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多边形知识点归纳
1、多边形
定义 在同一平面内，由一些线段首尾顺次连结所组成的封闭图形叫做多边形。如果一个多边形由n条线段组成， 叫做n边形， 如三角形， 四边形， 五边形…， 三角形是最简单的多边形。
边 组成多边形的各条线段叫做多边形的边；
顶点 每相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点；
内角 多边形相邻两边所组成的在多边形内部的角叫做多边形的内角，简称多边形的角；
外角 多边形的一边和它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角
对角线 连接不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线；
说明 ①多边形的边数、顶点数及角的个数相等；
②把多边形转化成三角形求解的常用方法是连接对角线；
①n边形 (n≥3) 的1个顶点, 可引n-3(n>3)条对角线, 将n边形分成n-2个三角形;
②n边形(n≥3) 共有n(n -3)条对角线；
内角和定理 n边形(n≥3) 的内角和等于(n-2)·180°(每增加1边, 内角和增加180°) ;
推导 多边形内角和公式有多种推导方法(如图)， 但都是把多边形转化为三角形进行解决；
说明 四边形的四个内角中最多有三个钝角或四个直角或三个锐角；
外角和定理 任意多边形的外角和都等于360°；
推导 多边形的每个内角和与它相邻的外角是邻补角，所以n边形内角和加外角和等于n·180°，所以外角和等于n·180°-(n-2)·180°=360°。
说明 ①外角和为定值， 与边数无关， 不随边数的变化而变化；
②四边形的内角和、外角和相等；
四边形的不稳定性 ①三角形的三边如果确定后， 它的形状、大小就确定了， 这是三角形的稳定性；
②四边形的四边确定后， 它的形状不能确定， 这就是四边形所具有的不稳定性。
分类 多边形分为凸多边形和凹多边形；
凸多边形 把多边形的任一边向两方延长， 整个图形都在这条直线的同一侧，这样的多边形就叫做凸多边形， 初中阶段只研究凸多边形。凸多边形每个内角都大于0°， 小于 180°；
凹多边形 如图-2， 不满足上述凸多边形的特征， 因为我们画出CD所在的直线， 整个多边形不都在这条直线的同一侧， 我们称它为凹多边形；
说明 以下n边形都有n≥3条件， 不再做标注。
2、正多边形
定义 各个角都相等， 各条边都相等的多边形叫做正多边形；
条件 ①各边都相等；
说明 ①各边都相等的多边形不一定是正多边形， 因为它的内角不一定都相等， 如菱形；
②一个多边形的内角都相等， 它也不一定是正多边形， 因为它的边不一定都相等，如： 长方形的内角都是直角， 但它的边不都相等；
示例
正三角形 正方形 正五边形 正六边形
性质 ①各边相等， 各内角相等， 各外角相等；
②正 n边形的每一个内角为·(n-2)·180°;每一个外角为360°;
③常用： 正五边形每一内角为 108°， 每一外角为72°； 正六边形每一内角为120°， 每一外角为60°。
④正n边形有一个外接圆， 还有一个内切圆， 它们是同心圆；
⑤正n边形有n条对称轴；
⑥对于正n边形
平面镶嵌
定义 用一种或几种形状、大小不同的平面图形进行拼接， 彼此之间既无空隙、又不重叠地铺成一片，就叫做平面图形的镶嵌， 也叫做平面图形的密铺。
条件 实现镶嵌的条件： 围绕一点拼在一起的几个多边形的角的和等于360°；
原则 镶嵌的原则： 既不重叠， 也无空隙；
正多边形镶嵌 ①用一种或两种或两种以上的正多边形均可实现镶嵌；
②正三角形， 正方形， 正六边形都能单独完成平面镶嵌；
3个条件 ①镶嵌的正多边形边长相等； ②顶点重合； ③一个顶点处各角的和为360°；
用同一种正多边形镶嵌 设由k个正多边形在同一顶点镶嵌成平面，则有k (n-2)-180°=360°, k(n-2)=2n ∴kn-2k-2n+4=4, (n-2)(k-2)=4 ∴ k=3 或 k=4 或 k=6 n=6 n=4 n=3 用6个正三角形或4个正方形或3个正六边形可在同一顶点处镶嵌成平面，如图1、2、3；
图示
图1 图2 图3 图4 图5
用两种 正多边形 镶嵌 ①正三角形与正方形： 设在一个顶点周围有m个正三角形的角， n个正方形的角，则有: m·60°+n·90°=360°, 即 2m+3n=12, 解得: m=3, n=2 ∴ 用正三角形与正方形镶嵌平面一个顶点处需3个正三角形，2个正方形， 如图4、5。
