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重庆市2024年中考考前信息必刷卷
数学·参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
D C C A D D D C D B
二、填空题：（本题共8小题，每小题4分，共32分）
11．1 12．
13． 14．2029
15． 16．15
17． 18．
三、（本大题8个小题，19题8分，20-26题每题10分，共78分）
19．(8分)(1) (2)
【分析】本题考查了完全平方公式、整式的混合运算，分式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键．
（1）运用完全平方公式和整式乘法法则展开合并即可；
（2）根据分式的加减运算以及乘除法运算法则即可求出答案．
【详解】（1）解：原式..........................................(3分)
..........................................(5分)
（2）原式
20．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）首先由平行线的性质和角平分线的概念得到，然后得到四边形为平行四边形，然后结合证明出四边形为菱形，
【详解】（1）如图所示，
..........................................(6分)
（2）证明：，
，..........................................(7分)
又平分，
，
，..........................................(7分)
，
又，
且，
四边形为平行四边形，
又，
四边形为菱形，..........................................(9分)
（菱形对角线互相垂直）．..........................................(10分)
【点睛】本题考查作图应用与设计作图，平行四边形的性质，菱形的判定，角平分线的定义等知识，解题的关键是掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
21．(1)，
(2)乙班小黄在班级的排名更靠前，理由见解析
(3)估计需要准备150张奖状
【分析】（1）根据中位数的定义及计算求出甲班成绩的中位数；由乙班成绩平均分的计算过程求出乙班成绩的众数；
（2）根据题中甲乙两个班级的中位数与甲班小张同学和乙班小黄同学的成绩作比较即可得到答案；
（3）由样本中成绩满分同学的比例来估计总体中满分成绩的学生数即可得到答案．
【详解】（1）解：将甲班40名同学的测试成绩按从小到大的顺序排列后，第20、21个数据分别为80、90，
∴甲班成绩的中位数（分）；
由乙班成绩平均分的计算过程知70分出现次数最多，有17次，
∴乙班成绩的众数（分）；..........................................(4分)
（2）解：乙班小黄同学在班级中的成绩排名更靠前，
理由如下：
甲班的中位数为85分，大于80分，说明甲班有一半以上的同学成绩比小张好，而乙班的中位数为75分，小于80分，说明乙班一半以上的同学成绩比小黄差，
乙班小黄在班级的排名更靠前；..........................................(8分)
（3）解：（张）．
答：估计需要准备150张奖状．..........................................(10分)
【点睛】本题考查统计综合，涉及求中位数、众数、利用中位数分析数据、用样本估计总体等知识，熟记相关统计量，掌握相应题型做法是解决问题的关键．
22．(1)小马和小唐的车速分别为千米小时和千米小时；
(2)小唐的行驶速度至少提高千米小时．
【分析】（）设小马的车速为千米小时，则小唐的车速为千米/小时，根据时间路程速度结合小马比小唐提前分钟到达地，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（）设小唐的行驶速度提高千米小时，根据路程速度 时间结合小唐再用不超过小时与小马相遇，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论；
本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式应用，解题的关键读懂题意列出方程和不等式．
【详解】（1）解：设小马的车速为千米小时，则小唐的车速为千米/小时，
根据题意得：，解得，..........................................(3分)
经检验是原方程的解，..........................................(4分)
∴小唐的车速为，
答：小马和小唐的车速分别为千米小时和千米小时；..........................................(5分)
（2）解：设小唐的行驶速度提高千米小时，
由题意得：，..........................................(8分)
解得：，
答：小唐的行驶速度至少提高千米小时．..........................................(10分)
23．(1)户外拓展区与基地大门之间的距离约为米
