
（1）已知两角和一边（如A、B、c），由A+B+C = π求C，由正弦定理求a、b．
（2）已知两边和夹角（如a、b、C），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C = π，求另一角．
（3）已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C = π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况．
（4）已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C = π，求角C．
25.弧度制：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；任一
已知角的弧度数的绝对值，其中为以角作为圆心角时所对圆弧的长，为圆的半径。
26.弧长公式：；半径公式：；
扇形面积公式：；
二、思路方法
1.三角函数恒等变形的基本策略。
（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos2θ+sin2θ=tanx·cotx=tan45°等。
（2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；
配凑角：α=（α+β）－β，β=－等。
（3）降次与升次。即倍角公式降次与半角公式升次。
（4）化弦（切）法。将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）。
（5）引入辅助角。asinθ+bcosθ=sin(θ+)，这里辅助角所在象限由a、b的符号确定，角的值由tan=确定。
（6）万能代换法。巧用万能公式可将三角函数化成tan的有理式。
2.证明三角等式的思路和方法。
（1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。
（2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法。
3.证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别式法等。
4.解答三角高考题的策略。
（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。
（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。
（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。
三、注意点
对于三角函数进行恒等变形，是三角知识的综合应用，其题目类型多样，变化似乎复杂，处理这类问题，注意以下几个方面：
1．三角函数式化简的目标：项数尽可能少，三角函数名称尽可能少，角尽可能小和少，次数尽可能低，分母尽可能不含三角式，尽可能不带根号，能求出值的求出值．
2．三角变换的一般思维与常用方法．
注意角的关系的研究，既注意到和、差、倍、半的相对性，如．也要注意题目中所给的各角之间的关系．
注意函数关系，尽量异名化同名、异角化同角，如切割化弦，互余互化，常数代换等．
熟悉常数“1”的各种三角代换：
等．
注意万能公式的利弊：它可将各三角函数都化为的代数式，把三角式转化为代数式．但往往代数运算比较繁．
熟悉公式的各种变形及公式的范围，如
sin α = tan α cos α ，，等．
利用倍角公式或半角公式，可对三角式中某些项进行升降幂处理，如，，等．从右到左为升幂，这种变形有利于根式的化简或通分、约分；从左到右是降幂，有利于加、减运算或积和（差）互化．
3．几个重要的三角变换：
sin α cos α可凑倍角公式； 1±cos α可用升次公式；
1±sin α 可化为，再用升次公式；
（其中 ）这一公式应用广泛，熟练掌握．
4. 单位圆中的三角函数线是三角函数值的几何表示，四种三角函数y = sin x、y = cos x、y = tan x、y = cot x的图象都是“平移”单位圆中的三角函数线得到的，因此应熟练掌握三角函数线并能应用它解决一些相关问题．
5. 三角函数的图象的掌握体现在：把握图象的主要特征（顶点、零点、中心、对称轴、单调性、渐近线等）；应当熟练掌握用“五点法”作图的基本原理以及快速、准确地作图．
6.三角函数的奇偶性
“函数y = sin (x＋φ) （φ∈R）不可能是偶函数”．是否正确．
分析：当时，，这个函数显然是偶函数．因此，这个判断是错误的．我们容易得到如下结论：
① 函数y = sin (x＋φ)是奇函数．
② 函数y = sin (x＋φ)是偶函数．
③ 函数y =cos (x＋φ)是奇函数．
④ 函数y = cos (x＋φ)是偶函数．
7.三角函数的单调性
“正切函数f (x) = tan x，是定义域上的增函数”，是否正确．
分析：我们按照函数单调性的定义来检验一下：
任取，，显然x1＜x2，但f (x1 )＞0＞f (x2 )，与增函数的定义相违背，因此这种说法是不正确的．
观察图象可知：在每一个区间上，f (x ) = tan x都是增函数，
第五章 向量部分
1.平面向量知识结构表
2.向量的概念
（1）向量的基本概念
①定义既有大小又有方向的量叫做向量。向量的大小也就是向量的长度，叫做向量的模。
②特定大小或特定关系的向量
零向量，单位向量，共线向量（平行向量），相等向量，相反向量。
③表示法：几何法：画有向线段表示，记为或α。
④在坐标系下，平面上任何一点都可用一对实数(坐标)来表示取x轴、y轴上两个单位向量, 作基底，则平面内作一向量=x+y，记作：=(x, y) 称作向量的坐标.