②正三角形和正六边形： 设在一个顶点周围有 m个正三角形的角， n个正六边形的角，则有: m·60°+n·120°= 360°即 m+2n = 6, 解得: m=4 或 m=2 n =1 n=2 ∴ 用正三角形和正六边形镶嵌平面有两种： 1) 一个顶点处有4个正三角形和1 个正六边形， 如图-6； 2) 一个顶点处有2 个正三角形和2 个正六边形， 如图-7；
图示
图-7
用一般凸多边形镶嵌 如图所示， 一批形状、大小完全相同， 但不规则的四边形地砖也可才按图拼接， 使地板平整、无空隙,此时α+β+γ+δ=360°, 如图-8。
说明 同一种组合，可能有多种不同的方案。
3、平行四边形
定义 两组对边分别平行的四边形， 叫平行四边形；
符号表示 平行四边形用符号“ ”表示， 平行四边形 ABCD 记作“ ABCD”, 读作“平行四边形 ABCD”;
邻边 如图: AD和AB, AB和BC, BC和DC, DC和AD;
对边 如图: AB和DC, AD和BC;
邻角 如图: ∠BAD和∠ADC, ∠BAD和∠ABC, ∠ABC和∠BCD, ∠ADC 和∠BCD;
`对角 如图: ∠BAD 和∠BCD, ∠ADC 和∠ABC;
对角线 如图: AC和BD;
说明 ①平行四边形必须满足： 1) 是四边形； 2) 两组对边分别平行， 这两个条件缺一不可；
②平行四边形的表示一般按一定的方向(顺时针或逆时针)依次书写各顶点；
性质 边 两组对边平行且相等,AB≌CD; AD≌BC;
角 两组对角分别相等, ∠ABC=∠ADC; ∠BAD=∠BCD;
四组邻角分别互补, ∠ABC+∠BCD=180°,∠BCD+∠ADC=180°,∠ADC+∠BAD=180°, ∠BAD+∠ABC=180°;
对角线 对角线互相平分，OA=OC=AC, OB=OD=BD;
面积 S∩ABCD=BC AE=AD AE(边长×边上的高); 同底(等底)同高(等高)的平行四边形的面积相等;
5种判定方法 ①两组对边分别平行(定义) ；
②一组对边平行且相等(定理1) ；
③两组对边分别相等(定理2) ；
④对角线互相平分 (定理3) ；
⑤两组对角分别相等(定理4) ；
说明 ①灵活根据已知条件是边、角、还是对角线， 选择相应判定方法， 进行平行四边形的判定；
②一组对边平行， 另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形， 可能是等腰梯形；
③一组对边平行， 一组对角相等的四边形是平行四边形(利用三角形全等易证)；
对称性 是中心对称图形， 对称中心是对角线交点O；
如图， ABCD 绕着它的对角线的交点O旋转180°后， 与原图形能够完全重合，此时A点旋转到C点， B旋转到D点， C 点旋转到A点， D点旋转到B；
图示
说明 过平行四边形对角线交点的直线， 对应线段被对角线交点平分， 且将平行四边形分成全等的两部分图形， 如图：OE=OF, SDADEF= SDBCEF。 (原因: 平行四边形是中心对称图形)
两条平行线间距离 定义： 两条平行线中， 一条直线上任意一点到另一条直线的距离， 叫做这两条平行线的距离；
①平行线之间距离处处相等, 如图: AB=CD=EF;
②夹在两条平行线之间的平行线段相等， 如果BC∥DE，则BC=DE(BCED为平行四边形);
常用解题思路 ①利用平行四边形的性质进行相关计算， 一般运用平行四边形的性质转化角度或线段之间的等量关系；
②对边平行可得相等的角， 进而可得相似三角形；
③对边相等、对角线互相平分可得相等的线段；
④当有一条线段过对角线的交点和一边的中点时， 可利用三角形中位线的性质进行计算；
⑤当有角平分线的条件时，可利用“平行+角平分线 → 等腰三角形”得到等角、等边；详见： 几何模型-角平分线四大模型；
⑥构造和利用平行四边形性质证明线段相等、角相等或线段平行； (三角形构造平行四边形)；
⑦利用等高三角形面积比， 及平行线间距离相同(高相等)， 证明平行四边形及菱形面积问题。
4、矩形
定义 有一个角是直角的平行四边形， 叫矩形(通常也叫长方形)；
如图, 在 ABCD 中, 若∠B=90°, 则四边形ABCD 为矩形;
图示
说明 ①对于矩形的定义要注意两点： 1) 是平行四边形； 2) 有一个角是直角；
②有一个角是直角的平行四边形才是矩形， 不要错误地理解为有一个角是直角的四边形是矩形；
性质 具有平行四边形的一切性质；
边 两组对边平行且相等, AB≌CD; AD≌BC;
角 四个角都是直角; ∠ABC=∠BCD=∠ADC=∠BAD=90°;
对角线 对角线相等且互相平分, AC=BD, OA=OC=OB=OD;
对称性 既是轴对称又是中心对称图形， 对称中心是对角线交点，对称轴是各边垂直平分线(2条) ；