(2)第一组学生先到达宣讲中心处，计算见解析
【分析】此题考查了解直角三角形应用，矩形的判定和性质等知识，数形结合是解题的关键．
（1）过点作于点，过点作于点；求出．证明四边形为矩形，得到，．
则．，则，即可得到答案；
（2）分别求出线路②和线路①的长度，得到答案后比较即可；
【详解】（1）解：过点作于点，过点作于点；

由题可知：，，，，，
在中，∵，
∴，
∴．
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∴．
在中，∵，
∴．
在中，∵，
∴，，
∴（米）
答：户外拓展区与基地大门之间的距离约为890.7米．..........................................(5分)
（2）在中，∵，
∴．
由（1）可知：四边形为矩形，
∴，
∴线路②：．
∵，，
∴线路①：．
∴第一组学生共用时：（分钟）..........................................(8分)
∴第二组学生共用时：（分钟）..........................................(9分)
∵
∴第一组学生先到达宣讲中心处．..........................................(10分)
24．(1)，
(2)见解析，见解析
(3)
【分析】（1）由题意得，过点E分别作交于点F，，交延长线于点G，根据矩形的性质，旋转的性质及全等三角形的判定和性质可得相应的边长，再根据，求解即可；分点Q在线段上，和点Q在线段上两种情况，求解即可；
（2）直接画图即可，再根据图象的特点回答即可；
（3）观察图象求解即可．
【详解】（1）由题意得，
过点E分别作交于点F，，交延长线于点G，
∴，
∴，
∵线段绕点逆时针旋转得线段，
∴，
∴，
∴，
在矩形中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
当点Q在线段上时，
；
当点Q在线段上时，
；
综上，；..........................................(4分)
（2）当时，；当时，；
∴是一条过的线段，
当时，，
作图如下：
；
函数图象的一条性质：当时，y随t的增大而增大；..........................................(8分)
（3）令，即，解得
由图得，当时，．..........................................(10分)
【点睛】本题考查了一次函数的应用，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，利用图象解不等式，作函数图象等，熟练掌握知识点是解题的关键．
25．(1)抛物线的解析式为；
(2)有最大值；
(3)点的横坐标为或6或或．
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）过点作轴交于点，可得四边形是平行四边形，再由，，推导出，设，，可得，当时，有最大值；
（3）求出平移后的函数解析式为，直线的解析式为，设，当轴时，直线与直线所成夹角为，求出，可得直线的解析式为，直线与抛物线的交点即为点；当轴时，直线与直线所成夹角为，求出，可得直线的解析式为，直线与抛物线的交点即为点．
【详解】（1）解：将点，代入，
，
解得，
抛物线的解析式为；..........................................(3分)
（2）解：当时，，
，
设直线的解析式为，
将点代入，可得，
解得，
直线的解析式为，
过点作轴交于点，
∵轴，
∴，
∵，
四边形是平行四边形，
，
∵，
，
，
，
，
，
设，，
，
当时，有最大值；..........................................(7分)
（3）解：抛物线沿方向平移个单位，
抛物线沿轴负半轴平移2个单位，沿轴正方向平移2个单位，
平移后的函数解析式为，
当时，，
解得或，
，，
当时，，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
设，
，
，
当轴时，直线与直线所成夹角为，
，，
，
，
解得或（舍，
，
直线的解析式为，
当时，解得或，
点横坐标为或6；
当轴时，直线与直线所成夹角为，
，，
，
，
，
解得（舍或，
，
直线的解析式为，
当时，解得或，
点的横坐标为或；
综上所述：点的横坐标为或6或或．..........................................(10分)
【点睛】本题是二次函数的综合问题，考查二次函数的图象及性质，解直角三角形，二次函数的平移，勾股定理，平行四边形的判定和性质．熟练掌握二次函数的图象及性质，平行线的性质，轴对称的性质，直角三角形的性质是解题的关键．
26．(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）本题根据题意证明，根据，推出，求出，的长度，已知，再根据三角形的面积公式，即可解题．
（2）本题根据题意延长到点F，使，连接，在上截取，连接，证明，由等边三角形的判定，证明是等边三角形，得出，再根据已知，证明，得到，即可解题．
（3）本题根据题意分析点的轨迹是直线，直线分别交、的延长线于点、，作点关于的对称点，过作直线的垂线分别交于点P、交直线于点，此时的值最小为，求出的值，即可解题．
【详解】（1）解： ，
，
又 ，
，
在中，，
，
，
又，
，
，