=(x2-x1,y2-y1)，其中A(x1,y1),B(x2,y2)
（2）向量的运算
①向量的加法与减法：定义与法则（如图5-1）：
a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2)。其中a=(x1，y1),b=(x2,y2)。
运算律：a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c),a+0=0+a=a。
②向量的数乘（实数与向量的积）定义与法则（如图5-2）：
λa=λ(x,y)=(λx, λy)
(1)︱︱=︱︱·︱︱;
(2) 当＞0时，与的方向相同；当＜0时，与的方向相反；
当=0时，=0．
(3)若=（），则·=（）．
运算律
λ（μa）=(λμ)a,( λ+μ)a=λa+μa, λ(a+b)= λa+λb。
3.平面向量的数量积定义与法则（如图5-3）：
（1）．向量的夹角：已知两个非零向量与b，作=, =,则∠AOB= （）叫做向量与的夹角。
（2）．两个向量的数量积：
已知两个非零向量与，它们的夹角为，则
·=︱︱·︱︱cos．
其中︱︱cos称为向量在方向上的投影．
（3）．向量的数量积的性质：·=·,(λ)·=·(λ)=λ（·），（+）·=·+·。若=（）,=（）则·=
（ⅰ）⊥·=0（，为非零向量）;
（ⅱ）向量与夹角为锐角
（ⅲ）向量与夹角为钝角
4.定理与公式
共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b=λ a
结论：∥ (()的充要条件是x1y2-x2y1=0
注意：1(消去λ时不能两式相除，∵y1, y2有可能为0， ∵(∴x2, y2中至少有一个不为0
2(充要条件不能写成 ∵x1, x2有可能为0
3(向量共线的充要条件有两种形式：∥ (()
②平面向量基本定量：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1,λ2使=λ1+λ2
③两向量垂直的充要条件
(i) ⊥·=0 (ii) ⊥x1·x2+y1·y2=0（=(x1,y1), =(x2,y2)）
④三点共线定理：平面上三点A、B、C共线的充要条件是：存在实数α、β,使=α+β，其中α+β=1，O为平面内的任一点。
⑤数值计算公式
两点间的距离公式：||=，其中[P1(x1,y1),P2(x2,y2)]
P分有向线段所成的比：
设P1、P2是直线上两个点，点P是上不同于P1、P2的任意一点，则存在一个实数使=，叫做点P分有向线段所成的比。
当点P在线段上时，＞0；当点P在线段或的延长线上时，＜0；
分点坐标公式：若=；的坐标分别为（）,（）,（）；则： 中点坐标公式：
两向量的夹角公式：cosθ==
0≤θ≤180°,a=(x1,y1),b=(x2,y2)
⑥图形变换公式： 平移公式：若点P0(x,y)按向量a=(h,k)平移至P(x′,y′)，
则
⑦有关结论
(i)平面内有任意三个点O，A，B。若M是线段AB的中点，则(+);
一般地，若P是分线段AB成定比λ的分点（即=λ，λ≠-1）则=+，此即线段定比分点的向量式
(ii)有限个向量，a1,a2,…,an,相加，可以从点O出发，逐一作向量=a1, =a2,…, =an,则向量即这些向量的和，即
a1+a2+…+an=++…+=（向量加法的多边形法则）。
当An和O重合时（即上述折线OA1A2…An成封闭折线时），则和向量为零向量。
注意：反用以上向量的和式，即把一个向量表示为若干个向量和的形式，是解决向量问题的重要手段。
5.向量的应用
（1）向量在几何中的应用（2）向量在物理中的应用
6.主要思想与方法：
本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量是否垂直等。由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点。
第六章 不等式
一、不等式的性质
1．两个实数a与b之间的大小关系
2．不等式的性质
(4) (乘法单调性)
二、常用的基本不等式和重要的不等式
（1） 当且仅当，(a－b)2≥0(a、b∈R)
（2）
（3），则；注：
（4）；
⑸若a、b、m∈R+，且a；
三、最值定理（均值不等式）
设
（1）如积
（2）如和
即；积定和最小，和定积最大。
注；运用最值定理求最值的三要素：“一正、二定、三相等”
四、不等式的证明方法
（1）比较法
