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江苏省南京市2024年中考数学押题预测卷02
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一、选择题（本大题共6个小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（2023 秦淮区一模）下列计算结果是正数的是（　　）
A．2+（﹣3） B．2﹣（﹣3） C．2×（﹣3） D．﹣32
【分析】根据有理数的运算法则分别计算，再比较大小即可求解．
【解答】解：A、2+（﹣3）＝﹣1，
B、2﹣（﹣3）＝5，
C、2×（﹣3）＝﹣6，
D、﹣32＝﹣9，
结果是正数的是5；
故选：B．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，顺序为：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．也考查了有理数大小比较．
2．（2023 鼓楼区一模）在过去10年里，我国国土绿化工程取得重大进展，新增森林面积超过22000000公顷．用科学记数法表示22000000是（　　）
A．22×106 B．2.2×106 C．22×107 D．2.2×107
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【解答】解：22000000＝2.2×107．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
3．（2022 建邺区一模）估计的值在（　　）
A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间
【分析】先求出的范围，即可得出答案．
【解答】解：∵，
∴34，
∴在3与4之间，
故选：B．
【点睛】本题考查了估计无理数的大小，题目比较好，难度不大．
4．（2023 南京一模）如图，在△ABC中，以BC为直径的半圆分别与AB，AC交于点D，E．若BC＝6，∠A＝60°，则的长为 （　　）
A． B．π C．2π D．3π
【分析】连接OD、OE，根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质求出∠DOE＝60°，再根据弧长公式计算，得到答案．
【解答】解：连接OD、OE，
∵∠A＝60°，
∴∠B+∠C＝120°，
∵OB＝OD，OE＝OC，
∴∠ODB＝∠B，∠OEC＝∠C，
∴∠BOD+∠EOC＝360°﹣120°×2＝120°，
∴∠DOE＝60°，
∴的长为：π，
故选：B．
【点睛】本题考查的是弧长的计算，熟记弧长公式是解题的关键．
5．（2023 鼓楼区一模）如图，O为△ABC的外心，四边形OCDE为正方形．以下结论：①O是△ABE的外心；②O是△ACD的外心；③直线DE与△ABC的外接圆相切．其中所有正确结论的序号是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【分析】根据三角形的外心得出OA＝OC＝OA，根据正方形的性质得出OA＝OC＜OD，求出OA＝OB＝OC＝OE≠OD，再逐个判断即可．
【解答】解：连接OB、OD、OA，
∵O为锐角三角形ABC的外心，
∴OA＝OC＝OB，
∵四边形OCDE为正方形，
∴OA＝OC＜OD，
∴OA＝OB＝OC＝OE≠OD，
①OA＝OE＝OB，O是△ABE的外心，故本选项符合题意；
②OA＝OC≠OD，即O不是△ACD的外心，故本选项不符合题意；
③∵OE＝OA，OE⊥DE，
∴直线DE与△ABC的外接圆相切．故本选项符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了切线的判定，正方形的性质和三角形的外心与外接圆，能熟记知识点的内容是解此题的关键，注意：三角形的外心到三个顶点的距离相等，正方形的四边都相等．
6．（2023 玄武区一模）如图，点A，B在反比例函数图象上，点A的横坐标为1，连接OA，OB，AB，若OA＝OB，△OAB的面积为4，则k的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】如图，过点A作AC⊥y轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，由勾股定理可得：OD＝OC，证明Rt△ACO≌Rt△BDO（HL），则BD＝AC＝1，OD＝OC＝k，先根据反比例函数的系数k的几何意义可得：S△ACO＝S△BDOk，根据图中面积的关系可知：S△AOB＝S梯形AEDB，列方程可得结论．
【解答】解：如图，过点A作AC⊥y轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，
∵点A，B在反比例函数图象上，点A的横坐标为1，
∴AC＝1，OC＝k，
∴A（1，k），
设B（a，），
∵OA＝OB，
∴AC2+OC2＝BD2+OD2，
∴1+k2＝a2，
∴a2＝k2，
∴a＝k（负值舍），
∴OD＝OC，
∴Rt△ACO≌Rt△BDO（HL），
∴BD＝AC＝1，OD＝OC＝k，
过点A作AE⊥OD于E，
∵S△AOB＝4，S△ACO＝S△BDOk，且S△AOB＝S梯形AEDB，
∴4（k+1）（k﹣1），
∴k2﹣1＝8，
∴k＝3（由图可知：k＞0），
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义以及全等三角形的判定与性质．利用形数结合解决此类问题，是非常有效的方法．
二、填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7．（2023 鼓楼区一模）计算：|﹣2|＝　2　；（﹣2）0＝　1　．