．..........................................(4分)
（2）解：延长到点F，使，连接，在上截取，连接，如图所示：
G为的中点，
，
在和中，
，
，，
，
即，
又 ，，
是等边三角形，
，，
又 ，
，
，
在和中，
，
，
．..........................................(4分)
（3）解：点的轨迹是直线，直线分别交、的延长线于点、，作点关于的对称点，过作直线的垂线分别交于点P、交直线于点，此时的值最小，最小值为．过点B作的垂线垂足为点I，如图所示：
是等边三角形，，
，，
由旋转性质可得，，，，
，
，
，
在中，，
，
，
，
在中，，
，
，，
，
四边形为矩形，
，
，
，
在等边中，，，
，
的最小值是．..........................................(10分)
【点睛】本题考查了三角形的外角的性质、勾股定理、30度所对的直角边等于斜边的一半、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，中点的性质、旋转的性质、对称的性质、矩形的判断和性质，解题的关键在于熟练掌握相关性质并灵活运用．
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重庆市2024年中考考前信息必刷卷
一、选择题：（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．下列各数中，是负数的是（ ）
A．5 B． C．0 D．
2．下列三星堆文物图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在平面直角坐标系中，顶点的坐标为．若以原点为位似中心，画的位似图形，且的坐标为，则与的相似比为（ ）
A． B． C． D．
5．荡秋千时，秋千离地面的高度h（m）与摆动时间t（s）之间的关系如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．h随着t的增大而增大 B．秋千静止时离底面的高度是1m
C．秋千离底面的高度最高为m D．当时，秋千距离底面0.5m
6．估计的值应在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
7．将字母“C”，“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第⑩个图形中字母“H”的个数是（ ）
A．16 B．18 C．20 D．22
8．如图，是的弦，且直径，，，．则的长度为（ ）
A．3 B．4 C． D．
9．在平行四边形 中，于点 ，点为上一点，连接交 于点，已知 ，，若，则的角度用含的代数式表示为（ ）

A． B． C． D．
10．对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和，这样的运算称为对这若干个数的“差绝对值运算”，例如，对于1，2，3进行“差绝对值运算”，得到：．
①对，3，5，9进行“差绝对值运算”的结果是35；
②x，，5的“差绝对值运算”的最小值是；
③a，b，c的“差绝对值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有8种；
以上说法中正确的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
填空题：（本题共8小题，每小题4分，共32分）
11．计算： ．
12．因式分解： ．
13．有三张大小、形状完全相同的卡片．卡片上分别写有数字1，2，3，从这三张卡片中随机先后不放回地抽取两张，则两次抽出数字之和为奇数的概率是 ．
14．已知，则 ．
15．如图，、是中关于直径对称的两条弦，以弦、为折线将弧，弧折叠后过圆心O，若的半径，则圆中阴影部分的面积为 ．

16．若整数使关于的不等式组至少有两个整数解，且使关于的分式方程有正整数解，则满足条件的所有整数的和为 ．
17．如图，矩形中，已知为边上一动点，将沿边翻折到．点与点重合．连接．则的最小值为 ．
18．对任意一个四位数m，如果m各个数位上的数字都不为零且互不相同，满足个位与千位上的数字的和等于十位与百位上的数字和，那么称这个数为“同和数”，将一个“同和数”m的个位与千位两个数位上的数字对调后得到一个新的四位数，将m的十位与百位两个数位上的数字对调后得到另一个新四位数，记．若s，t都是“同和数”，其中，（，y，e，），且x，y，e，f都是正整数，规定：，用含“x，f”的代数式表示 ，当能被20整除时，k的所有取值之积为 ．
解答题（本大题8个小题，19题8分，20-26题每题10分，共78分）
19．（8分）计算：
(1)；
(2)．
20．（10分）如图，在平行四边形中，完成下列作图和证明过程．
(1)尺规作图：在上截取，作的角平分线交于点F，连接，（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)求证：．
证明：∵，
∴________
又∵平分，
∴．
∴________
∴．
∵，
∴且
∴四边形是平行四边形
又∵，
∴________
∴（________）．
21．（10分）学习中国共产党百年党史，汲取奋进力量．某校利用网络平台进行党史知识测试，测试题共10道题目，每小题10分．李华同学对甲，乙两个班各40名同学的测试成绩进行了收集，整理和分析，数据如下：
①甲班成绩如下：