（2）综合法——由因导果，即从已知条件出发，依据不等式的性质和已证明过的不等式，推导出所要证明的不等式成立，这种证明不等式的方法叫做综合法．
（3）分析法——执果索因，即从欲证的不等式出发，逐步分析使这不等式成立的充分条件，直到所需条件已判断为正确时，从而断定原不等式成立，这种证明不等式的方法叫做分析法．
注：证明不等式除以上三种基本方法外，还有反证法等．一般地常用分析法探索证题途径，然后用综合法
⑷放缩法的技巧：如；
五、解不等式
（1）一元一次不等式
① ②
（2）一元二次不等式
判别式
二次函数
的图象
一元二次方程 相异实根 相等实根 没有实根
的根
解集 R
解集
注： 解集为R，（ 对恒成立）
则（Ⅰ） （Ⅱ）若二次函数系数含参数且未指明不为零时，需验证
若解集为R呢？
如：关于x的不等式对恒成立，则的取值范围 。
略解（Ⅰ）
（Ⅱ）
（3）绝对值不等式

(2)如果a＞0，那么

(3)|a·b|＝|a|·|b|．
(5)|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|．
(6)|a1＋a2＋……＋an|≤|a1|＋|a2|＋……＋|an|．
（4）高次不等式——序轴标根法
（5）分式不等式——序轴标根法
步骤：①形式：
②首项系数符号>0——标准式
若系数含参数时，须判断或讨论系数，化负为正
③判断或比较根的大小。
六、不等式的同解性
(5)当a＞1时，af(x)＞ag(x)与f(x)＞g(x)同解，当0＜a＜1时，af(x)＞ag(x)与f(x)＜g(x)同解．

第七章 直线和圆的方程
一、解析几何中的基本公式
两点间距离：若，则
特别地：轴， 则 |x2-x1| 。 轴， 则 |y2-y1| 。
平行线间距离：若
则： 注意点：x，y对应项系数应相等。
点到直线的距离：
则P到l的距离为：
直线与圆锥曲线相交的弦长公式： 消y：，务必注意若l与曲线交于A则：
若A，P（x，y）。P在直线AB上，且P分有向线段AB所成的比为， 则 ，特别地：=1时，P为AB中点且
变形后：
若直线l1的斜率为k1，直线l2的斜率为k2，则l1到l2的
角为适用范围：k1，k2都存在且k1k2－1 ，

若l1与l2的夹角为，则，
注意：（1）l1到l2的角：指从l1按逆时针方向旋转到l2所成的角，
范围简称“到角”或“方向角”；
l1与l2的夹角：指l1、l2相交所成的锐角或直角。
（2）l1l2时，夹角、到角=。
（3）当l1与l2中有一条不存在斜率时，画图，求到角或夹角。
（1）直线的倾斜角，；
（2）直线l与平面α所成的角β；
（3）l1与l2的夹角为，，其中l1//l2时夹角= 0；
（4）二面角α，；
（5）l1到l2的角
（6）异面直线所成的角α，
直线的倾斜角与斜率k的关系
每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率。（斜率=tgα，α=90 时，无斜率）
若直线存在斜率k，而倾斜角为，则k=tg。
直线l1与直线l2的的平行与垂直
（1）若l1，l2均存在斜率且不重合：①l1//l2 k1=k2 ②l1l2 k1k2=－1
（2）若
若A1、A2、B1、B2都不为零
l1//l2； ②l1与l2相交
③l1与l2重合 ④l1l2 A1A2+B1B2=0；
注意：若A2或B2中含有字母，应注意讨论字母=0与0的情况。
线方程的五种形式
名称 方程 注意点
斜截式： y=kx+b 斜率不存在的直线不能用斜截式表示
点斜式： （1）斜率不存在：
（2）斜率存在时为
两点式： x1≠x2
截距式： 其中l交x轴于，交y轴于
,a≠0,b≠0,当直线l在坐标轴上的截距相等时应分：
(1)截距= 设 即x+y=
（2）截距=0 设y=kx
一般式： （其中A、B不同时为零）
特殊的直线方程:
①垂直于x轴且截距为a的直线方程是x=a，y轴的方程是x=0．
②垂直于y轴且截距为b的直线方程是y=b，x轴的方程是y=0．
直线系方程:
具有某一共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程的特点是除含坐标变量x，y以外，还含有特定的系数(也称参变量)．
确定一条直线需要两个独立的条件，在求直线方程的过程中往往先根据一个条件写
出所求直线所在的直线系方程，然后再根据另一个条件来确定其中的参变量．
(1)共点直线系方程：
经过两直线l1∶A1x＋B1y＋C1=0，l2∶A2x＋B2y＋C2=0的交点的直线系方程为：A1x
＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)=0，其中λ是待定的系数．
在这个方程中，无论λ取什么实数，都得不到A2x＋B2y＋C2=0，因此它不表示l2．当
λ=0时，即得A1x＋B1y＋C1=0，此时表示l1．
(2)平行直线系方程：直线y=kx＋b中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系
方程．与直线Ax＋By＋C=0平行的直线系方程是Ax＋By＋λ=0(λ≠C)，λ是参变量．
(3)垂直直线系方程：与直线Ax＋By＋C=0(A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是：Bx
－Ay＋λ=0．
如果在求直线方程的问题中，有一个已知条件，另一个条件待定时，可选用直线系方程
来求解．
三、简单的线性规划
二元一次不等式Ax＋By＋C＞0(或＜0＝表示直线Ax＋By＋C=0某一侧所有组
成的平面区域．
二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，即各
个不等式所表示的平面区域的公共部分．
2.线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，称为线
性规划问题，
例如，z=ax＋by，其中x，y满足下列条件：
求z的最大值和最小值，这就是线性规划问题，不等式组(*)是一组对变量x、y的线性约束条件，z=ax＋by叫做线性目标函数．满足线性约束条件的解(x，y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域，使线性目标函数取得最大值和最小值的可行解叫做最优解．
3.线性规划问题有以下基本定理：
⑴ 一个线性规划问题，若有可行解，则可行域一定是一个凸多边形.
⑵ 凸多边形的顶点个数是有限的.
⑶ 对于不是求最优整数解的线性规划问题，最优解一定在凸多边形的顶点中找到.
线性规划问题一般用图解法.
四、确定圆需三个独立的条件
1.圆的方程 （1）标准方程： ， 。
（2）一般方程：，（

（3）若，则以线段AB为直径的圆的方程是
（4）经过两个圆，的交点的圆系方程是：
（5）经过直线与圆的交点的圆系方程是：
(6)参数方程 以(a，b)为圆心，以r为半径的圆的参数方程为
（θ为参数）
特别地，以(0，0)为圆心，以r为半径的圆的参数方程为
2.直线与圆的位置关系有三种（指联立圆与直线方程，消去一个未知数后所得一元二次方程的判别式）
若，

3.求圆的切线方法
(1)已知圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0．
若已知切点(x0，y0)在圆上，则切线只有一条，其方程是
过两个切点的切点弦方程．
②若已知切线过圆外一点(x0，y0)，则设切线方程为y－y0=k(x－x0)，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线．
例如：一条直线经过点，且被圆截得的弦长为8，求此弦所在直线的方程。该题就要注意，不要漏掉x+3=0这一解.
③若已知切线斜率为k，则设切线方程为y=kx＋b，再利用相切条件求b，这时必有两条切线．
(2)已知圆
①若已知切点P0(x0，y0)在圆上，则该圆过P0点的切线方程为x0x＋y0y=r2．
4.两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，


外离 外切 相交 内切 内含
5、直线与圆的位置关系有三种：
若，；；
6.圆与圆的公共弦所在直线方程
第八章 圆锥曲线定义、标准方程及性质
一、椭圆
1.定义Ⅰ：若F1，F2是两定点，P为动点，且 （为常数）则P点的轨迹是椭圆。
定义Ⅱ：若F1为定点，l为定直线，动点P到F1的距离与到定直线l的距离之比为常数e（02.标准方程：
范围：
长轴长=，短轴长=2b
焦距：2c
准线方程：
焦半径：设P(x1,y1)，，
等（注意涉及焦半径①用点P坐标表示，②第一定义。）
注意：（1）图中线段的几何特征：，
，等等。长轴顶点与相应准线距离为、焦点与相应准线距离为。
(2)通径，过焦点与长轴垂直的直线与椭圆相交所得弦，其长为
（3）中经常利用余弦定理、三角形面积公式将有关线段、、2c，
有关角结合起来，建立+、等关系求出、的值.