【分析】根据绝对值的性质和零指数幂的定义解答．
【解答】解：|﹣2|＝2，（﹣2）0＝1．
故答案为：2，1．
【点睛】本题考查了零指数幂、绝对值，熟悉绝对值的性质和零指数幂的定义是解题的关键．
8．（2023 南京一模）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 　x≠2　．
【分析】根据分式有意义的条件解答即可．
【解答】解：∵式子在实数范围内有意义，
∴x﹣2≠0．
∴x≠2．
故答案为：x≠2．
【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．
9．（2023 南京一模）计算的结果是 　3　．
【分析】根据二次根式的混合运算的法则计算即可．
【解答】解：
＝4﹣1
＝3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算是解题的关键．
10．（2022 建邺区一模）设x1，x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，则x1（1+x2）+x2＝　1　．
【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2＝2，x1x2＝﹣1，然后利用整体代入的方法计算x1（1+x2）+x2的值．
【解答】解：根据题意得x1+x2＝2，x1x2＝﹣1，
所以x1（1+x2）+x2＝x1+x2+x1x2＝2+（﹣1）＝1．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1 x2．
11．（2023 鼓楼区一模）如图，点I是△ABC的内心．若∠IAB＝34°，∠IBC＝36°，则∠ICA的度数是 　20　°．
【分析】根据点I是△ABC的内心．∠IAB＝34°，∠IBC＝36°，推出∠ABC＝2∠IBC＝2×36°＝72°，∠BAC＝2∠IAB＝2×34°＝68°，所以∠ACB＝180°﹣72°﹣68°＝40°，推出∠ICA∠ACB20°．
【解答】解：∵点I是△ABC的内心．∠IAB＝34°，∠IBC＝36°，
∴∠ABC＝2∠IBC＝2×36°＝72°，∠BAC＝2∠IAB＝2×34°＝68°，
∴∠ACB＝180°﹣72°﹣68°＝40°，
∴∠ICA∠ACB20°．
故答案为：20．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆和内心，正确利用角平分线的性质和三角形内角和定理是解题的关键．
12．（2023 南京一模）若正比例函数y＝kx与函数的图象没有交点，则k的值可以是 　﹣1（答案不唯一）　（写出一个即可）．
【分析】根据正比例函数与反比例函数图象与系数的关系解答即可．
【解答】解：∵正比例函数y＝kx与函数的图象没有交点，
∴k＜0，
∴k的值可以是﹣1（答案不唯一）．
故答案为：﹣1（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握它们的图象与性质是解题的关键．
（1）正比例函数y＝kx（k≠0），
①k＞0时，正比例函数图象过第一、三象限；②k＜0时，正比例函数图象过第二、四象限．
（2）反比例函数y（k≠0），
①k＞0时，反比例函数图象在第一、三象限；②k＜0时，反比例函数图象在第二、四象限．
13．（2024 玄武区校级模拟）定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”．
如图，已知l1∥l2，l1与l2之间的距离为2．“等高底”△ABC的“等底”BC在直线l1上，点A在直线l2上，△ABC有一边的长是BC的倍．将△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A'B'C，A'C所在直线交l2于点D，则CD＝　或2或2　．
【分析】①当ABBC时，画出图形分两种情况分别求得CDx或CDAC＝2；②当ACBC时，画出图形分两种情况讨论，求得CD＝AB＝BC＝2．
【解答】解：①当ABBC时，
Ⅰ．如图1，作AE⊥BC于E，DF⊥AC于F，
∵“等高底”△ABC的“等底”为BC，l1∥l2，l1与l2之间的距离为2，ABBC，
∴BC＝AE＝2，AB＝2，
∴BE＝2，即EC＝4，
∴AC＝2，
∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A'B'C，
∴∠DCF＝45°，
设DF＝CF＝x，
∵l1∥l2，
∴∠ACE＝∠DAF，
∴，即AF＝2x，
∴AC＝3x＝2，
∴x，CDx．
Ⅱ．如图4，此时△ABC等腰直角三角形，
∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A'B'C，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴CDAC＝2．
②当ACBC时，
Ⅰ．如图5，此时△ABC是等腰直角三角形，
∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A'B'C，
∴A'C⊥l1，
∴CD＝AB＝BC＝2；
Ⅱ．如图6，作AE⊥BC于E，则AE＝BC，
∴ACBCAE，
∴∠ACE＝45°，
∴△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°，得到△A'B'C时，点A'在直线l1上，
∴A'C∥l2，即直线A'C与l2无交点，
综上所述，CD的值为或2或2．
【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查了平行线的性质，旋转的性质以及勾股定理的综合运用，解决问题的关键是依据题意画出图形，根据分类讨论的思想进行解答．