60，60，60，60，70，70，70，70，70，70，70，70，70，80，80，80，80，80，80，80，
90，90，90，90，90，90，90，90，90，90，90，90，90，100，100，100，100，100，100，100．
②乙班成绩平均分的计算过程如下：
（分）
③数据分析如下：
班级 平均数 中位数 众数
甲班 82.5 90
乙班 80.5 75
根据以上信息，解决下列问题：
(1)直接写出表中和的值；
(2)在本次测试中，甲班小张同学和乙班小黄同学的成绩均为80分，你认为两人在各自班级中谁的成绩排名更靠前？请说明理由；
(3)学校将给测试成绩满分的同学颁发奖状，该校八年级学生共800人，试估计需要准备多少张奖状．
22．（10分）上周末，小马约上小唐一起出发去离学校的地游玩，小唐从学校出发，半小时后、小马也从学校出发，已知小唐的车速是小马的车速的，结果小马比小唐提前分钟到达地．
(1)求小马和小唐的车速分别为多少？（单位：千米小时）
(2)地游玩之后，小马和小唐两车以原速度同时出发前往地，小马的车行驶了小时后发生故障，小马原地检修用了分钟后以原速度的行驶．此时，小唐提高速度，为了保证小唐再用不超过1小时与小马相遇，那么小唐的行驶速度至少提高多少千米小时？
23．（10分）某中学组织学生进行研学活动．如图，学生到达基地大门处后按组分两条线路进行参观体验，最后前往宣讲中心处集合．经勘测，处在处的正北方，手工制作区在处的南偏西方向且距离处400米处，农耕体验区在处的正西方，农耕体验区也在处的正南方600米处，户外拓展区在处的南偏东方向，户外拓展区也在处的北偏东方向．（参考数据：，，）

(1)求户外拓展区与基地大门之间的距离．（结果精确到）
(2)已知第一组学生沿线路①参观体验，在户外拓展区处的活动时间为40分钟，第二组学生沿线路②参观体验，在农耕体验区处的活动时间为25分钟，在手工制作区处的活动时间为20分钟，若两组学生步行的平均速度均为70米/分，请通过计算说明哪一组学生先到达宣讲中心处．
24．（10分）如图1，在矩形中，．动点从出发以的速度向运动，动点从出发以沿折线运动，当点运动到时，点立即停止运动，运动时间记为．把线段绕点逆时针旋转得线段，连接，，运动过程中四边形的面积记为，且，的面积记为．
(1)直接写出与的函数关系式以及对应自变量的取值范围．
(2)在给定的平面直角坐标系中，画出的函数图象，并写出函数图象的一条性质：________．
(3)结合图象，当时，直接写出的取值范围．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线交轴于点，，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图1，若点M是第四象限内抛物线上一点，轴交于点N，求的最大值；
(3)如图2，在轴上取一点，抛物线沿方向平移个单位得新抛物线，新抛物线与轴交于点，，交轴于点，点在线段上运动，线段关于线段的对称线段所在直线交新抛物线于点，直线与直线所成夹角为，直接写出点的横坐标．
26．（10分）在中，D为边上一点，连接，E为上一点，连接．

(1)如图1，若，求的面积；
(2)如图2，连接，若，点G为的中点，连接，求证：；
(3)如图3，若是等边三角形，，D为直线上一点，将绕点A逆时针方向旋转到，连接，M为线段上一点，，P为直线上一点，分别连接，请直接写出的最小值．
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一、选择题：（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．下列各数中，是负数的是（ ）
A．5 B． C．0 D．
【答案】D
【分析】根据小于零的数是负数，可得答案；本题考查了正数和负数，掌握负数的定义是解题的关键．
【详解】根据小于零的数是负数，可得
为负数，
5，均为正数
0既不是正数也不是负数
故选：D．
2．下列三星堆文物图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了合并同类项，单项式的乘法与除法运算，利用相应的运算法则逐一分析各选项即可，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算正确，符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选：C．
4．如图，在平面直角坐标系中，顶点的坐标为．若以原点为位似中心，画的位似图形，且的坐标为，则与的相似比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】若以原点为位似中心，点的坐标为，的坐标为，可求出，的长度，由此即可求解．
【详解】解：点的坐标为，的坐标为，
∴，，
∵以原点为位似中心，
∴，
故选：．
【点睛】本题主要考查根据图形求位似比，掌握位似的基础知识是解题的关键．
5．荡秋千时，秋千离地面的高度h（m）与摆动时间t（s）之间的关系如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．h随着t的增大而增大 B．秋千静止时离底面的高度是1m
C．秋千离底面的高度最高为m D．当时，秋千距离底面0.5m
【答案】D
【分析】根据函数图象中的数据，逐项判断即可解答本题．
【详解】由图象知，秋千静止时离地面的距离是m，秋千的最高点与地面距离是m；
当时，秋千距离底面m，h随着t的增大先增大再减小，往复变化；
故选：D．