（4）椭圆上的点有时常用到三角换元：；
（5）注意题目中椭圆的焦点在x轴上还是在y轴上，请补充当焦点在y轴上时，其相应的性质。
二、双曲线
定义：Ⅰ若F1，F2是两定点，（为常数），则动点P
的轨迹是双曲线。
Ⅱ若动点P到定点F与定直线l的距离之比是常数e（e>1），则动点P的轨迹是双曲线。
2.图形：

3.性质
方程：
范围：； y∈R； 实轴长=，虚轴长=2b
焦距：2c 准线方程：
焦半径：设P(x1,y1)，，，
；
注意：（1）图中线段的几何特征：，
顶点到准线的距离：；焦点到准线的距离：
两准线间的距离=，通径：
（2）若双曲线方程为渐近线方程：
若渐近线方程为双曲线可设为
若双曲线与有公共渐近线，可设为
（，焦点在x轴上，，焦点在y轴上）
双曲线的共轭双曲线为
（3）特别地当离心率两渐近线互相垂直，分别为y=，此时双曲线为等轴双曲线，可设为；
（4）注意中结合定义与余弦定理，将有关线段、、和角结合起来。
（5）完成当焦点在y轴上时，标准方程及相应性质。
注意 ：双曲线的渐近线方程为或表示为.若已知双曲线的渐近线方程是，即，那么双曲线的方程具有以下形式：
，其中k是一个不为零的常数.
三、抛物线
1.定义：到定点F与定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线。
即：到定点F的距离与到定直线l的距离之比是常数e（e=1）。
2.图形：

3.性质：方程：（焦点到准线的距离）；
焦点： ，通径；
准线： ；
焦半径：过焦点弦长
焦准距：p；通径长=
4.焦点弦长公式：对于过抛物线焦点的弦长，可以用焦半径公式推导出弦长公式。设过抛物线y2=2px（p＞O）的焦点F的弦为AB，A（x1，y1），B（x2，y2），AB的倾斜角为α，则有
①|AB|=x+x+p
以上两公式只适合过焦点的弦长的求法，对于其它的弦，只能用“弦长公式”来求。
5.直线与抛物线的关系：直线与抛物线方程联立之后得到一元二次方程：x+bx+c=0，当△≠0时，两者的位置关系的判定和椭圆、双曲线相同，用判别式法即可；但如果直线和抛物线只有一个公共点，除相切外，还有直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行，此时，不能仅考虑△=0。
注意：（1）几何特征：焦点到顶点的距离=；焦点到准线的距离=；
顶点是焦点向准线所作垂线段中点。
(2)抛物线上的动点可设为P或
P
四、曲线和方程
1．定义
在选定的直角坐标系下，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)=0的实数解建立了如下关系：
(1)曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)=0的解(一点不杂)；
(2)以方程f(x，y)=0的解为坐标的点都是曲线C上的点(一点不漏)．
这时称方程f(x，y)=0为曲线C的方程；曲线C为方程f(x，y)=0的曲线(图形)．
设P={具有某种性质(或适合某种条件)的点}，Q={(x，y)|f(x，y)=0}，若设点M的坐标为(x0，y0)，则用集合的观点，上述定义中的两条可以表述为：
以上两条还可以转化为它们的等价命题(逆否命题)：
为曲线C的方程；曲线C为方程f(x，y)=0的曲线(图形)．
2．曲线方程的两个基本问题
(1)由曲线(图形)求方程的步骤：
①建系，设点：建立适当的坐标系，用变数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；
②立式：写出适合条件p的点M的集合p={M|p(M)}；
③代换：用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)=0；
④化简：化方程f(x，y)=0为最简形式；
⑤证明：以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
上述方法简称“五步法”，在步骤④中若化简过程是同解变形过程；或最简方程的解集与原始方程的解集相同，则步骤⑤可省略不写，因为此时所求得的最简方程就是所求曲线的方程．求轨迹的常用方法：
①直接法：直接通过建立x、y之间的关系，构成F(x,y)＝0，是求轨迹的最基本的方法；
②待定系数法：所求曲线是所学过的曲线：如直线，圆锥曲线等，可先根据条件列出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数，代回所列的方程即可；
③代入法（相关点法或转移法）：若动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x1,y1)的变化而变化，并且Q(x1,y1)又在某已知曲线上，则可先用x、y的代数式表示x1、y1，再将x1、y1带入已知曲线得要求的轨迹方程；
④定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义，则可由曲线的定义直接写出方程；
⑤参数法：当动点P（x,y）坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，
可考虑将x、y均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程。
(2)由方程画曲线(图形)的步骤：
①讨论曲线的对称性(关于x轴、y轴和原点)；
②求截距：
③讨论曲线的范围；④列表、描点、画线．
3．交点
求两曲线的交点，就是解这两条曲线方程组成的方程组．
4．曲线系方程