14．（2023 玄武区一模）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r＝2cm，则该圆锥的母线长l为6cm，扇形的圆心角θ＝　120　°．
【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2π 2，然后解关于θ的方程即可．
【解答】解：根据题意得2π 2，
解得θ＝120．
故答案为120．
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
15．（2023 玄武区一模）如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，以AB为边在正六边形ABCDEF的内部作正方形ABMN，连接OD，ON，则∠DON＝　105　°．
【分析】连接OA，OB，OE，OF，利用正六边形的性质得到OA＝OB＝OF＝OE＝OD，∠AOB＝∠AOF＝∠FOE＝∠EOD＝60°，则△OAB为等边三角形，D，O，A在一条直线上；利用正方形的性质，等边三角形的性质和等腰三角形的性质求得∠AON的度数，则结论可得．
【解答】解：连接OA，OB，OE，OF，如图，
∵点O是正六边形ABCDEF的中心，
∴OA＝OB＝OF＝OE＝OD，∠AOB＝∠AOF＝∠FOE＝∠EOD＝60°，
∴△OAB为等边三角形，∠AOF+∠FOE+∠EOD＝180°，
∴D，O，A在一条直线上，∠OAB＝60°，OA＝AB．
∵以AB为边在正六边形ABCDEF的内部作正方形ABMN，
∴∠NAB＝90°，AB＝AN，
∴∠NAO＝30°，OA＝AN，
∴∠AON＝∠ANO75°，
∴∠NOD＝180°﹣∠AON＝105°．
故答案为：105．
【点睛】本题主要考查了正六边形的性质，等边三角形的性质，正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，连接正六边形的半径，证得D，O，A在一条直线上是解题的关键．
16．（2024 雨花台区模拟）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，∠ABC＝∠DAC＝90°，tan∠ACB，，则　　．
【分析】通过作辅助线，得到△ABC∽△ANM，△OBC∽△ODM，△ABC∽△DAN，进而得出对应边成比例，再根据tan∠ACB，，得出对应边之间关系，设BC＝4a，表示AB、DN、NA，BN，进而表示三角形的面积，求出三角形的面积比即可．
【解答】解：如图，过点D作DM∥BC，交CA的延长线于点M，延长BA交DM于点N，
∵DM∥BC，
∴△ABC∽△ANM，△OBC∽△ODM，
∴tan∠ACB，，
又∵∠ABC＝∠DAC＝90°，
∴∠BAC+∠NAD＝90°，
∵∠BAC+∠BCA＝90°，
∴∠NAD＝∠BCA，
∴△ABC∽△DAN，
∴，
设BC＝4a，
由得，DM＝3a，
∴AB＝2a，DNa，ANa，
∴NB＝AB+AN＝2aaa，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形的性质和判定，根据对应边成比例，设常数表示三角形的面积是得出正确答案的关键．
三、解答题（本大题共11小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）（2023 鼓楼区一模）解不等式组，并写出该不等式组的整数解．
【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集，然后确定整数解即可．
【解答】解：，
解①得x＞2，
解②得x≤4．
则不等式组的解集是：2＜x≤4．
则整数解是：3，4．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
18．（6分）（2023 秦淮区一模）计算．
【分析】先算括号里面的，再算除法，最后化简．
【解答】解：

．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，掌握因式分解是解题的关键．
19．（8分）（2023 玄武区一模）小丽从A、B、C、D四个景点中，随机选择一个或两个景点游玩．
（1）随机选择一个景点，恰好是A景点的概率是 　　；
（2）随机选择两个景点，求A，B景点至少有一个的概率．
【分析】（1）根据概率公式直接求解即可；
（2）根据题意列树状图得出所有等可能的结果以及选中A、B两个景点至少有一个的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：（1）∵共有A、B、C、D四个景点，
∴恰好选中A景点的概率为；
（2）画树状图如图：
共有12个等可能的结果，选中A、B两个景点至少有一个的结果有10个，
∴随机选择两个景点，A，B景点至少有一个的概率为：．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．
20．（8分）（2023 建邺区一模）为了了解2022年某地区5万名大、中、小学生3分钟跳绳成绩情况，教育部门从这三类学生群体中各抽取了20%的学生进行检测，整理样本数据，并结合2018年抽样结果，得到下列统计图．
（1）本次检测抽取了大、中、小学生共 　10000　名，其中小学生 　4500　名；
（2）根据抽样的结果，估计2022年该地区5万名大、中、小学生中，3分钟跳绳成绩合格的中学生人数为 　18000　名；
（3）比较2018年与2022年抽样学生3分钟跳绳成绩合格率情况，写出一条正确的结论．
【分析】（1）根据“教育部门从这三类学生群体中各抽取了20%的学生进行检测”，可得50000×20%，即可得到本次检测抽取了大、中、小学生共多少名，再根据扇形图可得小学生所占45%，即可解答；