【点睛】本题考查函数图象和函数概念，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
6．估计的值应在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，先计算出原式等于，再根，即可求解，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．
【详解】解：，
∵，
∴，
∴的值应在7和8之间，
故选：D．
7．将字母“C”，“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第⑩个图形中字母“H”的个数是（ ）
A．16 B．18 C．20 D．22
【答案】D
【分析】列举每个图形中H和C的个数，找到规律即可得出答案．
【详解】解：∵第个图中H的个数为4，
第个图中H的个数为，
第个图中H的个数为，
∴第n个图中H的个数为，
∴第⑩个图形中字母“H”的个数是，
故选：D．
【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，通过列举每个图形中H的个数，找到规律：每个图形比上一个图形多2个H是解题的关键．
8．如图，是的弦，且直径，，，．则的长度为（ ）
A．3 B．4 C． D．
【答案】C
【分析】由题意可得，为等边三角形，利用等边三角形的性质可求得，由圆周角定理可得，进而可知，可求得，进而可知为等腰直角三角形，即可得．
【详解】解：连接，，
∵直径，，，
∴，则为等边三角形，即：，
∴平分，
∴，
又∵，
∴，则，
∴
由圆周角定理可得：，
∵，
∴，即：，
∴，
又∵，
∴，即为等腰直角三角形，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查圆周角定理，等边三角形的判定及性质，等腰三角形，直角三角形的性质．熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键．
9．在平行四边形 中，于点 ，点为上一点，连接交 于点，已知 ，，若，则的角度用含的代数式表示为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理；根据已知得出则，进而根据平行线的性质得出，根据三角形内角和定理，得出，进而根据平行线的性质，即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵
∴
∵
∴
∴
∴
又∵
∴
∴
∵，，
∴，则
又∵
∴
∴
∵
∴,
故选：D．
10．对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和，这样的运算称为对这若干个数的“差绝对值运算”，例如，对于1，2，3进行“差绝对值运算”，得到：．
①对，3，5，9进行“差绝对值运算”的结果是35；
②x，，5的“差绝对值运算”的最小值是；
③a，b，c的“差绝对值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有8种；
以上说法中正确的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【分析】
①根据“差绝对值运算”的运算方法进行运算，即可判定；
②根据“差绝对值运算”的运算方法进行运算，即可判定；
③首先根据“差绝对值运算”的运算方法进行运算，再分类讨论，化简绝对值符号，即可判定．
【详解】解：①对，3，5，9进行“差绝对值运算”得：
，
故①正确；
②对x，，5进行“差绝对值运算”得：
表示的是数轴上点到和5的距离之和，
的最小值为，
，，5的“差绝对值运算”的最小值是：，故②不正确；
对a，b，c进行“差绝对值运算”得：
，
当，，，
；
当，，，
；
当，，，
；
当，，，
；
当，，，
；
当，，，
；
当，，，
；
当，，，
；
a，b，c的“差绝对值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有7种，
故③不正确，
综上，故只有1个正确的，
故选：B．
【点睛】本题考查了新定义运算，化简绝对值符号，整式的加减运算，熟练掌握绝对值运算，整式的运算是解题的关键．
填空题：（本题共8小题，每小题4分，共32分）
11．计算： ．
【答案】1
【分析】
本题考查实数的混合运算，根据算术平方根，负整数指数幂，零次幂分别计算即可．
【详解】解：原式
．
故答案为：1
12．因式分解： ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解，根据提公因式法分解因式求解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
13．有三张大小、形状完全相同的卡片．卡片上分别写有数字1，2，3，从这三张卡片中随机先后不放回地抽取两张，则两次抽出数字之和为奇数的概率是 ．
【答案】
【解析】先列出所有的结果，再确定满足条件的结果数，最后利用概率公式求解即可．
【详解】解：从这三张卡片中随机先后不放回地抽取两张，共有以下三种结果：
1和2，1和3，2和3；
其中和为奇数的是1和2，2和3，共两种情况；
所以概率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了求概率的问题，要求学生能理解题意，分析出总结果数和满足该事件的结果数，同时，牢记概率公式即可完成求解．
14．已知，则 ．
【答案】2029