过两曲线f1(x，y)=0和f2(x，y)=0的交点的曲线系方程是f1(x，y)＋λf2(x，y)=0(λ∈R)．
第七章 直线、平面、简单几何体
一、知识结构
二、判定两线平行的方法
平行于同一直线的两条直线互相平行
垂直于同一平面的两条直线互相平行
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
在同一平面内的两条直线，可依据平面几何的定理证明
判定线面平行的方法
据定义：如果一条直线和一个平面没有公共点
如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行
两面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面
平面外的两条平行直线中的一条平行于平面，则另一条也平行于该平面
平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行，则也平行于另一个平面
四、判定面面平行的方法
⑴由定义知：“两平行平面没有公共点”。
⑵由定义推得：“两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。
⑶两个平面平行的性质定理：“如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那
么它们的交线平行”。
⑷一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。
⑸夹在两个平行平面间的平行线段相等。
⑹经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行。
五、面面平行的性质
1、两平行平面没有公共点
2、两平面平行，则一个平面上的任一直线平行于另一平面
3、两平行平面被第三个平面所截，则两交线平行
垂直于两平行平面中一个平面的直线，必垂直于另一个平面
六、判定线面垂直的方法
1、定义：如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，则线面垂直
2、如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直，则线面垂直
3、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面
4、一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面
5、如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面
果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么它们的交线垂直于另一个平面
七、判定两线垂直的方法
定义：成角
直线和平面垂直，则该线与平面内任一直线垂直
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直
一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直，它也和另一条垂直
八、判定面面垂直的方法
定义：两面成直二面角,则两面垂直
一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这个平面垂直于另一平面
九、面面垂直的性质
二面角的平面角为
在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面
相交平面同垂直于第三个平面，则交线垂直于第三个平面
十、各种角的范围
1、异面直线所成的角的取值范围是：
2、直线与平面所成的角的取值范围是：
3、斜线与平面所成的角的取值范围是：
4、二面角的大小用它的平面角来度量；取值范围是：
十一．空间角的计算：
总是通过一定的手段将其转化为一个平面内的角，并把它置于一个平面图形，而且是一个三角形的内角来解决，而这种转化就是利用直线与平面的平行与垂直来实现的，因此求这些角的过程也是直线、平面的平行与垂直的重要应用．通过空间角的计算和应用进一步培养运算能力、逻辑推理能力及空间想象能力．
1.异面直线所成角的求法：
（1）平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；
（2）补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系；
2.直线与平面所成的角
斜线和平面所成的是一个直角三角形的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段、斜线段及斜线段在平面上的射影。通常通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段，垂足和斜足的连线，是产生线面角的关键；
3.而求二面角(－l－(的平面角（记作(）通常有以下几种方法：
(1) 根据定义；
(2) 垂面法： 过棱l上任一点O作棱l的垂面(，设(∩(＝OA，(∩(＝OB，则∠AOB＝((图1)；
(3) 三垂线法：利用三垂线定理或逆定理，过一个半平面(内一点A，分别作另一个平面(的垂线AB(垂足为B),或棱l的垂线AC(垂足为C)，连结AC，则∠ACB＝( 或∠ACB＝(－((图2)；
(4) 设A为平面(外任一点，AB⊥(，垂足为B，AC⊥(，垂足为C，则∠BAC＝(或∠BAC＝(－((图3)；
(5) 射影法： 利用面积射影定理，设平面(内的平面图形F的面积为S，F在平面(内的射影图形的面积为S(，则cos(＝.