说明 ①利用矩形的性质可以推出直角三角形斜边中线的性质， 即在直角三角形中， 斜边上的中线等于斜边的一半， 如图：OD=BD=AC(OD为FRtΔADC 的斜边中线);
②两条对角线分矩形为面积相等的四个等腰三角形，SAAOD=S△AOB=S△BOC=SACOD=S烟形ABCD;
面积 s=ab ( a、b分别是长和宽) ;
判定 ①有一个角是直角的平行四边形是矩形 (定义) ；
②有三个角是直角的四边形是矩形(定理1) ；
③对角线相等的平行四边形是矩形； (定理2) 注意： 不能说： 对角线相等的四边形是矩形， 如： 等腰梯形对角线相等， 但不是矩形；
④对角线相等且互相平分的四边形是矩形；
思路 矩形判定的一般思路： 首先判定是否为平行四边形，然后找角或者对角线的关系， 若角度容易求，则可找其一角为90°， 便可判定是矩形； 若对角线容易求， 则证明其对角线相等也可证其为矩形；
常用解题思路 运用矩形性质计算的一般思路： 根据矩形的四个角都是直角， 一条对角线将矩形分成两个直角三角形， 可用勾股定理或三角函数求线段的长， 又因为矩形的对角线相等且互相平分， 故可借助对角线的关系得到全等三角形， 矩形的两条对角线把矩形分成四个等腰三角形， 注意用这个结论建立线段或角度的等量关系。
5、菱形
定义 有一组邻边相等的平行四边形 叫菱形；
如图, 在 ABCD中, 若AB=BC , 则 ABCD 是菱形;
图示
性质 具有平行四边形的一切性质；
边 四条边都相等,AB=BC=CD=DA;
对边平行,AB∥CD, AD∥BC;
角 两组对角相等, ∠DAB=∠BCD, ∠ABC=∠ADC ;
对角线 对角线互相垂直且平分, AC⊥BD, AO=OC, DO=OB;
每条对角线平分一组对角, AC平分∠DAB与∠BCD ;BD平分∠ABC与∠ADC ; 注： 对角线交点O 到菱形四条边的距离相等；
对称性 既是轴对称又是中心对称图形， 对称中心为对角线交点， 对称轴是对角线所在2 条直线。
周长 C=4a, 其中a为菱形的边长;
面积 s= ah= / mn,其中a是菱形的边长， h是菱形的高， m、n是菱形的对角线； (两种求法)
说明 两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形。
判定 ①有一组邻边相等的平行四边形是菱形(定义) ；
②四条边都相等的四边形是菱形(定理1) ；
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形(定理2) ；
扩展 ①对角线互相垂直平分的四边形是菱形；
②___对角线平分一组对角的平行四边形 是菱形；
③每条对角线平分一组对角的___四边形 _是菱形；(三条拓展判定不能直接使用，使用时需证明)
思路 菱形判定的一般思路： 若一个四边形是菱形， 则必是平行四边形， 故在判定一个四边形是菱形时，首先判断其是平行四边形，然后根据平行四边形的邻边相等， 来判定其是菱形， 这是判定菱形最基本的思路， 同时也可以考虑其他判定方法， 如四条边相等或对角线互相垂直平分；
常见题型 ①求长度 (线段长或者周长) 时， 应注意使用等腰三角形的性质： 若菱形中存在一个顶角为60°，则菱形被连接另外两点的对角线所割的两个三角形为等边三角形，故在计算时， 可借助等边三角形的性质，同时也应注意使用勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、含特殊角的直角三角形等进行计算；
②求面积时，可利用菱形的两条对角线互相垂直， 面积等于对角线之积的一半进行计算。
6、正方形
定义 有一组邻边相等， 有一个角是直角的平行四边形， 叫正方形；
性质 具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质；
边 四条边都相等,AB=BC=CD=AD ;
对边平行,AB∥CD, AD∥BC ;
角 四角都是直角, ∠ABC=∠ADC=∠BCD=∠BAD=90°;
对角线 对角线互相垂直、平分且相等： AC= BD, AC⊥BD, OA=OB=OC=OD;
每条对角线平分一组对角: ∠DAC=∠CAB=45°, ∠DCA=∠ACB=45°,∠ADB=∠BDC=45°, ∠ABD=∠DBC=45°;
对称性 ⑤既是中心对称图形又是轴对称图形， 对称中心是对角线交点， 对称轴是各边垂直平分线和对角线所在直线(4条) ；
说明 ①两条对角线把正方形分成多个全等的等腰直角三角形(四大四小)；
②正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线两端点的距离相等， 如AE=CE， BF=DF；
周长 C=4a, 其中a 表示正方形边长;