【分析】本题考查了代数式求值，解题的关键是掌握整体思想的熟练运用．先将已知等式变形为，再将所求式子变形，整体代入计算即可．
【详解】∵
∴
∴．
故答案为：2029．
15．如图，、是中关于直径对称的两条弦，以弦、为折线将弧，弧折叠后过圆心O，若的半径，则圆中阴影部分的面积为 ．

【答案】
【分析】根据对称性和直角三角形的边角关系求出扇形圆心角度数，再根据各个部分面积之间的关系进行计算即可．
【详解】如图，过点作于点，交于点，连接，

则，由折叠对称可知，
，
，是等边三角形，
，
的半径，，
由题意可知，，
故答案为：．
【点睛】本题考查扇形面积的计算，垂径定理、直角三角形的边角关系以及折叠轴对称的性质，掌握扇形面积的计算方法以及轴对称的性质是正确解答的提．
16．若整数使关于的不等式组至少有两个整数解，且使关于的分式方程有正整数解，则满足条件的所有整数的和为 ．
【答案】15
【分析】先解不等式①得，解不等式②得，根据不等式组至少有两个整数解可得，解分式方程可得，根据和分式方程有正整数解可得，且是2的倍数，由此求出的值即可得到答案．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
整数使关于的不等式组至少有两个整数解，
，
，
，
去分母得：，
解得：，
，
，
，
分式方程有正整数解，
，且是2的倍数，
，
，
，
或或，
或或，
满足条件的所有整数的和为：，
故答案为：15．
【点睛】本题考查了分式方程的解，一元一次不等式的解，熟练掌握一元一次不等式组的解法、分式方程的解法，注意方程增根的讨论是解题的关键．
17．如图，矩形中，已知为边上一动点，将沿边翻折到．点与点重合．连接．则的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，在上取点G，使，连接，，证明，可得出，则，当D、F、G三点共线时，最小，在中，利用勾股定理求出即可．
【详解】解：在上取点G，使，连接，，
∵翻折，
∴，
又，
∴，，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
当D、F、G三点共线时，最小，
在中，，，，
∴，
即的的最小值为．
故答案为：．
18．对任意一个四位数m，如果m各个数位上的数字都不为零且互不相同，满足个位与千位上的数字的和等于十位与百位上的数字和，那么称这个数为“同和数”，将一个“同和数”m的个位与千位两个数位上的数字对调后得到一个新的四位数，将m的十位与百位两个数位上的数字对调后得到另一个新四位数，记．若s，t都是“同和数”，其中，（，y，e，），且x，y，e，f都是正整数，规定：，用含“x，f”的代数式表示 ，当能被20整除时，k的所有取值之积为 ．
【答案】
【分析】由题意可知，，求得，，，由，，可知，根据能被20整除，可得，可得，，当，6，7，8时：，，，，即可求出k的所有取值之积．
【详解】解：∵若s，t都是“同和数”，其中，（，y，e，），且x，y，e，f都是正整数，
∴，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵能被20整除，
∴，则，即：
∴，，
∵各个数位上的数字都不为零且互不相同，
∴，
∴当，6，7，8时：，，，，
∴k的所有取值之积为：，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，阅读理解题目是本题的关键．
解答题（本大题8个小题，19题8分，20-26题每题10分，共78分）
19．（8分）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了完全平方公式、整式的混合运算，分式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键．
（1）运用完全平方公式和整式乘法法则展开合并即可；
（2）根据分式的加减运算以及乘除法运算法则即可求出答案．
【详解】（1）解：原式
（2）原式
20．（10分）如图，在平行四边形中，完成下列作图和证明过程．
(1)尺规作图：在上截取，作的角平分线交于点F，连接，（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)求证：．
证明：∵，
∴________
又∵平分，
∴．
∴________
∴．
∵，
∴且
∴四边形是平行四边形
又∵，
∴________
∴（________）．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）首先由平行线的性质和角平分线的概念得到，然后得到四边形为平行四边形，然后结合证明出四边形为菱形，
【详解】（1）如图所示，
（2）证明：，
，
又平分，
，
，
，
又，
且，
四边形为平行四边形，
又，
四边形为菱形，
（菱形对角线互相垂直）．
【点睛】本题考查作图应用与设计作图，平行四边形的性质，菱形的判定，角平分线的定义等知识，解题的关键是掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
21．（10分）学习中国共产党百年党史，汲取奋进力量．某校利用网络平台进行党史知识测试，测试题共10道题目，每小题10分．李华同学对甲，乙两个班各40名同学的测试成绩进行了收集，整理和分析，数据如下：
①甲班成绩如下：
60，60，60，60，70，70，70，70，70，70，70，70，70，80，80，80，80，80，80，80，