图 1 图 2 图 3
十二.空间的距离问题：
即点与点、点到直线、两条平行直线、两条异面直线、点到平面、平行于平面的直线与该平面、两个平行平面之间的距离，其中点与点、点与直线、点到平面的距离是基础，求其它几种距离一般化归为求这三种距离，
（1）两异面直线间的距离，高考要求是给出公垂线，所以一般先利用垂直作出公垂线，然后再进行计算；
（2）求点到直线的距离，一般用三垂线定理作出垂线再求解；
（3）求点到平面的距离，一是用垂面法，借助面面垂直的性质来作点到面的垂线段，因此，确定已知面的垂面是关键；二是不作点到面的垂线段，转化为求三棱锥的高，利用等体积法列方程求解；
求距离的一般方法和步骤是：一作——作出表示距离的线段；二证——证明它就是所要
求的距离；三算——计算其值．此外，我们还常用体积法求点到平面的距离．
十三、经纬度及球面距离：
⑴根据经线和纬线的意义可知，某地的经度是一个
二面角的度数，某地的纬度是一个线面角的度数，设
球O的地轴为NS，圆O是0°纬线，半圆NAS是0°
经线，若某地P是在东经120°，北纬40°，我们可
以作出过P的经线NPS交赤道于B，过P的纬线圈圆
O1交NAS于A，那么则应有：∠AO1P=120°(二面角
的平面角) ，∠POB=40°（线面角）。
⑵两点间的球面距离就是连结球面上两点的大圆的劣弧的长，求球面上两点A、B间的距离求法：（1）计算线段AB的长，（2）计算球心角∠AOB的弧度数；(3)用弧长公式计算劣弧AB的长；
例如，可以循着如下的程序求A、B两点的球面距离。
十四、三角形的心
1、内心：内切圆的圆心，角平分线的交点
2、外心：外接圆的圆心，垂直平分线的交点
3、重心：中线的交点
4、垂心：高的交点
十五、面积和体积
1、
2、
3、
4、面积比是相似比的平方，体积比是相似比的立方
5、(s`为直截面面积)
斜三棱柱的体积公式：
6、
7、
十六、其它.
1、关于等边三角形，边长为a ，其内切圆半径为r ,外接圆半径为R,则r与a，R与a ，R与r的关系分别为
该三角形的面积S= 。
2、边长为a的正四面体中，侧棱与底面所成的角的一个三角函数值为
侧面与底面所成的余弦值为 ，顶点到对面的距离为 ，该四面体的体积为 。
棱锥的各侧面与底面所成的角相等，
记为，则S侧cos=S底；
三余弦公式？其中为线面角，为斜线与
平面内直线所成的角，
5、已知:长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为因此有cos2+cos2+cos2=1; 若长方体的体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为则有cos2+cos2+cos2=2;
6、正方体和长方体的外接球的直径等于其体对角线长；
7、求多面体体积的常规方法是什么？（割补法、等积变换法）
第十章 排列组合、二项式定理
1.加法原理、乘法原理各适用于什么情形？有什么特点？
⑴分类计数原理（加法原理）.
⑵分步计数原理（乘法原理）.
加法分类，类类独立；乘法分步，步步相关。
2、排列数公式是：==；
排列恒等式 （1）;（2）;
（3）; （4）;（5）
3、 组合数公式是：==；
组合数性质：= +=
组合恒等式（1）;（2）;（3）; （4）=;（5）
4、排列数与组合数的关系是： .
5、排列组合应用问题的处理方法：
(1)要分清是先分步还是先分类，(2) 混合应用题要注意先组合再排列.
(3)解排列组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合．
(4)解排列组合问题的规律是：相邻问题捆绑法；不邻问题插空法；多排问题单排法；
定位问题优先法；定序问题倍缩法；多元问题分类法；选取问题先选后排法；至多至少问题间接法．要区别平均分组与不平均分组的处理方法.特别地还有隔板法（什么时候用？）.