（2）先计算出样本中3分钟跳绳成绩合格的中学生人数所占的百分比，再乘以5万，即可解答；
（3）根据条形图，写出一条即可，答案不唯一．
【解答】解：（1）本次检测抽取了大、中、小学生共：50000×20%＝10000（名），
其中小学生：10000×45%＝4500（名）．
故答案为：10000，4500；
（2）估计2022年该地区5万名大、中、小学生中，3分钟跳绳成绩合格的中学生人数为：50000×40%×90%＝18000（名）．
故答案为：18000；
（3）与2018年相比，2022年该地区大学生3分钟跳绳成绩合格率下降了5%（答案不唯一）．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
21．（8分）（2023 建邺区一模）如图，已知AB为半圆的直径．求作矩形MNPQ，使得点M，N在AB上，点P，Q在半圆上，且MN＝2MQ．
要求：（1）用直尺和圆规作图；
（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．
【分析】先作AB的垂直平分线得到圆心O，再分别作∠AOC和∠BOC的平分线交⊙O于Q、P，接着过Q、P点分别作AB的垂线，垂足分别为M、N，则可判断△OMQ和△OPN都为等腰直角三角形，所以四边形MNPQ满足条件．
【解答】解：如图，先作AB的垂直平分线得到圆心O，再分别作∠AOC和∠BOC的平分线交⊙O于Q、P，接着过Q、P点分别作AB的垂线，垂足分别为M、N，
则四边形MNPQ为所作．
【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了矩形的性质．
22．（8分）（2024 雨花台区模拟）如图①，某款线上教学设备由底座，支撑臂AB，连杆BC，悬臂CD和安装在D处的摄像头组成．如图②是该款设备放置在水平桌面l上的示意图．已知支撑臂AB⊥l，AB＝15cm，BC＝30cm，测量得∠ABC＝148°，∠BCD＝28°，AE＝9cm．求摄像头到桌面l的距离DE的长（结果精确到0.1cm）．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，1.73）
【分析】过点C作CF⊥l，垂足为F，过点B作BN⊥CF，垂足为N，过点D作DM⊥CF，垂足为M，设DM与BC交于点G，根据题意可得FN＝AB＝15cm，BN＝AF，DM＝EF，DE＝MF，∠ABN＝90°，DM∥BN，从而求出∠CBN＝58°，进而求出∠CDM＝∠CGM﹣∠DCB＝30°，然后先在Rt△CBN中，利用锐角三角函数的定义求出BN，CN的长，从而求出EF，DM的长，再在Rt△CDM中，利用锐角三角函数的定义求出CM的长，从而求出MN的长，进行计算即可解答．
【解答】解：过点C作CF⊥l，垂足为F，过点B作BN⊥CF，垂足为N，过点D作DM⊥CF，垂足为M，设DM与BC交于点G，
则FN＝AB＝15cm，BN＝AF，DM＝EF，DE＝MF，∠ABN＝90°，DM∥BN，
∵∠ABC＝148°，
∴∠CBN＝∠ABC﹣∠ABN＝148°﹣90°＝58°，
在Rt△CBN中，BC＝30cm，
∴CN＝30 sin58°≈30×0.85＝25.5（cm），
BN＝30 cos58°≈30×0.53＝15.9（cm），
∴AF＝BN＝15.9cm，
∴DM＝EF＝AE+AF＝9+15.9＝24.9（cm），
∵DM∥BN，
∴∠CGM＝∠CBN＝58°，
∴∠CDM＝∠CGM﹣∠DCB＝58°﹣28°＝30°，
在Rt△CDM中，CM＝DM tan30°24.9≈14.36（cm），
∴MN＝CN﹣CM＝25.5﹣14.36＝11.14（cm），
∴MF＝MN+NF＝11.14+15≈26.1（cm），
∴DE＝MF＝26.1cm，
∴摄像头到桌面l的距离DE的长约为26.1 cm．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
23．（8分）（2024 雨花台区模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2（k﹣1）x+k2k（k为常数）．
（1）若抛物线经过点（1，k2），求k的值；
（2）若抛物线经过点（2k，y1）和点（2，y2），且y1＞y2，求k的取值范围；
（3）若将抛物线向右平移1个单位长度得到新抛物线，当1≤x≤2时，新抛物线对应的函数有最小值，求k的值．
【分析】（1）把点坐标代入解析式即可；
（2）分别把点（2k，y1）和点（2，y2）代入函数解析式，表示y1、y2利用条件构造关于k的不等式；
（3）根据平移得到新顶点，用k表示顶点坐标，找到最小值求k．
【解答】解：（1）把点（1，k2）代入抛物线y＝x2﹣2（k﹣1）x+k2k，得
k2＝12﹣2（k﹣1）+k2k
解得k
（2）把点（2k，y1）代入抛物线y＝x2﹣2（k﹣1）x+k2k，得
y1＝（2k）2﹣2（k﹣1） 2k+k2k＝k2k
把点（2，y2）代入抛物线y＝x2﹣2（k﹣1）x+k2k，得
y2＝22﹣2（k﹣1）×2+k2k＝k2k+8
∵y1＞y2
∴k2+k＞k2k+8
解得k＞1
（3）抛物线y＝x2﹣2（k﹣1）x+k2k解析式配方得
y＝（x﹣k+1）2+（）
将抛物线向右平移1个单位长度得到新解析式为
y＝（x﹣k）2+（）
当k＜1时，1≤x≤2对应的抛物线部分位于对称轴右侧，y随x的增大而增大，
∴x＝1时，y最小＝（1﹣k）2k﹣1＝k2k，
∴k2k，解得k1＝1，k2
都不合题意，舍去；
当1≤k≤2时，y最小k﹣1，
∴k﹣1
解得k＝1；
当k＞2时，1≤x≤2对应的抛物线部分位于对称轴左侧，y随x的增大而减小，
∴x＝2时，y最小＝（2﹣k）2k﹣1＝k2k+3，
∴k2k+3
解得k1＝3，k2（舍去）
综上，k＝1或3．
【点睛】本题为二次函数综合题，考查二次函数图象性质及二次函数图象平移．解答时注意用k表示顶点．