90，90，90，90，90，90，90，90，90，90，90，90，90，100，100，100，100，100，100，100．
②乙班成绩平均分的计算过程如下：
（分）
③数据分析如下：
班级 平均数 中位数 众数
甲班 82.5 90
乙班 80.5 75
根据以上信息，解决下列问题：
(1)直接写出表中和的值；
(2)在本次测试中，甲班小张同学和乙班小黄同学的成绩均为80分，你认为两人在各自班级中谁的成绩排名更靠前？请说明理由；
(3)学校将给测试成绩满分的同学颁发奖状，该校八年级学生共800人，试估计需要准备多少张奖状．
【答案】(1)，
(2)乙班小黄在班级的排名更靠前，理由见解析
(3)估计需要准备150张奖状
【分析】（1）根据中位数的定义及计算求出甲班成绩的中位数；由乙班成绩平均分的计算过程求出乙班成绩的众数；
（2）根据题中甲乙两个班级的中位数与甲班小张同学和乙班小黄同学的成绩作比较即可得到答案；
（3）由样本中成绩满分同学的比例来估计总体中满分成绩的学生数即可得到答案．
【详解】（1）解：将甲班40名同学的测试成绩按从小到大的顺序排列后，第20、21个数据分别为80、90，
∴甲班成绩的中位数（分）；
由乙班成绩平均分的计算过程知70分出现次数最多，有17次，
∴乙班成绩的众数（分）；
（2）解：乙班小黄同学在班级中的成绩排名更靠前，
理由如下：
甲班的中位数为85分，大于80分，说明甲班有一半以上的同学成绩比小张好，而乙班的中位数为75分，小于80分，说明乙班一半以上的同学成绩比小黄差，
乙班小黄在班级的排名更靠前；
（3）解：（张）．
答：估计需要准备150张奖状．
【点睛】本题考查统计综合，涉及求中位数、众数、利用中位数分析数据、用样本估计总体等知识，熟记相关统计量，掌握相应题型做法是解决问题的关键．
22．（10分）上周末，小马约上小唐一起出发去离学校的地游玩，小唐从学校出发，半小时后、小马也从学校出发，已知小唐的车速是小马的车速的，结果小马比小唐提前分钟到达地．
(1)求小马和小唐的车速分别为多少？（单位：千米小时）
(2)地游玩之后，小马和小唐两车以原速度同时出发前往地，小马的车行驶了小时后发生故障，小马原地检修用了分钟后以原速度的行驶．此时，小唐提高速度，为了保证小唐再用不超过1小时与小马相遇，那么小唐的行驶速度至少提高多少千米小时？
【答案】(1)小马和小唐的车速分别为千米小时和千米小时；
(2)小唐的行驶速度至少提高千米小时．
【分析】（）设小马的车速为千米小时，则小唐的车速为千米/小时，根据时间路程速度结合小马比小唐提前分钟到达地，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（）设小唐的行驶速度提高千米小时，根据路程速度 时间结合小唐再用不超过小时与小马相遇，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论；
本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式应用，解题的关键读懂题意列出方程和不等式．
【详解】（1）解：设小马的车速为千米小时，则小唐的车速为千米/小时，
根据题意得：，解得，
经检验是原方程的解，
∴小唐的车速为，
答：小马和小唐的车速分别为千米小时和千米小时；
（2）解：设小唐的行驶速度提高千米小时，
由题意得：，
解得：，
答：小唐的行驶速度至少提高千米小时．
23．（10分）某中学组织学生进行研学活动．如图，学生到达基地大门处后按组分两条线路进行参观体验，最后前往宣讲中心处集合．经勘测，处在处的正北方，手工制作区在处的南偏西方向且距离处400米处，农耕体验区在处的正西方，农耕体验区也在处的正南方600米处，户外拓展区在处的南偏东方向，户外拓展区也在处的北偏东方向．（参考数据：，，）

(1)求户外拓展区与基地大门之间的距离．（结果精确到）
(2)已知第一组学生沿线路①参观体验，在户外拓展区处的活动时间为40分钟，第二组学生沿线路②参观体验，在农耕体验区处的活动时间为25分钟，在手工制作区处的活动时间为20分钟，若两组学生步行的平均速度均为70米/分，请通过计算说明哪一组学生先到达宣讲中心处．
【答案】(1)户外拓展区与基地大门之间的距离约为米
(2)第一组学生先到达宣讲中心处，计算见解析
【分析】此题考查了解直角三角形应用，矩形的判定和性质等知识，数形结合是解题的关键．
（1）过点作于点，过点作于点；求出．证明四边形为矩形，得到，．
则．，则，即可得到答案；
（2）分别求出线路②和线路①的长度，得到答案后比较即可；
【详解】（1）解：过点作于点，过点作于点；

由题可知：，，，，，
在中，∵，
∴，
∴．
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∴．
在中，∵，
∴．
在中，∵，
∴，，
∴（米）
答：户外拓展区与基地大门之间的距离约为890.7米．
（2）在中，∵，
∴．
由（1）可知：四边形为矩形，
∴，
∴线路②：．
∵，，
∴线路①：．
∴第一组学生共用时：（分钟）
∴第二组学生共用时：（分钟）
∵
∴第一组学生先到达宣讲中心处．
24．（10分）如图1，在矩形中，．动点从出发以的速度向运动，动点从出发以沿折线运动，当点运动到时，点立即停止运动，运动时间记为．把线段绕点逆时针旋转得线段，连接，，运动过程中四边形的面积记为，且，的面积记为．
(1)直接写出与的函数关系式以及对应自变量的取值范围．
(2)在给定的平面直角坐标系中，画出的函数图象，并写出函数图象的一条性质：________．
(3)结合图象，当时，直接写出的取值范围．