6、二项式定理 ;
（1）掌握二项展开式的通项：
（2）注意第r＋1项二项式系数与第r＋1系数的区别；
（3）与首末两端等距离的二项式系数相等；
（4）若n为偶数，中间一项（第＋1项）的二项式系数最大；若n为奇数，中间两项（第和＋1项）的二项式系数最大；
（5）
（6）F(x)=(ax+b)n展开式的各项系数和为f(1);奇数项系数和为；
偶数项的系数和为；
第十一章 概率统计部分
必然事件 P(A)=1，不可能事件 P(A)=0，随机事件的定义 0两条基本性质①…)； ②P1+P2+…=1。
2.等可能事件的概率：（古典概率）P(A)=　理解这里m、ｎ的意义。
　互斥事件（A、B互斥，即事件A、B不可能同时发生，这时P(A?B)=０）
　　　　　P(A+B)=P（A）+ P(B)
　对立事件（A、B对立，即事件A、B不可能同时发生，但A、B中必然有一个发生。这时P(A?B)=０）P（A）+ P(B)＝１
　独立事件：（事件A、B的发生相互独立，互不影响）P(A?B)＝P(A) ? P(B)
　独立重复事件（贝努里概型）
Pn(K)=Cnkpk(1－p)k 表示事件A在n次独立重复试验中恰好发生了k次的概率。
P为在一次独立重复试验中事件A发生的概率。
特殊：令k=0　得：在n次独立重复试验中，事件A没有发生的概率为
Pn(０)=Cn0p0(1－p)n =(1－p)n
令k=n得：在n次独立重复试验中，事件A全部发生的概率为
Pn(n)=Cnnpn(1－p)0 =pn
3.求事件的概率首先要正确判断属于那一种事件的概率。
4.要学会正确使用排列组合知识解决概率问题。
5.概率解答过程的书写一定要以文字为主，分步进行，尽量得分。
6.总体分布的估计：用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法，一般地，样本容量越大，这种估计就越精确，要求能画出频率分布表和频率分布直方图；
（1）平均数（又称期望值）
设数据，则
①
②设， ，………,则
③
（2）方差：衡量数据波动大小
（较小）
（数据较小）

（数据较大）
--------标准差
学会用修正的样本方差
7.了解三种抽样的意义，理解样本频率分布的意义。
（1）简单随机抽样：设一个总体的个数为N。如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样。实现简单随机抽样，常用抽签法和随机数表法。
（2）系统抽样：当总体中的个数较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分抽取1个个体，得到所需要的样本，这种抽样叫做系统抽样（也称为机械抽样）。
系统抽样的步骤可概括为：（1）将总体中的个体编号；（2）将整个的编号进行分段；（3）确定起始的个体编号；（4）抽取样本。
（3）分层抽样：当已知总体由差异明显的几部分组成时，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比进行抽样，这种抽样叫做分层抽样，其中所分成的各部分叫做层。
第十二章 导数部分
一、瞬时速度
　　在高一物理学习直线运动的速度时，涉及过瞬时速度的一些知识，物理教科书中首先指出：运动物体经过某一时刻(或某一位置)的速度叫做瞬时速度，然后从实际测量速度出发，结合汽车速度仪的使用，对瞬时速度作了说明．物理课上对瞬时速度只给出了直观的描述，有了极限工具后，本节教材中是用物体在一段时间运动的平均速度的极限来定义瞬时速度．
　　二、导数的定义
　　1.导数的定义：f(x)在点x0处的导数记作；
　　由导数定义求导数，是求导数的基本方法，必须严格按以下三个步骤进行：
　　(1)求函数的增量；
　　(2)求平均变化率；
　　(3)取极限，得导数。
2.导数的几何意义：曲线y＝f（x） 在点P（x0,f(x0)）处的切线的斜率是相应地，切线方程是
3.常见函数的导数公式：
4.导数的应用：
（1）利用导数判断函数的单调性：已知
①分析 的定义域； ②求导数
③解不等式，解集在定义域内的部分为增区间
④解不等式，解集在定义域内的部分为减区间
⑤如果在某个区间内恒有那么f(x)为常数；
（2）求可导函数极值的步骤：①求导数；②求方程的根；③检验在方程根的左右的符号，如果左正右负，那么函数y=f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么函数y=f(x)在这个根处取得极小值；
（3）求可导函数最大值与最小值的步骤：①求y=f(x)在[a,b]内的极值；②将y=f(x)在各极值点的极值与f（a）、f（b）比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个是最小值。

展开更多......

收起↑