24．（8分）（2024 南京模拟）如图，在△ABC中，AC＞AB．
（1）在线段BC上作点P，使得点P到AB的距离与点P到AC的距离相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，若PA＝PC，求证：PC BC＝AC AB．
【分析】（1）因为点P在BC上，且点P到AB、AC的距离相等，所以点P为∠BAC的平分线与BC的交点，作出∠BAC的平分线与BC的交点P即可；
（2）由AP平分∠BAC，PA＝PC，得∠BAP＝∠C＝∠CAP，而∠B＝∠B，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△PBA∽△ABC，得，即可证明PC BC＝AC AB．
【解答】（1）解：作法：作∠BAC的平分线交BC于点P，
点P就是所求的图形．
证明：∵点P在BC上，且点P在∠BAC的平分线上，
∴点P到AB、AC的距离相等，
∴点P就是所求的图形．
（2）证明：∵AP平分∠BAC，
∴∠BAP＝∠CAP，
∵PA＝PC，
∴∠C＝∠CAP，
∴∠BAP＝∠C，
∵∠B＝∠B，
∴△PBA∽△ABC，
∴，
∴PA BC＝AC AB，
∴PC BC＝AC AB．
【点睛】此题重点考查尺规作图、作已知角的平分线、角平分线的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出∠BAC的平分线是解题的关键．
25．（8分）（2024 秦淮区校级模拟）如图，四边形ABCD是平行四边形，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆．
（1）如图①，当CD与⊙O相切时，求证：四边形ABCD是菱形．
（2）如图②，当CD与⊙O相交于点E时．
（Ⅰ）若AD＝6，CE＝5，求⊙O的半径．
（Ⅱ）连接BE，交AC于点F，若EF AB＝CE2，则∠D的度数是 　72　°．
【分析】（1）连接CO交AB于K，由切线性质可得OC⊥AB，由垂径定理得：AK＝BK，再运用菱形的判定定理即可证得结论；
（2）（Ⅰ）连接AE，OB，过点A作AG⊥CD于G，过点O作OF⊥BC于F，由平行四边形性质可得AB∥CD，∠ABC＝∠D，AB＝CD，由圆周角定理可得∠BOC＝2∠BAC，设EG＝DG＝x，则CG＝x+5，AC＝CD＝2x+5，运用勾股定理建立方程求解可得：EG＝DG＝2，AC＝CD＝9，再运用勾股定理和解直角三角形即可求得答案；
（Ⅱ）连接AE，先证得△CEF∽△CAE，可推出∠AED＝∠D＝∠ABC＝∠ACB＝∠DAE，设∠BAC＝α，由平行线性质建立方程求解即可得出答案．
【解答】（1）证明：如图①，连接CO交AB于K，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∵CD与⊙O相切，
∴半径OC⊥CD，
∴OC⊥AB，
由垂径定理得：AK＝BK，
∴直线CK垂直平分AB，
∴AC＝BC，
∵AB＝AC，
∴AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形．
（2）解：（Ⅰ）如图②，连接AE，OB，过点A作AG⊥CD于G，过点O作OF⊥BC于F，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∠ABC＝∠D，AB＝CD，
∴∠ACD＝∠BAC，
∵，
∴∠BOC＝2∠BAC，
∵OF⊥弦BC，
∴CFBC，∠BOC＝2∠COF，
∴∠COF＝∠ACD，
∵四边形ABCE是⊙O的内接四边形，
∴∠ABC+∠AEC＝180°，
∵∠AED+∠AEC＝180°，
∴∠AED＝∠ABC，
∴∠AED＝∠D，
∴AE＝AD，
∵AD＝6，
∴AE＝BC＝6，CF＝3，
∵AE＝AD，AG⊥CD，
∴EG＝DG，设EG＝DG＝x，
∵CE＝5，
∴CG＝x+5，CD＝2x+5，
∵AB＝AC，
∴AC＝CD＝2x+5，
在Rt△ACG中，AG2＝AC2﹣CG2，
在Rt△AEG中，AG2＝AE2﹣EG2，
∴AC2﹣CG2＝AE2﹣EG2，
即（2x+5）2﹣（x+5）2＝62﹣x2，
解得：x1＝2，x2（舍去），
∴EG＝DG＝2，AC＝CD＝9，
在Rt△ADG中，AG4，
∴sin∠COF＝sin∠ACD，
∴OC，
∴⊙O的半径为．
（Ⅱ）如图③，连接AE，
∵EF AB＝CE2，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∠ABC＝∠D，
∴∠BAC＝∠ACD，∠BAD+∠D＝180°，
∵，
∴∠BAC＝∠BEC，
∴∠ACD＝∠BEC，
∴EF＝CF，
又∵AB＝AC，
∴，
又∵∠ECF＝∠ACE，
∴△CEF∽△CAE，
∴∠CEF＝∠CAE，即∠BEC＝∠CAE，
∴∠CAE＝∠BAC，
∵∠AED＝∠D＝∠ABC＝∠ACB，
∴∠DAE＝∠BAC，
设∠BAC＝α，
则∠ABC＝∠ACB＝∠D＝90°α，∠CAE＝∠DAE＝α，
∵∠BAD+∠D＝180°，
∴3α+90°α＝180°，
解得：α＝36°，
∴∠D＝90°α＝90°36°＝72°，
故答案为：72．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了平行四边形性质，菱形的判定，垂径定理，圆的切线性质，圆内接四边形的性质，圆周角定理，勾股定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等，平行四边形的性质是解题的关键．
26．（10分）（2024 秦淮区校级模拟）小郑和小外同时从A出发进行100m的游泳比赛，小郑游泳速度不变．图中的实线表示部分小外在游泳过程中与A的距离y（m）和游泳的时间t（s）之间的关系，虚线表示小郑在游泳过程中与A的距离y（m）和游泳的时间t（s）之间的关系．