【答案】(1)，
(2)见解析，见解析
(3)
【分析】（1）由题意得，过点E分别作交于点F，，交延长线于点G，根据矩形的性质，旋转的性质及全等三角形的判定和性质可得相应的边长，再根据，求解即可；分点Q在线段上，和点Q在线段上两种情况，求解即可；
（2）直接画图即可，再根据图象的特点回答即可；
（3）观察图象求解即可．
【详解】（1）由题意得，
过点E分别作交于点F，，交延长线于点G，
∴，
∴，
∵线段绕点逆时针旋转得线段，
∴，
∴，
∴，
在矩形中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
当点Q在线段上时，
；
当点Q在线段上时，
；
综上，；
（2）当时，；当时，；
∴是一条过的线段，
当时，，
作图如下：
；
函数图象的一条性质：当时，y随t的增大而增大；
（3）令，即，解得
由图得，当时，．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，利用图象解不等式，作函数图象等，熟练掌握知识点是解题的关键．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线交轴于点，，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图1，若点M是第四象限内抛物线上一点，轴交于点N，求的最大值；
(3)如图2，在轴上取一点，抛物线沿方向平移个单位得新抛物线，新抛物线与轴交于点，，交轴于点，点在线段上运动，线段关于线段的对称线段所在直线交新抛物线于点，直线与直线所成夹角为，直接写出点的横坐标．
【答案】(1)抛物线的解析式为；
(2)有最大值；
(3)点的横坐标为或6或或．
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）过点作轴交于点，可得四边形是平行四边形，再由，，推导出，设，，可得，当时，有最大值；
（3）求出平移后的函数解析式为，直线的解析式为，设，当轴时，直线与直线所成夹角为，求出，可得直线的解析式为，直线与抛物线的交点即为点；当轴时，直线与直线所成夹角为，求出，可得直线的解析式为，直线与抛物线的交点即为点．
【详解】（1）解：将点，代入，
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：当时，，
，
设直线的解析式为，
将点代入，可得，
解得，
直线的解析式为，
过点作轴交于点，
∵轴，
∴，
∵，
四边形是平行四边形，
，
∵，
，
，
，
，
，
设，，
，
当时，有最大值；
（3）解：抛物线沿方向平移个单位，
抛物线沿轴负半轴平移2个单位，沿轴正方向平移2个单位，
平移后的函数解析式为，
当时，，
解得或，
，，
当时，，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
设，
，
，
当轴时，直线与直线所成夹角为，
，，
，
，
解得或（舍，
，
直线的解析式为，
当时，解得或，
点横坐标为或6；
当轴时，直线与直线所成夹角为，
，，
，
，
，
解得（舍或，
，
直线的解析式为，
当时，解得或，
点的横坐标为或；
综上所述：点的横坐标为或6或或．
【点睛】本题是二次函数的综合问题，考查二次函数的图象及性质，解直角三角形，二次函数的平移，勾股定理，平行四边形的判定和性质．熟练掌握二次函数的图象及性质，平行线的性质，轴对称的性质，直角三角形的性质是解题的关键．
26．（10分）在中，D为边上一点，连接，E为上一点，连接．

(1)如图1，若，求的面积；
(2)如图2，连接，若，点G为的中点，连接，求证：；
(3)如图3，若是等边三角形，，D为直线上一点，将绕点A逆时针方向旋转到，连接，M为线段上一点，，P为直线上一点，分别连接，请直接写出的最小值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）本题根据题意证明，根据，推出，求出，的长度，已知，再根据三角形的面积公式，即可解题．
（2）本题根据题意延长到点F，使，连接，在上截取，连接，证明，由等边三角形的判定，证明是等边三角形，得出，再根据已知，证明，得到，即可解题．
（3）本题根据题意分析点的轨迹是直线，直线分别交、的延长线于点、，作点关于的对称点，过作直线的垂线分别交于点P、交直线于点，此时的值最小为，求出的值，即可解题．
【详解】（1）解： ，
，
又 ，
，
在中，，
，
，
又，
，
，
．
（2）解：延长到点F，使，连接，在上截取，连接，如图所示：
G为的中点，
，
在和中，
，
，，
，
即，
又 ，，
是等边三角形，
，，
又 ，
，
，
在和中，
，
，
．
（3）解：点的轨迹是直线，直线分别交、的延长线于点、，作点关于的对称点，过作直线的垂线分别交于点P、交直线于点，此时的值最小，最小值为．过点B作的垂线垂足为点I，如图所示：
是等边三角形，，
，，
由旋转性质可得，，，，
，
，
，
在中，，
，
，
，
在中，，
，
，，
，
四边形为矩形，
，
，
，
在等边中，，，
，
的最小值是．
【点睛】本题考查了三角形的外角的性质、勾股定理、30度所对的直角边等于斜边的一半、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，中点的性质、旋转的性质、对称的性质、矩形的判断和性质，解题的关键在于熟练掌握相关性质并灵活运用．
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