面积 s=a =AC·BD=b (a 为边长, b为对角线长) ;
判定 ①有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形 是正方形 (定义) ；
②有一组邻边相等的 矩形 是正方形(矩形+一组邻边相等) ；
③对角线互相垂直的 矩形 是正方形(矩形+对角线互相垂直) ；
④有一个角是直角的 菱形 是正方形(菱形+一个角为直角) ；
⑤对角线相等的菱形 是正方形(菱形+对角线相等) ；
⑥对角线 互相垂直平分且相等 的四边形 是正方形；
常用解题思路 与正方形有关的计算应注意灵活运用其性质， 还有常见的结论， 如： 边长与对角线的长度比为1: ， 另外在几何题中求线段长， 一般会用列方程的思想， 列方程的主要依据是：
①勾股定理(需要有直角的条件或构造出直角三角形) ；
②相似三角形对应边成比例(适用于等角较多易证相似的题目) ；
注意 对特殊四边形中的特殊三角形，如等腰三角形、等边三角形、直角三角形，等腰直角三角形和全等三角形，以及特殊角和三角函数的应用等。
7、平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系
区别 边 角 对角线 对称性
平行四边形 对边平行且相等 对角相等 两条对角线互相平分 中心对称图形
矩形 对边平行且相等 四个角都是直角 两条对角线互相平分且相等 轴对称图形中心对称图形
菱形 对边平行， 四条边都相等 对角相等 两条对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角； 轴对称图形中心对称图形
正方形 对边平行， 四条边都相等 四个角都是直角 两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角； 轴对称图形中心对称图形
关系 ①正方形不仅是特殊的平行四边形， 而且是特殊的矩形， 还是特殊的菱形， 平行四边形、矩形、菱形、正方形关系如图；
②正方形既是有一组邻边相等的矩形，正方形又是有一个角是直角的菱形；
③既是矩形又是菱形的四边形是正方形；
8、梯形
梯形 定义 一组对边平行， 另一组对边不平行的四边形叫梯形， 如图-1： AD∥BC；
底 梯形中平行的一组对边叫做梯形的底， 如图-1： AD、BC为底；
腰 梯形中不平行的一组对边叫做梯形的腰， 如图-1： AB、CD为腰；
直角梯形 定义 有一个角是直角的梯形, 叫直角梯形, 如图-2: AD∥BC, AB⊥BC;
图示 分类
等腰梯形 定义 两腰相等的梯形, 叫等腰梯形, 如图-3: AD∥BC, AB=CD;
性质 ①同一底边上的两个角相等, ∠ABC=∠DCB, ∠BAD=∠CDA;
②两条对角线相等, AC=BD;
③是轴对称图形， 上下底中点连线是对称轴(1 条)， 两腰延长线的交点、对角线的交点都在对称轴上， 如图-3 所示， 点G、点O在对称轴EF上；
判定 ①两腰相等的梯形 是等腰梯形(定义)；
②同一底上两个角相等的梯形 是等腰梯形；
③对角线相等的梯形是等腰梯形；
中位线 性质 梯形的中位线平行于两底， 并且等于两底和的一半； 如图-1: EF∥AD∥BC, EF=(AD+BC)
证明 证明: 连接BD交EF于G ∵ EG是ΔBAD边AD的中位线 ∴ EG=AD ∵ GF 是ΔBDC 边BC的中位线 ∴ GF=BC ∴ EF=EG+ GF=(AD+BC)
推论 ①梯形中位线到上、下底的距离相等；
②S梯形=梯形中位线×高=(上底+下底)×高;
常用方法 ①平移腰(如图①)： 把梯形分成一个平行四边形(如图-4： ABHD或 AGCD)和一个三角形；
②作高(如图②): 使两腰在两个直角三角形(如图-4:△AEB 和△DFC)中)中， 同时中间部分是一个矩形(如图-4: 矩形AEFD);
③平移对角线(如图③)： 使两条对角线在同一个三角形(如图-5： ΔBDF)， 且ACFD是平行四边形；
图-① 图-② 图-③
图-④ 图-⑤ 图-⑥
④延腰(如图④): 构造具有公共角的两个三角形(如图-5: ΔAED 和ΔBEC) ;
⑤等积变形(如图⑤)： 连接梯形上底一端点和另一腰中点， 并延长与下底延长线交于一点， 构成两个面积相等三角形，如图-5：S△AHD=S△BHG S梯形ABCD=S△DGC;
⑥过上底中点平移两腰(如图⑥)：过上底中点作两腰的平行线，构造2个平行四边形和1个三角形；
图示
图-4
说明 ①梯形本身可以作为四边形的形式进行出题；
②上述常用方法中， 如果换成等腰梯形或者直角梯形， 还会有更多特殊性质。

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