（1）小郑游泳的平均速度为 　　m/s，游泳池的长度为 　25　m．
（2）小外在45s后速度增加，并以增加后的速度匀速行驶，若小外和小郑同时到达终点，
①请补全小外的函数图象；
②小郑出发多长时间后，两人相距5m？（直接写出结果）
【分析】（1）观察图象，根据速度＝路程÷时间可得小郑游泳的平均速度，由100除以往返次数4可得游泳池的长度；
（2）①求出关键点的横坐标，再描点可画出图象；
②求出函数关系式，再分类讨论，列方程即可解得答案．
【解答】解：（1）曲线OCDEF为小郑的运动图象，50m用时60s，
∴小郑游泳的平均速度为 （m/s），
∵小郑来回游了4次，
∴游泳池的长度为25（m），
故答案为：，25；
（2）①小外在45s后游泳的速度也保持不变，且小郑和小外同时到达终点，
∴小外剩余时间3等分，每份为（120﹣45）＝25（s），
∴图象关键点的横坐标为70，95，120，
函数图象如图所示：
②小郑的函数表达式为：y1x（0≤x＜30），y1x+50（30≤x＜60），y1x﹣50（60≤x＜90），y1x+100（90≤x＜120），
小外的函数表达式为：y2x（0≤x＜45），y2＝﹣x+70（45≤x＜70），y2＝x﹣70（70≤x＜95），y2＝﹣x+120（95≤x＜120），
（Ⅰ）当0≤x＜30时，y1﹣y2xxx＝5，解得x＝18，符合题意，
（Ⅱ）当30≤x＜36时，y1﹣y2x+50xx+50＝5，解得x，符合题意，
（Ⅲ）当36≤x＜45时，y2﹣y1x﹣（x+50）x﹣50＝5，解得x，符合题意，
（Ⅳ）当45≤x＜60时，y2﹣y1＝﹣x+70﹣（x+50）x+20＝5，解得x＝90，不符合题意，舍去，
（Ⅴ）当60≤x时，y2﹣y1＝﹣x+70﹣（x﹣50）x+120＝5，解得x，符合题意，
（Ⅵ）当x＜70时，y1﹣y2x﹣50﹣（﹣x+70）x﹣120＝5，解得x，符合题意，
（Ⅶ）当70≤x≤90时，y1﹣y2x﹣50﹣（x﹣70）x+20＝5，解得x＝90，符合题意，
（Ⅷ）当90＜x＜95时，y2﹣y1＝x﹣70﹣（x+100）x﹣170＝5，解得x，不符合题意，舍去，
（Ⅸ）当95≤x≤120时，y2﹣y1＝﹣x+120﹣（x+100）x+20＝5，解得x＝90，不符合题意，舍去，
综上所述，小郑出发18s、s、s、s、s、90s时，两人相距5m．
【点睛】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是分类讨论思想的应用．
27．（10分）（2024 南京模拟）问题情境】
在一次数学兴趣小组活动中，小昕同学将一大一小两个三角板按照如图1所示的方式摆放．其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠B＝30°，BE＝AC＝6．
【问题探究】
小昕同学将三角板DEB绕点B按顺时针方向旋转．
（1）如图2，当点E落在边AB上时，延长DE交BC于点F，求BF的长．
（2）若点C、E、D在同一条直线上，求点D到直线BC的距离．
（3）连接DC，取DC的中点G，三角板DEB由初始位置（图1），旋转到点C、B、D首次在同一条直线上（如图3），求点G所经过的路径长．
（4）如图4，G为DC的中点，则在旋转过程中，点G到直线AB的距离的最大值是 　　．
【分析】（1）根据锐角三角函数求解，即可求出答案；
（2）分两种情况：①当点E在BC上方时，如图1过点D作DH⊥BC于H，根据锐角三角函数求出BC＝6，DE＝2，最后利用面积求解即可；②当点E在BC下方时，同①的方法，即可求出答案；
（3）先求出∠BOG＝150°，再判断出点G是以点O为圆心，2为半径的圆上，最后用弧长公式求解，即可求出答案；
（4）过点O作OK⊥AB于K，求出OK即可求出答案．
【解答】解：（1）由题意得，∠BEF＝∠BED＝90°，
在Rt△BEF中，∠ABC＝30°，BE＝6，
∴BF4；
（2）①当点E在BC上方时，
如图1，过点D作DH⊥BC于H，
在Rt△ABC中，AC＝6，tan∠ABC，
∴BC6，
在Rt△BED中，∠EBD＝∠ABC＝30°，BE＝6，
∴DE＝BE tan∠DBE＝62，
在Rt△BCE中，BE＝6，BC＝6，
根据勾股定理得，CE6，
∴CD＝CE+DE＝62，
∵S△BCDCD BEBC DH，
∴DH22；
②当点E在BC下方时，如图2，过点D作DM⊥BC于M，
同理可得CE＝6，DE＝2，
∴CD＝62，
∵S△BDCBC DMCD BE，
∴DM22，
∴点D到直线BC的距离为22或22；
（3）如图3﹣1，连接CD，取CD的中点G，
取BC的中点O，连接GO，则OG∥AB，
∴∠COG＝∠B＝30°，
∴∠BOG＝150°，
∵点G为CD的中点，点O为BC的中点，
∴GOBD＝2，
∴点G在以点O为圆心，2为半径的圆上，如图3﹣2，
∴三角板DEB由初始位置（图1），旋转到点C、B、D首次在同一条直线上时，点G所经过的轨迹为150°所对的圆弧，
∴点G所经过的路径长为π；
（4）如图4，过点O作OK⊥AB于K，
∵点O为BC的中点，BC＝6，
∴OB＝3，
∴OK＝OB sin30°，
由（3）知，点G是以点O为圆心，2为半径的圆上，
∴点G到直线AB的距离的最大值是2；
故答案为：．
【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了锐角三角函数，勾股定理，弧长公式，三角形的中位线定理，三角形的面积，画出图形是解本题的关键．
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江苏省南京市2024年中考数学押题预测卷02
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一、选择题（本大题共6个小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（2023 秦淮区一模）下列计算结果是正数的是（　　）
A．2+（﹣3） B．2﹣（﹣3） C．2×（﹣3） D．﹣32
2．（2023 鼓楼区一模）在过去10年里，我国国土绿化工程取得重大进展，新增森林面积超过22000000公顷．用科学记数法表示22000000是（　　）
A．22×106 B．2.2×106 C．22×107 D．2.2×107
3．（2022 建邺区一模）估计的值在（　　）
A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间
4．（2023 南京一模）如图，在△ABC中，以BC为直径的半圆分别与AB，AC交于点D，E．若BC＝6，∠A＝60°，则的长为 （　　）
A． B．π C．2π D．3π
5．（2023 鼓楼区一模）如图，O为△ABC的外心，四边形OCDE为正方形．以下结论：①O是△ABE的外心；②O是△ACD的外心；③直线DE与△ABC的外接圆相切．其中所有正确结论的序号是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
6．（2023 玄武区一模）如图，点A，B在反比例函数图象上，点A的横坐标为1，连接OA，OB，AB，若OA＝OB，△OAB的面积为4，则k的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7．（2023 鼓楼区一模）计算：|﹣2|＝　 　；（﹣2）0＝　 　．
8．（2023 南京一模）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 　 　．
9．（2023 南京一模）计算的结果是 　 　．
10．（2022 建邺区一模）设x1，x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，则x1（1+x2）+x2＝　 　．
11．（2023 鼓楼区一模）如图，点I是△ABC的内心．若∠IAB＝34°，∠IBC＝36°，则∠ICA的度数是 　 　°．
12．（2023 南京一模）若正比例函数y＝kx与函数的图象没有交点，则k的值可以是 　 　（写出一个即可）．
13．（2024 玄武区校级模拟）定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”．
如图，已知l1∥l2，l1与l2之间的距离为2．“等高底”△ABC的“等底”BC在直线l1上，点A在直线l2上，△ABC有一边的长是BC的倍．将△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A'B'C，A'C所在直线交l2于点D，则CD＝　 　．
14．（2023 玄武区一模）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r＝2cm，则该圆锥的母线长l为6cm，扇形的圆心角θ＝　 　°．
15．（2023 玄武区一模）如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，以AB为边在正六边形ABCDEF的内部作正方形ABMN，连接OD，ON，则∠DON＝　 　°．
16．（2024 雨花台区模拟）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，∠ABC＝∠DAC＝90°，tan∠ACB，，则　 　．
三、解答题（本大题共11小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）（2023 鼓楼区一模）解不等式组，并写出该不等式组的整数解．
18．（6分）（2023 秦淮区一模）计算．
19．（8分）（2023 玄武区一模）小丽从A、B、C、D四个景点中，随机选择一个或两个景点游玩．
（1）随机选择一个景点，恰好是A景点的概率是 　 　；
（2）随机选择两个景点，求A，B景点至少有一个的概率．
20．（8分）（2023 建邺区一模）为了了解2022年某地区5万名大、中、小学生3分钟跳绳成绩情况，教育部门从这三类学生群体中各抽取了20%的学生进行检测，整理样本数据，并结合2018年抽样结果，得到下列统计图．
（1）本次检测抽取了大、中、小学生共 　 　名，其中小学生 　 　名；
（2）根据抽样的结果，估计2022年该地区5万名大、中、小学生中，3分钟跳绳成绩合格的中学生人数为 　 　名；
（3）比较2018年与2022年抽样学生3分钟跳绳成绩合格率情况，写出一条正确的结论．
21．（8分）（2023 建邺区一模）如图，已知AB为半圆的直径．求作矩形MNPQ，使得点M，N在AB上，点P，Q在半圆上，且MN＝2MQ．
要求：（1）用直尺和圆规作图；
（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．
22．（8分）（2024 雨花台区模拟）如图①，某款线上教学设备由底座，支撑臂AB，连杆BC，悬臂CD和安装在D处的摄像头组成．如图②是该款设备放置在水平桌面l上的示意图．已知支撑臂AB⊥l，AB＝15cm，BC＝30cm，测量得∠ABC＝148°，∠BCD＝28°，AE＝9cm．求摄像头到桌面l的距离DE的长（结果精确到0.1cm）．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，1.73）
23．（8分）（2024 雨花台区模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2（k﹣1）x+k2k（k为常数）．
（1）若抛物线经过点（1，k2），求k的值；
（2）若抛物线经过点（2k，y1）和点（2，y2），且y1＞y2，求k的取值范围；
（3）若将抛物线向右平移1个单位长度得到新抛物线，当1≤x≤2时，新抛物线对应的函数有最小值，求k的值．
24．（8分）（2024 南京模拟）如图，在△ABC中，AC＞AB．
（1）在线段BC上作点P，使得点P到AB的距离与点P到AC的距离相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，若PA＝PC，求证：PC BC＝AC AB．
25．（8分）（2024 秦淮区校级模拟）如图，四边形ABCD是平行四边形，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆．
（1）如图①，当CD与⊙O相切时，求证：四边形ABCD是菱形．
（2）如图②，当CD与⊙O相交于点E时．
（Ⅰ）若AD＝6，CE＝5，求⊙O的半径．
（Ⅱ）连接BE，交AC于点F，若EF AB＝CE2，则∠D的度数是 　 　°．
26．（10分）（2024 秦淮区校级模拟）小郑和小外同时从A出发进行100m的游泳比赛，小郑游泳速度不变．图中的实线表示部分小外在游泳过程中与A的距离y（m）和游泳的时间t（s）之间的关系，虚线表示小郑在游泳过程中与A的距离y（m）和游泳的时间t（s）之间的关系．
（1）小郑游泳的平均速度为 　 　m/s，游泳池的长度为 　 　m．
（2）小外在45s后速度增加，并以增加后的速度匀速行驶，若小外和小郑同时到达终点，
①请补全小外的函数图象；
②小郑出发多长时间后，两人相距5m？（直接写出结果）
27．（10分）（2024 南京模拟）问题情境】
在一次数学兴趣小组活动中，小昕同学将一大一小两个三角板按照如图1所示的方式摆放．其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠B＝30°，BE＝AC＝6．
【问题探究】
小昕同学将三角板DEB绕点B按顺时针方向旋转．
（1）如图2，当点E落在边AB上时，延长DE交BC于点F，求BF的长．
（2）若点C、E、D在同一条直线上，求点D到直线BC的距离．
（3）连接DC，取DC的中点G，三角板DEB由初始位置（图1），旋转到点C、B、D首次在同一条直线上（如图3），求点G所经过的路径长．
（4）如图4，G为DC的中点，则在旋转过程中，点G到直线AB的距离的最大值是 　 　．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)2024 年中考押题预测卷 02【南京卷】
数学·答题卡
姓 名：__________________________
准 考证号： 贴条形码区
注意事项
1 ．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准
考生禁填： 缺考标记
条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。
违纪标记
2 ．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm 黑色签字笔 以上标志由监考人员用 2B 铅笔填涂
答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。
3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案
选择题填涂样例：
无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
正确填涂
4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。
错误填涂 [×] [√] [／]
第Ⅰ卷(请用 2B 铅笔填涂)
一、选择题（每小题 2 分，共 12 分）
1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
第Ⅱ卷
二、填空题（每小题 2 分，共 20 分）
7．_______________8．_______________ 9．_________________ 10．________________ 11．_____________
12．_______________13．_______________ 14．_____________ 15．______________ 16．______________
三、解答题（共 88 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（6 分）
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
18．（6 分）
19．（8 分）
20.（8 分）
（北京）股份有限公司
（北京）股份有限公司
（北京）股份有限公司
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
21.（8 分）
22.（8 分）
23.（8 分）
（北京）股份有限公司
（北京）股份有限公司
（北京）股份有限公司
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
24.（8 分）
25.（8 分）
（北京）股份有限公司
（北京）股份有限公司
（北京）股份有限公司
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
26.（10 分）
（北京）股份有限公司
（北京）股份有限公司
（北京）股份有限公司
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
27.（10 分）
（北京）股份有限公司
（北京）股份有限公司
（北京）股份有限公司

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